(经典)充要证明
充要条件.ppt
(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若 A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B⊆A， 则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、 B互为充要条件．
(3)等价法：即利用等价关系“A⇒B⇔綈B⇒綈A”判断， 对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用 等价法．
例 2 求证关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根 的充要条件是 ac＜0. 证明：必要性：由于方程 ax2＋bx＋ c＝0 有一正根和一负根， c 所以Δ＝b2－4ac＞0，x1·x2＝ ＜0，所以 ac＜0. a c 充分性：由 ac＜0 可得 b2－4ac＞0 及 x1·x2＝ ＜0， a 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根．
∴充分性成立． 因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件 是4a＋2b＋c＝0.
题型三 充要条件的探求
例 3 圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件是 ________． 解析：当圆 x2＋ y2＝ 1 与直线 y＝ kx＋ 2 有一个公共点时，有 |2| ＝1，解得 k＝± 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充 k2＋1 要条件是－ 3＜k＜ 3. 答案：－ 3＜k＜ 3 规律方法：解决此类一般是从结论出发找出结论成立的必要条 件， 再证明在这个条件下结论成立． 证明过程中要能够运用命题所涉 及到的相关知识和方法．
►变式训练 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充 要条件是( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直 线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图 象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
充分条件、必要条件、充要条件题型解析
ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
充分条件与必要条件充要条件模板
(2)如果“若 p,则 q”为假命题,那么由 p 推不出 q,记作 p 我们就说 p 不是 q 的充分条件,q 不是 p 的必要条件.
2.充要条件
q
,此时,
一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p是q的 充分必要 条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是 p的充要条件. 概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为 充要条件 .
数学 题后反思
若 p⇒ q,q 若p 若p 充分、必要、充要条件的判断方法 p,则 p 是 q 的充分不必要条件;
q,q⇒ p,则 p 是 q 的必要不充分条件; q,q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
若 p⇒ q,q⇒ p,则 p 是 q 的充要条件;
数学
即时训练1-1:(1)(2014高考浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形 ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(2)由正弦定理
a b = =2R(R 为三角形外接圆半径)得 a=2Rsin A, sin A sin B
b=2Rsin B,故 a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B.故选 A.
数学 【备用例1】 (2015青岛高二检测)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函 数的必要条件是( (A)b>1 (B)b<-1 ) (C)b<0 (D)b>-1
数学
题型三 充分、必要、充要条件的应用
【教师备用】 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若 A⊆ B,则 p 是 q 的充分条件,若 A 不必要条件 若 B⊆ A,则 p 是 q 的必要条件,若 B 不充分条件 若 A=B,则 p,q 互为充要条件 若 A⊈B 且 B⊈A,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必 要条件 其中 p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.可简记为:小充分,大必要. A,则 p 是 q 的必要 B,则 p 是 q 的充分
充要条件ppt课件
证明p ⇒ q，即证明必要性：
∵x = 1是方程ax 2 + bx + c = 0的根，
∴a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 0，即a + b + c = 0.
再证明q ⇒ p，即证明充分性：
由a + b + c = 0，得c = −a − b.
复习导入
充要条件
p能否推q
q能否推p
p与q的关系
p q
q p
充分必要(充要)
p是q的________________条件
p q
q
/ p
充分不必要
p是q的________________条件
p
/ q
q p
必要不充分
p是q的________________条件
p
/ q
q
/ p
既不充分也不必要
∴当a > 2时，p是q的必要不充分条件.
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1
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练习巩固
变式2.已知p: 1 ≤ x ≤ a(a ≥ 1)，q: 1 ≤ x ≤ 2.
(1)当a为何值时，q是p的充分不必要条件？
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1
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解：(1)若q是p的充分不必要条件，
即q ⇏ p，但p ⇏ q，亦即p是q的必要不充分条件，
∴{x|1 ≤ x ≤ 2} ⫋ {x|1 ≤ x ≤ a}，∴a > 2.
.p: x = 1或x = 2，q：x − 1 = x − 1.
【答案】
充要条件的证明(课堂PPT)
充要条件的探求
5
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
若 f (－x)= － f (x)，则f (x)是奇函数，反之也成立。 若 f (－x)= f (x)，则f (x)是偶函数，反之也成立。 若 f (x)是奇函数，则f (x)的函数图像关于原点对称,
反之也成立。 若 f (x)是偶函数，则f (x)的函数图像关于y轴对称，
反之也成立。
6
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
解：①探求过程：
∵ f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数 ∴ f (－x)= － f (x)
即： k (－x ) + b＝－( k x + b)
∴ b＝0 ②验证过程：
如果b＝0，那么f (x)=kx (k≠0) 此时f (x)=kx (k≠0)是奇函数 ∴f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充要条是b＝0 。
∴ （x－1）[a（x+1）+b]=0 ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1。
3
求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：必要性： ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1 ， ∴将根代入方程中ax2+bx+c=0 ∴ a+b+c=0 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0。
7
②要分清它的叙述格式。分清哪个是条件， 哪个是结论。
2Hale Waihona Puke 求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0有一 个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：充分性：
专题02 充要条件问题(解析版)
专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充要条件； 若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
1.4.2 充要条件(课件)
经典例题
题型一 充要条件的判断
跟踪训练1
已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要条件，也是 s 的充分条件，r 是 s 的 必要条件，问： (1)p 是 r 的什么条件？ (2)s 是 q 的什么条件？ (3)p，q，r，s 中哪几对互为充要条件？
：作出“⇒”图，如右图所示， 可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且 r⇒q，q 能否推出 p 未知， ∴p 是 r 的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s， ∴s 是 q 的充要条件． (3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
（4）p： a2 b2 0 ，q： a b 0 ．
经典例题
题型一 充要条件的判断
（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以 q⇒/ p，所以 p 不是 q 的充要条件。 （2）因为“若 p，则 q”是三角形的性质定理，“若 q，则 p”是相似三角形的判定定理， 它们均为真命题，既 p ⇔ q，所以 p 是 q 的充要条件。 （3）因为当 xy >0 时，x>0,y>0 不一定成立，所以 p⇒/ q,所以 p 不是 q 的充要条件。
x1x2＝1a＞0，
得 0＜a≤1.
综上：a≤1.
课堂小结
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、集合法、传递法． 2．充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两 种叙述方式的区别： ①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性． (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步 的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
充要条件的证明
充要条件的证明充要条件的证明是逻辑学中的一个重要概念，它描述的是命题和它的逆命题之间的一种关系。
如果一个命题是真的，那么它的逆命题也是真的，这种关系被称为充要条件。
在数学和逻辑学中，充要条件的证明是一个重要的任务。
首先，我们来定义什么是充要条件。
如果对于所有的x，如果x满足P(x)，则x满足Q(x)，并且如果x满足Q(x)，则x满足P(x)，则我们称P(x)是Q(x)的充要条件。
现在，我们将给出一个充要条件的证明示例。
假设我们有两个命题P(x)和Q(x)，我们想要证明P(x)是Q(x)的充要条件。
第一步，我们先证明充分性。
也就是说，如果P(x)是真的，那么Q(x)也必须是真。
为了证明这一点，我们可以假设一个反例，即假设存在一个x，使得P(x)为真但Q(x)为假。
然而，如果这样的x存在，那么根据定义，P(x)就不可能是Q(x)的充要条件，因为充分性没有得到满足。
因此，我们的假设是错误的，即不存在这样的x。
所以，我们证明了当P(x)为真时，Q(x)也必须为真。
第二步，我们证明必要性。
也就是说，如果Q(x)是真的，那么P(x)也必须是真。
为了证明这一点，我们再次假设一个反例，即假设存在一个x，使得Q(x)为真但P(x)为假。
然而，如果这样的x存在，那么根据定义，Q(x)就不可能是P(x)的充要条件，因为必要性没有得到满足。
因此，我们的假设是错误的，即不存在这样的x。
所以，我们证明了当Q(x)为真时，P(x)也必须为真。
通过以上的证明过程，我们可以得出结论：对于所有的x，如果P(x)，则Q(x)，并且如果Q(x)，则P(x)，因此P(x)是Q(x)的充要条件。
在数学和逻辑学中，充要条件的证明是一个重要的任务。
它可以用来证明一个定理是否是另一个定理的充分条件或必要条件。
同时，它也可以用来证明一个函数是否存在反函数或者一个映射是否是单射或满射。
在日常生活中，充要条件的证明也有广泛的应用。
例如，在法律中，法官可能需要证明某个证据是某个犯罪行为的充要条件，以便定罪。
充分条件与必要条件
解:(1)当 a=0 时,原方程化为 2x+1=0,即 x=- 1 ,符合要求. 2
(2)当 a≠0 时,ax2+2x+1=0 为一元二次方程.它有实根,则必须 Δ≥0,
而至少有一个负实根可分为有两个负实根和只有一个负实根的情况:
不妨令方程的根为 x1,x2.
4 4a 0,
当方程有两个负实根时,则有
题都成立,若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后 再加以证明.
一、充分条件、必要条件和充要条件的判断
判断 p 是 q 的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:m<-2,q:方程 x2-x-m=0 无实根; (3 )p :一个 四边形 是矩形 ,q:四边 形的对 角线相 等. 思路分析:分别判断 p⇒q 以及 q⇒p 能否成立,再根据定义得出相 应的 结论.
1.在证明充要条件问题时,通常从“充分性”和“必要性” 两个方面来证明.在证明时,要注意题目给出的推式,若证明“p 的充要条
件是 q”,那么“充分性”是 q⇒ p,“必要性”就是 p⇒ q.若证明“p 是 q 的充
要条件”,则与之相反. 2.证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命
所以 p 是 q 的充分不必要条件.
1.“x>0”是“x≠0”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A
解析:由“x>0⇒ x≠0”且“x≠0 x>0”,可知“x>0”是“x≠0”的充分不
必要条件.
2.判断 p 是 q 的什么条件: (1)p:a2+b2=0,q:a+b=0; (2)p:a≤-2 或 a≥2,q:方程 x2+ax+a+3=0 有实根; (3)p:圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切,q:c2=(a2+b2)r2.
充要条件的证明范文
充要条件的证明范文充要条件是数学中一种重要的证明方法。
在证明中，我们需要证明其中一种陈述P与一些条件Q等价，即P成立当且仅当Q成立。
为了说明充要条件的证明方法，以下将详细阐述证明的步骤和技巧。
一、引入充要条件的概念在开始证明之前，首先明确一下充要条件的概念。
假设有两个命题P 和Q，我们希望证明P与Q等价，即P当且仅当Q成立。
这也可以表示为P⇔Q。
如果我们能够证明P成立时Q也成立，并且Q成立时P也成立，那么我们就可以得出结论P⇔Q，即P与Q等价。
二、充分性证明充分性证明是证明P成立时Q成立的部分。
为了证明充分性，通常我们需要推导出P成立时Q的其中一种性质或结果。
1.假设P成立，推导出Q的其中一种性质或结果根据题目或问题的不同，我们可以采用不同的方法来推导出Q的性质或结果。
下面是两种常见的方法：(a)直接证明法：假设P成立，然后根据条件和已知事实，逐步推导出Q的性质或结果。
例如，假设P成立，我们可以利用已知的结果和定义，通过一系列变换逐步得出Q成立。
(b)反证法：假设P成立但Q不成立，然后利用这一矛盾推出假设不成立，即P不成立。
例如，假设P成立但Q不成立，我们可以通过假设推出一些矛盾，用来推翻假设。
2.结合逻辑推理和数学方法在推导过程中，我们可以运用逻辑推理和数学方法，如数学归纳法、构造法、反证法等，来得到Q的性质或结果。
三、必要性证明必要性证明是证明Q成立时P成立的部分。
为了证明必要性，我们通常需要假设Q成立，然后推导出P的其中一种性质或结果。
1.假设Q成立，推导出P的其中一种性质或结果与充分性证明类似，我们可以使用直接证明法、反证法或其他逻辑推理方法来推导出P的性质或结果。
2.结合逻辑推理和数学方法在必要性证明中，同样可以运用逻辑推理和数学方法，如数学归纳法、构造法、反证法等，来得到P的性质或结果。
四、整合充分性和必要性，并举例说明在充分性和必要性的证明都完成后，我们需要整合这两部分的证明，并且给出一个具体的例子来说明。
知识讲解_充分条件与必要条件(经典)
充分条件与必要条件编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。
专题5 充要条件(解析版)
专题5 充要条件题组1 充要条件的判断1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A.0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D.0＜a≤1或a＜0【答案】C【解析】方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.方法二 (排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.4．在下列三个结论中，正确的有（ ）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.②，AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C. 题组2 寻求充要条件5.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5【答案】A【解析】A ∩(∁U B )满足∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则∴6.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0①，x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.【答案】方程①有实数根的充要条件是即m ≤1且m ≠0.方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m )2－4(4m 2－4m －5)≥0，即m ≥－.∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m ≤1，且m ≠0，即－≤m ＜0或0＜m ≤1. 题组3 充要条件的证明7.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.【答案】证明 (1)充分性：当0＜m ＜时，Δ＝4－12m ＞0，所以方程mx 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根，设为x 1，x 2.由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1x 2＝＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.即0＜m ＜⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则∴0＜m ＜，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜.综上可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.8．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【答案】见解析．【解析】充分性：若0ac <，则240b ac ->，且0c a<，∴方程20ax bx c ++=方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，则240b ac ∆=->，12,0,0c x x ac a =<∴<，即可得结论.试题解析：(1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.9．已知,a b 是实数，求证：44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【答案】必要条件,证明见解析.【解析】由44221a b b --=，即442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为2210a b ++≠,故()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=,所以44221a b b --=成立的必要条件是221a b -=.题组4 由充分、必要条件求参数的范围10.已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是() A.(－2，－1]B.[－2，－1]C.[－3,1]D.[－2，＋∞)【答案】A 【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞).不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0可以化为(x －1)(x ＋a )＞0，当－a ≤1时，解得x ＞1或x ＜－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a ＞1时，不等式(x －1)(x ＋a )＞0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为(－2，－1].11.已知p ：|x －4|＞6，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.【答案】0＜a ≤3【解析】依题意，可得p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，q ：B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，⇒0＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是0＜a ≤3.12.已知p ：，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.【答案】[9，＋∞) 【解析】由已知，p ⇒q ，q ⇏p . 13.已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)＞0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}.(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.【答案】M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}.(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件.(2)当M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.14．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =． 【解析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<， 所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-；（2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <， 根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞，即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3， 根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩， 所以52a =-，12b =． 15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件（2）当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件【解析】（1）{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤. 要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,12,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S ⊆P ，当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥要使S ⊆P ，则有11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩，解得0m ≤，所以0m =， 综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．题组5 含有否定性语句的命题处理16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或故所求实数a的取值范围是.17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需即∴a≤9.故所求实数a的取值范围是(－∞，9].17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁R B＝{x|－4≤x＜－2}，{x|x满足p}＝∁R A＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，则或即－≤a＜0或a≤－4.∴a的取值范围为.。
充要条件 课件(29张)
解:(1)因为|x|=|y|时,x=±y,不一定有x3=y3,而x3=y3时一定有x=y,必
有|x|=|y|,
所以p是q的必要不充分条件.
数学
(2)p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,∠C>∠B.
(3)p:A⊆B,q:A∪B=B;
(4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.
(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;
(2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|;
(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;
(4)p:|x-1|>2,q:x<-1.
其中p是q的充要条件的有(
)
(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组
数学
2
2
解析:对(1),ab=0 指其中至少有一个为零,而 a +b =0 指两个都为零,因此 q⇒p,
腰三角形”是“△ABC是正三角形”的充要条件,因此选C.
数学
2.命题“实数的平方是非负数”的逆命题是
.
解析:“实数的平方是非负数”可以写为“若一个数是实数,则它的平
方是非负数”,因此其逆命题是:若一个数的平方是非负数,则这个数
是实数.
答案:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数
数学
3.一次函数y=kx+b(k≠0)过原点的充要条件是
2
但 p
q,p 是 q 的必要不充分条件;对(2),|x+y|=|x|+|y|⇔(|x+y|) =(|x|+
2
2
2
2
2
|y|) ⇔x +2xy+y =x +2|xy|+y ⇔xy=|xy|⇔xy≥0,所以 p 是 q 的充要条件;对(3),
充分条件必要条件充要条件及命题的四种形式模板
4）若A=B ，则甲是乙的
充分且必要条件
A
B
A =B
3)
4)
小结 充分必要条件的判断方法：
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
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复习 新课 小结 作业
练习1、 判断下列命题中前者是后者的什么条件？ 后者是前者的什么条件？
（1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。 （2）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （3）若a2>b2，则a>b。
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的
（Ａ ）条件
A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
充分条件与必要条件
典型例题
例2．填表
p
q
p是q的什么条件 q是p的什么条件
y是有理数 y是实数
充分
必要
x5
x3
充分
必要
m，n是奇数 m+n是偶数 充分
必要
ab
ab
必要
x A且x B x A B 充分 必要
充分 必要 充分
ab 0
a0
( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2
则b2 4ac 0 ．
真
（6方）程若a有b ax02， 则bx a c 0 0；(a 0) 两个不等的实数解假
b2 4ac 0
知识讲解_充分条件与必要条件(经典)
充分条件与必要条件编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 )若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。
v1并v2是v的子空间的充要条件证明
v1并v2是v的子空间的充要条件证明子空间的概念是线性代数中非常重要的一个概念，它在向量空间中起着至关重要的作用。
在给定向量空间V的情况下，一个子集合U如果满足以下两个条件，即加法封闭性和数乘封闭性，则称该子集合U 是V的子空间。
加法封闭性要求当任意两个向量v1和v2均属于U时，它们的和v1+v2也属于U；而数乘封闭性要求当任意一个标量k和向量v均属于U时，它们的数乘kv也属于U。
我们可以用直观的方法来理解子空间的概念，例如在二维向量空间中，经过原点的直线或者平面就是子空间。
在这篇文章中，我们将讨论一个重要的问题，即对于给定向量空间V中的任意两个子空间v1和v2，如何判断它们是否为V的子空间。
具体地，我们将讨论v1并v2是V的子空间的充要条件。
充要条件是指一个命题成立的必要且充分条件。
也就是说，如果v1并v2是V的子空间，则必然满足某一充要条件；反之，如果满足某一充要条件，则v1并v2就是V的子空间。
首先，我们来证明v1并v2是V的子空间的充分条件。
假设v1并v2是V的子空间，我们需要证明满足加法封闭性和数乘封闭性。
首先考虑加法封闭性，即对于任意两个向量u和v，如果它们分别属于v1并v2，则它们的和也应属于v1并v2。
根据v1并v2的定义，v1并v2可以表示为v1∩v2，即同时属于v1和v2的向量构成的集合。
因此，对于任意u和v属于v1并v2，它们也分别属于v1和v2，因此它们的和u+v也分别属于v1和v2。
由于u和v是任意选取的，因此加法封闭性得到满足。
接下来考虑数乘封闭性，即对于任意标量k和向量u属于v1并v2，ku也应属于v1并v2。
同样地，根据v1并v2的定义，u必然同时属于v1和v2，因此ku也同时属于v1和v2，即数乘封闭性得到满足。
因此，v1并v2是V的子空间的充分条件得到证明。
接下来，我们来证明v1并v2是V的子空间的必要条件。
假设v1并v2是V的子空间，我们需要证明满足加法封闭性和数乘封闭性。
高一数学充要条件典型题
高一数学充要条件典型题数学这门学科，有时候就像一场迷雾中的探险，让人又爱又恨。
高一的数学，尤其是充要条件这一块，很多同学都觉得像吃了个定心丸，既酸又涩，难以下咽。
今天，我们就来聊聊这个话题，用轻松幽默的风格，带你走进充要条件的世界！1. 充要条件的基本概念首先，啥叫充要条件呢？简单说，就是“你有我也有，缺一不可”的关系。
想象一下，你约了朋友一起去吃饭，结果他告诉你：“要想吃到好吃的，得先让我开车。
”这时候，开车就是去吃饭的充要条件。
没车，没饭，简单明了，对吧？1.1 理解充要条件的例子再给你个更形象的例子。
想象一下，一个男生追女生，女生说：“我愿意跟你在一起，前提是你得会做饭。
”那么，会做饭就是这个男生追到女生的充要条件。
如果他每天只会点外卖，那就等着单身吧，哈哈！1.2 充要条件的反例但这时候我们也得小心，充要条件可不是简单的“只要有就行”。
有时候你可能会觉得，“我有车，但我不想请你吃饭。
”那么车就不是充要条件了，懂吧？所以，充要条件是有双向性的，得看清楚。
2. 充要条件在数学中的应用进入数学的世界，充要条件也经常出现在几何和代数中。
比如，我们常说“一个三角形的内角和是180度”这就是一个条件。
如果你说“这三个角的和是180度，那么它一定是个三角形”，这时候就涉及到了充要条件。
2.1 证明充要条件的技巧想要证明某个条件是否成立，我们可以用反证法。
这就像你去一个派对，朋友说“如果你喝酒，那你就会醉”。
你可以反过来想：如果你没醉，那是不是意味着你没喝酒？这样来推理，层层递进，最后就能找到答案。
2.2 常见的充要条件题型在考试中，常常会看到这样的题目：“若(A → B)，则B是否一定成立？”你只需用心思考：如果A成立但B不成立，是否与已知条件矛盾？这时候，画个图或者列个公式，真的是手到擒来。
3. 学习充要条件的策略那么，面对充要条件这一大块，怎么才能轻松搞定呢？其实，最关键的就是理解和多练习。
3.1 理解概念一定要记得，理解概念是基础，就像盖房子，地基打牢了，后面的结构才不会塌。
同阶矩阵合同的充要条件证明
同阶矩阵合同的充要条件证明同阶矩阵合同的充要条件证明一、引言在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
矩阵可以用于描述线性变换和解线性方程组等问题。
在研究矩阵的性质时，我们经常会遇到两个矩阵是否合同的问题。
本文将讨论同阶矩阵合同的充要条件，并给出详细的证明过程。
二、定义我们来回顾一下合同矩阵的定义。
设A和B是两个n×n的方阵，如果存在一个可逆方阵P，使得P^TAP=B，则称A与B合同。
三、充分条件接下来，我们将证明如果A与B合同，则它们有相同的秩、行列式和特征值。
1. 相同秩的证明：设A与B合同，则存在可逆方阵P，使得P^TAP=B。
由于可逆方阵保持行等价关系不变，所以A与B具有相同的行等价关系。
而行等价关系能够保持矩阵的秩不变，因此A与B具有相同的秩。
2. 相同行列式的证明：设A与B合同，则存在可逆方阵P，使得P^TAP=B。
我们知道，对于任意方阵A，有det(AB)=det(A)det(B)。
将B替换为P^TAP，得到det(P^TAP)=det(P^T)det(A)det(P)=det(A)。
A与B具有相同的行列式。
3. 相同特征值的证明：设A与B合同，则存在可逆方阵P，使得P^TAP=B。
我们知道，矩阵合同不改变矩阵的特征多项式和特征值。
设A的特征多项式为f(x)，则有f(x)=|A-xI|=|B-xI|。
由于矩阵的特征多项式与其特征值是一一对应的关系，所以A与B具有相同的特征值。
如果A与B合同，则它们有相同的秩、行列式和特征值。
四、必要条件接下来，我们将证明如果A与B具有相同的秩、行列式和特征值，则它们合同。
1. 合同性质的证明：设A与B具有相同的秩、行列式和特征值。
由于矩阵具有Jordan标准形，我们可以将A和B分别进行Jordan分解：A=PJP^(-1)，B=QJQ^(-1)，其中J是Jordan标准形矩阵。
由于A和B具有相同的特征值，所以它们的Jordan标准形矩阵J也相同。
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【证明】 (1) 即要证：“若x＝1是关于x ax2+bx+c=0 的一个根， 则a+b+c=0” ∵x＝1是方程 ax2+bx+c=0 ∴a· 12+b· 1+c=0 即a+b+c=0 (2) 即要证：“若a+b+c=0 则x=1是方程 ax2+bx+c=0 ∵a+b+c=0，把x＝1 a· 12+b· 1+c=a+b+c=0 ∴x＝1是方程ax2+bx+c=0 由(1),(2) 【点评】 对于充要条件，充分条件，必要条件的命题的求解， 要弄清谁是条件，谁是结论．否则r，圆心O到直 线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆 O相切的充要条件. 要点提示：
①充分性和必要性要分别证明；
②最后要下一个结论；
练习P13 B组2
证明关于x的方程 ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条
件是a+b+c=0 【分析】 对于充要条件的证明题，论证时，首先要判定命 题中的条件是什么？结论是什么？由题设易知这里的条件 是“a+b+c=0”，结论是“关x的方程 ax2+bx+c=0有一个 根为1”．其次是要分清充分性和必要性各要证明的是什么
变式训练 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.