2.5随机变量的函数的分布-文档资料

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随机变量函数的分布

WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布是指随机变量取各个可能值的概率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计算每个可能值的概率，并列出概率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随机变量函数的概率分布是描述随机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示，如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验结果ω，每次试验都可能得到不同的函数值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性

随机变量的函数及其分布

应的概率相加，随即机可变Y得量 gX的分布. 律
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第二章随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变的量分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的求分布律．
解：随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分得求：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为

5随机变量函数的分布-文档资料

0 , x 0 , 机的变概量率 f ( x ) 密为 2 例5 设随 X 3度 X x x e, x 0 .
2 求随Y 机 X 变的量概 .率密度
再由分布函数求概率密度.
f ( y )( y ) f ( y )( y ) f ( y ) F ( y ) X X Y Y
则Y=g(X)也为一随机变量。
离散随机变量的函数的分布
若X为离散型随机变量, 其分布律为
X
pk
x1
p1
x2
p2
x3 ．．．．．．． xn．．．．
p3 ．．．．．．．pn．．．．
则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为
Y pk g( x1) g( x2) g( x3)．．．．． g (xn)．．．． p1 p2 p3 ．．．．． pn．．．．
x h ( y ) 是 y g ( x ) 的反函数 .
例6 设随机变量服从[90，110]上的均匀分布,求
1 , 解 X的密度函数为 fX (x) 20 0, Y=0.1X+10的密度函数为
Y=0.1X+10的密度函数。
90 x 110
其它
1 9 y 2 1 1 y 1 0 , 1 f ( y ) f ( ) 2 Y x 0 . 1 0 . 1 0 , 其它即 Y 服从[19，21]上的均匀分布． f[ h ( y )] h ( y ) , α y β , f( y ) , 其他 . 0
1 y8 1 y8 y 8 4 , 8 y 16 , 0 32 8 2 2 2 0 其它 , 其它 0,

概率论-2.5 随机变量的函数的分布

pk
0.2
0.4
例. 设随机变量 X 具有以下的概率函数，
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
试求Y = (X-1)2 的概率函数.
解: Y 有可能取的值为 0，1，4.
且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0，解得 X=1，所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
例.（续） Y=(X-1)2 同理, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2, 所以，Y=(X-1)2 的概率函数为：
解 ⑴ 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY ( y)
FY ( y) P{Y y}
y 8 2
y 8 P{2 X 8 y} P{ X } 2
f X ( x ) dx
FY ( y )
y 8, FY ( y) 0 y 16, FY ( y) 1
k 0
1 1 2k 3 k 0 2
所以， Y 的分布律为
Y P -1
2 3
1
1 3
三、连续型随机变量的函数的分布
Ⅰ. 分布函数法（一般的函数都适用） ⑴ 先求 Y g ( X ) 的分布函数
FY ( y)
FY ( y) P{Y y} P{g ( X ) y}
8 } y2
代替 {2X+8 ≤ y }
y X
y } 代替{ X2 ≤ y }
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.
法1、分布函数法例
法2、定理试证明X的线性函数

第六章随机变量的函数及其分布-PPT文档资料

于是Y分布函数为
y 1 dx y ,0 y 1 ( y ) f ( x ) dx 0 当y≥0时,P(X2≤y)= F Y X y , 其他 1
0, F ( y ) y, Y 1 ,
y 0 0 y 1 其他
因此
1 , y0 ' fY(y) F ) 2 y Y (y 0 , 其他
P (Y=g(xi))
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量注：
一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y
的取值yi=g(xi)，i=1，2…
① 如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得 Y的分布律； ② 如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值的概率相加。
格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α ，β )严格单
调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(α ，β )取值，故当y≤α 时， FY(y)=P{Y≤y}=0；
当y≥β 时， FY(y)=P{Y≤y}=1；
当α <y<β 时， FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机变量函数Y=|X|的密度函数解 X的密度函数为
f x
2 1 x / 2 e 2
( x )
P ( y X y ), y 0 ; F y P ( Y y ) P ( X y ) Y 0 , y 0 . 2 x y y 1 2 P ( y X y ) f ( x ) dx e dx X y y 2 2 2 y e 2 , y0 ' 因此 fY(y) F ) Y(y 0 , 其他

第2-5节_随机变量的函数的分布

, y .
例6 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于
0Y 1
于是对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1; 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
0, y 1 e 2, 1/ 2 2 y
y0
y0
设g x 是处处可导的严格单调函数。随机变量 X的密度函数为f X x , 试证随机变量Y g X 的密度函数为 fY y f X h y h y
（教材P58）定理(例5.5)
这里x h y 为y g x 的反函数。
第5节随机变量的函数的分布
一、一维离散型随机变量的函数的分布
二、一维连续型随机变量的函数的分布
三、小结
5.1
一维离散型随机变量的函数的分布
设 X为离散型随机变量，其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
问题: 如何根据随机变量X 的分布
求得随机变量Y g( X ) 的分布?
方法: 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
1 yb fY ( y ) fX ( ), a a
y .
1 1 e a 2σ
1 a σ 2π e
yb μ )2 a 2 2σ (
得 Y aX b ~ N (aμ b, (aσ ) )
2
[ y ( b aμ )]2 2 ( aσ )2
Y
dy
dFY ( y) fY ( y) dy
求导得:
2 , 0 y 1 fY ( y ) 1 y 2 0, 其它

2.5随机变量的函数的分布

y
y} y f X (x)dx.
例5 设随机变量 X 具有概率密度 f X (x), x ,
求 Y = X 2 的概率密度.
解：(1)
y
FY ( y) y f X (x)dx.
(2)利用 FY( y) fY ( y)及变限定积分求导公式得：
fY
(
y)
2
1
y
[
f
X
(
y ) fX (
§2.5 随机变量的函数的分布
• 离散型 • 连续型 • 定理及其应用
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数，Y g X ,则Y 也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y gx
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y gX ，
要求随机变量 Y 的分布．
h
y
f
X
x dx
fX hy hy fX hy hy
定理的证明
若 gx 0，则 gx是严格减少的函数．
因此，当 y ，时，
FY y PY y PgX y
PX g 1y PX hy fX xdx
hy
所以， f
y
FY y
d dy
h
y
f
X
x dx
fX hy hy fX hy hy
证 X的概率密度为：
fX (x)
1
( x )2
e , 2 2
2
x .
y g(x) ax b, g(x) a,满足定理的条件，
y g(x)的反函数为：x h( y) y b ,且h( y) 1 .
a
a
fX (x)
1

随机变量函数及其分布

应用
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动等。
PART 04
随机变量函数数学期望与方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即多个随机变量的线性组合的数学期望等于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随机变量数学期望的线性变换。
性质常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该随机变量方差的线性变换的平方。
定义：方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，反映了随机变量取值的离散程度。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估值。
THANKS

2.5 随机变量函数的分布

xi
ex6.设X,Y的分布律分别为
X pi
1 1 1/ 4 1/ 4
2 2/4
Y pj
1 3/5
2 2/5
且X与Y相互独立,求X+Y及X· Y的分布律. 解：(1)写出联合分布表
Y X
1
1
2
1 2
3 / 20 2 / 20
3 / 20 2 / 20
6 / 20 4 / 20
(2)列出(X,Y)的所有组合
设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij ,
求Z=X+Y的分布律.
方法如下：
P{ Z zk } P{ X Y zk } P{ X xi ,Y zk xi }.
xi
若X,Y相互独立，则有
P{ Z zk } P{ X xi } P{Y zk xi }.
1 e 2
( x )2 2 2
dx

t y
1 2
t2 e 2 dt
y2 e 2.
1 ( y ) FY ( y ) 2
2. 公式法
定理：设 (1) X为连续型随机变量概率密度为f X ( x ), x ; ,
( 2) y g( x )为处处可导的严格单调函数,
x x
x h( y )是y g( x )的反函数.
注意：1) 若y g( x )在有限区间 a , b]以外等于0, ( [ 则只需假设在 a , b]上恒有g( x ) 0 [
或g( x ) 0, 此时 min { g( x )}, max { g( x )}.

2.5随机变量函数的分布

2
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Y2
1014
pi
1111
8842
Y2
014
pi
131
882
2019年10月26日星期六
3
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总结：求解一维离散型随机变量函数的分布律
设 r.v. X 的分布律为
P (Xa i)p i, i 1 ,2 , 随机变量Y=g(X)的分布律为
Y
g a1
Pr
p1
g a2
2019年10月26日星期六
12 i0
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k
P (Zk) P (Xi,Yki),
i0
k
P(Xi)P(Yki),
i0
k
C n ipi(1p)niC m kipki(1p)m ki i0
C n kmpk(1p)nm k
k = 0,1,2, , n + m
e e 1
ki 2
2
i0 i! (ki)!
e12
k!
k k! i i0i!(ki)!1
ki 2
(
1
) e k 12
2
2019年10月26日星期六
k! 14
k0,1,2,
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内容小结
2019年10月26日星期六
15
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2019年10月26日星期六
5
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例: 设二维r.v.( X,Y )的两个边缘概率函数分
别为
X
0
1

随机变量函数分布

X i~ N (i, i2 ) (i 1 ,2 ,,n )
则对于不全为零的常数 a1,a2,有,an
n
n
a 1X 1 a 2X 2 a nX n~N ( a i i, a i2i2)
i 1
i 1
第三章多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 7/15
§5 两个随机变量的函数的分布 1/15 随机变量的函数的分布随机变量函数的取值范围会求两个随机变量的和、商、最大及最小值的分布
第三章多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 2/15
设有两个部件 I、I I 其, 工作寿命分别为 X , Y 部件 I 坏了,换上备用部件继I I 续工作
I
II
部件 I、I I 并联同时工作,仅当两个部件都损坏时，整个系统才失效
I
II
部件 I、I I 串联同时工作,只要有一个部件损坏，整个系统就失效
I
II
怎样确定上述各系统的寿命
第三章多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 3/15
若 (X,Y)~ f(x,y),怎样求
X Y , m a x { X ,Y } , m in { X ,Y }
x z 10 20 z

0,
第三章多维随其机变它量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 8/15
设 X ,相Y 互独立且都服从参数为的指数分布,
求 r.vZXY的概率密度.
由卷积公式有, Z的密度函数为
fZ(z) fX(x)fY(z x)d x
f (x) 1 ex , x 0
(瑞利Rayleigh分布)
0 , z第三0章多维随机变量及其分布

随机变量函数的分布

求解Y g(X )的分布
X ——离散型
X—Leabharlann 连续型一离散型随机变量函数的分布
设X是离散型随机变量，其分布列为
X x1
x2
xn
P p1
p2
pn
则Y g( X )的可能取值为g( x1 )，g( xn )，也是离散型，其分布列为
Y g( x1 ) P p1
g( x2 ) g( xn ) p2 pn
注意：当某些g( xi )相等时，应把它们适当合并.
例
X 2
0
1
2
P 1 5 3 10 2 5 1 10
则Y 3X 2的可能取值为 4，2，5，7,其分布列
Y 4 P 15
2
5
3 10 2 5
7 1 10
则Y X 2 1的可能取值为(2)2 1，02 1，12 1，
22 1,即为1，2，5. 其分布列
第二章随机变量及其分布第六讲随机变量函数的分布
主讲教师胡发胜教授
设 f (x) 是定义在随机变量 X 的一切可能值 x 的集合上的函数,若随机变量 Y 随着 X 取值 x 的值而取 y f (x)的值 , 则称随机变量 Y 为随机变量 X的函数 , 记作 Y f (X ).
问题
已知X的分布
0, 其它.
求随机变量 Y 2X 1的概率密度.
解第一步先求 Y 2 X 1的分布函数 FY ( y) .
FY ( y) P{Y y} P{2 X 1 y}
P
X
y
2
1
y 1
2
fX (x)d x
第二步由分布函数求概率密度
y 1
fY ( y)

2.5随机变量函数的分布详解

pY ( y )
例 4: 设随机变量 X~ U (0,1) ,求 Y 2 X 2 1 的密度函数.
X的取值范围为(0,1), 从而Y的取值范围为(1,3) 解：
(1)当1<y<3时,Y的分布函数为
FY ( y ) P(Y y ) P(2 X 2 1 y )
y 1 P( X 2
dFY ( y ) p Y ( y) dy y 8 1 y 8 1 ) ,0 4 ( 8 2 2 2 其他 0,
d [ FX ( y 8 )] 2 dy
于是得Y的概率密度为
pX (
y 8 y 8 )( ) 2 2
y 8 ,8 y 16 32 其他 0,
即得Y的分布律为 Y 0 P 0.1
1 0.7 4 0.2
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2 的分布律.
X P
解
Y=(X-1)2 X P
-1 0.2
4 -1 0.2
0 0.3
1 0 0.3
1 0.1
0 1 0.1
2 0.4
1 2 0.4
即得Y的分布律为
Y P 0 0.1 1 0.7 4 0.2
例1：设随机变量X具有概率密度
x ,0 x 4 p X ( x) 8 0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度. 解：先求Y的分布函数FY(y).
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y} P{ X y 8} F ( y 8 ) X 2 2
X P
-1 0.2
0 0.3
1 0.1
2 0.4
解 Y所有可能取的值为 0,1,4. P{Y=0} =P{(X-1)2 =0} =P{X=1}=0.1

2.5随机变量函数的分布

P(Y yi ) P(X xk ),i 1,2, g ( xk ) yi
例1:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2
的分布律.
X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4
解 Y所有可能取的值为 0,1,4.
P{Y=0} =P{(X-1)2 =0} =P{X=1}=0.1
, 若a 1 , 若a a
0 0
yb 1
fX (
a
) a
( yb )2
1
a
e 2 2
[ y(ba )]2
1
e 2(a )2 , y
2 a
2 a
即Y~ N (b a, (a )2 )
例3:设随机变量X具有概率密度pX(x),-∞<x<∞求
Y=X2的概率密度. 解：先求Y 的分布函数 FY(y) ．
fY
( y)
fX
[h( y)]
h' ( y) ,
0, 其它
y
其中，x h( y)是y g(x)的反函数，且
min{g(), g()}, max{g(), g()}
例1：设随机变量X具有概率密度
p
X
(x)
x 8
,0
x
4
0, 其他
求随机变量Y=2X+8的概率密度.
另解：由y g(x) 2x 8，
P{Y=1} =P{(X-1)2 =1} =P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=0.7
P{Y=4} =P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2
即得Y的分布律为
Y
0
1
4
P
0.1

2.5随机变量的函数的分布-文档资料

随机变量函数的 分布

随机变量的函数及其分布

5随机变量函数的分布-文档资料

概率论-2.5 随机变量的函数的分布

第六章随机变量的函数及其分布-PPT文档资料

第2-5节_随机变量的函数的分布

2.5随机变量的函数的分布

随机变量函数及其分布

2.5 随机变量函数的分布

2.5随机变量函数的分布

随机变量函数分布

随机变量函数的分布

2.5随机变量函数的分布详解

2.5随机变量函数的分布

随机变量函数的分布