信号与系统--第四章
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信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案
） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
《信号与系统》教与学第四章
j n e 3
j n
e3
1 n
sin
n 3
,
n
0, 1,
2,
2
《信号与系统》教与学第四章答案
4.4 周期信号 f (t ) 的双边频谱 Fn 如图所示，求其三角函数表达式。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念，单边谱与双边谱的关系。
（3）计算信号的功率。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念应用；帕斯瓦尔功率等式应用。
T
2
；
f
t
A0 2
n1
An
cos
nt n
；P
Fn 2 。
n
【解题方法：】利用已知条件观察求出 ，并带入公式计算求出各次谐波分量；
根据单边幅度谱和双边幅度谱的关系、单边相位谱和双边相位谱的关系画出双
边幅度谱和相位谱；最后利用帕斯瓦尔功率等式计算信号的功率。
解：（1）
x
t
16 cos
20
t
4
6
cos
30
t
6
4
cos
40
t
3
10 (rad/s) ，
T
2
2 10
1 (s) ， 5
周期信号所含谐波次数为二次，三次，四次；
求得。
（1） cos( t ) sin 2t
解： T1
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性
大，输出信号VO(s) 与差分输入信号V1(s)和V2(s)之间满足关系式： Vo(s)A[V2(s)V1(s)]，求：（1）H(s)VV1o((ss)) (2)A满足什么条件，系统稳定？
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
重庆邮电大学信号与系统课件第4章
f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相 反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
信号与系统-模拟角度调制系统
瞬时角频率：(t) c KFM f (t)
瞬时相位： (t) (t)dt ct KFM f (t)dt
sFM t A0 cosct 0 kFM f t dt
kFM ——调频灵敏度，单位为弧度/秒/伏。
调频波的瞬时频率偏移与f(t)成线性关系。
PM 信号和FM 信号波形如图所示：
满足窄带条件时
sNBFM t A cosct
A FM 1
2
cosc
m1t
A FM 1
2
c
m1t
AFM 2
2
cosc
m2 t
AFM 2
2
cosc
m2 t
有效频带宽度：若m2 m1 BNBFM 2m1
不满足窄带条件时：
sFM t A e j t
取其实部
A
J J e n FM1
f t Am1 cosm1t Am2 cosm2t
t c kFM Am1 cosm1t kFM Am2 cosm2t
t ct FM1 sin m1t FM 2 sin m2t
FM 1
kFM Am1
m1
FM 2
kFM Am 2 m 2
sFM t A cos ct FM1 sin m1t FM 2 sinm2t
有效带宽：（以单音调制为例）
调相波的有效带宽： BPM 2 PM 1 fm
窄带调相波的有效带宽： BPM 2 fm
调相波的的有效带宽与调制频率有关；而调频 波在调制频率变化时，有效带宽基本保持不变；
对于多音调制，调相波的有效带宽取决于最高调 制频率分量，而调频制不存在这个问题；在实际 应用中，调频制比调相制要广泛的多。
调频波的有效带宽：
理论上调频信号的带宽为无限宽。然而实际上各次边频
瞬时相位： (t) (t)dt ct KFM f (t)dt
sFM t A0 cosct 0 kFM f t dt
kFM ——调频灵敏度，单位为弧度/秒/伏。
调频波的瞬时频率偏移与f(t)成线性关系。
PM 信号和FM 信号波形如图所示：
满足窄带条件时
sNBFM t A cosct
A FM 1
2
cosc
m1t
A FM 1
2
c
m1t
AFM 2
2
cosc
m2 t
AFM 2
2
cosc
m2 t
有效频带宽度：若m2 m1 BNBFM 2m1
不满足窄带条件时：
sFM t A e j t
取其实部
A
J J e n FM1
f t Am1 cosm1t Am2 cosm2t
t c kFM Am1 cosm1t kFM Am2 cosm2t
t ct FM1 sin m1t FM 2 sin m2t
FM 1
kFM Am1
m1
FM 2
kFM Am 2 m 2
sFM t A cos ct FM1 sin m1t FM 2 sinm2t
有效带宽：（以单音调制为例）
调相波的有效带宽： BPM 2 PM 1 fm
窄带调相波的有效带宽： BPM 2 fm
调相波的的有效带宽与调制频率有关；而调频 波在调制频率变化时，有效带宽基本保持不变；
对于多音调制，调相波的有效带宽取决于最高调 制频率分量，而调频制不存在这个问题；在实际 应用中，调频制比调相制要广泛的多。
调频波的有效带宽：
理论上调频信号的带宽为无限宽。然而实际上各次边频
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统分析第四章 连续时间系统的频域分析
(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章 连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之 比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输 出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。 由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅 里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章 连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章 连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。 系统的频 域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里 叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或 分析系统的特性。 利用频域分析法求系统响应, 是 通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一 系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这 些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得 到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关 键。 系统函数的求解方法有如下几种:
第四章 连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边 取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变 换来求取;
信号与系统基础-第4章
5
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
信号与系统 王明泉 课件第4章
+∞
傅里叶逆变换
x( t ) e
−σ t
1 ∞ = X (σ + jω) ejωt dω 2π ∫−∞
以 两边同乘 eσ t
1 ∞ (σ + jω)t x( t ) = ∫−∞ X (σ + jω) e dω 2π
令 s = σ + jω ; d s = jdω 拉普拉斯逆变换
ω: ∫ ⇒s : ∫
L[ ax1(t) + bx2 (t)] = aX1(s) + bX2 (s)
−2 t 例4.2.1 求 x(t ) = (1 − e )u (t ) 拉普拉斯变换
L [ x(t ) ] = L u (t ) − e −2t u (t ) = L [u (t ) ] − L e −2t u (t ) 1 1 = − s s+2
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
11 /85
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛性
根据定义：选择适当的σ才使得x(t)的拉氏变换存在。 由于x(t)e-σt的傅里叶变换就是拉氏变换，当σ> σ0区域内 的任意一点时，若x(t)e-σt绝对可积，则拉氏变换的收敛 域就是σ> σ0，而σ= σ0这条垂线就是收敛域的边界，称 为收敛轴。
jω0t
(σ > 0) (σ > 0)
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
17 /85
正弦信号
ω0 1 1 1 L[sinω0tu(t)] = − = 2 2 j s − jω0 s + jω0 s +ω02
1 1 1 s L[ cosω0tu(t)] = + = 2 2 s − jω0 s + jω0 s +ω02
信号与系统张晔版第四章ppt
L[u(t)] est dt est 1
0
s
s
0
u(t) 1 s
(2) 单边指数信号 f (t) eatu(t)
延时信号
→ 对比傅里叶变换？ 双边
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
eat u(t) 1 sa
( a)
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
(2) 先尺度、后平移
L
f
(at)u(at)
1 a
F
s a
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
4.2.6 时域微分特性
推而广之：
L
d n f (t)
dt n
sn F (s)
n 1 r 0
snr 1
f
(r) (0)
式中
f
(r)
(0)是r阶导数
d
r f (t) dt r
在0-时刻的取值。特别是，如果它们都为0，则
L
df (t dt
)
sF
(s)
L
d
2f dt
(t
2
)
s2F(s)
i 1
i 1
在应用中，可实现复杂信号的分解。
4.2.2 时域平移特性
信号与系统 第4章-作业参考答案
题图 4-3-1 解：
11
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4-3-7
1）x(t)是实周期信号，且周期为 6； 3）x(t) = −x(t − 3)
1 3
设某信号x(t)满足下述条件：
2）x(t)的傅里叶系数为ak ，且当k = 0 和 k > 2时，有ak = 0；
1
4） ∫−3 |x(t)|2dt = 6 2 5）a1是正实数。
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
第 4 章 习题参考答案
4-1 思考题 答案暂略 4-1 练习题 4-2-2 已知三个离散时间序列分别为 x1 ( n) = cos
2πn 2πn , x3 (n) = e , x 2 (n) = sin 25 10
π x (t ) = sin 4π t + cos 6π t + 时，试求系统输出 y (t ) 的傅立叶级数。 4
解：
3
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4因果系统： y(t) + 4y(t) = x(t)
式中x(t) 为系统输入，y(t)是系统输出。在下面两种输入条件下，求输出y(t)的傅里叶级数 展开： 1）x(t) = cos2πt ；
2
2
= 3 ） f ( t ) Sa (100t ) + Sa
解：
( 60t ) 4）
sin(4π t ) , −∞ < t < ∞ πt
9
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4）T=1/4 4-2-27 设 x(t ) 是一实值信号，在采样频率 ω s = 10000π 时， x(t ) 可用其样本值唯一确定
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
信号与系统_哈尔滨工业大学_4 第四章拉氏变换与S域分析_12 412H(S)、E(S)的极点与自由响应、强迫响应
第4章 拉氏变换与s域分析
H(s)、E(s)极点分布与自由响应、 强迫响应关系
八、H(s)、E(s)极点分布与自由响应、 强迫响应关系
m
u
(s zj)
(s zl )
H (s)
j 1 n
,
E(s1
k 1
零状态响应：R(s) H (s)E(s)，r(t) L 1[R(s)]
e2t
)u(t)
2 3 2 0， 1， 2
微 分
rh
(t)
A1et
A2e2t，rp
(t )
1 2
u (t )
方
程 经 典
r(0 )
1,
r(0 )
2 ，
A1
A2
1 2
1
A1 2 A2 2
A1
3
A2
5 2
解
法
rh (t)
3et
5 2
e2t
全部自由响应
r(t) (3et 5 e2t 1 )u(t) 22
自由响应 齐次解
零输入响应 齐次解的一部分
强迫响应 特解
零状态响应 齐次解的一部分+特解
2．Ki , Kk 均由 pi , pk共同作用，即
自由响应：形式只由H(s)决定， 幅度相位由H(s)、E(s)共同决定
强迫响应：形式只由E(s)决定， 幅度相位由H(s)、E(s)共同决定
3．固有频率(自由频率)：系统行列式(系统特 征方程)的根，反映全部自由响应的形式
s2
s
16
40 17
s2
4
16
10 17
s
1 1
v2
(t
)
[10 17
H(s)、E(s)极点分布与自由响应、 强迫响应关系
八、H(s)、E(s)极点分布与自由响应、 强迫响应关系
m
u
(s zj)
(s zl )
H (s)
j 1 n
,
E(s1
k 1
零状态响应：R(s) H (s)E(s)，r(t) L 1[R(s)]
e2t
)u(t)
2 3 2 0， 1， 2
微 分
rh
(t)
A1et
A2e2t，rp
(t )
1 2
u (t )
方
程 经 典
r(0 )
1,
r(0 )
2 ，
A1
A2
1 2
1
A1 2 A2 2
A1
3
A2
5 2
解
法
rh (t)
3et
5 2
e2t
全部自由响应
r(t) (3et 5 e2t 1 )u(t) 22
自由响应 齐次解
零输入响应 齐次解的一部分
强迫响应 特解
零状态响应 齐次解的一部分+特解
2．Ki , Kk 均由 pi , pk共同作用，即
自由响应：形式只由H(s)决定， 幅度相位由H(s)、E(s)共同决定
强迫响应：形式只由E(s)决定， 幅度相位由H(s)、E(s)共同决定
3．固有频率(自由频率)：系统行列式(系统特 征方程)的根，反映全部自由响应的形式
s2
s
16
40 17
s2
4
16
10 17
s
1 1
v2
(t
)
[10 17
信号与系统 第四章 拉氏变换及S域分析
2．单边拉氏变换的收敛域
例1： f t e2 t t 0
lim f t e t lim e 2t e t lim e 2 t 0
t
tபைடு நூலகம்
t
j
20
2 0 0 :收敛坐标
例2：f t u t
2 0
j
lim u t e t lim 1 e t 0
t
t
0
0 0 0
f (t) 1 F e j td F 1 f (t)
2
X
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引 入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利 用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围， •优点在于：
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍； •缺点在于： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
X
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
f t e t
1
F j e j t d
2
两边同乘 e t
f t
1
F j e j t d
2
j
其中: s j d s j d 对 : 对s :
j
f t 1
j
F
s
e
s
t
ds
2 j j
X
3．拉氏变换对
F
s
相关主题
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19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
3
第一节 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶变换条件，信号在无限区间绝对可积
f (t) dt -
F(w) f (t) e- jwt dt -
f (t) 1 F(w) e jwt dw 2 -
若f(t)不满足绝对可积条件， 则其傅里叶变换不一定存在。
第2章连续系统的时域分析
信号与系统
Signals and systems
■
第4章连续系统的复频域分析
2
由第三章学习，知连续 时间系统的频域分析为
F [f ( t )]
F -1[ y ( jw )]
f (t) F( jw) 系统的零状态响应H ( jw) Y( jw)
y(t )
频域分析法缺点： 1、有些f (t)的傅里叶变换不存在。 2、傅里叶分析求逆变换 的过程比较繁琐。
(t) 1 ( -)
(at) 1
a
(at - b) 1 e-bs/ a
19:57
a
(t - b) e-bs (at - b) 1 e-bs/ a
a
■
第4章连续系统的复频域分析
27
5. 时域卷积
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
28
利用卷积特性可方便利用是域求解系统的零状态响应
F(s) '(t)e-stdt (-1)'(e-st )' s ( -)
0-
t 0
F(s) (n) (t) e-stdt (-1)(n) (e-st )(n)
( -)
0-
t 0
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
19
5．t的正幂次信号t n (t )
F (s) t n e-st dt 0-
LT[ d 2 f (t)] d 2 f (t) e-st dt
dt 2
0- dt 2
d [ df (t)] e-st dt 0- dt dt
ssF (s) -
(Re( s) max( 0,-)即： 0)
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
29
6. 时域微分
式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数，
f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
9
【例】求指数函数
的象函数F(s)。
f (t) eαt (t)
(α>0, α∈R)
【解】根据定义
F (s) ete-stdt e-(s- )tdt e-(s- )t
0
0
- (s -)
0
1 [1- lim e-(s- )t ]
s - t
19:57
ss
s
ss
n! s n1
19:57
t n (t)
n! s n1
( 0)
■
第4章连续系统的复频域分析
20
四、 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
例: f1 (t )
1 s 1
( -1)
f2 (t)
(s
1 1)( s
2)
( -1)
f1(t)
-
f2 (t)
1 s 1
-
(s
1 1)(s
2)
(s
(s 1) 1)(s
0-
0-
s-
15
( )
即： et (t) 1 s-
( )
同理： e jw0t (t) 1 s - jw0
( 0)
e(0 jw0 )t (t)
1
s - ( 0 jw0)
( 0)
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
16
2．正弦信号 sin(w0t) (t)
F(s)
0-
sin w0t
在实际问题中，我们遇到的都是因果信号，信号总有发生 的起始时刻，如果将起始时刻定为时间原点，
f (t) 0 (t 0)
F(s) f (t)e-stdt 0-
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
7
上式称为f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有
0
f
(t)
1
2j
j
F
(
s)e
st
ds
- j
一般而言，若极限 lim f (t)e-t 在σ>σ0时取值为零
，则收敛条件为σ>σ0 。 t
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
12
在以σ为横轴，jω为纵轴的复平面（s平面）上，σ0在复平 面称为收敛坐标，通过σ0的垂直线是收敛区的边界，称为收敛 轴。 收敛轴将复平面划分为两个区域，σ> σ0的是一个区域，称 为象函数F(s)的收敛域，如下图所示。
19:57
■
第4章连续系统的复频域分析
30
•
证明:根据拉氏变换定义
LT[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
[e-st f (t)]0 -
0-
(-s)e-st f (t)dt
sF (s) - f (0- )
得证。
19:57
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第4章连续系统的复频域分析
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同理可得
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二、拉氏变换的收敛域
在引入拉氏变换时我们说过，当f(t)乘以衰减因子e-σt后， 就有可能找到合适的σ值使f(t)e-σt绝对可积，从而f(t)e-σt的傅氏 变换存在，继而得到f(t)的拉氏变换。那么，合适的σ值如何确 定呢？或者说，如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话，那么如何确定该收敛域？下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明。
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例、 f (t) e-t cos(w0t) (t), a为实数.求f (t)的象函数.
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第4章连续系统的复频域分析
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4. 尺度变换
若 f (t) F (s), Re[ s] 0 , 则
f (at) 1 F s a a
a 式中， 为常数， a 0
Re[s] a 0
例: 求x(t) (at -b) 的拉氏变换
y (t ) f (t ) * h (t ) Y (s) F (s) H (s)
H (s) Y (s) F (s)
例： f1(t) e-t (t), f2 (t) (t)求[ f1(t) * f2 (t)]
f1 (t )
e-t (t)
s
1
( -)
f2
(t )
(t )
1 s
( 0)
1
[ f1(t) * f2 (t)] s(s )
f t 不满足绝对可积条件，是由于t 或t -时，
f t 不趋于零。如果引入一个衰减因子e-t 去乘以f t ，
只要 选择得适当，就可以克服此困难。
因此其傅里叶变换存在。
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第4章连续系统的复频域分析
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设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使f(t)e-σt绝 对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(σ+jω)表示该信 号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有
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第4章连续系统的复频域分析
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由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为
lim e-(s- )t lim e e -( - )t -jwt
t
t
只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有
lim e-(s- )t 0
t
从而使f(t)的象函数为
F(s) 1
s -
若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。
e-st dt
e jw0t - e- jw0t e-st dt
0-
2j
1 2j
s
1
- jw0
-
s
1
jw0
s2
w0 w02
即：
sin w0t (t)
s2
w0 w02
( 0)
同理：
cosw0t
(t)
s2
s
w02
( 0)
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第4章连续系统的复频域分析
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3．单位阶跃信号 (t )
F ( jw ) f (t)e-te- jwtdt f (t)e-( jw )tdt
-
-
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)e-t 1 F ( jw )e jwtdw
2 -
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第4章连续系统的复频域分析源自5令s=+jw,则ds=jdw ，当w=±时，s= ± j,得
象函数
F (s) f (t)e-st dt -
f (t)e-t 1 F ( jw)e( jw)t dw f (t) F (s)
2 -
上式两边乘以eσt，得
F (s) [ f (t)]
原函数
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
f (t) -1[F (s)]
2j - j
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以衰减振荡
F (s) e-st dt - e-st 1
0-
s 0- s
即：
(t) 1 ( 0)