七年级下册数学知识点：三角形的高知识点-文档资料

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专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ；（2）5cm 、6cm 、11cm ；（3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求；（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=；）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为（用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==，故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。

七年级数学下册知识点归纳

七年级数学下册知识点归纳一、图形的认识1. 点、线、面的定义和特征2. 线段、直线、射线的区别和特征3. 角的定义和特征4. 图形的种类和特点：三角形、四边形、多边形等5. 同种图形的分类和比较二、平面图形的性质研究1. 三角形的内角和外角关系2. 三角形的分类及其性质3. 三角形内切圆和外接圆的应用4. 平行四边形的性质及其判定5. 长方形、正方形、菱形和矩形的性质及其判定三、图形的相似与全等1. 图形相似的概念和判定条件2. 相似三角形的性质及其判定3. 图形全等的概念和应用4. 证明图形全等的方法和步骤四、直角三角形的研究1. 直角三角形的定义和性质2. 勾股定理的应用3. 余弦定理和正弦定理的应用五、多边形的面积和周长1. 一般多边形的周长计算2. 三角形的面积计算和性质3. 四边形的面积计算和性质4. 多边形的面积计算和性质六、圆的研究1. 圆的定义和性质2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弧长等的概念和关系3. 圆内角和弧度的关系及其应用4. 弧长、扇形面积和圆的面积计算七、线性方程的解法1. 一元一次方程的解方法2. 解一元一次方程的应用3. 解一元一次方程组的方法和步骤4. 一次函数及其应用八、比例与相似1. 比和比例的概念及其应用2. 相似三角形的比例关系3. 解直角三角形的比例问题4. 解平行四边形的比例问题九、数据的收集和处理1. 数据收集的方法和意义2. 数据的整理和描述3. 数据图形的绘制和解读4. 统计与概率的基本知识十、考试技巧与思维方法1. 解题方法和思维技巧的培养2. 数学解题策略与问题解决能力的提升3. 拓展数学的应用能力和创新思维。

七年级数学下册第四章三角形知识归纳

第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。

人教版七年级数学下册各章节知识点归纳

人教版七年级数学下册各章节知识点归纳第一章：直线与角1. 定义平行线和垂直线的概念，了解直线的性质。

2. 知道角的概念和角的分类，包括锐角、直角、钝角和平角。

3. 掌握角的度量单位：度和弧度。

4. 学习如何用直尺和量角器画角。

第二章：平行线与平面1. 学习如何用直尺和圆规做等分线段、垂线、平行线、垂直平分线和角的平分线。

2. 理解平行线与转角的关系，学会证明平行线与转角的基本性质。

3. 掌握平面的概念，理解平面的性质和表示方法。

4. 学习如何判断平面与平面的位置关系，包括平行、垂直和交叉。

第三章：三角形1. 知道三角形的定义和分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形。

2. 掌握三角形内角的和定理和外角的性质。

3. 学习三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA和AAS。

4. 理解三角形中的全等概念，学会判断和证明两个三角形是否全等。

第四章：四边形1. 知道四边形的定义和分类，包括矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形。

2. 掌握矩形、正方形和菱形的性质，包括边长、对角线、内角和面积的计算方法。

3. 学习平行四边形的性质，包括对角线的关系、内角和、面积和周长的计算方法。

4. 理解梯形的定义和性质，学会计算梯形的面积和周长。

第五章：图形的变化1. 了解图形中的平移、旋转、翻折和对称等基本变化。

2. 学习如何用折纸法进行图形变化。

3. 理解相似图形的概念和性质，学会判断和证明两个图形是否相似。

4. 掌握相似图形的计算方法，包括比例尺和相似比的计算。

第六章：数的运算1. 复习整数的概念和运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。

2. 学习分数的概念和运算规则，包括分数的四则运算和混合运算。

3. 掌握百分数的概念和表示方法，包括百分数与分数的转换。

4. 学习用图形表示分数和百分数的大小关系，包括数轴和百分数相应的阶梯图。

第七章：方程与不等式1. 知道方程和不等式的定义和表示方法。

2. 学习一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括等式和不等式的性质及运算规则。

2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章1 认识三角形第2课时三边形的高、中线

知识点3：三角形的角平分线
【例5】如图4-1-19，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和 AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中， ∠B=60°，∠C=30°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°. 因为AE是∠BAC的平分线,所以∠BAE= ∠BAC=45°. 因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=90°. 所以在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°. 所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.
【C组】 10. 如图4-1-31，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
解：因为∠CAB=50°，∠C=60°, 所以∠ABC=180°-50°-60°=70°. 又因为AD是高，所以∠ADC=90°. 所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°. 因为AE,BF是角平分线，所以∠CBF=∠ABF=35°， ∠EAF=25°. 所以∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°， ∠AFB=180°-∠CAB-∠ABF=180°-50°-35°=95°. 所以∠AOF=180°-∠CAE-∠AFB=180°-25°-95°=60°. 所以∠BOA=180°-∠AOF=120°.故∠DAE=5°，∠BOA=120°.
∠BAC=40°．因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°. 所以在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°60°=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．所以∠AEC=90°10°=80°.所以∠AEB=100°.因为BF是∠ABC的平分线，所以∠FBC= ∠ABC=20°.所以∠BOE=180°-20°-100°=60°．

苏教版七年级下册数学知识点总结

第七章平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。

② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。

第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。

a n指将a自乘n次(n个a相乘）。

把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

苏科版数学七年级下册：7.4认识三角形

7.4认识三角形学习目标1.理解三角形的概念及其中线、高、角平分线的概念，并能正确画出任意一个三角形的中线、角平分线和高.2.按照边长、角的大小对三角形进行分类.3.探索并证明三角形的任意两边之和大于第三边.知识详解：知识点一：三角形的有关概念1.定义：不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形.2.三角形的基本要素：边：组成三角形的3条线段叫做三角形的边，三角形有3条边.顶点：三角形中相邻两边的公共端点叫做三角的顶点，三角形有3个顶点.角：三角形中相邻两条边所夹的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，三角形有3个内角.3.三角形及其元素的表示：如图，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，∠A，∠B，∠C是三角形的内角，线段AB、BC、CA是三角形的边.拓展：1.由三角形的定义可知：三角形有三个特征：（1）三条线段；（2）三条线段不在同一条直线上；（3）三条线段首尾依次相接.这也是识别三角形的依据.2.用符号“△”时，其后必须紧跟表示三角形的三个顶点的大写字母，字母顺序可以自由安排.“△”不能单独使用，如“三角形的角”不能写成“△的角”.3.△ABC的三边，有时也用cb,来表示.,来表示.顶点A所对的边BC用a表示，边AC,边AB分别用cba,（2）以AD 为边的三角形有 . （3）∠AED 是，的内角. 知识点二：三角形的分类 1.按角分类⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形2.按边分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形腰和底不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形说明：1.根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只需要考虑三角形中最大的角.若三角形中最大的角是锐角，则三角形是锐角三角形；若三角形中最大的角是直角，则三角形是直角三角形；若三角形中最大的角是钝角，则三角形是钝角三角形.2.常见的特殊三角形有：等腰三角形（按边分）、等边三角形（按边分）、直角三角形（按角分）、等腰直角三角形（既按角分又按边分）、等边三角形和等腰直角三角形都是特殊的等腰三角形.例2：现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）A. 3B. 4或5C. 6或7D. 8知识点三：三角形的三边关系1.三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.2.三边关系的应用（1）根据这一关系可以判断已知的三条线段是否可以构成一个三角形；（2）在一个三角形中，可由已知的两边来确定第三边的取值范围.拓展：1.从三角形三边关系的研究钟可知三角形的三边相互制约——三角形的任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边.2.判断c>a>+b,，三个条件缺一不可.c+,>+c,三条线段能否组成一个三角形，应注意：ba,baacb当a是c,三条线段中最长的一条时，只需要aa,b+，就有任意两条线段的和大于第三边.cb>3.根据三角三边自之间的关系可得结论：已知三角形的两边为ba+<<-ba,，则第三边c满足.||bac例3：下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.5，6，10B.5，6，11C.3，4，8D.）a4>aaa（4，，08知识点四：三角形的中线、角平分线、高1.三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线.1BC.几何表达：如图，E是BC的中点，线段AE是△ABC的中线，则BE=EC=2拓展：1.三角形的中线是线段，而非直线.2.三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形.3.通过画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条中线，我们可以发现一个三角形中一共有三如图，△ABC的中线分别为AD、BE、CF，它们相交于点O.例4：如图，某校生物兴趣小组有一块三角形的试验田，现某种作物的四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计几种不同的划分方案供选择（画图说明）.2.三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.1∠BAC.几何表达：如图，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=2注意：1.三角形的角平分线与角的平分线既有联系，也有区别，区别：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线；联系：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就是三角形的一条角平分线.2.通过画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条角平分线，我们可以发现一个三角形中一共有三条角平分线，都在三角形的内部，它们相交于一点，交在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心.如图，△ABC的角平分线分别为AD、BE、CF，它们相交于点O.例5：如图，在△ABC中，AD是∠A的平分线，若∠B=50°，∠C=70°，则∠BAD= °.3.三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.几何表达：如图，线段AG是△ABC的边BC上的高，则∠AGB=∠AGC=90°.拓展：1.借助三角尺画三角形高的一般步骤一靠：使三角尺的一条直角边与一条边所在的直线重合；二移：沿着这条直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过三角形的这条边所对的顶点；三画：沿着这条直角边从顶点到底边所在直线画一条线段，这条线段就是三角形的高.2.一个三角形有三条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定.锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条高与直角边重合，三条高相交于直角顶点；钝角三角形两条高在三角形外部，一条高在三角形的内部，三条高没有交点，三条高所在的直线相交于一点，如图：例6：如图，过△ABC 的顶点A 作BC 边上的高，以下作法正确的是（）拓展例题：拓展点一：三角形三边关系的应用 1.求三角形第三边的长或取值范围例1：两根木棒的长分别是7cm 和9cm ，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长度为 cm.2.三角形的构成数量例2：长为9,6，5,4的四根木条，组成三角形，选法有（） A.1 种 B. 2种 C.3种 D.4种 3.三角形三边的化简例3：若c b a ,,是△ABC 的三边，化简.||||||b a c a c b c b a --+--+--拓展点二：三角形中线的运用例4：如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BA、AD、CE的中点，且2=S，4cm∆ABC则=S .∆BEF拓展点三：三角形高的运用例5：△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A.4B. 4或5C. 5或6D. 6拓展点四：三角形三边关系在实际生活中的应用例6：有四个停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能运用“三角形两边之和大于第三边”，在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？易错提醒易错点一：忽视三角形三边关系的检验导致错解例1：已知一个等腰三角形的两边长为3和7，求等腰三角形的周长.易错点二：没有正确理解三角形的高基础巩固：1.如图，以BC为边的三角形有（）A.3个B. 4个C. 5个D. 6个2.已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边长可能是（）A. 5B. 10C. 11D. 123.下面给出的四个三角形都有一部分被遮住，其中不能按角判断三角形类型的是（）4.如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（）A.BC是△ABE的高B.BE是△ABD的中线C.BD是△EBC的角平分线D.∠ABE=∠EBD=∠DBC5.在如图所示的图形中，三角形有个；以∠B为内角的三角形有和；在这两个三角形中，∠B对的边分别为和 .6.如图是钝角△ABC，请画出：（1）AB边上的高CD；（2）BC边上的中线AE；（3）∠BAC的平分线AF；（4）写出图中相等的线段；（5）写出图中面积相等的三角形.能力提升7.以长为13cm，10cm，5cm，7cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则符合条件的点C的个数为（）9.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是；在△AEC中，AE边上的高是 .10.“综合与实践”学习活动小组准备制作一组三角形，记这些三角形的三边均分别为a并且这些三角形三边的长度大于1且小于5的整数个单位长度.b,c,,（1）用记号)cba≤≤表示一个满足条件的三角形，如（2,3,3）表示边长分别为a)(,b,(c2,3,3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形.（2）用直尺和圆规作出三边满足cb<的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保a<留作图痕迹）。

第四章三角形(单元小结)-北师大版数学七年级下册

9.三角形的中线
三角形的中线分得的两个三角形面积相等：S△ABE=S△ACE
（3）三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心
交点在三角形的内部
要点梳理
（1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的角平分线是一条线段，而内角的角平分线是一条射线，这是二者的重要区别。
要点梳理
考点专练
例1 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的花圃. 已知第一条边长为a米, 由于受地势限制, 第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米.(1)请用含a的式子表示出第三条边长.(2)第一条边长可以为8米吗？为什么？请说明理由. (3)能否使围成的花圃是等腰三角形？若能, 说明你的围法；若不能,请说明理由．
考点专练
【要点指导】对于三角形中重要线段的问题, 应掌握重要线段所表示的含义, 例如与角有关的有三角形的角平分线和高线, 与此同时会涉及余角的相关知识, 同时还要注意三角形中平行线性质的运用等.
考点专练
例4 如图, 已知线段AC, BD相交于点E, AE=DE,BE=CE．(1)试说明：△ABE≌△DCE；(2)当AB=5时, 求DC的长．
考点专练
解： (1)在△ABE和△DCE中,因为AE=DE, ∠AEB=∠DEC, BE=CE,所以△ABE≌△DCE(SAS)．(2)因为△ABE≌△DCE, 所以AB=DC. 因为AB=5, 所以DC=5．
考点专练
【要点指导】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了依据.三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.在具体问题中, 一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个条件也不直接给出), 其余条件常隐含于条件或图形中, 因此找出这些隐含条件是解答问题的关键.

七年级下册数学几何知识点

七年级下册数学几何知识点数学是一门非常重要的科学，而几何则是数学中重要的分支之一。

几何涵盖了平面几何、立体几何等方面，今天我们就来讲述一下七年级下册数学几何知识点。

一、平面图形
1.三角形：三角形是最基本的平面图形之一，不同的三角形有不同的分类，例如按照边长分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2.四边形：四边形是具有四个顶点和四条边的平面图形。

不同的四边形有不同的分类，例如按照对边平行分为平行四边形和梯形，按照内角和分类可以分为矩形、正方形、菱形等。

3.正多边形：正多边形是所有边和角相等的多边形。

例如正三角形、正方形等。

二、空间图形
1.立体图形：立体图形有三个基本要素：面、棱、顶点。

按照形状分类可以分为正四面体、正六面体、正八面体等。

2.截面：截面是在立体图形内部平行于某个面的切面。

根据所截图形不同，可以分为正方形截面、圆形截面等。

三、几何运算
1.加、减、乘、除：这些是我们最基本的算术运算，也可以在几何运算中使用。

例如计算两个图形的面积之和或差。

2.相似与全等：相似和全等是两个非常重要的几何概念。

全等的两个图形必须在形状、大小、面积等方面完全相同，而相似的两个图形只是形状相似，大小不同。

3.投影：投影是指图形在某个方向上的投影。

例如，一个正方体在某个方向上的投影就是一个正方形。

本文介绍了七年级下册数学几何的一些知识点，其中包括平面图形、空间图形和几何运算。

这些知识点是学习数学和几何的基础，希望能够通过本文的介绍，对同学们的学习有所帮助。

()七年级数学下册第四章三角形1认识三角形三角形认识讲义(无答案)(新版)北师大版

三角形的认识段【根底知识】从三角形的一个顶知识点1三角形的定义点向它的对边所在1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的高线的直线作垂线,顶点表示：三角形可用符号“△〞表示，如右图和垂足之间的线段三角形记作：△ABC b CAc a三角形中,连结一个B 顶点和它对边中点2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点三角形的中线的线段如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c 三角形一个内角的知识点2三角形的性质平分线与它的对边1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于三角形的角平分相交,这个角顶点与第三边。

线交点之间的线段3.4.三角形的内角关系：三角形内角和为1805.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角结论总结：三角形。

其中直角三角形的两个锐角互余知识点3三角形的中线、角平分线和高线三角形的重要线概念图形表示法AE是△ABC的AB上的高线.CE⊥AB∠AEC=∠BEC=90°.AD是△ABC的BC上的中线.BD=CD=?BC.AE是△ABC的∠ABC的平分线1∴∠1=∠2=2ABC-1-/12【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？如果取一根长度为13cm的木棒呢？聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.假设△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a.bc,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。

锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线〔有几中线条，是否相交，交高线点在那〕例4.判断满足以下条件的VABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；〔1〕A80o,B25o〔2〕A B30o,BC36oA11CB6〔3〕2例5.三角形ABC的一个内角度数为40o，且A B，求C的外角的度数。

七年级l下册数学第十章知识点

七年级l下册数学第十章知识点七年级下册数学——第十章知识点第十章为七年级下册数学的最后一章，也是比较重要的一章。

本章主要学习初中阶段可以接触到的几何基础知识，包括平面图形的认识、比例与相似、三角形等常见几何知识。

下面我将整理出这些知识点并逐一进行讲解。

一、平面图形的认识平面图形是指在同一平面内的几何图形，如点、线段、直线、角、多边形等等。

在本章中我们需要了解的平面图形主要有：三角形、四边形、圆形等。

1. 三角形三角形是有三个顶点和三条边的图形，可以根据角度的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

根据边的长度又可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2. 四边形四边形是有四个顶点和四条边的图形，常见的有矩形、正方形、菱形、平行四边形等。

3. 圆形圆形是由平面内到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。

二、比例与相似1. 比例比例是指两个比较物之间的对应关系，通常表示为a:b或a/b。

在本章中我们主要需要了解以下几种比例：（1）简单比例：只有两个比较物的比例。

（2）复合比例：有多组比较物，通常用分号分隔开。

（3）比例中项的关系：对于比例a:b=c:d，a和b是一对相对的项，c和d也是一对相对的项。

2. 相似两个图形如果形状相似，则称这两个图形相似。

相似的两个图形具有以下性质：（1）对应角相等。

（2）对应边成比例。

（3）面积的比为边长比的平方。

三、三角形常见几何知识三角形是几何学里面常见的图形，特别是在初中阶段，我们需要掌握以下几个知识点：1. 三角形的内角和三角形的三个内角之和为180度。

2. 直角三角形的斜边与直角边的关系在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和另一直角边的平方。

3. 等腰三角形等腰三角形是指有两个等长的边的三角形。

等腰三角形的特点是底角相等。

4. 等边三角形等边三角形是三个边长度相等的三角形。

等边三角形的特点是三个角相等。

总结初中数学几何部分的知识点很多，需要我们认真学习、总结、掌握。

人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（）。

七年级初一下学期数学专题03 三角形(知识点串讲)(解析版)

专题03 三角形知识网络重难突破知识点一三角形的有关概念及分类1、三角形的有关概念名称内容图形三角形由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．边组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a，b，c或BC，CA，AB．顶点相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．角相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．三角形的记法三角形用符号“V”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作ABCV，读作“三角形ABC”．2、三角形的分类（1）按角分类三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．（2）按边分类注意：①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.典例1（2019春•东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为3:4:11，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：设这个三角形三个内角度数依次为3x︒，4x︒，11x︒，则3411180++=，x x x解得：10x=，∴这个三角形三个内角度数依次为30︒，40︒，110︒，则这个三角形是钝角三角形，故选：D ．典例2（2019春•徐州期中）ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解答】解：Q 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=．180A B C ∠+∠+∠=︒Q ，即23180x x x ++=︒，解得30x =︒， 390C x ∴∠==︒， ABC ∴∆是直角三角形．故选：A ．知识点二三角形的三边关系（1）对于任意的ABC V ，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设B 、C 为定点），由“两点之间，线段最短”可得：b c a +>．同理可得：a b c +>，a c b +>．即：三角形任意两边之和大于第三边．推论：三角形任意两边之差小于第三边．理论依据：两点之间，线段最短. （2）三角形三边关系的应用①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围； ②判断三条线段能否组成三角形.注意：判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.典例1（2019春•泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cmD ．13cm ，12cm ，20cm【解答】解：A 、348+<，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B 、8715+=，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C 、5511+<，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D 、121320+>，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D ．典例2（2019春•新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm 、3cm 、4cm ；2cm 、4cm 、5cm ；3cm 、4cm 、5cm 共3个．故选：C ．典例3（2019春•常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，x ，则x 不可能是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：5454x -<<+，即19x <<，则x 的不可能的值是9，故选D ．知识点三三角形的高、中线与角平分线名称图形定义几何语言三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高因为AD是ABCV的高（已知），所以AD BC⊥于点D （或90ADC ADB∠∠︒==）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线因为AD是ABCV的角平分线（已知），所以1122BAC∠∠∠==三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心因为AD为ABCV的中线（已知），所以12BD DC BC==（或22BC BD DC==）注意：三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．（2019春•相城区期中）在ABC∆中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，BE为AC边上的高．故选：D．典例2（2019春•盐城市东台市期中）下列说法中错误的是()A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的内角和都是180︒C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角【解答】解：A、正确，符合线段的定义；B、正确，符合三角形内角和定理；C、正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．故选：D．（2019春•徐州期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠．（1）若70C ∠=︒，30B ∠=︒求DAE ∠的度数；（2）若20C B ∠-∠=︒，则DAE ∠= ︒．【解答】解：（1）如图，Q 在ABC ∆中70C ∠=︒，30B ∠=︒，180180703080BAC C B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AE Q 平分BAC ∠，11804022CAE BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒；AD BC ⊥Q ，70C ∠=︒，90907020CAD C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，40CAE ∠=︒Q ，402020DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图，AE Q 平分BAC ∠，1(180)2CAE C B ∴∠=︒-∠-∠，AD BC ⊥Q ，90CAD C ∴∠=︒-∠，11(90)(180)()1022DAE CAD CAE C C B C B ∴∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠=∠-∠=︒．故答案为：10．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( ) A ．4cm 、7cm 、3cm B ．7cm 、3cm 、8cmC ．5cm 、6cm 、7cmD ．2cm 、4cm 、5cm【解答】解：A 、437+=，不能组成三角形，故本选项正确；B 、738+>，能组成三角形，故本选项错误；C 、567+>，能组成三角形，故本选项错误；D 、425+>，能组成三角形，故本选项错误．故选：A ．2．图中三角形的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：图中是三角形的有：ABC ∆、ADE ∆、BDF ∆、DEF ∆、CEF ∆共5个．故选：A ．3．（2019春•邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，1a -，4，那么a 的取值范围是( ) A ．15a <<B ．26a <<C ．37a <<D ．46a <<【解答】解：依题意得：42142a -<-<+，即：216a <-<， 37a ∴<<．故选：C ． 4．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误． ②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确． ③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误． ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，故选：B ．5．如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =，则(AD = )A ．5B ．6C ．8D ．4【解答】解：Q 如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =， 152AD BD AB ∴===．故选：A ．6．如图所示，ABC ∆中AC 边上的高线是( )A ．线段DAB ．线段BAC ．线段BCD ．线段BD【解答】解：由图可得，ABC ∆中AC 边上的高线是BD ，故选：D ．7．（2019春•东台市校级月考）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点O 在AD 上，且OE BC ⊥于点E ，60BAC ∠=︒，80C ∠=︒，则EOD ∠的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．10︒D ．15︒【解答】解：60BAC ∠=︒Q ，80C ∠=︒， 40B ∴∠=︒．又AD Q 是BAC ∠的角平分线， 1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，70ADE ∴∠=︒，又OE BC ⊥Q ， 20EOD ∴∠=︒．故选：A ．8．如图，ABC ∆中，12∠=∠，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ⊥于H ，下列判断，其中正确的个数是( ) ①BG 是ABD ∆中边AD 上的中线；②AD 既是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，也是ABE ∆中BAE ∠的角平分线； ③CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD ∆边AD 上的中线，故正确；②因为12∠=∠，所以AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，AG 是ABE ∆中BAE ∠的角平分线，故错误； ③因为CF AD ⊥于H ，所以CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线，故正确．故选：C ．二、填空题（共3小题）9．（2019春•东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为．【解答】解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7、7、15，Q，771415+=<∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7、15、15，能组成三角形，周长7151537=++=，综上所述，它的周长是37．故答案为：37．10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是1cm和3cm，则第三条边长_____cm．【解答】解：Q两条边长分别是1cm和3cm，<，∴第三边的取值范围是2<第三边4Q三边均为整数，∴第三边的长为3cm，故答案为：3．11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为．【解答】解：设第三边长为a，则3131-<<+，a即24<<，aQ是整数，a∴=．a3故答案为：3．三、解答题（共3小题）12．（2019春•大丰区期中）如图，在ABC∆中，点D在BC上，且BAD CAD∠=∠，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【解答】解：AD是ABC∆的角平分线；∆的角平分线，AF是ABEBE是ABC∆的中线，DE是ADC∆的中线．13．（2018秋•丹阳市期中）如图，ABC∆中，90∆的高、中线、角ACB∠=︒，CD、CE、CF分别是ABC平分线．求证：12∠=∠．【解答】证明：CFQ是ACB∠的平分线，∴∠=∠．ACF BCF∠=︒，CD ABACBQ，90⊥∴∠=∠（同角的余角相等）．ACD BCEQ是AB边上的中线，∴=，BE CE∴∠=∠（等边对等角），BCE B1ACF ACD ACF B∴∠=∠-∠=∠-∠，∠=∠-∠=∠-∠，2BCF BCE ACF B∴∠=∠．1214．如图，ABC∆中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB AC BP CP+>+．【解答】证明：在ABD+>，∆中，AB AD BD 在PDC+>，∆中，CD PD PCAB AD CD PD BD PC∴+++>+∴+>+．AB AC BP CP。

七年级数学下册专题第8讲三角形重点、考点知识总结及练习

=90°+ 1 ∠A， 2
即 D 90 1 A ． 2
【方法总结】
角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角乊间的关系。此题可记住结论：
当 BD、CD 是三角形 ABC 的角平分线时， D 90 1 A 2
【随堂练习】 1．（2017 春•辉县市期末）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的度数．
专题第 8 讲三角形
知识点 1 三角形的三边关系
1、三角形三条边乊间的关系：三角形任意两边乊和大于第三边，三角形任意两边乊差小于第三边． 2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段乊和时，戒当三条线段中最短的线段大于另两条线段乊差时，即可组成三角形”
【典例】
1. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b 【解析】解：∵△ABC 的三边长分别是 a、b、c， ∴必须满足两边乊和大于第三边，则： a+b﹣c=（a+b）-c＞0， a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0， a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即 a﹣b+2c>0），
⊥AC 于 M，探究线段 PK、PM 不 CG 乊间的数量关系．
【解析】解：连接 AP，
∵CG⊥AB，PK⊥AB，PM⊥AC，
∴S△ABC=
1 2
AB•CG，S△ABP=
1 2
AB•PK，S△ACP=
1 2
AC•PM，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ 1 AB•CG= 1 AB•PK+ 1 AC•PM，

初一下册数学《三角形》知识点复习总结

初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。