2009年数学周报杯全国初中数学竞赛试卷及答案-----初三竞赛

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初中数学练习题B卷(“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题(含答案))

初中数学练习题B 卷一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）（B（C ）1 （D ）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）36134．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y2229xy y +=的整数解（x ）．（A ）2组（C ）4组（二、填空题（共4分，共20分）6后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线2 上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．（第7题图）（第9题图）（第10题图）10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．12．把下列多项式分解因式：（1）a 3+b 3+c 3－3abc（2）（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48（3）（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8初中数学练习题B 卷第 3 页共 11 页13、已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.14．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．．15．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．4 初中数学练习题B 卷答案1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解：20b ≥，只需30a -≥得a ≥3，2a -4>0，所以，24242a b a -++=，24242a b a -+++=得20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A（B）（C ）1 （D ）2【答】A ．解法1：在菱形ABCD 中AB=BC ，且已知OC=OB ，所以△BOC 和△ABC 都是等腰三角形，∠OCB=∠BCA=∠OBC=∠BAC所以△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC=，即11aa a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得a =解法2：连结BD 交AC 于F ，由菱形性质知AC ⊥BD ，AF=1(1)2a +，FO=1(1)2a -，在Rt △ADF 和 Rt △ODF 中根据勾股定理得22222AD AF DF OD OF -==-即22211((1))1((1))22a a a -+=--化简得210a a --=，由0a >，解得a =3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，F初中数学练习题B 卷第 5 页共 11 页只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为6 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线初中数学练习题B 卷第 7 页共 11 页上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ，AH AF AF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B FA CB C=，8 即 201520x x-=，解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以 4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：3192191a +表示3191192a +商是整数，即192能整除3191a +，3319111192192a a +-=+ 即须31a -被192整除。

2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--=（）A.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A. B. 10.C.D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（）A.3B. 23.C. 13.D. 10.6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有DC_____对.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：N32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A.由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A. B. 10.C.D. 【答】C. 延长CA至D，使AD ＝AB ，则DB1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以B D C D=A B B D，故2B D A BCD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以B D 5=.又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（）A.1.B. 2.C. 3.D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-；当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解；当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解；当[]2x =时，27x =，解得x =当[]3x =时，29x =，解得3x =.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心O ，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE，则s i∠CBE＝（）B. 23.C. 13.D. .【答】 D.设BC 的中点为O ，连接OE 、CE.因为A B ⊥BC ，A E ⊥OE ，所以A 、B 、O 、E 四点共圆，故∠BAE ＝∠COE. 又AB ＝AE ，OC=OE ，所以△AB E ∽△OCE ，因此CE OC 1=BE AB 3=，即BE 3CE =.又C E ⊥BE，所以BC ==，故sin ∠CBE＝CE =BC .6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a -=（其中m 为正整数），则21001m a=+.验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2. 因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.O DC【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】.设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC，所以BDAB =. 两式相加得1AD BDAB AB=+=，即1=，解得2S =+. 所以四边形DECF的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】 1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理FC得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对.【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-. 令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）.（2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P. （1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A (,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===，所以1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分C因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=. …………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 45===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， (20)分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， ……………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形. …………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，NB因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. …………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. ……20分同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB. ………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， ………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°. ……………………………25分。

-2009年全国初中数学联赛试题(含参考答案)

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是（ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。

全国初中数学联合数学竞赛试题(2009年)

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的（第3题）图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，（第4题）由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒ 所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔（第8题）D 3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则（第8题答案）11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆==＝=（这里2a b cp ++=）所以112r ==，228ABC a S h a ⨯===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)2104216x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2009年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则（ A ）A.24.B. 25.C..D.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（ C ）A..B. .C. .D. .3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（ C ）A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B ）A..B. .C. .D. .5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则si n∠CBE=（ D ）A..B. .C. .D.6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（ B ）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.3．如果实数满足条件，，则______.4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___7__对.选择题解答：1. 解：a=√7-1a+1=√7(a+1)²=7a²+2a+1=7a³=-2a²+6a代入原式原式=3(-2a²+6a)+12a²-12=6a²+18a-12=6(a+1)²-18=42-18=242. 解：如图，作∠BAC平分线，AD交BC于D∠BAD=∠DAC=∠BCA△ABC △DBAAB/DB=BC/BA=AC/DA7/DB=BC/7=8/DADB×BC=49DA×BC=56DB×BC+DA×BC=105BC×(DB+DA)=105又∠C=∠DACDA=DCBC×(DB+DC)=105BC²=105BC=√(105)3. 解：x²-2[x]-3=0[x]=((x²-3)/2)≤x ([x]表示不大于X的最大整数) (1)x²-2x-3≤0(x-3)(x+1)≤0即：-1 ≤ x ≤3由[x]≤x 可得，[x]的可能取值为 -1, 0, 1, 2, 3当[x]=-1 代入（1）式，解得X=±1, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=-1或[x]=1，x=-1有一个解；当[x]=0 代入（1）式，解得X=±√3, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=1或[x]=-2，产生矛盾，x无解；当[x]=1 代入（1）式，解得X=±√5, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=2或[x]=-3，产生矛盾，x无解；当[x]=2 代入（1）式，解得X=±√7, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=2或[x]=-3，x=√7有一个解；当[x]=3 代入（1）式，解得X=±√(11), 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=3或[x]=-4，x=√(11)有一个解；综上，满足条件的方程的解有3个。

初三数学竞赛试题含答案

初三数学竞赛试题(含答案)2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）已知（），则的值为（B）．（A）（B）（C）（D）【解】，．又，∴.故选（B）．（2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是（C）．（A）（B）（C）（D）【解】根据题意，由根的判别式，得．设，由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，当时，有，即；当时，有，即；当时，有，即；当时，有，即．综上，.故选（C）．（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）．（A）（B）（C）（D）【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为．故选（D）．（4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）．【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中，如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴；如图②，当点P在BC边上运动时，，即（），有，∴=；如图③，当点P在线段CE上运动时，，有（），∴．故选（A）．（5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC上的两个点）共有（D）．（A）130个（B）129个（C）121个（D）120个【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则．因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每一条都相交，所以有57+73=130个交点（含重合的交点）．由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点．因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形．故选（D）．二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分) （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于.【解】1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线上，因此所求的概率等于．（7）计算（的整数）的值等于100．【解】根号内的被开方数可化为所以．（8）若是质数，且整除，则的末位数字是2.【解】当时，，，5能整除10；当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满足“整除”的条件.综上，.于是.由的末位数字是6，所以的末位数字是2.（9）如图，四边形ABCD中，，，若，则的长为2．【解】如图，过点A作与BC的延长线交于点E，则.∵在△中，由，，得．∴．∵，∴，又，∴．又在△ACD中，，∴．∴△ACE≌△CAD．有．而在Rt△ABE中，∵，∴，∴.（10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为50．【解】设相邻格子内的两数为，，且，则，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数应当尽量大，10个减数应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为．如图，是满足条件的一种填数字的方法．三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知，，，求的值.【解】∵，∴，①同理，②.③……………………………10分由①+②-③，得，解得.由①+③-②，得，解得.由②+③-①，得，解得.所以，.……………………………20分（12）（本小题满分20分）从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为，所形成的图形的周长为．请填写下表：（用含的代数式表示）第1次生长后第2次生长后第3次生长后….第n次生长后每个小等边三角形的边长……所形成的图形的周长……【解】第1次生长后第2次生长后第3次生长后….第n次生长后每个小等边三角形的边长……所形成的图形的周长……（13）（本小题满分20分）已知，为正整数，关于的方程有正整数解，求，的值．【解】设方程的两个根为，，则由，，，均为正整数，不妨设≥≥1，≥≥1，于是，．即．……………………………10分当时，，有．只有=3，=2，此时；当时，，只有=2，=2，此时，；当时，有=1，，得，．所以，或或……………………………20分（14）（本小题满分20分）已知点是锐角△内的一个点，且使最小，试确定点的位置，并证明你的结论．【解】如图，分别以为边向外作正△，正△，连接交于点，则点即为所求． (5)分证明如下：易证△≌△．有．∴．∵与为对顶角，∴．……………………………………10分在上可截取，连接，有△为正三角形．易证△≌△．可得．∴为定值．…………………………15分在△内任取一点（不同于点），连接，，．将△以点为旋转中心逆时针旋转，与重合，得△．有△≌△．可得．连接，则△为正三角形，有．∴．由于折线．∴点到三个顶点，，的距离之和最短．…………………………20分（若以为边向外作正△，可得）。

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛(辽宁赛区北师大版九年级)初赛试题及参考答案

一
、
选择题（下列每小题的选项中，
（＜２或＞４Ａ）
３
５若函数ｙ＝＋６与ｙ＝的图．１ｚ
象如图１示，则有（所
、
只有一个是正确的，请将正确选项的代号填入题号后的括号内．本大题共８道小
４８
ｌｌ２２８０
２３２１３９１５６４２
Ｃ
Ｂ
图２
（Ａ）１０２。（Ｃ）１０５。
（）１５Ｂ３。（Ｄ）１５２ｏ
［０，１０）１０５０３［ｏ，ｌ０）１ｏ０５７［０，ｌ０）１００７９
塑
ＤＡ
频率
的，还有捐５和１０元的．如图６所结果如表２所示：０元０示的统计图反映了不同捐款的人数比例，那么该班学生平均每人捐款
５元
表２
分组频数
［０，９０５００）
［０９０，１１０）０［０，１０）１ｏ０１３
点Ｇ，ＦＡＣ于点Ｆ上；过点曰作ＢＬＨ＿ＡＣ
于点Ｈ．
Ｃ
的平分线，设ＢＣ＝０，ＡＣ＝ｂＥ＝ｄ，Ａ，ＢｅＥ＝＇则有，＝、一．Ｅ＝，ｃ，／如
证明：如图ｌ，延长ＣＯＥ交 △ＡＣＢ
的外接圆于点Ｄ，连接Ａ．Ｄ
显然，当＝９。，此公式即ｆ＝０时
—
则者・有
又＝ｄｅ，

中国教育学会“《数学周报》杯”2009年全国竞赛及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b ++=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．图2解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=，即 201520x x -=，解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k+=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅．同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG=．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。

2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛(广东省韶关市)初赛试卷及试卷解析

2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛（广东省韶关市）初赛试卷一、选择题（共30小题，每小题3分，满分90分）1．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（2，1）B．（，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，2）2．（3分）下列各式中，正确的是（）A．=9B．a2•a3=a6C．（﹣3a2）3=﹣9a6D．a5+a3=a83．（3分）化简的结果为（）A．﹣x﹣y B．y﹣x C．x﹣y D．x+y4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO 5．（3分）若a+b=3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（）A．12B．6C．3D．06．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．7．（3分）若a m=3，2n=8，则（a m）n等于（）A．9B．24C．27D．118．（3分）方程x+4y=20的非负整数解有（）A．4组B．5组C．6组D．无数组9．（3分）某班数学活动小组7位同学的家庭人口数分别为：3，2，3，3，4，3，3．设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则下列各式正确的是（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a＜b=c D．a=b=c10．（3分）如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格中阴影部分图形剪下来，再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的这个正方形的边长为（）A．B．2C．D．11．（3分）某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（）A．B．C．D．12．（3分）下图是四个边长相等的正方形，其中阴影部分面积较大的是（）A．B．C．D．13．（3分）如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A．0B．1或﹣1C．2或﹣2D．0或﹣2 14．（3分）如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，BC=24，AC=18，则△AMN的周长为（）A．30B．33C．36D．3915．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点P，点Q在直线上，且满足△OPQ为等腰三角形，则这样的Q点有（）个A．1B．2C．3D．416．（3分）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对17．（3分）正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点．AB⊥x 轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A．1B．C．2D．18．（3分）若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于（）A．6B．7C．8D．919．（3分）某校为了了解学生的课外作业负担情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外作业所用时间的数据，结果用右面的条形图表示，根据图中数据可得这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为（）A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时20．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O 作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是10cm，则平行四边形ABCD 的周长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 21．（3分）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）A．8.6分钟B．9分钟C．12分钟D．16分钟22．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD 上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（）A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90°D．∠APB=∠DPC 23．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，四边形DEFG也是正方形，已知AB=a，DE=b（a、b为常数，且a＞b＞0），则△ACF的面积（）A．只与a的大小有关B．只与b的大小有关C．只与CE的大小有关D．无法确定24．（3分）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2009 25．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（）A．124°B．122°C．120°D．118°26．（3分）如果规定a⊕b=a×b+a﹣b，那么a⊕b+（b﹣a）⊗b等于（）A．a2﹣b B．b2﹣b C．b2D．b2﹣a 27．（3分）如果不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥28．（3分）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A．a B．（1+）a C．3a D．a29．（3分）要使三角形的周长为20cm，且三边长均为整数，则这样的三角形个数是（）A．5B．6C．8D．1030．（3分）如图，已知P为平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则S△PAC等于（）A．2B．3C．4D．52009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛（广东省韶关市）初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共30小题，每小题3分，满分90分）1．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（2，1）B．（，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，2）【分析】根据y=﹣得k=xy=﹣2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣2，就在函数图象上．【解答】解：A、2×1=2≠﹣2，故不在函数图象上；B、×3=2≠﹣2，故不在函数图象上；C、（﹣2）×（﹣1）=2≠﹣2，故不在函数图象上；D、（﹣1）×2=﹣2，故在函数图象上．故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2．（3分）下列各式中，正确的是（）A．=9B．a2•a3=a6C．（﹣3a2）3=﹣9a6D．a5+a3=a8【分析】分别根据负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等法则进行计算．【解答】解：A、正确，（）﹣2===9；B、错误，a2•a3=a5；C、错误，（﹣3a2）3=﹣27a6；D、错误，a5与a3不是同类项，不能合并．故选：A．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等考点的运算．3．（3分）化简的结果为（）A．﹣x﹣y B．y﹣x C．x﹣y D．x+y【分析】先将原式化为同分母的分式，再进行加减即可．【解答】解：原式=﹣==﹣x﹣y，故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，同分母的分式相加的法则，分母不变，分子相加．4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO【分析】通过菱形的判定定理进行分析解答．【解答】解：A项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，B项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，C项根据题意还可以推出四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确，D项根据题意可以推出Rt△AOD≌Rt△COB，即可推出OA=OC，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形这一定理推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查菱形的判定，关键在于熟练掌握菱形的判定定理．5．（3分）若a+b=3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（）A．12B．6C．3D．0【分析】对所求式子的前三项根据完全平方公式进行变形，然后把已知的数值整体代入求值即可．【解答】解：∵2a2+4ab+2b2﹣6=2（a+b）2﹣6，∴原式=2×32﹣6=18﹣6=12．故选：A．【点评】本题的关键是根据完全平方公式的逆用，把式子转变成已知的式子的形式进行计算．6．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：①当k＞0时，一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，②当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：B．【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．7．（3分）若a m=3，2n=8，则（a m）n等于（）A．9B．24C．27D．11【分析】由2n=8，求出n的值，然后再把a m=3代入（a m）n即可解答．【解答】解：∵2n=8，∴n=3，又∵a m=3，∴（a m）n=33=27．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方法则，理清指数的变化是解题的关键．8．（3分）方程x+4y=20的非负整数解有（）A．4组B．5组C．6组D．无数组【分析】分别列举出方程x+4y=20的非负整数即可解答．【解答】解：二元一次方程x+4y=20的所有正整数解有：x=4，y=4；x=8，y=3；x=12，y=2；x=16，y=1．x=0，y=5；x=20，y=0．故选：C．【点评】本题考查的是解二元一次方程，分别列举出此方程的非负整数解是解答此题的关键．9．（3分）某班数学活动小组7位同学的家庭人口数分别为：3，2，3，3，4，3，3．设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则下列各式正确的是（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a＜b=c D．a=b=c【分析】先把数据按大小排列，然后根据平均数、中位数和众数的意义求出a，b，c，最后比较大小．【解答】解：因为a=（3+2+3+3+4+3+3）÷7=3；b=3；c=3，所以a=b=c．故选：D．【点评】此题考查了平均数、中位数和众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，可能出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．10．（3分）如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格中阴影部分图形剪下来，再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的这个正方形的边长为（）A．B．2C．D．【分析】首先根据题意可得所拼的正方形的面积是5，然后利用正方形的面积公式即可求出边长．【解答】解：根据题意可得，所拼的正方形的面积是5，所以正方形的边长是．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．解本题时要注意数形结合，充分利用正方形的性质．11．（3分）某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】计划每天生产化肥x吨，根据由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，可列出方程．【解答】解：设计划每天生产化肥x吨，=．故选：C．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出计划生产吨数，然后根据时间相等列方程求解．12．（3分）下图是四个边长相等的正方形，其中阴影部分面积较大的是（）A．B．C．D．【分析】将A、C、D各图中阴影部分理解为正方形面积与圆的面积的差，比较该差的大小即可；B中阴影面积要通过扇形面积与圆的面积的差来计算．【解答】解：先设正方形的边长为a，A、C、D中阴影面积均可理解为边长为a 的正方形面积减去以AC为直径的圆的面积，即S阴影=a2﹣π（）2=a2﹣a2；下面求B中阴影面积：如图：S B阴影=（S扇形ABC﹣S△ABC）=2（﹣×a2）=﹣a2．可见，图形A、C、D的S阴影＜S B阴影．故选：B．【点评】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解题的常用方法．13．（3分）如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A．0B．1或﹣1C．2或﹣2D．0或﹣2【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：．由①②知所有可能的值为0．应选A．【点评】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．14．（3分）如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，BC=24，AC=18，则△AMN的周长为（）A．30B．33C．36D．39【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MC，NO=NB，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴MO=MB，NO=NC，∵AB=12，AC=18，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30．故选：A．【点评】本题主要考查学生对考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．15．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点P，点Q在直线上，且满足△OPQ为等腰三角形，则这样的Q点有（）个A．1B．2C．3D．4【分析】分类讨论：OP作为腰时可得到三个等腰三角形，作为底时可得到一个等腰三角形．【解答】解：以P为端点，PO的长为半径画圆与直线有两个交点；以O为端点，OP为半径画圆与直线有一个交点；作OP的垂直平分线与直线有一个交点，所以共有四个等腰三角形．故选D．【点评】此题要求学生动手画图，思路就清晰，解题更准确．16．（3分）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据正方形的性质可得出：正方形的一条对角线平分一组对角，而且四边相等，根据边角边公理可证出△ABD≌△CBD，△ABF≌△CBF，△AFD≌△CFD，有三对全等的三角形，【解答】解：∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DF=DF；∴△ADF≌△CDF；同理可得：△ABF≌△CBF；∵AD=CD，AB=BC，BD=BD∴△ABD≌△CBD．因此本题共有3对全等三角形，故选：C ．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．17．（3分）正比例函数y=x 与反比例函数y=的图象相交于A 、C 两点．AB ⊥x轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图），则四边形ABCD 的面积为（）A ．1B ．C ．2D ．【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k |，得出S △AOB =S △ODC =，再根据反比例函数的对称性可知：OB=OD ，得出S △AOB =S △ODA ，S △ODC =S △OBC ，最后根据四边形ABCD 的面积=S △AOB +S △ODA +S △ODC +S △OBC ，得出结果．【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB=OD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 的面积=S △AOB +S △ODA +S △ODC +S △OBC =1×2=2．故选：C ．【点评】本题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k |．18．（3分）若一个n 边形n 个内角与某一个外角的总和为1350°，则n 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据n 边形的内角和定理可知：n 边形内角和为（n ﹣2）×180．设这个外角度数为x 度，利用方程即可求出答案．【解答】解：设这个外角度数为x°，根据题意，得（n﹣2）×180+x=1350，180n﹣360+x=1350，x=1350+360﹣180n，即x=1710﹣180n，由于0＜x＜180，即0＜1710﹣180n＜180，可变为：解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故选：D．【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．19．（3分）某校为了了解学生的课外作业负担情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外作业所用时间的数据，结果用右面的条形图表示，根据图中数据可得这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为（）A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时【分析】由条形统计图可知：5个同学不做课外作业，20个同学做0.5小时，10个同学做1小时，10个同学做1.5小时，5个同学做2.0小时，则这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为=0.9小时．【解答】解：这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为=0.9小时．故选：B．【点评】本题考查了平均数的定义和从直方图中获取信息的能力．20．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O 作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是10cm，则平行四边形ABCD 的周长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是10cm，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=10cm，∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×10=20（cm）．∴平行四边形ABCD的周长为20cm．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．21．（3分）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）A．8.6分钟B．9分钟C．12分钟D．16分钟【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．【解答】解：他从学校回到家需要的时间是=12分钟．故选：C．【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．22．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD 上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（）A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90°D．∠APB=∠DPC 【分析】首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得．【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP．根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，根据对顶角相等知∠APB=∠EPD，所以∠APB=∠DPC．故选：D．【点评】此题的关键是应知点P是怎样确定的．要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定．23．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，四边形DEFG也是正方形，已知AB=a，DE=b（a、b为常数，且a＞b＞0），则△ACF的面积（）A．只与a的大小有关B．只与b的大小有关C．只与CE的大小有关D．无法确定【分析】由题意，即可推出△ADM∽△FEM，依据相似三角形的性质可知，AD：EF=DM：EM，可得：DM：EM=a：b，由EM+DM=b，设DM=ax，EM=bx，即得x关于a、b表达式，便可推出EM关于a、b表达式，便可推出CM的长度，=S△ACM+S△CMF=CM•AD+CM•EF=•（a+b），整理后，即然后根据S△ACF可推出只与a的大小有关．【解答】解：∵正方形ABCD的边CD，四边形DEFG也是正方形，∴AG∥EF，∴△ADM∽△FEM，∴AD：EF=DM：EM，∵AB=a，DE=b，∴DM：EM=a：b，∵EM+DM=b，设DM=ax，EM=bx，∴ax+bx=b，∴x=，∴EM=，∴CM=CE+EM=（a﹣b）+=，=S△ACM+S△CMF，∵S△ACF=CM•AD+CM•EF∴S△ACF=•（a+b）=，∴△ACF的面积只与a的大小有关系．故选：A．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、整式的混合运算、三角形的面积公式、正方形的性质，关键在于①正确认真的对相关整式进行整理，运算，②通过求证△ADM∽△FEM，推出EM的长度和CM的长度，根据图形明确△ACF的面积是△ACM和CMF的面积之和．24．（3分）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2009【分析】先把x=n和x=代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为0，然后把x=1代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【解答】解：因为=，即当x分别取值，n（n为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当x=1时，．因此，当x分别取值，，，，1，2，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0．故选：C．【点评】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，这样计算起来就很方便．25．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（）A．124°B．122°C．120°D．118°【分析】由题中条件，可得△ACE≌△BCD，得出∠DBC=∠CAE，进而再通过角之间的转化，可最终求解出结论．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，即62°﹣∠EBC=60°﹣∠BAE，即62°﹣（60°﹣∠ABE）=60°﹣∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=60°+60°﹣62°=58°，∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠BAE）=180°﹣58°=122°．故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．26．（3分）如果规定a⊕b=a×b+a﹣b，那么a⊕b+（b﹣a）⊗b等于（）A．a2﹣b B．b2﹣b C．b2D．b2﹣a【分析】按题目规定的运算规则a⊕b=a×b+a﹣b进行计算．【解答】解：a⊕b+（b﹣a）⊗b=ab+a﹣b+（b﹣a）×b+（b﹣a）﹣b=ab+a﹣b+b2﹣ab+b﹣a﹣b=b2﹣b．【点评】本题考查学生阅读理解，迁移应用的能力．（1）去括号法则的依据是乘法的分配律；（2）去括号是代数变形，是“形变值不变”；（3）去括号时，要连同括号前的符号一起去掉，括号前是“﹣”号，要注意括号里各项变号；（4）添括号与去括号一样，当括号前面添“﹣”号时，括进括号的各项符号要全改变．27．（3分）如果不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【分析】由①得x≤；由②得x≥m，故其解集为m≤x≤，即m≤．【解答】解：由①得：x≤由②得：x≥m∴其解集为m≤x≤∴m≤．故选：B．【点评】解不等式组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则解答．28．（3分）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A．a B．（1+）a C．3a D．a【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【解答】解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==a．【点评】本题是一道趣味题，将正方体展开，运用勾股定理解答即可．29．（3分）要使三角形的周长为20cm，且三边长均为整数，则这样的三角形个数是（）A．5B．6C．8D．10【分析】三角形的周长是20，根据三角形的三边关系可知：三角形的三边都小于10，且都是整数，和是20，即可确定三角形的三边长，从而求解．【解答】解：共有8个，分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5）．故选：C．【点评】题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是解题关键，难度适中．30．（3分）如图，已知P为平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则S△PAC等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，根据三角形=S△PAB+S△PDC=5+S△PDC和S 的面积公式求出△PAB和△PDC的面积和，推出S△ADC=S△ADC﹣S△PDC﹣S△PAD，代入即可求出答案．△PAC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，∴S △PAB =AB •h 1，S △PDC =DC•h 2，∴S △PAB +S △PDC =（AB•h 1+DC•h 2）=DC•（h 1+h 2），∵h 1+h 2正好是AB 到DC 的距离，∴S △PAB +S △PDC =S 平行四边形ABCD =S △ABC =S △ADC ，即S △ADC =S △PAB +S △PDC =5+S △PDC ，而S △PAC =S △ADC ﹣S △PDC ﹣S △PAD ，∴S △PAC =5﹣2=3，故选：B ．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据性质推出S △ADC =S △PAB +S △PDC =5+S △PDC ，和S △PAC =S △ADC ﹣S △PDC ﹣S △PAD 是解此题的关键．。

2009年全国初中数学联赛(含答案)

12009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．设71a =，则32312612a a a +--=（）A ．24B ．25C ．4710D ．4712【解析】 A ．由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（）A ．2B ．10C 105D ．73【解析】 C ．做A ∠的角平分线交BC 边于D ．于是78AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是715x ，15105BC x =3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（）2A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A ．314B ．37C ．12D ．47【解析】 B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是14，形如ABO △，有4个；一种是12，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为37．5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（）A 6B ．23C ．13D 103ECBDA【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是2210sin sin 13CBE BAF ∠=∠==+6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而1002009n-可能取整数2,5,4,10,25,50,100．若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n=-．于是这样的n 有4个．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是．【解析】3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()222222111a b a b a b --=+-+424t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为．【解析】 2mn ADE BDF △∽△，相似比为ADDB．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为2mn3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22(12)21a b a b a --+++=-．如果是第一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或32．经检验，1,0b a =-=符合，所求结果为1-；如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以2222114()22a ab b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．4．已知a ，b 是正整数，且满足15152a b 是整数，则这样的有序数对()a b ，共有对．5【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，112+， 1122+，1144+，1136+，考虑顺序，共7种．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，旗开得胜6所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．I 2I 1CABBACE DFI 1I 2【解析】作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．旗开得胜7在直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，225AB AC BC +=．又CD AB ⊥，由射影定理可得295AC AD AB ==，故165BD AB AD =-=，22125CD AC AD -．因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()11325I E AD CD AC =+-=．连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线，所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠=o，故1290I DI ∠=o，所以12I D I D ⊥，1113325sin sin 45I E DI ADI ===∠o ．同量，可求得245I F =，242DI ．所以2212122I I DI DI +三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②旗开得胜8a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bcca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c9证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（B ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．10⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．旗开得胜11二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．旗开得胜12因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，13即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（C）一、（本题满分20分）△的已知二次函数()20y x bx c c=++<的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C．设ABC 外接圆的圆心为点P．⊙与y轴的另一个交点为定点．⑴ 证明：P1415⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．16二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．17三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，18即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．解法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．19。

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为 .
所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.
要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.
因此，所求的概率为 .
即，
即，
即，即，
即，…………………………………20分
所以或或，即或或 .
因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分
证法2结合①式，由②式可得，
变形，得 ③………………………10分
又由①式得，即，
代入③式，得，
即 .…………………………………15分
又CE⊥BE，所以，故 CBE＝ .
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）
A.3.B.4.C.5.D.6.
【答】B.
设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则 .
验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.
因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）
A. .B. .C. .D. .
【答】B.
不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：
（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设71a=，则32312612a a a+--=（）A.24.B. 25.C. 710.D. 712.【答】A.由71a=，得282762a a=-=-，故226a a+=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a+--=++--=261212661224a a+-=⨯-=.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.72.B. 10.C. 105.D. 3【答】C.延长CA至D，使AD＝AB，则1D=ABD=CAB=C2∠∠∠∠，所以△CBD∽△DAB，所以BD CD=AB BD ，故2BD AB CD7(87)105=⋅=⨯+=，所以BD105=.又DAD、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE ＝（）A.63B. 23. C. 13. D. 1010.【答】 D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为A B⊥BC，A E⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE ＝∠COE.又AB ＝AE ，OC=OE ，所以△AB E ∽△OCE ，因此CE OC 1=BE AB 3=，即BE 3CE =. 又C E ⊥BE ，所以22BC =BE +CE =10，故sin ∠CBE ＝CE10=BC 10.6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n --为完全平方数的n的个数是（） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a -=（其中m 为正整数），则21001ma=+.验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2.因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分ODCE二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)ab --的最小值是____________.【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤.2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______. 【答】mn设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC ，所以ADE S ADABS∆=.又因为△BDF ∽△BAC ，所以BDF S BD ABS∆=.两式相加得1ADE BDF S S AD BDS S AB AB∆∆=+=，即1m n S S=，解得2)S m n =.所以四边形DECF 的面积为2)m n m n mn--=FEBCD3．如果实数,a b 满足条件221ab +=，22|12|21a b a ba -+++=-，则a b +=______.【答】 1-. 因为221ab +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a ba -+++=-可得 2222|12|21121ab b a a a a a -+=---=----222a a=--，从而2220aa --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a-+=--，即22122(1)b ab +=-=--，整理得2230bb --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.4．已知,a b 是正整数，且满足1515)a b是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 【答】 7. 15152ka b =（k 为正整数），则21515154k b a a=+-，故15a数. 令2215q a p=，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aqp =，所以2|15q ，故1q =151a p=.151b m=（其中m 为正整数），则112k p m +=. 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分又1,1m p ≥≥，所以1122kp m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）.（2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =.（3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点. （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABCS△＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b+=-，12x xc=.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x cOA OB OD OC cc⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分(0,1). …………………………………10分（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-.…………………………………15分又222121212()4()44AB x xx x x x b c b =-=+-=--=+21141222ABC S AB OC b =⋅=+=△，解得23b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，22AB =AC +BC 5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，2212CD =AC AD 5-=. ……FEI 1I 2D BC……………………………5分因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=. …………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 325DI sin ADI sin 455===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，22D I 5=. …………………………………20分所以1I 2I ＝2212DI DI 2+=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②,,a b c.证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab -+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab ab c abc -+--+=，即22()[()]0b c a ca b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=. 因此，以,,a b c为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()ab c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=. 因此，以,,a b c为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN ∠=∠，因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.…………………………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. …………………………………20分同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH. 又AB⊥CH，所以EF∥AB. …………………………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分FQ EPHN B同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②是否存在以,,a b c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab -+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab ab c abc -+--+=，即22()[()]0b c a ca b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，,,a b c它的最大内角为90°. ……………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()ab c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分即abc ab bc ca=++-. ……………………16()4096……………15分3---=-+++++-(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c3=-+⨯-=，……409625632160……………………20分所以16a=或16c=.b=或16结合①式可得b a c+=或c b a+=.+=或c a ba b c为三边长可构成一个直角三角形，它的,,最大内角为90°.……………………………25分2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分。

2009年全国初中数学竞赛试题

2009年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题7分，共35分）1、已知非零实数b a ,满足()，a b a b a 2432422=+-+-+-则b a +等于（）.A、-1B、0C、1D、22、如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1，则a 等于（).A、215+B、21-5C、1D、23、将一枚六个面分别编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于y x ,的方程组322{=+=+by ax y x 只有正数解的概率为（）.A、121B、92C、185D、36134、如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC，∠B=。

90，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动，设P 运动的路程为x ，∆ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数的图像如图所示，则ΔABC 的面积为（).A、10B、16C、18D、325、关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解()y x ,有（）组.A、2B、3C、4D、无数二、填空题（每小题6分，共30分）6、一条自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废，若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前后轮胎，如果交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么，这辆车能行驶________km.7、已知线段AB 的中点为C，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D，使得BD=AC，再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆，与圆A 分别交于点F、G，连接FC 交AB 于点H，则ABAH 的值为________.8、已知54321,,,,a a a a a 是满足条件954321=++++a a a a a 的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()200954321=-----a x a x a x a x a x 的整数根，则b 的值为________.9、如图，在ΔABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的角平分线，若AC=15，BC=20，CD=12，则CE 的长等于_______.第9题图第10题图10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如上图所示，则报3的人心里想的数是__________.三、解答题（每小题15分，共60分）11、(A).函数()2212k x k x y +-+=的图像与x 轴的两个交点是否都在直线1=x 的右侧？若是，请说明理由，若不一定是，请求出两个交点都在直线1=x 的右侧时k 的取值范围.11、(B).已知抛物线2x y =与动直线()c x t y --=12有公共点()(),,,,2211y x y x 且.3222221-+=+t t x x （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.12、（A）在平面直角坐标系xOy 中，把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数()4907902--=x y 的图像上所有好点的坐标.12、（B）设正整数a 满足()1911922+a ，且.2009<a 求满足条件的所有可能的正整数a 的和.13、（A）如图，给定锐角三角形ABC,BC<CA，AD、BE 是它的两条高，过点C 作ΔABC 的外接圆的切线l ，过点D、E 分别作l 的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论.13、（B）已知AB 为⊙O 的直径，弦DC//AB，连接DO，过点D 作DO 的垂线，与BA 的延长线交于点E，过点E 作AC 的平行线交CD 于点F，过点D 作AC 的平行线交BF 于点G，求证AG 垂直BG.14、（A）n 个正整数n a a a a ,...,,,321，满足如下条件：,2009....121=<<<=n a a a 且n a a a a ,...,,,321中任意1-n 个不同的数的算术平均数都是正整数，求n 的最大值.14、（B)已知正整数y x ,使得y x xy +4是一个奇数，证明：存在一个正整数k ，使得14-k 整除y x xy +4.。

2009年全国初中数学联赛试题及解答

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设1a =−，则32312612a a a +−−=（）A.24.B. 25.C. 10+.D. 12+.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A..B. 10.C..D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x −−=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. DC5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则CBE ＝（）sin ∠A.3. B. 23. C. 13.D. 10.6．设是大于1909的正整数，使得n 19092009n n−−为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于t ,a b x 的一元二次方程221x x t 0−+−=的两个非负实根，则(1的最小值是____________.22)(1)a b −−22|21a b a b a 2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为和，则四边形DECF 的面积为______.m n 3．如果实数满足条件，|1,a b 221a b +=2−+++=−，则a b +=______. 4．已知是正整数，且满足,a b 是整数，则这样的有序数对共有对. (,)a b第二试（A）一．已知二次函数的图象与2(0y x bx c c =++<)x 轴的交点分别为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.y （1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求和的值.2ABC S △＝b c 二．设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，I 、I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求I .1212I 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab+−+−+−++= ②.第二试（B）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同.NB二．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=② .2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题 1． 3−2． 3． 1−4．7第二试（A）一．解（1）易求得点的坐标为，设，，则C (0,)c 1A(,0)x 2B(,0)x 12x x b +=−，12x x c =.设P ⊙与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA×OB ＝OC×OD ，则y 121x x c OA OB OD OC c c×====. 因为，所以点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).0c <y y （2）因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点的坐标为，即.C (0,1)−1c =−又12AB x x =−===，所以12ABC S ==△，解得b =±.二．解作E ⊥AB 于E ，F ⊥AB 于F.1I 2I 在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5−=，12CD =5=.C 因为E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以I ＝1I 1E 13(AD CD AC)25+−=. 连接D 、D 2，则D 1I 、2I 分别是ADC ∠和∠BDC 的平分线，所1I DC ＝∠A ＝∠2I DC ＝∠2I DB 45°∠1I D 2I ＝90°，所以1ID 2D ，1I I D 以∠D ＝，故⊥1I I 1I E 1135DI sin ADI sin 45===5∠°.同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. 所以1I 2I =. 三．证法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−()8++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab−−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或或，即0b c a −+=0c a b +−=0c a b −+=b a c +=或c a b +=或. c b a +=.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得222110242()4a b c abc −++=③ 又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或16a =16b =16c =.结合①式可得b a 或或c b .c +=c a b +=a +=.第二试（B）二．证明因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为CH ⊥AB ，所以， CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=°−∠=°−∠=∠因此.CQ NC =又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=°=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.FBH =FBC ∠∠N B同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此EF CH.⊥又AB CH ⊥，所以EF AB. ∥第二试（C）三．解法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−++++()8=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab −−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或0b c a −+=0c a b +−=或0c a b−+=，即b ac +=或c a b +=或.c b a +=90°. 解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得22211024 ③ 2()4a b c abc −++=又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或.16a =16b =16c =结合①式可得b a 或c a 或c b c +=b +=a +=.90°.。

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