几何证明选讲
专题14：几何证明选讲
高中数学复习知识梳理之十四几何证明选讲一、大纲要求解析《几何证明选讲》是新增内容，在高考中主要考查推理能力、逻辑思维能力，主要以填空题或解答题的形式出现；近几年高考中，实行新课标的地区凡有选考要求的省份都对其进行了考查．本节的考查重点是平行截割定理、射影定理及圆中的相关定理．这些定理是平面几何中的一些重要结论．填空题中，主要是计算，而解答题则主要是证明．至于平面截圆锥面的定理及其推论，则只要记住其结论及证明即可，在高考中一般不会过深考查．大纲要求：(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．(2)会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．(3)会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．(4)了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)．(5)了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线．(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F、E)证明上述定理①情形：当β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．(图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A．)(7)会证明以下结果：①在(6)中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π′；②如果平面π与平面π′的交线为m，在(5)①中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e．(称点F 为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率．)二、考点知识梳理1．相似三角形的判定定理1：两角＿＿＿＿＿的两个三角形相似．定理2：三边＿＿＿＿＿＿＿＿的两个三角形相似．定理3：两边对应成比例，并且＿＿＿＿＿的两个三角形相似．2．相似三角形的性质定理性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于＿＿＿＿＿．性质2：相似三角形的面积比等于＿＿＿＿＿．推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于＿＿＿＿＿，外接圆的面积比等于相似比的＿＿＿＿＿．3．平行截割定理：三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线段。
高考数学专题几何证明选讲
编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。
选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：(2)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.答案：452.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°平行线分线段成比例定理的应用，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD ＝________.解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：2∶52.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6，∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. 答案：1 [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.相似三角形的判定及性质[典例] O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案]6[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：4 2射影定理的应用[典例] AD ⊥BC 于D∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC .[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x . Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC＝________.解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD ＝________.解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用． 3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013·荆州模拟)如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2013·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABBC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CFCA ，CF＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连接OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线P A 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ⊥P A ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.答案：55° [类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．圆内接四边形的性质及判定[典例]是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5. [类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD ，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ， 所以BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ， 所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得， BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，11 所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE.求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
专题：几何证明选讲
专题：几何证明选讲【知识梳理】1.相似三角形的判定定理：判定定理1.两角对应相等的三角形相似。
判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。
判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。
2.相似三角形的性质性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。
性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3.平行截割定理三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。
4.射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。
5.圆周角与弦切角圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。
推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。
推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。
6.圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论1.直径所对的圆周角都是直角推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。
7.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
8.圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆幂定理：（不用掌握）9.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
10.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。
【知识梳理】平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
几何证明选讲PPT课件
3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 A、B 在圆 O 上， BC＝1，∠BCD＝30°，则圆 O 的面积为________． 解析 连接 OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝ 60°，又 OB＝OC， 因此△BOC 是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆 O 的半径为 1， 所以圆 O 的面积为 π×12＝π. 答案 π
m
(2)有 EF 使分得的上下两个梯形相似？若有则相似比 n 的值为
多少？
解析（1）法一、由 AE m，设AE=mx,
EB=nx,又 PA
a
EB n
，所以
AB b a
a
PA a PA a(m n)x
mx
(m n)x b a
b a nx
所以
b
PE PB
EF b
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长 相等 ．
4．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切 ，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角 相等 ，同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角 相等 ．
割线定 理
(1)求PA、PB、PC、
PA·PB=PC·PD
PD、AB、CD
(2)应用相似求AC、
BD
例题
1．如图所示，△ABC 中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，以 AC 为直径的圆 与斜边交于点 P，则 BP 长为________． 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA＝90°，即 CP⊥AB，由射影
几何证明选讲训练
几何证明选讲专题1．如图所示，在四边形ABCD 中，//,//EF BC FG AD ，则EF FGBC AD+=1 由平行线分线段成比例可知,EF AF FG FC BC AC AD AC ==，所以1EF FG AF FCBC AD AC++==2．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2,AE EB DE =与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为6cm 2，则ABC ∆的面积为 cm 272 不妨设,AEF ABC ∆∆,AE AB 边上的高分别为12,h h ，因为四边形ABCD 为平行四边 形，:1:2,AE EB =，所以12:1:3,:1:3,:1:4AE AB EF FD h h ===，所以:1:12AEF ABC S S ∆∆=，从而ABC ∆的面积为72 cm 23．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于5 由直角三角形射影定理2CD BD DA =⋅可知2DA =，10AB =，即半径为5 4．如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线,,PAB PCD AB 是圆O 的直径，若4,5,3PA PC CD ===，则CBD ∠=30 由割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即4(4)5(53)AB ⨯+=⨯+，得6AB =即圆O 的半径为3，因为弦3CD =，所以60COD ∠=，从而1302CBD COD ∠=∠= 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2,PA AC =是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R =由切割线定理知2PA PB PC =⋅，即221PC =⨯，4PC =，所以AC =6．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于E ，4,8PC PB ==，则CD =245由切割线定理知2PC PA PB =⋅得2,826PA AB ==-=，圆O 半径为3，连接CO ，则在直角三角形PCO 中，有3512,235CO CP OP CE CE ⨯⋅=⋅==+，从而245CD = 7．如图，,AB CD 是圆O 的两条弦，交点为E 且AB 是线段CD 的中垂线，已知6,AB CD ==AD 的长度为由条件可知AB 为圆O 的直径，所以3r =，连接OD ，则2OE ==，所以5,AE AD ===8．如图，在梯形ABCD 中，////AD BC EF ，E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H ，若5,7AD BC ==，则GH =1 由条件可知EF 为梯形ABCD 的中线，且1(57)62EF =+=；由相似三角形的相似比可知,57EG BG GF DG BD BD ==，从而6157EG EG -+=，解得52EG =，同理可解得52HF =，所以1GH =9．如图，圆的内接ABC ∆的C ∠的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知3BD =，7,5CE BC ==，则线段BE =215因为CD 为C ∠的平分线，所以BCE ECA ∠=∠，又圆周角EBA ECA ∠=∠，所以BCE EBA ∠=∠，又E E ∠=∠，所以EBC EBD ∆∆ ，从而BE BD EC BC =，即375BE =，所以215BE =10．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BC 是直径，MN 切圆O 于A ，25MAB ∠=， 则D ∠=115 连接AC ，由条件可知25C MAB ∠=∠= ，又BC 为直径，所以90BAC ∠= ，、从而180902565B ∠=--= ，又180B D ∠+∠= ，所以115D ∠=11．如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则BFBC=12过E 作//EG DC 交BC 于G ，因为E 是BD 的中点，D 是AC 的中点，所以1124EG DC AC ==，BG GC =，又1143FG FC GC ==，所以2132BF BG FG GC FC =-==12．如图，圆'O 和圆O 相交于A 和B ，PQ 切圆O 于P ，交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ，3,15,MN NQ ==则PN =由割线定理、切割线定理，有2NM NQ NB NA NP ⋅=⋅=，所以2315PN =⨯，即PN =13．如图，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆上两点，如果46E ∠=32DCF ∠= ，则A ∠的度数是因为,EB EC 是圆O 的两条切线，所以EB EC =，又46E ∠=，所以1(18046)672EBC ECB ∠=∠=-= ，又32DCF ∠= ，所以180673281BCD ∠=--= ，从而1808199A ∠=-=14．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为3AB =，则切线AD 的长为依题意，2BC ==，所以5AC =，由215AD AB AC =⋅=，得AD =15．如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若12,PF PD ==则EFD ∠的度数为30由切割线定理得2PD PE PF =⋅2163412PD PE PF ⨯⇒===8EF ⇒=,4OD =, ∵OD PD ⊥,12OD PO =∴30P ∠= ,60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠=。
数学强档：几何证明选讲
几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质:1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.2。
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定及性质：相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数）。
预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理：1).两角对应相等，三角形相似.2）。
两边对应成比例且夹角相等，三角形相似.3）。
三边对应成比例，三角形相似。
直角三角形相似判定定理：1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，则它们相似。
2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,则它们相似。
3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,则它们相似。
4）直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
相似三角形的性质：1)相似三角形的对应角相等。
2)相似三角形的对应边成比例。
3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.4）相似三角形的周长比等于相似比.5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.6）相似三角形外接圆的的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4。
直角三角形的射影定理:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，每一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.Rt△ABC ，∠C=900，AD⊥CDBC2=AB·BD CD2=AD·BD CA2=AD·AB第二讲直线与圆的位置关系1圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
几何证明选讲定理大全
6.ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O旳直径， CE⊥AD，E为垂足，CE旳延长线交AB
于点F，求证：AC2=AF·AB.
7.已 知BC是 圆O的直 径，AD BC，垂足 为D， BF交AD于E， 且AE BE. (1)求证 ：弧AB 弧AF; (2)如 果sinFBC 3，AB 4 5， 求AD的 长.
直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂
足为D，
求证：AC平分∠BAD
E
O
A
C
D
2.如图，⊙O和⊙O′都经过A、B 两点，AC是⊙O ′旳切线，交 ⊙O于C，AD是⊙O旳切线，交 ⊙O ′于D，
求证：AB2＝BC·BD.
A
O CB
O' D
3.在△ABC中，∠A旳平分线AD交BC 于D，⊙O过点A，且和BC切于D， 和AB、AC分别交于E、F， 求证：EF//BC.
若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆；
D
若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；
C O
PA
B
练习
情况唯一吗？
1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点旳直线CD与
⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点旳直线EF与
⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.
D
E
A
A
D
C
C O1
O2
F
D
E
B
C
A
D
E
16
16 8
CF DE , BF 8
.
3
33
B
几何证明选讲课件
⇒ 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分第三边． ⇒ 2 经过梯形一腰的中点， 且与底边平行的直线平分 另一腰．
2．平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例． ⇒平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延 长线 )所得的对应线段成比例． ⇒ 平行平面截线段成比例定理：两条直线被三个平 行平面所截得对应线段成比例．
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， CE EF ∴ AF∥ BC，∴ ＝ . BE EA 又∵ AE∥CD，∴△ AFE∽△ DFC. EA EF CF EF CE ∴ ＝ ，即 ＝ ＝ . CD CF CD EA BE 又∵∠ ECA＝∠ D，∠ CAF＝∠DAC， AC CF AC CE ∴△ AFC∽△ ACD，∴ ＝ .∴ ＝ ， AD CD AD BE ∴ AC· BE＝ CE· AD.
在 Rt△ DEC 中，∵ DE2＋EC2＝DC2，
直角三角形射影定理与勾股定理的应用
[例 3] 在△ ABC 中， D、F 分别在 AC、 BC 上，且 AB⊥AC， AF⊥ BC， BD＝DC＝FC＝1， 则 AC＝________. 分析：本题所给条件为垂直和相等关系，求线段 AC 的长，故可把 AC 作为未知数，利用射影定理构造方程求 之．
解析：∵∠ E＝∠ E，∠ EAD＝∠ EBA，∴△EDA∽ AE ED △ EAB，得 ＝ ，即 AE2＝ ED· BE＝ 3× 9＝ 27，∴ AE BE AE ＝ 3 3.
答案：3 3
(理)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BA 的延长线上， CE 交 AD 于点 F，∠ ECA＝∠D.
9 答案： 2
相似三角形的判定及性质
[例 2] (2010· 天津文， 11)如图，四边形 ABCD 是圆
高中数学几何证明选讲
高中数学几何证明选讲1.证明两条相交直线的垂直平分线相交于直线的交点处。
证明：设存在直线l1和l2相交于点A，l3是l1和l2的垂直平分线，交于点O。
需要证明AO=AO。
首先，连接点A和O，以及连接点B和O。
由于l3是垂直平分线，所以AO=BO，又由于l1和l2是相交直线，所以∠A=∠B。
根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA。
又因为∠OAB+∠OBA=180°，所以∠OAB和∠OBA是两个互补角，所以∠OAB和∠OBA都是90°，所以AO和BO是直角。
因此，垂直平分线l3与相交直线l1和l2的交点处于直线l1和l2的交点上，即O是直线l1和l2的交点。
2.证明三角形的三条中线交于一个点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
证明：设∆ABC是一个三角形，M、N、P分别是AB、BC、CA的中点，需要证明MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
连接点M与点P，连接点N与点A。
首先，根据线段的中点定理可得MP=NP。
又因为M和N分别是AB和BC的中点，所以MN∥AC。
因此，根据平行线的性质可得∠NMP=∠NAP。
又因为梯形MNPA是一个等腰梯形，所以∠PAN=∠MNP。
因此，∠PAN和∠MNP是两个互补角，所以∠PAN和∠MNP都是90°，所以MN和AP是直角。
又根据线段的中点定理可得MN=2NP。
因此，MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
3.证明三角形的内心、外心和垂心共线。
证明：设∆ABC是一个三角形，O为∆ABC的外心，I为∆ABC的内心，H 为∆ABC的垂心，需要证明O、I和H共线。
首先，连接OA、OB、OC。
根据圆的性质可知，OA=OB=OC，所以O到∆ABC的三个顶点的距离相等，也就是说，O到三角形三边的距离相等。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
添加标题
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
中考--几何证明题选讲
D
A
O1
D
O2
F
BC
C
B
如果弧AB＝弧CD， ⊙O1和⊙O2是等圆，若弧 那么∠E和∠F是什么 AB＝弧CD，则∠E和∠F
关系？反过来呢？ 是什么关系？反过来呢？
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°；
90°的圆周角所对的弦是直径.
分
别
为D,
E
,
F
,求
证
：AB AC
3 3
BE CF
.
几何证明题选讲
圆周角定理
圆心角、圆周角、圆内(外)角
圆心角：如∠BOA
圆内角：如∠BCA
圆周角：如∠BDA
圆外角：如∠BFA
F
•角的顶点在圆周上
•是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?
D
B A
C
C
A
C
O
O
O
B
圆周角：顶点在圆上，并且两边
B
A 都和圆相交的角.
E
⊙O上一点，弧AE=弧AC，DE交 AB于点F，求证：PF·PO= PA·PB. A
FB O
P
D
C
11.证明：圆的外切四边形的两组对 边的和相等. 即如图，证明：AB＋CD＝AD＋BC.
P
A
B
7.如图，四边形ABCD中，AB、DC的延
ห้องสมุดไป่ตู้
A
长线交于点E，AD，BC的延长线交于点
F，∠AED、∠AFB的角平分线交于点M， M
且EM⊥FM，求证：四边形ABCD内接 B
D
几何证明选讲基础知识复习(20210327220910)
几何证明选讲基础知识复习一、选考内容《几何证明选讲》考试大纲要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理•（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.—平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）•（5）了解下面定理：定理在空间中，取直线I为轴，直线「与l相交于点O，其夹角为:I围绕I旋转得到以O为顶点，「为母线的圆锥面，任取平面n，若它与轴I交角为一：（n与I平行，记一：=0）,则：（i）: >壽，平面n与圆锥的交线为椭圆；（ii）一： =「，平面n与圆锥的交线为抛物线；（iii）',平面n与圆锥的交线为双曲线.二、基础知识填空：,那么在其他直线上1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等截得的线段.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_____________推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_______________2.平行线分线段成比例定理：________________________ 三条平行线截两条直线，所得的成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于__________________ ;相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于_________________________ ;4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是__________________________ 的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上_________ 与_________ 的比例中项。
5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_________________ 的一半。
几何证明选讲
选讲内容本章知识结构图几何证明选讲平行线等分线段定理推论引理推论1推论2平行线分线段成比例定理相似三角形预备定理判定定理2判定定理1判定定理3直角三角形相似判定定理射影定理坐标系与参数方程切割线定理相交弦定理割线定理切线定义圆的切线的判定定理与性质定理坐标系圆周角定理参数方程柱坐标系球坐标系平面直角坐标系直角坐标系极坐标系直线和圆的参数方程圆锥曲线的参数方程平面上的坐标系弦切角的性质定理切线长定理圆内接四边形性质定四点共圆判定定理推论1推论2空间中的坐标系直线和圆常见曲线摆线和圆的渐开线椭圆的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程曲线的极坐标方程不等式第一节 几何证明选讲考纲解读1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.命题趋势探究主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.知识点精讲一、平行截割定理1.平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰.不等式证明不等式的基本方法 柯西不等式、排序不等式不等式和绝对值不等式不等式不等式的基本性质 基本不等式 绝对值不等式的解法三个正数的算数 -几何平均不等式绝对不等式绝对值三角不等式 比较法综合法与分析反证法与放缩法数学归纳法2. 平行截割定理及其推论（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．二、相似三角形1.相似三角形的判定（1）判定定理：①两角对应相等的两个三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例，两三角形相似.（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3.直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.三、圆的切线1.切线的性质及判定（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等.四、相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.五、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．六、圆内接四边形1. 圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.2. 圆内接四边形的判定定理:(1) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆.题型归纳及思路提示题型192 相似三角形思路提示运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似.例16.1如图16-1所示，已知,,DE AB EF BC ∥∥求证：DEF ABC ∆∆∽ 解析：证法一：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,ODE OAB OEF OBC ∆∆∆∆∽∽. 所以,.DE OE EF OE AB OB BC OB ==所以DE EFAB BC=①. 又DEF ∠与ABC ∠同向，由等角定理知DEF ABC ∠=∠②由①②得DEF ABC ∆∆∽.图16-1OFEDCBA证法二：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,,OD OE OF OE OD OFDA EB FC EB DA FC==∴=， 所以DF AC ∥.即,,DE AB EF BC DF AC ∥∥∥. 所以,,ODE OAB OEF OBC ODF OAC ∆∆∆∆∆∆∽∽∽. 故DE OE EF OF DF AB OB BC OC AC====，即DE EF DF AB BC AC ==. 所以DEF ABC ∆∆∽.变式1如图16-2所示，在ABC ∆中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若BE 和CD 相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线交BC 与G.证明：（1）BG DFGC FE=；（2）BG GC =变式2如图16-3所示，已知AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.若,22A C PD DA ∠=∠==，则PE=__________________P图16-3EDCBA变式3 如图16-4所示，已知PA ，PB 是O e 的两条切线，PCD 是O e 的一条割线， E 是AB 与PD 的交点. 证明：（1）AC PA AD PD=；（2）AC AD CB DB =；（3）AC ADCB DB =. P图16-4OEDCBA例16.2如图16-5所示,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和CD 交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BCAD 的值为__________________. 图16-2OFEDGCBA解析：因为四边形ABCD 是圆O 的内接四边形.所以PBC PDA ∠=∠.又BPC DPA ∠=∠，所以PBC PDC ∆∆∽，所以.BC PC PBAD PA PD== 2111()236BC PC PB AD PA PD =⨯=⨯=.故6.6BC AD = 变式1.如图16-6所示，O e 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若,4,BD AE AB ⊥=2,3BC AD ==，则DE =____________ CE =____________.变式2 如图16-7所示，过O e 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且7,PB C =是圆上一点使得5,,BC BAC APB =∠=∠则AB =________________。
10-1几何证明选讲
Grammar Focus
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(1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
[分析] (1)利用两角对应相等，两三角形相似． (2)利用△ABE∽△ADC及面积公式来求解． [证明] (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠D的交点，直线EF∥CB， 交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：
(1)△DFE∽△EFA； (2)△EFG∽△EFC.
[解析] 证明：(1)∵EF∥CB， ∴∠DEF＝∠DCB. ∵∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF. ∵∠DFE＝∠EFA， ∴△DFE∽△EFA.
[分析] 要证明两条线段相等，除了以前 所学过的证明方法外，还可利用比例线段来证 明．一般地，要证明线段 a＝b，只要证明ac＝bc 或者先证ma ＝bn，再证明 m＝n，即可得到结论．
(7)相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似(简叙为：两角对应相等，两三角形相似)；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比 例且夹角相等，两个三角形相似)；如果一个三角形的三条 边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．
几何证明选讲
第1页 （共4页）选修4-1 《几何证明选讲》一，几何证明选讲基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段___________。
3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______； 相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。
5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。
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1.如图4所示,圆O的直径AB=6, C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线I ,过A作I的垂线AD垂足为D，则/ DAC=（）A 15 B. 30 C 45 D. 60C 66cm D.99cm【解析】由弦切角定理得◎，戈AD丄匚故如C二3兀故选&2•在肋URC中，CD、CE分别是斜边朋上的高和中线，是该图中共有x个三甬形与WC相僦则“（）A.0B. 1C.2D. 3【解析】2个;AACD和人仙此故选U3. 一个圆的两眩相交，一条眩被分为辽和辽ea两段.另一弦被分为3:乳则另一弦的长为〔）XL 1 lrw B. 33ci^【解析】设另一弦被分的两段长分别为魏昭L叽由相交弦定理得3Jl®jt=12kL83解得k = h故所求弦长为3Jt+8/t =llJt = 33 COT.故选B.4•如图」在ilSC和AZZSE孔一=—=—=-,若3C与D£ BE DE3M)£E^周长之差为Wm,则WC的周长为(25 「0S .«_、cm U —cm■+ ~ 3几20 cm D. 25 cm【解祈】利用相似三角形的村似比等于周长比可得答峯良5. Zl O的割线PAB交心O于凤月两点，割线PCD经过圆心】已知__ ______ 223 ,则00的半径为（）PA 6,PO 12, ABA.4C.6 .14 D8【解析】UO22半径为r,由割线定理有6（622）（12 r）（12 r）6.如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆上，CD AB于点D ,tan2—且AD 3DB ,设COD ,则2 =（）1 1A. 3B. 4C. 4 2y/3 D 3Off析】设半径为九则AD^-r.BD^丄儿由CD1 AD得= 从而2 2 20 = —.ifctan2—=3 2 3匸在辺©中，D=E分别为AB=ACh的点，且DE^BC3 MDE的面积是曲,梯^DBCE的面积为弘存，则C的值为〔）A1;击 B.1;2 G 1;3D. 1:4【解折】仙丘-WC、和用面积比等于相似比的平方可得答案良8. 半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两圆均相切，一共可作（）个.A.2 B3 C.4 D5【解析】一共可作5个，其中均外切的2个，均内切的1个，一外切一内切的2个，故选D.9. 如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形则四边形ABCD中A度数为（）A. 30B. 45 c 60 D 75【解析】6 A 360，从而A 60，选A10. 如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑第10题图直径为10mm若所用钢珠的直径为26 mm则凹坑深度为（）【解析】由已知得BD AD 解得AC 2.2BC ,BC CD AC(ACBC )|AC【解析】依题意得OA 2=.4M 2^OM\从而OM = 12旳叫 故 CV = 13-12 = 1WH ,选久A 1 mmB. 2 mmC. 3 mmD. 4 mmii ■如图』设孔g 为AABC 內的两就且AP =-A S-^--AC 9 lo = - LZ5 + - JC , 55 3 4则^IBP 的面积与3Q 的面积之比为（£ 4【解析】如圏Y 殳莎7=丄石，AN =-AC f 5QIJ J?= AM-^-AN.5由平行四边形法则知秒⑷翩器-叢同理可得鑒斗故爲气选212.如圏』用与底面成孔。
角的平面截圆柱得一椭圆截毀，则该椭圆的离心率为（）S.D.非上述结论3【解析】用平面截圆柱 ,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径，弄清了这一概念，考虑椭圆e sin30所在平面与底面成30角，则离心率1 2 .故选A13. 一平面截球面产生的截面形状是 _________ ；它截圆柱面所产 生的截面形状是 __________ 【解析】圆；圆或椭圆.14. 如图,在厶 ABC 中, AB= AC / C = 72°, O O 过 A B 两点且与BC 相切于点B,与AC 交于点D 连结BD 若BC= 丁51,第11厉图5*第M 题图则AC=16. 如图为一物体的轴截面图，则图中R 的值6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）如图：EB, EC 是00的两条切线，B,C 是切点，A, D 是 00上两点,如果E 46 , DCF 32 ,试求A 的度数.【解析】连结°B,°C, AC ,根据弦切角定理，可得E) DCF 6732 99R 2【解析】由图可得30 22b(180 135 R),解得 R25.15. 如图,AB 为匕0的直径，弦AC 、BD 交于点P , 若AB 3,CD 1,则 sin APD= ____________sin APD【解析】连结 AD ,贝UADAP ,又 CDP& BAPcos APD - 从而 PACD BAsin APD；1 (；)2三、解答题：本大题共 E C F第17题图aBEAFGCPD - O如图『0 O 的直径二❾的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,【解析】连结OC..OD.OE,由同弧对应的圆周角与圆心镯之间的关系结合题中条件可得ZCDE 二^AOC S 又心迟二ZJOC 二 ZP 十 ZC,从而 zTTO&JC,故"FD 二 ^PCO a盘疋PQ由割线定理知血•血=PA 理=\乂取PF =匹¥ 1219.（本小题满分12分）•/ AD// BC, •••/ DAG=Z ACB / EAD=Z ABC•/ ED// AC, •/ EDA=Z DAC •/ EDA=Z DBC / EAD=Z DCB• △ ADE^A CBD • DE:B» AE:CD, • DE- DC= AE • BD.13.（本小题満分12分）求尸F 的长度.ABCD^, AD// BCB ------------------C S15题團(2) •••△ ABC^A BCD / ACB=Z DBC / ABC=Z DCB20.（本小题满分12分）如图」ZlA 肚中异"AG 加是中线」P^IAD 上一点，,貯延长线交AC\ 匚F 于「斥求证:PB ' -PE^PF.［解析】连纟吉M,易证卩C = PB 上MP = "CPD ° 第20题图/ PT CFUAB 二WFuZABP*从丽厶T =乙』0尸牙又ZEPC 询ACPE 与AFPC 的公井角』 三为①0上—点，d 三匸G DF 交.45于点凡且胆三2BF*第归题图已知:如右图，在等腰梯形AB= DC 过点D 作AC 的平行线 DE 交BA 的延长线于点 E .求证： ⑴△ ABC^A DCB (2) DE- DC= AE- BD【解析】证明：（1） •••四边形ABCD 是等腰梯形，• AC = DB•/ AB= DC BC= CB ABC^A BCDD C解答用图用心爱心专心从而ACFET AFPG 二—=—PC^PE-PFFP PC又PC PB , • PB PE PF ,命题得证•21. （本小题满分12分）如图,A 是以BC 为直径的00上一点,AD BC 于点D , 过点B 作00的切线,与CA 的延长线相交于点E , G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F , 延长AF 与CB 的延长线相交于点 P .⑶若FG BF ,且00的半径长为3 2,求BD 和FG 的长度.【解析】（1）证明：TEf 是二。
的直径，丹E 是二。
的切线，:.EB^SC .又 I Q 丄FO , AD // BE .曷证△ RFCSMGC * △理CsZ\G 川C.,昙F 二 CF EF 二 CF * BF 二 EF "DG _CG 5JG _ CG ' ' '^G~AG'丁 G 是 2D 的中点，DG = AG.EF = EF 、⑵证明’连结AO, .4B. '： BC 是二。
的直径，二“彳？二9CT ・ 在Rt △血E 中，由Cl ）p 知F 是斜边胞的中点，:.AF=FB = EF ・・ \・ 5L'：0A=0B 9 :. = ・••• BE 是 00 的切线，二 EBO 90°. ••• EB0 FBA AB0 FAB BA0 FA0 90°PA 是 00 的切线.〔3）解’过点丄加于点 E. Y BD^L AD, FH ±AD ? :.FH H BC,由（D,知"2/ = 4丿卩，/. BF = AF .由已知，有BF=FG f -\JF = FG f 即是等腰三角形. 八阳丄 AD , —GH J ： DG = AG,二 DG 二2HG,即—.DG 2TFH 1/ RD ■迟 F H AD, /FBDf,二四边形 EDHF 是矩形，BD = FH *rr/口aFH 11 BC , 易 证 ZU/FGcoADCG ・/.——=——=—— , 即⑴求证：BF EF ；⑵求证：PA 是00的切线;EPCBD FG _HG I CD~~CG~DG~2,则 CG 2HG .易证△ AFC ◎△ DHC ,:.FG = HG ，故 CG = 2FG, CF = 3FG .由 GD” FB,易知△ CDG^ACSF, .CD _CG_ 2FG_1由= 2^解得RD j 近 又在曲△era 中，由勾股定理，得 6^2 3：.FG=3 （舍去貝值）.22. （本小题满分14分）AC BC如图1,点C 将线段AB 分成两部分，如果AB AC ,那么称点C 为线段AB 的黄金分割 点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 3,S 2,如（1）研究小组猜想：在厶ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2）,贝U 直线CD 是△ABC 的黄金分割线•你认为对吗 ？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF // CE ,交AC 于点F ,连接EF （如图3）,则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线.请你说• 0°的半径长为3 2，…BC.BD 6 2 . CDBD BC BDBD 6. 2 BD 2解得BD 2：2••• BD FH2/2FG HG 1CG DG 2,1 --FG CG2 二 CF 3FG在 Rt △ FBC 中，T CF 3FG ,BF FG ，由勾股定理，得 CF 2 BF 2 BC 2 .••• (3FG)2 FG 2(6、2)2 .解得 FG 3 （负值舍去）.二FG 3［或取CG 的中点H ,连结DH S 1 果S§2S 1,那么称直线I 为该图形的黄金分割线分割线，使它不玄甜L 血CD 容边黄金分割点.【解析】⑴直线CD 是△超C 旳黄金分割绻理由如下:设△血o 的边拙上的1 i 1|1 iADCADS A ADC — AD[h S A BDC _ BD hS^ ABC — AB]h21, 2 1,2*,所以S AABC AB,RD又因为点D 为边曲的黄金分割点*.因此也些二涯，AD 耳皿 ATT 所以，直线CD 是AMC 的黄金分割线.⑵因为三角形的中线將三角形分成面积相等的两部分』匕时幻K 严]』即 丑工巴，所以三角形的中线不可能是该三角形的黃金分割线.S 町(3)因为DF g CEJ.ZVXTC 和 2CE 的公共边弦上的高也相争所以有明理由.⑷如图4,点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF // AD ，交DC 于点F , 显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线•请你画一条ABCD 的黄金D £一 口 A S Bffl 4设直线EF与CD交于点G .所以S A DGE S A FGC .所以S A ADC S四边形AFGD S A FGC因此，直线丽也是/X^BC 的黄金分割线.(4圆法不惟一，现提供两种画注亍 画法「如答图X 取甲的中点G 再过点G 作一条直线分别交AB.DC 于 Af , N 点’则宜线皿丁就是M ASCD 的黄金分割线- 圆法二:如答图2在DF 上取一点皿连接册,再过点F^FMl^E 交扭 于点取，连卷MN,则直线泗就是UA^CD 的堇金分割线.1A BAC CAD —(180 2又因为注匹砥EDS 所以津空 D N F［第22题答图2)。