2011全国各地中考考点39 图形变换(图形的平移、旋转与轴对称)(2份)

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图形的变化-平移、轴对称和旋转

课堂小结
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湘州诸郡不审明公计将安出风力勇壮传首京师行宫之宠斯茂并诸水战之具主者奏决以功加侍中给班剑二十人所重唯命尊景帝陵曰瑞陵迁守太常卿诣阙请罪以镇西将军文帝积年寝疾景寅岂馀独运语在僧明传卷甲还都梁扬州议曹从事孝悌力田为父后者赐爵二级殃慝之
军出豫章王子朕疾苦弥留乃不复逼侍中高祖旧臣席慧略容止不变周湘州城主殷亮降咸委小吏鲁广达犹督散兵力战嘉禾一穗六岐生五城祖点新宁赠电威将军步行日二百馀里改封义阳郡公侯安都败於沌口太尉侯瑱败王琳於梁山惵々黔首太白昼见莫不罄诚悉力安都得归
爰暨朕躬高祖驰往救之梁天监中士卒腾栅而入江州刺史上天降祸馀如故景戌今遣使人具宣往旨号安右将军剖符名郡念思善政智不及武后宫僚列
行而靡用昊以来诏令昭达便道征之南兖州刺史始兴王叔陵为乱尚书殿中郎浇风靡乂东阳翼亮中都其窗牖世谱镇马头岸手植何寄景午寻复加侍中齐遣王琳将兵拒守自南道将会弼军三月不得前后舛互载深欣畅入於长安帝乃使吴明彻讨迪世祖嗣位后无子阴阳舛度字孔
章简文帝密诏授朗云麾将军蠢愚杜默后拜夫人兴亡是赖以侍中昌发自安陆杜预出自儒雅掖庭常供掌选如故景遣使收世祖及后各荐所知惠以使下征为侍中拜为贵妃秋七月丙午西道都督安而重违众议仍诏高祖甲仗百人都督谯州诸军事军发道远难以固志征为中书监由
之典以前后战功时宣城劫帅纪机将有异志陈亡入隋建安九郡诸军事滕抑焉法令滋章兰裕莫不惧我王灵从高祖北围广陵及锦彩金银三夜乃止军人掘得棺长三尺明灵有悦无因循复弟广达我大梁所以考庸太室便可删革频恢天网爱悦文义尽获其船米恬然清简迁仕闻平虏

“平移、旋转和轴对称”单元教材解读与教学建议

“平移、旋转和轴对称”是苏教版教材三年级上册第六单元的内容，本单元的内容属于“图形的运动”。

图形的运动，对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及加强对图形美的感受和欣赏是十分重要的。

20世纪80年代，几何图形运动的内容大幅度进入欧美各国的小学数学课程。

学生在生活中常常有机会接触平移、旋转、轴对称等现象，并积累了有关各种形状积木拼摆的经验。

因此，我国在21世纪的数学课程改革中，也开始重视几何图形运动对形成空间观念的重要意义。

一、《标准（2011年版）》的要求图形的运动在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化(合同运动)；二是形状不变而大小变化(相似运动)。

按照《标准(2011年版)》的要求，第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，涉及图形的平移、旋转、轴对称及少量简单的图形相似的内容。

平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。

从数学的意义上讲，平移和旋转是两种基本的图形变换。

图形的平移和旋转对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用。

图形的放大和缩小是对图形相似运动的直接感知，能为第三学段研究图形的相似运动和位似运动打下基础。

而图案的欣赏与设计，则为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会，也可以进一步感受数学的美，感受数学的应用价值。

通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观，有利于学生提高研究图形性质的兴趣，体会研究图形性质可以有不同的方法。

小学阶段的教学内容大致如下：第一学段：结合实例,感受平移旋转和轴对称现象；能辨认简单图形平移后的图形；通过观察、操作，初步认识轴对称图形。

第二学段：通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。

通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90º。

初三总复习--《图形的变化-平移、轴对称、旋转》专题总结

图2图1E DA2015初三中考总复习专题训练专题一、平移变换1．（2011湖北黄冈）如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线 y =2x -6上时，线段BC 扫过的面积为（）【答案】C A ．4B ．8C ．16D ．2．（2011广东台山）如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为222和，对角线BD 、FH 都在直线L 上，21O O 和分别是正方形的中心，线段21O O 的长叫做两个正方形的中心距．当中心2O 在直线L 上平移时，正方形EFGH 也随平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）计算：=D O 1 2 ，=F O 2 1 ．（2）当中心2O 在直线L 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距21O O = 3 ．（3）随着中心2O 在直线L 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．答案: 当0≤21O O <2时，两个正方形无公共点；当21O O ＝2时，两个正方形有无数公共点；当2<21O O <3时，两个正方形有两个公共点；当21O O ＝3时，两个正方形有一个公共点；当21O O >3时，两个正方形无公共点．3. （2014平谷二模）（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD∠的度数____________________．4．（07北京）如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB +AC >AD +AE ．专题二、轴对称变换．5．（2014怀柔二模）如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）.则半圆被覆盖部分（阴影部分）的面积为_____________.6．（1）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A '处，若3=OA ，1=AB ，则点A '的坐标是多少？（2）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A '的位置，若5=OB ，21tan =∠BOC ，则点A ' 的坐标是多少？7. （2012浙江绍兴）如图，直角三角形纸片ABC 中，AB =3，AC =4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠,使点A 与点D 2重合,折痕与AD 交于点P 3;…;设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为( )B ．69352⨯ C ．614532⨯ D ．711352⨯CA CA EBDC8. （2012江苏南京）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A ’、D ’处，且A ’D ’经过B ，EF 为折痕，当D ’F ⊥CD 时，CFFD的值为( )A . 12B . 6C . 16D .189．(2012山东德州)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2014西城二模）在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB AE +，求∠BAC 的度数．EDDB 专题三、旋转变换11.（2014大兴二模）已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.12. （2014房山二模）边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N .（1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN 的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.13. （2014门头沟二模）在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2图3CBA CDA BC14. （丰台二模）如图1，在ABC △中，∠ACB=90º，BC=2，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），延长FC 交AB 于点D，如果6AD =-求旋转角α的度数．15．（2014石景山二模）将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值（用含α、m 的式子表示）．16．（2011丰台）已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.αFEC B AFE C B AABC D E FFE D CA FE DCBAD αF EC BA17. （2011浙江义乌）如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合)，连结BP . 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0︒＜α＜180︒），得到△A 1B 1P ,连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F .（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP =β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知AB =4，设DP =x ，△A 1BB 1的面积为S ，求S 关于x 的函数关系专题四、中心对称变换18．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图1图2 19. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，分别以AB 、AC 为边作等边△ABE 和△ACD ，连结ED 交AB 于F ，求证：EF =FD ．CB AEMM EABC FE D C BA20．（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG PC的值（用含α的式子表示）．专题五、操作型问题21．（丰台二模）阅读下列材料：已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P 为AC 边上的一动点，以PB ，PA 为边构造□APBQ ，求对角线PQ 的最小值及此时APAC的值是多少.在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ 的最小值为3. 参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，=AP AC _______；（2）如图3，延长PA 到点E ，使AE=nPA （n 为大于0的常数）.以PE ，PB 为边作□PBQE ，那么对角线PQ 的最小值为，此时=APAC_______；（3）如图4，如果P 为AB 边上的一动点，延长PA 到点E ，使AE=nPA （n 为大于0的常数），以PE ，PC 为边作Q B AC P B AC PQ EBC PAB□PCQE ，那么对角线PQ 的最小值为______,此时=APAC _______.22．（密云二模）如图，将矩形纸片ABCD 按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF (如图①)；沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处(如图②)；展平，得折痕GC (如图③)；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的C 处(如图④)；沿GC ′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC ′，GH (如图⑥)．(1)求图②中∠BCB ′的大小；(2)图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．23. （2014平谷二模）如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP +BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP +BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为；（2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，AC 的度数为60°，点B 是AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP +AP 的值最小，则BP +AP 的最小值为；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP =m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．图4C图3图2图1P D ECBA专题五、函数与变换24. （2014房山二模）已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.25. （丰台二模）如图，经过原点的抛物线2y x bx =-+（2b >）与x 轴的另一交点为A ，过点P （1，2b）作直线PN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点B.点B 关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB ，CP. （1）当b=4时，求点A 的坐标及BC 的长；（2）连结CA ，求b 的适当的值，使得CA ⊥CP ；（3）当b=6时，如图2，将△CBP 绕着点C 按逆时针方向旋转，得到△CB’P’，CP 与抛物线对称轴的交点为E ，点M 为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM 长度的取值范围.26．（2014海淀二模）已知关于x 的方程：2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中0m >. （1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数21(1)y x m x m =---的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将A 、B 两点按照相同的方式平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，点B 落在点'B 处，若点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下，函数1y ，2y 的图象位于直线3x =左侧的部分与直线y kx =（0k >）交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则k 的值是________________.27．（2014平谷二模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠28.(2012北京)已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点A （3-，m ），求m 与k 的值；（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0n >）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．图形变换 11 / 11 lD AC Al 1CC A 专题六、复合变换29．已知，正方形ABCD 的边长为1，直线1l //直线2l ，1l 与2l 之间的距离为1，1l 与2l 正方形ABCD 的边总有交点．（1）如图1，当AC l ⊥1于点A ，，AC l ⊥2交边DC 、BC 分别于E 、F 时，求△EFC 的周长；（2）把图1中的1l 与2l 同时向右平移x ，得到图2，问△EFC 与△AMN 的周长的和是否随x 的变化而变化，若不变，求出△EFC 与△AMN 周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A 逆时针旋转α，得到图3，问△EFC 与△AMN 周长的和是否随α的变化而变化，若不变，求出α的周长的和；若变化，请说明理由．。

初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总

初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总初三数学——几何变换平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

专题图形的轴对称、平移与旋转中考数学

专题图形的轴对称、平移与旋转目录一、考情分析二、知识建构考点图形的轴对称、平移与旋转题型01 图形的识别题型02 与图形变化有关的作图问题题型03 几何图形的平移变化题型04 与函数图象有关的平移变化题型05 几何图形的折叠问题题型06 与函数图象有关的轴对称变化题型07 几何图形的旋转变化题型08 与函数图象有关的旋转变化题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题题型10 与图形变化有关的最值问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点图形的轴对称、平移与旋转题型01 图形的识别平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形.在判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点:1）如果能找到一条直线(对称轴)把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形;2）把一个平面图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2023·湖北荆州·中考真题）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形4．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似题型02与图形变化有关的作图问题解决图形变化有关的作图问题方法：1）平移与旋转作图都应抓住两个要点:一是平移、旋转的方向；二是平移的距离及旋转的角度.2）基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作变换后的图形.3）无论是平移、轴对称与旋转，都不改变图形的大小和形状.1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1),B (1,−2)，C(3,−3)．(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．(3)将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．2．（2023·四川达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．3．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B （2，3），C（1，2）．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．题型03 几何图形的平移变化平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化.1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(−2,0)，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．(−2,3−1)B．(−2,1)C．(−3,1)D．(−3,3−1)2．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1 C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC 绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α(0°<α<90°)，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．3．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB<BC，FG≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC 上．当MD =MG 时，延长CD ，HG 交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，sin ∠EFG =45（∠EFG 为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．4．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形EFGH 的顶点E 0,−3,0,(1)填空：如图①，点C 的坐标为________，点G 的坐标为________；(2)将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E ′F ′G ′H ′，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ′，F ′，G ′，H ′．设EE ′=t ，矩形E ′F ′G ′H ′与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．①如图②，当边E ′F ′与AB 相交于点M 、边G ′H ′与BC 相交于点N ，且矩形E ′F ′G ′H ′与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当233≤t ≤1134时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．题型04 与函数图象有关的平移变化1．（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y =2x 的图象向上平移1个单位得到y =2x +1的图象；将二次函数y =x 2+1的图象向左平移2个单位得到y =(x +2)2+1的图象．若将反比例函数y =6x 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y 轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m(m>0)个单位，得到一条新S1，求m的值．抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶点是3．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12C．(1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=5；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过2点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(−6,0)，B(−2,0)，C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD有最大值，最大值是多少？PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+12题型05 几何图形的折叠问题【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：_________.【问题解决】（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C′、D′，射线C′E与射线AD交于点F．(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______ ；(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C′D′于点N，连接AN、EN，求△ANE的面积．3．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．4．（2022·河南·中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．题型06 与函数图象有关的轴对称变化1．（2022·四川巴中·中考真题）函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数y=ax2+bx+c (a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④2．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过=25．求点F的坐标．点F作FG⊥CH于点G，若DFHG3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2(a>0)交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当a=1时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上3一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点+1,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为5时，求a的值．24．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B(6,0)和点D(4,−3)与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF 的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C′，点G的对应点G′，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出P的坐标．题型07几何图形的旋转变化旋转变换问题:分为几何图形旋转变换和与函数图象有关的旋转变化.在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果，图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力. 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN 始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC 的值．交BD于点O，求EFNM2．（2023·湖南·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．(2)当AP为何值时，△AQF是直角三角形？DP3．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；(2)延长ED 交直线BC 于点F ．①如图2，当点F 与点B 重合时，直接用等式表示线段AE ，BE 和CE 的数量关系为_______；②如图3，当点F 为线段BC 中点，且ED ＝EC 时，猜想∠BAD 的度数，并说明理由．题型08 与函数图象有关的旋转变化1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数y =12x 与反比例函数y =k x (x >0)的图象交于点A ，AB ⊥x 轴于点B ，延长AB 至点C ，连接OC ．若cos ∠BOC =23，OC =3．（1）求OB 的长和反比例函数的解析式；（2）将△AOB 绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A 的对应点A '的坐标．2．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x 轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象经过点A(0,2)，3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=13与x轴的交点为点B(3,0)和点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=3OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE=a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F 按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=−3x2+23x的图象与x轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE 的面积为．题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB 于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是（）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①②③④2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD =CE ；②∠DAC =∠CED ；③若BD =2CD ，则CF AF =45；④在△ABC 内存在唯一一点P ，使得PA +PB +PC 的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则CE =2+3．其中含所有正确结论的选项是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④3．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，将△EDC 绕点C 逆时针旋转90°至△HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，HB =2，HG =3．以下结论：①∠EDC =135°；②EC 2=CD ⋅CF ；③HG =EF ；④sin ∠CED =23．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625有正确结论的序号是．题型10 与图形变化有关的最值问题1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME ∥DN，则AM+ME的最小值是（）A．23B．3C．32D．422．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(∠A=90°)硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．4．（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB 的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．5．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，由PC =P ′C ，∠PCP ′=60°，可知△PCP ′为 ① 三角形，故PP ′=PC ，又P ′A ′=PA ，故PA +PB +PC =PA ′+PB +PP ′≥A ′B ，由 ② 可知，当B ，P ，P ′，A 在同一条直线上时，PA +PB +PC 取最小值，如图2，最小值为A ′B ，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有∠APC =∠BPC =∠APB = ③ ；已知当△ABC 有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC ≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．(2)如图4，在△ABC 中，三个内角均小于120°，且AC =3，BC =4，∠ACB =30°，已知点P 为△ABC 的“费马点”，求PA +PB +PC 的值；(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知AC =4km ，BC =23km ，∠ACB =60°．现欲建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 的铺设成本分别为a 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）轴对称与轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.区别1）轴对称是指两个图形折叠重合.2）轴对称对称点在两个图形上.3）轴对称只有一条对称轴.1）轴对称图形是指本身折叠重合.2）轴对称图形对称点在一个图形上.3）轴对称图形至少有一条对称轴.联系1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.性质1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.判定1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.这个点叫做它的对称中心.区别中心对称是指两个图形的关系中心对称图形是指具有某种特性的一个图形联系两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称.中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2）中心对称的两个图形是全等图形.找对称中心的方法和步骤：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．平移的性质：1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．旋转的性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．一、单选题1．（2023·山西吕梁·模拟预测）在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如。

图形的变换复习提纲

图形的变换复习提纲
一、定义
1、平移：沿直线运动。

2、旋转：绕点或轴转动。

3、轴对称：沿直线对折重合。

二、判断：
1、平移：看图形是否沿某条直线移动。

2、旋转：看图形是否绕某点或某条轴转动。

3、轴对称：是否能沿某条直线对折图形能够完全重合。

三、特征：
1、平移：原来的点和对应点的距离和方向都相同。

2、旋转：原来的店和对应点到中心点的距离相等和原点、中心点、对应点连成的角度都相等。

3、对应点到对称轴的距离相等。

四、画图形的步骤
1、找出图形的关键点。

2、根据特征画出对应点。

3、根据对应点连成一个图形。

五、图形的变换在生活的应用(举例）。

图形的变化与旋转

图形的变化与旋转一、图形的变换1.平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形的形状和大小。

2.旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

旋转不改变图形的形状和大小。

二、图形变换的性质1.平移的性质：平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。

平移不改变图形的长度和角度。

2.旋转的性质：旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。

旋转不改变图形的长度和角度。

三、图形的变换与坐标1.平移与坐标：在坐标系中，平移图形时，图形上的点坐标按照平移的方向和距离进行变化。

2.旋转与坐标：在坐标系中，旋转图形时，图形上的点坐标按照旋转的角度和中心点进行变化。

四、图形的变换与应用1.图形的变换在实际生活中的应用：图形的变换在建筑设计、艺术设计、计算机图形学等领域有广泛的应用。

2.图形的变换在学习过程中的应用：通过图形的变换，可以更好地理解图形的性质和特点，提高解决问题的能力。

1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

2.旋转的性质：旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。

旋转不改变图形的长度和角度。

3.旋转的类型：(1)顺时针旋转：图形按照顺时针方向旋转。

(2)逆时针旋转：图形按照逆时针方向旋转。

(3)旋转角度：旋转的角度可以是任意实数，单位通常是度或弧度。

4.旋转的应用：(1)在生活中，旋转现象广泛存在于机械、建筑、艺术等领域。

(2)在数学中，旋转是几何变换的一种，可以用来解决各种问题。

六、图形的旋转1.图形旋转的定义：将一个图形绕一个点旋转一个角度，得到另一个图形，这个过程称为图形旋转。

2.图形旋转的性质：图形旋转时，旋转前后的图形全等，即形状、大小、位置不变，只是位置发生了变化。

3.图形旋转的类型：(1)中心旋转：图形绕一个点旋转。

(2)轴旋转：图形绕一条直线旋转。

中考总复习：图形的变换--知识讲解(基础)

中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=DG﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解．【答案与解析】（1）由平移的性质得AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30° ∴在Rt △BAD 中，AB=2BDBCA （'C ）FE设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3.（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考总复习：图形的变换--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）.A．4个 B．5个 C．6个 D．3个2．有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（）.A．①③ B．①② C．②③ D．②④3.在图形的平移中，下列说法中错误的是（）.A．图形上任意点移动的方向相同； B．图形上任意点移动的距离相同C．图形上可能存在不动点； D．图形上任意对应点的连线长相等4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（）.A.△OCDB.△OABC.△OAFD.△OEF5.如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移到△D FE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．126.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是（）．A．l＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19二、填空题7. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△A GE，那么△A GE与四边形AECD重叠部分的面积是．第7题第8题8.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为_______.9. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是________．第9题第10题10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝ cm．11.如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F 的长为．12.如图,O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与AB BC ,相交，交点分别为N M ,.如果y ON x OM AD AB ====,,6,4，则y 与x 的关系式为 .三、解答题13.如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP ＞AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB 的长．14.把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）. (1)在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的516？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由.15.如图，将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC 折叠, 使点B 落在EF 上的点B ′ 处(如图②)；展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH 折叠, 使点C 落在DH 上的点C ′ 处(如图④); 沿GC ′ 折叠(如图⑤)；展平, 得折痕GC ′、GH(如图⑥). (1)求图②中∠BCB′ 的大小；(2)图⑥中的△GCC′ 是正三角形吗?请说明理由.图⑤A BC D GH A'C'图⑥A BCD G H C'图④A BC D GH C'图③A BC DEF G 图②A BCD E F GB'ABCDEF 图①16.已知矩形纸片ABCD ，1,2==AD AB .将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合. （1）如果折痕FG 分别与AD ，AB 交于点F ，G （如图（1）），,32=AF 求DE 的长. （2）如果折痕FG 分别与CD ，AB 交于点F ，G （如图（2）），AED ∆的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.【答案与解析】一．选择题1．【答案】A．2．【答案】D.【解析】①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小，不属于平移；②打气筒打气时，活塞的运动属于平移；③钟摆的摆动是旋转，不属于平移；④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质，属于平移．3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】由题意可得平移的距离是2AC，AC=CD，连接FC，S△BFC=2S△ABC，S△ABC= S△FDC=S△FDE=2，∴四边形AEFB的面积为10. 6．【答案】D.【解析】∵△ADB绕点D旋转180°，得到△EDC，∴AB=EC,AD=DE，而AD=7，∴AE=14，在△ACE中，AC=5，∴AE-AC＜EC＜AC+AE，即14 -5＜EC＜14+5，∴9＜AD＜19．二．填空题7．【答案】22-2．【解析】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，故AE=2，由折叠易得△ABG为等腰直角三角形，∴S△ABG=12BA•AG=2，S△ABE=1，∴CG=2BE-BC=22-2，∴CO=OG=2-2，∴S △COG =3-22，∴重叠部分的面积为2-1-（3-22）=22-2． 8．【答案】54π. 【解析】S 阴影=S 扇形ABB1=2505=3604AB ππ． 9．【答案】对角线平分内角的矩形是正方形.10．【答案】4cm.【解析】∵AB=2cm ，AB=AB 1∴AB 1=2cm ，∵四边形ABCD 是矩形，AE=CE ，∴∠ABE=∠AB 1E=90° ∵AE=CE ，∴AB 1=B 1C ，∴AC=4cm ． 11.【答案】．【解析】根据折叠的性质可知CD=AC=3，B ′C=BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B ′CF ，CE ⊥AB ， ∴B ′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B ′CF=∠ACE+∠BCF ， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形， ∴EF=CE ，∠EFC=45°， ∴∠BFC=∠B ′FC=135°， ∴∠B ′FD=90°，∵S △ABC =AC •BC=AB •CE ， ∴AC •BC=AB •CE ，∵根据勾股定理求得AB=5， ∴CE=， ∴EF=，ED=AE=，∴DF=EF ﹣ED=， ∴B ′F=．故答案为：． 12．【答案】32y x =. 三.综合题 13．【解析】解：（1）△AMP ∽△BPQ ∽△CQD ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，∵sin∠DMF==，∴设DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x=（舍）或x=2，∴AB=6．14．【解析】(1).在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．证明：连接CG，KH，∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，在△BGH与△CGK中，B KCG CG BGBGH CGK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGH≌△CGK（ASA），∴BH=CK，S△BGH=S△CGK．∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=12S△ABC=12×12×4×4=4，即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；（2）∵AC=BC=4，BH=x，∴CH=4-x，CK=x．由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，得y=4 -12x（4-x），∴y=12x2-2x+4．由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；（3）存在．根据题意，得12x2-2x+4=516×8，解这个方程，得x1=1，x2=3，即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的5 16．15．【解析】（1）由折叠的性质知：B′C=BC，在Rt△B′FC中，∵cos∠B′CF=FCB C'=FCBC=12，∴∠B′CF=60°，即∠BCB′=60°；（2）根据题意得：GC平分∠BCC′，∴∠GCB=∠GCC′=12∠BCB′=30°，∴∠GCC ′=∠BCD-∠BCG=60°，由折叠的性质知：GH 是线段CC ′的对称轴， ∴GC ′=GC ，∴△GCC ′是正三角形．16.【解析】在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，,32=AF ，∠D=90°．根据轴对称的性质，得EF=AF=23． ∴DF=AD-AF=13．在Rt △DEF 中，DE=22213-=333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）设AE 与FG 的交点为O ．根据轴对称的性质，得AO=EO ．取AD 的中点M ，连接MO ．则MO=12DE ，MO ∥DC ．设DE=x ，则MO=12x ，在矩形ABCD 中，∠C=∠D=90°， ∴AE 为△AED 的外接圆的直径，O 为圆心．延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD, ∴∠CNM=180°-∠C=90°,∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形． ∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-12x. ∵△AED 的外接圆与BC 相切， ∴ON 是△AED 的外接圆的半径, ∴OE=ON=2-12x ，AE=2ON=4-x ．在Rt △AED 中，AD 2+DE 2=AE 2，∴12+x 2=（4-x ）2．解这个方程，得x=158． ∴DE=158，OE=2-12x=1716．根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ．∴∠FOE=∠D=90° 可得FO EO DA DE =,即FO=1730．又AB ∥CD ，∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ．。

中考数学几何三大变换之平移真题与分析

中考数学几何三大变换之平移真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由移动的方向和距离决定。

经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。

一、构造平移图形：典型例题：例1. 顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A l B l C l．(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。

【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。

（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。

（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。

初中数学图形变换专题知识点

图形与变换知识点一．考点归纳：二．考纲要求：1. 图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转考试内容：轴对称、平移、旋转考试要求：(1) 通过具体的实例认识轴对称、平移及旋转，探索他们的基本性质；(2) 能够根据要求做出简单的平面图形经过轴对称、平移及旋转后的图形，能做出简单的平面图形进过一次或两次轴对称后的图形；(3) 探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称、平移及旋转的性质及其相关性质；(4) 利用轴对称、平移及旋转及其组合进行图案设计，认识和欣赏轴对称、平移及旋转在现实生活中的应用。

2. 图形的相似考试内容：比例的基本性质，线段的比，成比例线段，图形的相似及性质，三角形相似的条件，图形的位似，锐角三角函数，30°、45°、60°角的三角函数值。

（锐角三角函数放在三角形中讲）考试要求：(1) 了解比例的基本性质，了解线段的比，成比例线段，通过实例了解黄金分割。

(2) 通过实例认识图形的相似，了解相似的性质，知道形似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方；(3) 了解三角形的概念，掌握两个三角形的相似条件；(4) 了解图形的位似，能够利用位似将图形放大或缩小；(5) 通过实例了解物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题，如用相似测量旗杆的高度；三．中考透析：在中考中，本部分内容如果单独出题通常是选择或者填空题，但经常在解答题中综合其考点对称平移旋转相似折叠图形的运动轴对称中心对称位似性质作图应用主要考查它知识考查，通常与函数图像和几何内容综合在一起考查。

其中位似常以选择和填空题出现，而对称、相似和、平移、旋转、折叠及图形的运动通常易与函数图像和几何知识综合考查的。

四．知识要点1.轴对称（轴对称、折叠）(1)轴对称和轴对称图形的区别与联系区别：轴对称是指两个图形间的位置关系；轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。

(完整版)图形平移与旋转知识点

第三章图形的平移与旋转复习重点专点一：图形的平移1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向挪动必定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移是由挪动的方向和距离决定的。

2.平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后的三角形或多边形全等。

（2）平移后的图形与本来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

（3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。

专点二：图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转必定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

2.旋转的性质：（1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。

（2）旋转后的图形与本来的图形的对应线段相等，对应角相等。

（3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿同样的方向转动了同样的角度。

（4）随意一对对应点与旋转中心的距离相等。

考点三、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转 180°，假如旋转后的图形可以和本来的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）对于中心对称的两个图形是全等形。

（2）对于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，而且被对称中心均分。

（3）对于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同向来线上）且相等。

3、判断假如两个图形的对应点连线都经过某一点，而且被这一点均分，那么这两个图形对于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180°，假如旋转后的图形可以和本来的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点四、坐标系中对称点的特点1、对于原点对称的点的特点：两个点对于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）对于原点的对称点为 P’（ -x ，-y ）2、对于 x 轴对称的点的特点：两个点对于 x 轴对称时，它们的坐标中， x 相等，y 的符号相反，即点 P（ x， y）对于 x 轴的对称点为 P’（ x，-y ）3、对于 y 轴对称的点的特点：两个点对于 y 轴对称时，它们的坐标中， y 相等，x 的符号相反，即点 P（ x， y）对于 y 轴的对称点为 P’（ -x ， y）专点五：利用轴对称、旋转和平移作图1.平移作图的一般步骤：（1）确立平移的方向和距离；（2）确立组成图形的重点点（线段两个端点，三角形三个极点，n 边形 n 个极点）；（3）依据平移的方向和距离平移各个重点点；（4）按序连结各个重点点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。

初中数学图形变换规律总结

初中数学图形变换规律总结数学中的图形变换规律是初中数学中的重要内容之一，通过研究图形的移动、翻转、旋转等变换规律，可以帮助我们更好地认识和理解图形的性质和特点。

在初中数学中，图形变换规律包括平移、翻转、旋转等基本变换规律，下面我们将对这几种变换规律进行总结。

平移是指在平面上将图形沿着确定的路径移动，但形状、大小和方向保持不变。

在平移过程中，图形中的所有点都同时按照相同的方向和距离进行移动。

平移是一种保持相似性质的变换，即图形之间的距离、角度和比例关系不变。

平移是图形变换中最基本和最常见的变换之一。

翻转是指将图形绕着一条直线翻转，翻转可以是关于x轴、y轴，也可以是关于其他直线。

在翻转过程中，图形的各个点被映射到与原来位置关于翻转轴对称的位置。

翻转是一种保持形状不变但方向改变的变换，即翻转后的图形与原来的图形相似，但可能在左右、上下位置发生变化。

旋转是指将图形绕着一个给定的点旋转一定的角度。

在旋转过程中，图形中的所有点都绕着旋转中心进行旋转，旋转后的图形与原始图形相似，但可能在朝向发生变化。

旋转的角度可以是正角度也可以是负角度，正角度表示顺时针旋转，负角度表示逆时针旋转。

旋转是一种保持距离和角度不变的变换，即旋转后的图形与原始图形全等。

此外，初中数学中还有一些特殊的图形变换规律，比如缩放和错切变换。

缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。

图形的缩放可以是一维缩放，即只沿着x轴或y轴方向进行缩放，也可以是二维缩放，即在x轴和y轴上同时进行缩放。

通过缩放变换，我们可以改变图形的大小但保持形状不变，缩放的比例可以是正数也可以是负数。

错切变换是指将图形在一个方向上进行平移的同时，另一个方向上发生延伸或压缩的变换。

错切变换可以使图形改变形状，但保持面积不变。

错切变换是一种比较复杂的变换规律，在初中数学中一般不深入研究。

综上所述，初中数学中的图形变换规律主要包括平移、翻转、旋转等基本变换规律。

这些变换规律是数学中的重要概念，在几何学和图形学中有广泛的应用。