北京各区2015初中数学一模28题汇编及答案

AB 于点 G. （1）如果∠ACB=90°， ①如图 1，当点 P 与点 A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三 角形；
CF 的值； PE CF （2）如果∠CAB=a，如图 3，请直接写出 的值.（用含 a 的式子表示） PE
②如图 2，当点 P 不与点 A 重合时，求
图1
图2
图3
28．在菱形 ABCD 中， ADC 120 ，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE ， DEC 50 ， 将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 50 并延长得到射线 BF ，交 ED 的延长线于点 G ． （1）依题意补全图形；
D D
A
E
C
A
E
C
B
B
备用图 （2）求证： EG BC ； （3）用等式表示线段 AE ， EG ， BG 之间的数量关系：_____________________________．
E
D
B
C
图1
∴EB=ED=BD
∴△EBD 是等边三角形
„„„„„„2 分
（2）①证明：如图 2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC 又∵点 C 与点 F 关于 BD 对称 ∴四边形 BCDF 为正方形， ∴∠FDC=90°, CD FD ∵∠CDC α 30
'
E' E F D
∴∠FDC 60
28．△ABC 中，∠ABC＝45°，AH⊥BC 于点 H，将△AHC 绕点 H 逆时针旋转 90°后，点 C 的 对应点为点 D，直线 BD 与直线 AC 交于点 E，连接 EH．
A D B
图1 （1）如图 1，当∠BAC 为锐角时， ①求证：BE⊥AC； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，
A M D
A
M
D
A
D
B
C
B
C
B
C
图1
图2
图3
（2）如图 2，在菱形 ABCD 中，点 M 是 AD 边上任意一点，把射线 BM 绕点 B 顺时针 旋
1 ABC ，与 CD 边交于点 N，连结 MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出 2
AM，CN，MN 的数量关系是 ； （3）如图 3，正方形 ABCD 的边长是 1，点 M，N 分别在 AD，CD 上，若△DMN 的周 长为 2，则△MBN 的面积最小值为 ．
，
AF BE
；
AF 的值，并证明你的结论； BE
AF BE
． （用含 的表达式表示）
北京各区 2015 数学一模答案
28.解： （1）①补全图形，如图 1 所示. ………………………1 分 ②由题意可知 AD=DE，∠ADE=90°. ∵DF⊥BC， ∴∠FDB=90°. ∴∠ADF=∠EDB. ……………………………………2 分 ∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠ABC=∠DFB=90°. ∴DB=DF. ∴△ADF≌△EDB. ……………………………………3 分 ∴AF=EB. 在△ABC 和△DFB 中， ∵AC=8，DF=3， ∴AC= 8 2 ，DF= 3 2 . ………………………………………………………………4 分 AF=AB－BF= 5 2 即 BE= 5 2 . …………………………………………………………………………5 分 图1
E'
E' A
' '
顺
A
E F D
α
P E F C' D M C
A
D
B
C
B
C'
C
B
图1
图2
图3
28． （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180° ，点 M 是 AD 边上一点，把射线 BM 绕点 B 顺时针旋转 40° ，与 CD 边交于点 N，请你补全图形，求 MN，AM，CN 的数量关系；
图1
图2
图3
28△ABC 中，AB=AC．取 BC 边的中点 D，作 DE⊥AC 于点 E，取 DE 的中点 F，连接 BE， AF 交于点 H． （1）如图 1，如果 BAC 90 ，那么 AHB （2）如图 2，如果 BAC 60 ，猜想 AHB 的度数和 （3）如果 BAC ，那么
28. 已知，点 P 是△ABC 边 AB 上一动点（不与 A，B 重合）分别过点 A，B 向直线 CP 作垂 线，垂足分别为 E，F，Q 为边 AB 的中点. （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量 关系是 ； （2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予 证明； （3）如图 3，当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形 并给予证明.
并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ， DF ， AC 之间的数量关 系．
l A
A H
CB
A E
E
D F C B
C
B
图1
图2
备用图
28．在菱形 ABCD 中，∠ABC=60° ，E 是对角线 AC 上任意一点，F 是线段 BC 延长线上一 点，且 CF=AE，连接 BE、EF． （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，易证 BE=EF. （2）如图 2，当点 E 不是线段 AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： _____. （填“成立”或“不成立” ） （3）如图 3，当点 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时， （1）中的结论 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
A
E
B
H C
H
C
图2
请依题意用实线补全图 2，并用等式表示出线段 EC，ED，EH 之间的数量关系．
28． 在△ABC 中， CA=CB， CD 为 AB 边的中线， 点 P 是线段 AC 上任意一点 （不与点 C 重合） ，
1 过点 P 作 PE 交 CD 于点 E，使∠CPE= ∠CAB，过点 C 作 CF⊥PE 交 PE 的延长线于点 F，交 2
图3（1）
D M P C C'
„„„„„„„„„„4 分
E'
图 3（1）
②线段 PM 的取值范围是： 设射线 CA 交 BD 于点 O， I：如图 3（1） 当 E C ⊥DC, MP⊥E C ，D、M、P、C 共线时，PM 有最小值. 此时 DP=DO= 2 ，DM=1 ∴PM=DP-DM= 2-1 II：如图 3（2） 当点 P 与点 E 重合，且 P、D、M、C 共线时，PM 有最大值. 此时 DP=DE′=DE=DB=2 2 ，DM=1 ∴PM= DP+DM=2 2+1 „„„„„„„„„6 分
A A A D D F D
C
E
B
C
E P
B
C
E
B
图1
图2
图3
28．在△ ABC 中， BAC 90 ． （1） 如图 1， 直线 l 是 BC 的垂直平分线， 请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ' ， 连接 A ' C ， A' B ， A ' C 与 AB 交于点 E ； （2）将图 1 中的直线 A' B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于 点 F ，过点 F 作直线 AB 的垂线，垂足为点 H ． ①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ， DF ， AC 之间的数量关系，
'

B
'
C'
C
由（1）△BDE 为等边三角形 ∴∠EDB ∠FDC 60 ,ED=BD ∴∠EDF ∠BDC
' ' '
图2
„„„„„„„3 分
又∵ △E DC 是由△EDC 旋转得到的 ∴ C D CD FD
'
∴ △EDF≌△DBC' SAS ∴ EF BC
'
E
F O B
图1
∵ BC BC ， ∴ BCC BC C . ∵ ACB AC B 90 ， ∴ ACE BCC 90 ， AC ' F BC C 90 . ∴ ACE AC F . 在 △AEC 和 △AFC 中，
AEC AFC 90, ACE AC F , AC AC ,
图2
∴ △AEC≌△AFC . ∴ AE AF . 在 △AED 和 △AFD 中，
AEC AFD 90, ADE ADF , AE AF ,
28．在等边△ABC 外侧作直线 AP ，点 B 关于直线 AP 的对称点为 D，连接 BD,CD，其中 CD 交直线 AP 于点 E． （1）依题意补全图 1； （2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；
（3）如图 2，若 60°<∠PAB <120°，判断由线段 AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角 的三角形，并证明.
图1
图2
28. 已知：Rt△ A′BC′和 Rt△ ABC 重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将 Rt△ A′BC′ 绕点 B 按逆时针方向旋转角 α（60°≤α≤90°） ，设旋转过程中射线 C′C 和线段 AA′相交于点 D,连接 BD． （1）当 α=60°时，A’B 过点 C，如图 1 所示，判断 BD 和 A′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当 α=90°时，在图 2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证 明； （3）如图 3，对旋转角 α（60°＜α＜90°） ，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请 证明你的结论；若不成立，请说明理由.