原创导学案—21.2二次根式的乘除(2)

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21.2 二次根式的乘除

21．2 二次根式的乘除1=成立的条件是（）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1知识点：二次根式的乘法法则知识点的描述：两个二次根式相乘，把被开方式相乘。

但要注意成立的条件：a ≥0，b ≥0亦可，但也是有条件的：a ≥0，b ≥0 。

=成立的条件是x+1≥0，且x-1≥0。

因此x ≥1答：A1、如果3)3(-⋅=-⋅x x x x ，那么x 的取值范围是（）A 、x 0≥B 、3≥xC 、03≤≤xD 、x 为一切实数解：x ≥0，且 3-x ≥0，因此3≥x答：B2、．如果代数式2242+=--x x x ，x 的取值范围是( )A ．x ≥－4B ．x>2C ．x ≥－4且x ≠2D ．x>－4且x ≠2知识点：二次根式的除法法则a ≥0，b>0）解：2)2()2(242-+•-=--x x x x x =2)2)(2(-+-x x x ，若要化简为2+x 需要条件2+x ≥0，且2-x ＞0.所以x>2答：B2. =，且x为偶数，求（1+x的值（）．A．4 B．3 C．6 D．9a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．3,则满足条件的自然数n共有（）个(A)1 (B)2 (C)3 (D)4知识点：二次根式化简为整数的条件知识点的描述：只有当被开方数是某个整数的平方即完全平方数时，二次根式才可以才可以化简为整数。

12-n≥0，所以n为小于等于12的数，12-n是完全平方数，满足以上条件的自然数有：3；8；11；12 共四个。

答：D3.n 的最小值是（）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．24n 是完全平方数，24=4×6，所以n 最小为6答：C4、下列计算正确的是（）A 、563224=⨯B 、653525=⨯C 、363332=⨯D 、15153553=⨯知识点：二次根式的乘法步骤知识点的描述：两个二次根式相乘，根号外的因数和根号外的因数相乘，把被开方式相乘作a ≥0，b ≥0）解： 6832243224=⨯⨯=⨯； 62532553525=⨯⨯=⨯183363332=⨯=⨯答：D4、下列计算正确的是（）A 、2122423=⨯ B 、259)25()9(-⨯-=-⨯-)3(-=15)5(=-⨯ C 、632)3(3232=⨯-=- D 、5)1213)(1213(121322=-+=- 解： 244122423==⨯； 15259)25()9(=⨯=-⨯-63233232-=⨯-=- 答：D5=a b ,用含a ,b ,则下列表示正确的是( )(A)0.3ab . (B)3ab . (C)0.1ab 3. (D)0.1a 3b .知识点：二次根式的乘法公式的逆向运用知识点的描述：两个二次根式相乘，把被开方式相乘。

二次根式的乘除2导学案03版

★★★ 九年级上期数学导学案★★★ 课型：新授课 21.1二次根式的乘除(二)学习目标 1．理解错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

及利用它们进行计算，能将二次根式化为最简二次根式。

2．利用具体数据，通过练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。

3．在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，在交流中获益。

学习重点难点： 1. 重点：理解错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

以及利用它们进行计算和化简。

2. 难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定。

情感态度与价值观：培养学生的合作意识，学习由特殊推及一般的数学思想，让学生感受学习的乐趣。

学习方法情境探索——尝试推理——归纳总结知识链接二次根式乘法的法则是什么？用公式表示学习过程一创设情境提出问题问题1：计算下列各式： (1)错误！未找到引用源。

________；错误！未找到引用源。

______； (2)错误！未找到引用源。

______；错误！未找到引用源。

______. 二探究新知由上面的式子，你发现了什么规律？试根据你的发现推测下面的式子： (1)错误！未找到引用源。

______错误！未找到引用源。

；(2) 错误！未找到引用源。

________错误！未找到引用源。

并利用计算器验证你的推测。

及时总结：一般的，我们对二次根式的除法作如下规定：错误！未找到引用源。

编写人姓名李玉芹审核人姓名贾明修班级姓名编号4反过来：错误！未找到引用源。

三应用举例问题1：计算：(1)错误！未找到引用源。

；(2)错误！未找到引用源。

；（3）错误！未找到引用源。

；(4)错误！未找到引用源。

.分析：直接利用错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

解：问题2：化简：(1)错误！未找到引用源。

；(2)错误！未找到引用源。

；(3)错误！未找到引用源。

(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)

（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)一. 教材分析《二次根式的乘除》是沪科版八年级数学下册的一章内容。

本章主要让学生掌握二次根式的乘除运算法则，进一步深化对二次根式的理解。

在学习本章之前，学生已经掌握了二次根式的概念、性质以及加减运算。

本章的内容既是对前面知识的巩固，又是为后面学习二次根式在实际问题中的应用打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的认识。

但学生在进行二次根式的乘除运算时，容易出错，对运算法则的理解不够深入。

因此，在教学过程中，需要帮助学生深化对运算法则的理解，提高运算能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的乘除运算法则，能够熟练进行二次根式的乘除运算。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生经历探索、发现、总结二次根式乘除运算法则的过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的乘除运算法则。

2.难点：对二次根式乘除运算过程中，如何正确处理各种情况的理解和应用。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生主动探索、发现、总结二次根式乘除运算法则。

同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等。

2.准备教学用的黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的乘除运算，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次根式的乘除运算法则，引导学生关注运算法则的推导过程。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用刚刚学到的运算法则进行二次根式的乘除运算。

教师巡回指导，及时纠正学生在运算过程中出现的问题。

4.巩固（10分钟）针对学生在操练过程中出现的问题，教师进行讲解，帮助学生深化对运算法则的理解。

初中数学 12.2 二次根式的乘除(2) 导学案

初中数学 12.2 二次根式的乘除（2）导学案
章节与主题
12.2 二次根式的乘除（2）
主备人
审核人
使用人ห้องสมุดไป่ตู้
初二数学组
使用周次日期
5.27
本课时学习目标或学习任务
1进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；
2．能熟练地进行二次根式的化简及变形；
3．在讨论、交流、总结方法的过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点
学生板演
练习检测与拓展延伸：
1计算：
（1） × ；（2） × ；
（3） · （ ≥0，b≥0）；
（4） × ．
2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm，求AC．
*通过与小组伙伴交流测试题/或教师核对答案.给自己打分：分。
*本节课，在学习兴趣、学习状态方面，你给自己的评价等级是：(优/良/一般/差)
本课时重点难点或学习建议
学习重点。:熟练地进行二次根式的乘法运算
学习难点:熟练地进行二次根式的化简及变形．
本课时教学资源的使用
多媒体投影仪
自主备课
学习要求或学法指导
学习过程
自学准备与知识导学;
一、情境创设：
同学们，上节课我们学习了二次根式的乘法，你能用式子表示出乘法运算的法则吗？
运用这个法则可以进行乘法运算，还可以对结果进行化简，请同学们完成知识回顾中的三小题．
问题2 结果要换成何种形式？
问题3 （4）小题中根号外有系数如何处理？
例2 计算：
（1）（－ )×（－ )；
（2） × × ．
问题1 如何计算（1）？
问题2 三个根式进行乘法如何计算？

21.2二次根式的乘除(二)

12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
分母有理化
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 2 8 2 2 2 2 2
解：(1)
2 1 (2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
练习
计算：
32 (1) 2 50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
1 7 (3) 4 5 10
如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。
探究2
a b
a b
2 2 23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 为了去掉分母中的根号解法二：
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 (2) 8 2 2 2 2 2 2 27 27 3x 9 x 3 x (3) 3x x 3x 3x 3x
在二次根式的运算中，最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式.
(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式.
最简二次根式
1、被开方数不含分数或小数； 2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
－4 2 7 －4 14 －4 2 ＝（）＝；解： 1 3 7 7 21 3 7

§21.2.2-二次根式的除法

正确！
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意：在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
作业本：第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习第1、2、3题选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（）（2） 3 3 （） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）

专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)

专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。

21.2二次根式的乘除(共4课时)

21.2二次根式的乘除（共四课时）第一课时：二次根式的乘法例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．例2 化简（1）（2）（3）（4）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．三、比一比谁最强（每组一个代表展示）1.化简:（1）612⨯；（2）15432⨯；（3）aba216⋅.2.化简:（1）12149⨯；（2）289；（3）28y；（4）4364zxy.（5）3.一个矩形的长和宽分别是10cm和cm22，求这个矩形的面积.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8课堂小结（1） ·＝=（a ≥0，b ≥0），=·（a ≥0，b ≥0）及其运用．求这个等边三角形的面积六、课后练习 1．计算:(1)57⨯； (2)2731⨯；(3)155⨯； (4)8423⨯. 2.化简： (1)3227yx ；(2)aba 1832⋅.3.等边三角形的边长是3，第二课时：二次根式的除法例1．计算：（1）（2）（3）（4）练习1．例2 化简．例3 计算．；1050(2) ； 232)1(()1075143÷6152112)4(÷()()2925210031;yx ()()()a283;27232;531练习把下列各式化简：课堂小结1．利用商的算术平方根的性质化简二次根式． 2．二次根式的除法常用方法． 3．化简二次根式的常见方法．四、课堂知识反馈1．在横线上填写适当的数或式子使等式成立． ()()()()()()()()6234113105522481=-=⨯-=⨯=⨯a a2．把下列各式的分母有理化：()()()()xyyaa 42410532723283812-3．计算： ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷÷-41223481929519173241－）（b a 22＋）（a40323）（第三课时：最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重点：最简二次根式的运用．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1，（2），（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1 km，•那么它们的传播半径的比是_________．h2二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．.例1．(1) ;例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．三、巩固练习教材P11练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……）（+1）的值．五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、课后练习一、选择题A C1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A （y>0）B y>0）C yy>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（）A =±12C 2D ．4-的结果是（）A ．-3B ．2C ．-3D ．二、填空题1．（x ≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y=12x +第四课时：二次根式的乘除（复习）梳理基本知识1、＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），2、=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>03、计算（1）×（2）（4）二、应用拓展例1．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．例2．探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）2=验证：2=×====（2）3=验证：3=×====()1075143÷同理可得：4 5，……通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．三、归纳小结本节课你学到了什么四、课堂练习一、选择题1．计算的结果是（）．A． B． C． D．2．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．A．2 B．6 C． D．二、填空题1．分母有理化:(1) =______;(2) =______;(3) =______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0）3．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？。

第21章二次根式导学案(华师大新版)

第二十一章《二次根式》导学计划一：课标要求：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。

二：导学目标：知识与技能目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件和基本性质“（）2=a（a≥0）”；了解二次根式的性质“= a（a≥0）,并会用来化简二次根式；理解二次根式的乘除法法则，会进行简单的二次根式的乘除运算；理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减运算；了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。

过程与方法目标：通过类比与探索，学习二次根式与同类二次根式的概念，二次根式的运算。

情感与态度目标：培养学生自主参与、自主探索的习惯。

三：导学重难点导学重点：1、理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，明确相关性质成立的条件。

2、理解二次根式的运算法则，灵活运用法则进行计算。

导学难点：1、二次根式的性质=a ( a≥0)=-a (a＜0) 。

2、二次根式的混合运算。

四：单元导学策略1、导学步骤：2、实施建议3、课时安排全章导学时间为10课时，建议分配如下：§21.1 二次根式--------------------------3课时§21.2 二次根式的乘除法------------------3课时§21.3 二次根式的加减法------------------2课时复习-------------------------------2课时课题21.1 二次根式（1）总第 1 课课标要求：了解二次根式的概念【导学目标】1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目2、过程与方法：通过自主学习，类比发现规律，并归纳总结。

3、情感态度与价值观：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。

【导学核心点】导学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念导学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题。

3.2二次根式的乘除(2)

3.2 二次根式的乘除（2）学习案1姓名班级学习目标：1、进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算2、能熟练地进行二次根式的化简及变形学习重、难点重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算学习过程：一、课前准备：1、二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质是什么?2、回答：（1）21×32=______，（2）12=___________。

二、探索活动1、引导学生回顾： a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）2、学生尝试练习：化简：（1）200 （2）y x 3(x ≥0，y ≥0)（3）y x x 23 (x ≥0，x+y ≥0)三、例题教学例1：计算： ⑴6·15 ⑵21·24 ⑶3a ·ab （a ≥0，b ≥0）例2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。

四、课堂练习1、P 63 练习1、2、3、42、化简： ⑴242524y x x +(x ＜0，y ＜0) ⑵121232+-m m (m ＜2)五、小结：如何进行二次根式乘法运算？如何进行二次根式的化简？六、作业P 67 习题3.2 3、4七、家作：1、化简：（1（2（3（4（5（6（7（8（9（100x ≥ 0y ≥），（110a ≥ 0b ≥），2、已知长方形两邻边的长分别为20m 、40m ，求对角线的长。

3、已知直角三角形两直角边长分别为10cm 、20cm ，求（1）斜边的长（2）斜边上的高。

4、计算： 278·34·54·245、将下式中根号外的数适当改变后移到根号里：⑴ 32 ⑵a a 1(a ＜2)。

21.2二次根式的乘除(第2课时)

3 (1) 64
2
25 x 2 9y
3 (3) 7
2 3 (4) 8
5
27 3a
当堂训练
1.完成第11页练习2、3题。
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
把下列各式化简(分母有理化)：
－4 2 （1） 3 7
（2） 2a a＋b
（3） 3 40
2
－4 2 • 7 －4 2 －4 14 ＝解： 1）（＝； 21 3 7• 7 3 7
（1）－ 19 ÷ 95
1 3 1 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式： a
b = a (a ≥0，b > 0) b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。（（） 8 • 2 ）＝ 4 1
（2） 5 • 5 ）＝ 10 2 （
3 2 （3） a－1 • （ a－1）＝ a－1 （4）＝ 6
2.把下列各式的分母有理化：

3

－8 3 （1） 8
3.化简：
3 2 （2） 27
（3）
5a 10a
（4）
2y 2 4xy
21.2 二次根式的乘除（第二课时）
学习目标
掌握二次根式的乘法法则，并能应用法则进行二次根式的除法计算。
自学指导一认真阅读教材第9页内容，并思考以下内容： 1 .完成探究。 2.总结归纳二次根式的除法法则。

21.2《二次根式的乘除》2课件

5
D.
50
2.计算： (1) 18
8
5 21 (2) 7 10
2
3a 12b (3) 5 21a
( 4)
1000 m 150 m
3
融会贯通
2.化简: (1)15
12 2 45
1 7 3 4 5 10
2 ( 2) 3 40
1 1 (4)2 1 5 2 6
融会贯通
B 能力训练
举一反三
例3：计算
解：
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
1 解法1..
3 3 15 15 15 3 5 5 25 5 5 5 5 25
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中，最后结果要求：
(1)分母中不含有二次根式.
2 3
3 1 3 18 3 9 3 3 2 18 2
2
3 1 2 18
举一反三
3 例2 化简: 1）（ 100
36 a (2) 2 25b
3 解: 1）（ 100
3 100 10
6 a 2 5b 25b 36 a
3
36 a (2) 2 25b
找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上.
A C
解:∵AB2=AC2+BC2 AC 2 BC 2 ∴AB
2.52 6 2
B

5 2 2
36
169 4 13 2 6.5(cm)
答：AB的长为6.5cm.
趁热打铁
练习1: (1) 18 2
72 ( 2) 6
b b (3) 2a 6a (4) 2 5 20 a

3.2二次根式的乘除(2)

3.2 二次根式的乘除(2)--- [ 教案]备课时间: 主备人:【学习目标】：1、进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算2、能熟练地进行二次根式的化简及变形【重点难点】：重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算【知识回顾】:1、二次根式乘法运算的法则： a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）2、化简：（1）200 （2）y x 3(x ≥0，y ≥0) （3）y x x 23 (x ≥0，x+y ≥0)【典型例题】例1：计算： ⑴6·15 ⑵21·24 ⑶3a ·ab （a ≥0，b ≥0）例2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。

【课堂检测】1、化简（1）54；（2）160；（3）35y x （x ≥0，y ≥0）；（4）223xy y x 2x ++（x ≥0，y ≥0）；2、计算：（1）3×7；（2）3×18；（3）32 ×12；（4）5a ab （a ≥0，b ≥0）3、已知长方形两邻边的长分别为20cm 、40cm ，求对角线的长。

4、求下列根式的值：（1）22b a +，其中a=23，b=32；（2）22b a -，其中a=320，b=-185、化简：⑴242524y x x +(x ＜0，y ＜0) ⑵121232+-m m (m ＜2)【课后练习】化简：（1（2（3（4（5（6。

《二次根式》第三课时

2 4 4 2 补充：化简 x y x y
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和. 三、课堂训练完成课本练习. 补充： 1. x 1 x 1 成立，求 x 的取值范围.
x 1 x 1
2.找出下列根式中的最简二次根式
x 3
8x
6x 2
x2 y2
0.1
3.判断下列等式是否成立
教学内容：21.2 二次根式的乘除（第 2 课时）教学目标知识技能 1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算. 2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式. 3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式 1.经历观察、比较、习，达成目标 1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法. 类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.
16 9 4 3
3 2 3 2
2
5 6 9
5
4
1 2 2
1 2
四、小结归纳 1.二次根式除法公式的双向运用； 2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 3.最简二次根式概念五、作业设计必做：习题 21.2 P12：2、3（3）、5、6、7 （4）
选做：P13：8、9、10
附：板书设计一．复习引入二．探究新知 (一)二次根式除法法则 (二)商的算术平方根性（三）最简二次根式概念教后反思：三.课堂训练四.小结归纳五.作业设计
留白：（供心得体会与反思）
授课时间：_____年_____月____日

21.2二次根式的乘除(2)-导学案

2、最简二次根式的概念
学习内容（资源）
教学
设计
学习指导：
~
1、阅读教材8页——10页。
2、认真分பைடு நூலகம்8页的探究总结规律，导出二次根式的除法公式。
3、认真学习例4掌握计算方法。并总结把 = 反过来得到 = （a≥0,b＞0）做例5学会化简。
注意例6中的解题步骤。
4、认真理解最简二次根式，并总结其特点。
呼兰中心学校“三环六步课堂教学模式”八年数学演学稿
制作人：复核人：审核人：№：4班级：小组：姓名：
课题
二次根式的除法
课型
展示课
时间
#
教学
目标
1、掌握二次根式的除法法则。
2、掌握最简二次根式的概念。
3、运用二次根式的除法法则进行准确的计算。
难点
二次根式的化简。理解式子 = 的意义
重点
1、二次根式的除法法则。
一、自主学习：
1、计算：的结果是。
2、最简二次根式的特点：（1）、。
-
（2）、。
3、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A、 B、 C、 D、
4、计算： ÷ =
5、把下列二次根式化成最简二次根式。
（1）（2）（3）（4）
…
二、合作探究
6、当a时， =
7、长方形的宽为，面积为2 ，则长方形的长为。
1、化简：
（1）、（2）、（3）、（4）、
、
2、计算：（1）、 ÷ （2）、 ÷ （3）、 ÷
（4）、（5）（6）、
$
3、计算：
（1）、 ÷ × （2）、 × ÷
}
课后
反思
8、有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数

21.2二次根式的乘除(2)

21．2 二次根式的乘除（2）
课型: 上课时间：课时：学习内容:
a ≥0，b>0）a ≥0b>0）及利用它们进行计算和化简．学习目标:
a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学过程
一、自主学习
（一）复习引入
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1
；规律：
（2
=____；
（3
；
（4．（二）、探索新知
一般地，对二次根式的除法规定：
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
二、巩固练习
1、计算：（1
（2 （3 （4 == == == ==
2、化简：
（1 （2 （3 （4 == == == ==
3、巩固练习
教材P14 练习1．
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值．
2、归纳小结
（1a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．并利用它们进行计算和化简．
四、课堂检测
（一）、选择题
1 ）．A ．27 B ．27 C D
2
3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”
）．
A ．2
B ．6
C ．
13 D （二）、填空题
1．分母有理化:(1)
=_____;(3) =______.
2．已知x=3，y=4，z=5的最后结果是_______．
三、综合提高题（1·（m>0，n>0）。

二次根式的乘除法导学案

二次根式的乘除法导学案课题12.2二次根式的乘除法自主空间学习目标能利用公式进行二次根式的乘法计算运算或化简；经历公式的探索过程，体会从特殊到一般的思想方法。

学习重难点探索二次根式的乘法法则，并运用其进行二次根式的乘法运算或化简。

教学流程预习导航与与×与探索．学生计算。

．请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？．学生分小组讨论。

．全班交流。

指名学生回答，其余学生补充。

可要求学生举一些类似的式子。

．概括：一般地，有=．由以上公式逆向运用可得：文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

合作探究一、法则探究：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即=．注意法则中a、b的符号，这两数均为非负数时，上式才成立；．利用这个性质可以化简一些等式，一般地在根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式。

二、例题分析：例1.计算：合作探究例2.化简：；三、展示交流．化简:．化简:四、提炼总结．概括：一般地，有=.．由以上公式逆向运用可得：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．一般地，二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开方开得尽方的因数或因式。

．解决方法：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”）当堂达标1．下列等式中正确的是A．B．c．3=D．．化简得A．22B．308c．D．．计算或化简：．你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？学习反思：。

人教版八年级数学南通市海安紫石中学二次根式的乘除2-学生用导学案教案

课题：二次根式的乘除2学习目标：1．经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则；2．能运用法则ab＝ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算；3．理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简和计算．【预习案】计算：⑴425＝，425＝；⑵916＝，916＝；⑶，49100＝；⑷2252＝，2252＝.观察：上面的式子，你能得到什么样的的结论呢？用字母把规律表示出来：．概括：二次根式相除，．【探究案】探究1 计算：⑴123；⑵567；⑶27÷3；⑷123÷13．练习：⑴726；⑵243；⑶54÷6；⑷213÷79．思考：你还有其它的方法来解决上面的问题吗？由ab＝ab(a≥0，b＞0)反过来．．．可得：.探究2 计算：⑴1625；⑵179；⑶316；⑷4b29a2(a＞0，b≥0) .尝试练习：⑴49；⑵2－29；⑶25y436x2(x＞0)；⑷3a2－2a＋1(a＜1) ．探究3若xx－2＝xx－2成立，则x的取值范围是．探究4计算：⑴5×21105；⑵3a3·6b32ab( a＞0，b＞0) ；⑶45÷(－5145)；⑷ab÷ab·1ab( a、b＞0) ．【训练案】1. 计算：⑴6015；⑵728；⑶18÷6；⑷223÷113．2. 化简：⑴4925；⑵359；⑶34；⑷9a2b216c2(a≥0，b≥0，c＞0) ．3. ①已知xy＞0，化简二次根式x －yx2的正确结果是；②把(a－1)11－a根号外的因式移入根号内，其结果．晚上作业：二次根式的乘除2班级小组姓名得分1. 下列计算中正确的是（）A．59＝53B．4125＝215C．223÷13＝ 2 D．18÷2＝32. 下列各式中，成立的是（）A．(－2)2×3＝－2 3 B．x2＋y2＝x＋yC．ab＝abD．当x≤2x且x≠－1时，2－xx＋1有意义3. 如果一个三角形的面积为12，一边长为3，那么这边上的高为.4. 如果1－xx－2＝1－xx－2成立，则x的取值范围是.5. 计算：2×63－1＝.6. 计算：（1（2（3；（4）7. 化简：(1) (2) (3) (4) ．8. 计算：313÷(25213) ×(4125)9. 计算或化简（题中字母均表示正数）：⑴6024；⑵2412÷214；⑶210÷35；⑷3a÷(－3a)；⑸b3c5a4；⑹1a2－1b2(b＞a＞0) ．=，且x为偶数，求（1+x的值．11.（选做题10）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（试题提供者：梅海燕）。