复变函数与积分变换试题及答案1

sin z d z ，其中 C 为 | z |= 2 。 z ( z − 1)
5.求 ∫
C
ez d z ，其中 C 为 | z |= 2 。 cos z
6．把函数
1 在 1 <| z |< 2 内展开成罗朗级数。 ( z + 1)( z − 2)
2
3
7．指出
f (z) =
z − sinz z6
在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题： （每题 3 分） 1. − 1 − 3 i 的三角表达形式： 指数表达形式： 几何表达形式： 2． (−3) 2i = ； . 。 . ； ；
3. 设 M = Max {| f ( z ) | z ∈ C}, L 为曲线 C 的长度，则 ∫C f ( z ) d z ≤ 4．级数 1 + z + z 2 + L + z n + L 的和函数的解析域是
(n)
( z ) 也在 z 0 解析。
（√） （×） （×） （×）
3．如果 u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么 f(z)=u+iv 可导。 4．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成罗朗级数。 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性
三、解答题（每题 8 分）
1．设 f ( z ) = xy 2 + i x 2 y ，则 f ( z ) 在何处可导？何处解析？
8.求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足
1 1 π 的分式线性映照。 f ( ) = 0 ， arg f ′( ) = 2 2 2
解：设分式线性映照为
1 2 w = eiθ 1 1− z 2 z− 1 1 1 1− z + ( z − ) 2 2 2 | = 4 eiθ Qw′| 1 = eiθ 1 z= z= 1 3 2 2 (1− z ) 2 2 ∴θ =
；
几何表达形式： | −1− 3i|= 2, Arg ( −1− 3i) = ( − 2． ( −3) 2i = e 2π −2 kπ −+2ln3i ；
3. 设 M = Max | f ( z ) | z ∈ C , L 为曲线 C 的长度，则
2 n
{
}
∫
C
f ( z )d z ≤ ML .
2、若函数 f (z ) 在 z 0 处解析，则 f
2 ． 已 知 f （ z ） 的 虚 部 为 v ( x, y ) = − x 2 + y 2 ， 求 解 析 函 数
f ( z ) = u + iv 且f (0) = 0 .
1 2
1 2
3.求积分 I = ∫C zdz, C 为沿单位圆 (| z |= 1) 的逆时针一周的曲线。
2
4.求 ∫
C
2
1 ( z + 1)( z − 2) z+2 1 1 = [ − 2 ] 5 z − 2 z +1 1 1 1 1 − ( z + 2) 解： = [− ] 1 5 2 1− z z 2 (1 + 2 ) z 2 ∞ ∞ z 1 1 ( z + 2) 1 = [− ∑ ( )n − (−1) n 2 n ] ∑ 2 z z 5 2 n =0 2 n=0
2 ∞ ∞ 1 ∞ zn 1 2 = − [∑ n +1 + ∑ (−1) n 2 n +1 + ∑ (−1) n 2 n + 2 ] z z 5 n=0 2 n=0 n=0 z − sin z 7．指出 f ( z ) = 6 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点 z
处的留数。
6
z − sin z 的孤立奇点z =0, z6 z3 z5 z7 1 f ( z ) = 6 ( z − z + − + −L) z 3! 5! 7! 解： ∴z =0为f ( z )的三阶极点, Q f ( z) = 1 Re s[ f ( z ),0] = − . 5!
处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足
1 1 π 的分式线性映照。 f ( ) = 0 ， arg f ′( ) = 2 2 2
四、利用拉氏变换求解微分方程（6 分）
⎧ y ′′ + 4 y ′ + 3 y = e −t ⎨ ⎩ y (0) = y ′(0) = 1
1 , s +1
7
解： = 2π i{Re s[ z ( z − 1) , 0] + Re s[ z ( z − 1) ,1]}
sin z sin z |z = 0 + |z =1} 2z −1 2z −1 = 2π i sin1 = 2π i{
5.求 ∫
C
ez d z ，其中 C 为 | z |= 2 。 cos z
4．级数 1 + z + z + L + z + L 的和函数的解析域是 | z |<1 。 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是：保圆性、保对称性、 ；带形域到角形 域；角带形域到角形域。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题 3 分） 1．因为 | sin z |≤ 1 ，所以在复平面上 sin z 有界。 （×）
5. 分 式 线 性 函 数 、 指 数 函 数 、 幂 函 数 的 映 照 特 点 各
是 。
二、 判断正确与错误（画对错号，每题 3 分）
1． 因为 | sin z |≤ 1 ， 所以在复平面上 sin z 有界。 2、 若函数 f (z ) 在 z 0 处解析， 则 f ( n ) ( z ) 也在 z 0 解析。
π
2 2 z −1 ∴w = i 2− z
四、利用拉氏变换求解微分方程（6 分）
⎧ y ′′ + 4 y ′ + 3 y = e −t ⎨ ⎩ y (0) = y ′(0) = 1
（提示： L[e − t ] =
1 ） s +1
解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得
S 2Y ( s ) − Sy (0) − y′(0) + 4[ SY ( s ) − y (0)]+ 3Y ( s ) = 1 + s + 5, s +1 s 2 + 6s + 6 Y ( s) = 2 , ( S 4 S + 3)( s +1) 1 7 3 ∴ y (t ) = te − t + e − t − e−3t 2 4 4 ∴( S 2 4 S + 3)Y ( s ) =
（提示： L[e − t ] =
1 ） s +1
4
试题答案
一、填空题： （每题 3 分） 1. − 1 −
3 i 的三角表达形式： 2[cos(−
(− 2π +2 kπ ) i 3
2π 2π + 2kπ ) + i sin(− + 2kπ )] ; 3 3
2π + 2kπ ) . 3
指数表达形式： 2e
且f (0) = 0
∂u ∂v ∂u ∂v = = y, = − = x, ∂x ∂y ∂y ∂x ∴ u = xy + c 解：Q f (0) = 0 Q ∴ 在(0, 0)处可导,处处不解析. 1 f ( z ) = xy − i ( x 2 − y 2 ). 2
1 2
1 2
3.求积分 I = ∫C zdz, C 为沿单位圆 (| z |= 1) 的逆时针一周的曲线。
C
∫
ez dz cos z ez π ez π , ] + Re s[ , − ]} cos z 2 cos z 2
−
解：
= 2π i{Re s[
π
π
e2 e 2 = 2π i{ + } −1 1 = 2π i (e 2 − e 2 )
−
π
π
6．把函数
1 在 1 <| z |< 2 内展开成罗朗级数。 ( z + 1)( z − 2)
Q u = xy 2 , v = x 2 y处处可微, ∂u ∂v ∂u ∂v = y2 , = x2 , = 2 xy, = 2 xy, 解： ∂x ∂y ∂y ∂x ∴ C − R方程仅在(0, 0)处成立, f ( z )在(0, 0)处可导,处处不解析.
2．已知 f（z）的虚部为 v( x, y ) = − x 2 + y 2 ，求解析函数 f ( z ) = u + iv,
如果 u(x,y)， v(x,y)的偏导数存在， 那么 f(z)=u+iv 可导。 3．
（ （ （
） ） ）
4 ．在 zo 处可导的函数，一定可以在 zo 的邻域内展开成罗朗级数。
（ ）（每题 8 分）
1．设 f ( z ) = xy 2 + i x 2 y ，则 f ( z ) 在何处可导？何处解析？
5
z = eiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ), dz = ieiθ dθ , 则
解：设
I = ∫ e − iθ ieiθ dθ (3分) = 2π i
0
2π
4.求 ∫
C
sin z d z ，其中 C 为 | z |= 2 。 z ( z − 1)
sin z
C
∫ z ( z − 1) d z
sin z sin z