100个小学数学问题

100个小学数学问题_转自重庆市教师国培项目研读材料2010-11-26 13:54:35| 分类：国培资料阅读182 评论0 字号：大中小订阅※100个小学数学问题（摘自《小学数学研究》，高等教育出版社，第12章）小学数学教学是一个复杂的系统工程，涉及数学、教育学、心理学、教学环境、教学资源，教学组织等诸多方面。

其中，数学内容是核心，却又往往被忽视。

一般人的印象里，似乎小学数学人人都能掌握，不必再研究学习了。

其实不然。

我们这里收集了100个问题，其中有的是宏观的思考，目的是提升小学老师的数学修养；有的则涉及微观的具体细节，有助于小学教师设计课堂教学，解答疑难。

对这些问题，这一章只能作一些简要的回答。

有些内容涉及过宽，则需要参考本书的其他各章，甚至书外的文献。

还要特别说明的是，有些问题的解答，还有不同的见解和答案。

这里所列的答案，只是本书编者的一得之见，仅供读者参考，并非“标准”的正确答案。

因此欢迎读者参加讨论，批评指正。

一．为什么说“数学是一门关系学”？大百科全书（数学卷）对数学的定义是：“研究现实世界数量关系和空间形式的科学”。

这就点明了数量关系是一切数学研究的核心。

进一步，空间形式中，也有许多关系，例如，两条直线的平行、垂直、相交、重合，就是位置关系。

至于面积、体积的计算，更是直接的数量关系。

小学数学中的数量关系主要有三类：1．等价关系。

数的相等，式的恒等，图形的重合，方程的同解，以及各种各样的等价类。

2．顺序关系。

数的大小，位置记数，不等式等。

3．对应关系。

数的运算关系，函数关系。

特别地，自然数的四则运算是两个数和第三个数之间的对应关系。

表格，坐标图象，统计图都是对应关系。

从“关系”上认识数学，可以居高临下，在数学结构、数学思想、和数学观的高度审视小学数学。

不要说小学数学内容浅显，它的内容既能和日常生活相联系，也能在哲学层面进行思考。

二．小学数学（1-6年级）和中学阶段数学（7-9年级）的区别和联系是什么？小学中的整数、小数、分数的运算是一切数学的基础，当然是中学数学的基础。

小学数学是一个变动着的概念。

许多数学内容，早年属于中学数学范围，现在已经渗透到小学数学范围。

最值得注意的是代数方法、函数思想、随机数学等三个重大数学内容向小学的渗透。

小学数学中的算术方法，正和代数方法互相融合。

算术基于“数”的运算，方程则基于“式”的运算。

小学不能正面研究有文字参与运算的“式”，只能用□○这样的符号代替未知数，出现3□+2 = 14 这样的等式。

小学数学基于“逆运算”的思想求得方程的解，方法是用同加同乘保持等式成立，目的是避免负数运算。

函数思想的核心是变量，以及对应。

小学里多次出现这两个概念，但是没有明确提出函数的概念。

小学应该在数学情景和数学思想层面为中学数学提供函数素养。

随机数学，即基于概率理论的数学，正在逐渐进入小学。

小学和中学在这一领域的衔接，还在深入实践与研究之中。

小学的几何教学，除了一部分传统度量几何学（求面积、体积）之外，演绎几何的内容也在渐渐地渗入小学课程。

正确理解和处理小学数学与中学数学只间的相互交融、合理衔接，是小学数学教学的重要课题。

三．小学数学中的数学概念定义都是严密的吗？不可能都做到严密。

小学数学中的定义有以下几类：首先，有些概念不能定义，如点，集合，线段，对应等等是原始定义，自然数1，2，3……也是原始的抽象。

第二类概念不用定义，如关系，延长，相交，方向，距离，交换，结合等等，照字面意义理解即可。

第三类是描述性定义，如图形的面积，数的相等与大小，都不是严格的定义。

最后一类才是在逻辑上严密的“属和种差”式的定义。

如等边三角形定义为三边都相等的三角形。

小学数学中的概念，主要是理解其涵义，能够把握与运用，不要求外延十分清楚。

以为数学概念的定义越严密越好是不对的。

严谨性必须和学生的年龄特证吻合，也要和人的认知规律相适应。

四．分类都必须“不重不漏”吗？分类是一个重要的数学思想。

儿童心理学表明，先有分类，按类别形成集合，然后才能形成运算。

分类是数学学习一个起点。

一个流行的说法是“数学分类必须不重不漏”，这一要求有逻辑上严格性的价值，但不能绝对化。

分类可以相重。

例如包含式分类：自然数?整数?有理数?实数?复数等边三角形? 等腰三角形分类可以不必“不漏”。

例如三角形分出等边三角形和等腰三角形就够了，何必来一个三边都不相等的三角形来？没有什么意义。

再如方程概念，可以进行部分地分类，如一元一次方程，一元二次方程，却不可能对所有方程一个不漏地分类。

总之，套桶样的包含式分类也是常见的，对一部分对象进行分类也是允许的，要看情况进行处理。

五．分类：正方形可以看作长方形吗？由于过分强调“不重不漏”的分类原则，以及汉语中“正方的”、“长方的”概念互相排斥的认识，在小学低年级教材中，正方形不是长方形。

但是，权威的《辞海》是这样处理的：[长方形] 见矩形[矩形] 四个角为直角的四边形。

[正方形] 边长相等的矩形。

这样，正方形就是特殊的矩形了。

因此，小学教材要相应地修改。

更改一个数学名词的含义需要一个过程。

希望小学数学教材教材能够如下处理：①正方体与长方体②正方形与长方形正方形六．分类：平行四边形是梯形吗？类似的问题有，“正方形是不是长方形？”“圆是不是扇形？”“x2 + x+1= x2 +2x-1 是不是二次方程”“平角是角吗？”等等。

这是一个分类的习惯问题。

中国的习惯是平行四边形，不属于梯形。

理由是分类必须“不重”。

如果用包含式分类，则答案应该是“平行四边形也是梯形”。

此外，我们还可以遵循一种习惯性的约定：“一类对象中的退化对象仍然属于该类”，以便省掉一些无谓的区分。

根据这样的观点，平行四边形是特殊的梯形，正方形是特殊的长方形，圆是特殊的扇形，退化的二次方程也是二次方程，平角也是角。

至于通常讨论问题时，专指一般情形，不包括退化情形，以免逻辑上的混淆。

这种分类习惯，日常生活中也常见。

例如一般地说“中国人是黄种人”是对的，但是，有些少数民族有白种人成分，个别加入中国籍的外国人可能不是黄种人“。

特殊情况需要特殊处理。

如果一味追求逻辑严格，反而不方便了。

这样的习惯，是一种约定俗成的人为结果，当然可以改变。

“0 是自然数”是一个典型的例子。

这里，没有科学性的正确与否问题。

不必太认真。

对这种涉及“习惯的人为规定”，尤其不宜作为“考题”，学生答不对就扣分并不合理。

七．数学证明和其他的证明有什么区别？证明是说服别人展示某个结论正确性的手段。

证明的种类很多。

如引用名人的话，历史证明，举例说明，调查表明，实验证实，举不出反例等等都是。

严格的数学证明是指用演绎方法进行的逻辑推理证明。

小学中这样的证明很多，只不过隐含着而已。

例如因为 2 ×6 = 10，并且3×4 = 10，所以2×6= 3×4。

数学证明的特点是保持绝对正确，其他的证明方法则可能不完全正确，因而受到人们的重视。

但是，世界是复杂的，大多数事实不可能用数学方法证明。

而且，逻辑证明只能是前提正确之下的推论，难以产生不同于前提的创新结论，因而也是有局限的。

八．为什么不宜要求学生猜想“1毫升= 1立方厘米”？有一个很优秀的教案，让学生了解毫升的意义，体验“毫升”的实际大小。

设计得很好。

但是，其中要求学生“猜想1毫升= 1立方厘米”，未免失当。

因为猜想是指人对客观规律认识的一个前奏，而度量衡单位之间的换算，是人为规定，并非客观存在的规律。

中国以前也有“升、斗”的度量，那时的一升并非1立方分米，1毫升也不等于1立方厘米的。

以后与国际接轨，才有今天的“升”的大小规定。

对于“规定”，可以谈它的的合理性，却不需要猜想，也不能证明，只要遵守就是。

正如交通规则，中国大陆是靠右边走，到香港则靠左边走，不必猜想，照办就是。

九．什么是小学数学教学中的“基本数学活动”？小学数学的教学目标，要使得学生掌握基本知识和基本技能，还要掌握基本思想方法和基本活动经验。

广义地说，一切数学过程都是数学活动。

包括数学证明，数学解题，数学练习都属于数学思维活动。

狭义地说，则是通过对具体事物进行实际的操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所积淀下来的认识。

例如，测量、折纸、游戏、比喻、画图等等都是比较具体的数学活动。

我们应该重视所有的广义数学活动，并在教学中加以组织，但是更提倡那些狭义的数学活动，使得学生能够克服数学抽象性带来的理解困难，得到具象的或者实际意境的思考支撑。

十．小学数学中蕴涵着哪些数学思想方法？数学思想方法的教学，是中国数学教育的特点之一。

通常使用的数学思想方法有一般的科学思想方法: 归纳、演绎、分析、综合、类比、联想等等。

数学方法有逻辑化归、数形转换，变换中的不变量，等价变换，函数关联等等。

还有一些具体的方法，如出入相补，逆向求解，“凑十”计算等等。

数学思想方法的教学，是潜移默化的，但是有时也要正面点拨。

十一．现代数学会渗透进小学数学吗？现代数学的发展一日千里。

其中的绝大部分不可能进入小学数学课程。

但是，信息时代有些重大思想，会逐步渗入小学数学。

100年前，函数还是大学教学的内容，现在已经大举渗入小学数学课程。

晚近以来，以计算机技术为代表的信息技术，使得数学中的算法思想日益显得重要。

算法必将影响小学数学教学。

具体说来，大数的因数分解和密码，数的整除与身份证、书号中的检验码，都是直接进入小学数学的案例。

详见第五章相关内容。

十二．小学数学教学中可以使用计算器吗？计算器进入小学数学课堂, 已经获得普遍公认，但是在具体的做法上世界各国有所不同。

我国比较一致的意见是在掌握了基本的计算方法后学习使用计算器计算，即在低、中年级不允许使用计算器，可以使学生集中精力学好练好基本的计算技巧，养成一定的口算、笔算能力。

到高年级允许学生使用计算器，有助于学生解决比较复杂的数学计算，减轻负担，把主要精力放在思维活动方面。

口算和笔算的顺利达标是使用计算器的前提。

检测的标准可以略高于课程标准的要求，这样即便有些回落也能保住基本的标准要求。

学习内容速度要求20以内的加减法和表内乘除法口算每分钟8～10题三位数以内的加减法每分钟2～3题两位数乘两位数每分钟1～2题除数是一位数、被除数不超过三位数的除法每分钟1～2题然后，到了第二学段就可以开始允许学生使用计算器了。

为了消除影响计算能力的顾虑，在学习过程中需要进行阶段性地监控计算能力：每学期一次计算过关考核。

如不合格，则需要练习。

十三．什么是“数感”？数感是英文Number Sense 的直译，由于21世纪初颁行的《数学课程标准（实验稿）》使用该词而在中国流行。

Sense的含义不仅是感觉，而是一种意识和直觉，专指不经过严密思考而对数字进行判断的思维活动。

比如，面对一种数量关系，你能区别它是随机现象还是确定性现象？数量之间是等价关系，还是依赖关系，得到结论的精确度有多高，能否适合问题的需要？对这些问题有一个大体上的直觉的判断，就是我们需要努力培养的数感。