理论力学第一章习题

第一章习题1.4 细杆绕点以角速转动，并推动小环C 在固定的钢丝上滑动。

图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。

解 如题1.4.1图所示，绕点以匀角速度转动，在上滑动，因此点有一个垂直杆的速度分量点速度又因为所以点加速度OL O ωAB d A BOCLxθd 第1.4题图OL O C AB C 22x d OC v +=⨯=⊥ωωC dx d d v v v 222sec sec cos +====⊥⊥ωθωθθωθ= C θθθω ⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()2222222tan sec 2d x d x d +==ωθθω1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解 由题可知，变加速度表示为由加速度的微分形式我们可知代入得对等式两边同时积分 可得 ：（为常数）代入初始条件：时，，故即 又因为 所以对等式两边同时积分，可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin 1πc T t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin 1πdtdv a =dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1πdt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1πD Ttc Tct v ++=2cos2ππD 0=t 0=v c TD π2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππdtds v =dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ=ds ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为及，式中及是常数。

试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为解 由题可知质点的位矢速度 (1)沿垂直于位矢速度 (2)又因为， 即 (3) (4)对③求导(5)对④求导(6)根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度（7） 垂直位矢方向加速度（8）把（3）（4）（5）（6）代入（7）（8）式中可得r λμθλμ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-r r r μλμθθμλ,222r λ=//v μθ=⊥v r rλ= μθθ==⊥r v rμθθ= θμμθθrrr +-=2()2θ r ra -=()θθr r a 2+=⊥rr a 222//θμλ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⊥r a μλμθr r r 2 λ λ = = rr λ = = // v1.7 试自出发，计算及。

并由此推出径向加速度及横向加速度。

解 由题可知①②对①求导③ 对③求导 ④对②求导 ⑤ 对⑤求导 ⑥对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图⑾ 把④⑥代入 ⑾得同理可得θθsin ,cos r y r x ==x yr a θa ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x θθθ sin cos r r x-=θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r r rx ---=θθθcos sin r r y+=θθθθθθθsin cos cos 2sin 2r r r r y -++=a 题1.7.1图θθsin cos yx a r +=2θr r a r -=θθθ r r a 2+=2()cos (2)sin x r r r r θθθθθ=--+即2()sin (2)cos y r r r r θθθθθ=--+即sin cos a x y θθθ=-+1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。

如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？解 正方形如题1.14.1图。

由题可知设风速,,当飞机，故飞机沿此边长6正方形飞行一周所需总时间CD3v h km v v /28==风牵B A →h km v /100=相B A →h km h km v /128/)28100(1=+=h km h km v D B /96/28100,222=-=→h km h km v D C /72/)28100(,3=-=→=→4,v A D h km h km /96/2810022=-h km /min 16515192499667269661286==⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=h ht 2v 风v 相题1.14.2图风v v v 题1.14.3图1.17 小船被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上点划回。

假定河流速度 沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。

解 以为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.船沿垂直于的方向的速度为，船沿径向方向的速度为和沿径向的分量的合成，即①--② ②/①得 ，对两积分：设为常数，即代入初始条件时，.设有得M A A题1.17.1图r r C r k k +=+-αα11cos 2sin ln ln 0r r =0ϕϕ=,200αϕ=,cos 2sin ln ln 0110αα+--=k k r C 011110sin cos cos sin αααα-++-⋅=k k k k r r C k υυ , 2 , 12α ϕ = = C υ υ r + - =ϕ ϕ sin ln 2 tan ln ln 12ϕ ϕ ϕ d υ υ r dr ⎪ ⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛ - = cot sin 1 2 ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨⎧ - = - = 2 1 1 cos sin υ υ dtdr υ dtd r ϕ ϕ1υ 2 υ ϕ sin υ 1 - 1 υ 2 υ1.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。

设阻力与速度平方成正比，即。

如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，上升时 下降时 题1.19.1图则两个过程的运动方程为：上升①下降：②对上升阶段:即对两边积分所以m 22gv mk R =0v 022011vk v v +=v 22y g mk mg ym --=()221v k g dtdv+-=()221v k g dyvdvdt dy dy dv +-==gdy v k vdv-=+221gdy v k vdv h v ⎰⎰-=+02201022 y g mk mg y m + - =③ 即质点到达的高度. 对下降阶段：即④ 由③=④可得()20221ln 21v k gk h +=()21221ln 21v k gk h --=22011v k v v +=gdy v k vdvhv ⎰ ⎰ =- - 0 2 2 0 1 12 2 gv k -g dyvdvdt dy dy dv + = =1.28 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。

如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。

解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.椭圆方程 ①从滑到最低点，只有重力做功.机械能守恒.即② 设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有：③为点的曲率半径. 的轨迹：得；又因为所以 故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为W ab 题1.28.1图12222=+by a x A B 221mv mgb =N ρB B A →221ax b y --=2221a x a bx y -='2322211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=''a x a b y ()223211a b y y k ='+''==ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⨯+=+=2222212a b W mgh a b mg mv mg N ρρ2v mmg N = -方向垂直轨道向下. 1.36 检验下列的力是否是保守力。

如是，则求出其势能。

，，解 （a ）保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ，代入上式 即所以此力是保守力，其势为(b)同（a ），由所以此力是保守力，则其势能为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221a b W ()a 233206y bx y abz F x -=y bx abxz F y 43106-=218abxyz F z =()b ()()()z F y F x F z y x k j i F ++=F 0F =⨯∇()()()22=+--+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇kj i kj i F F F k j i F zyxy 40abx 6abz y 40bx 6abzy 18abz y 18abz 18abxz 18abxz y F x F x F z F z F y F z y x 333322x y z x y z ()()()()()()()()()()()324,,0,,20,,0,0,4300000233z y ,x,0,0,0x6518106d 206F abxyz y bx dz abxyz dy y bx abxzx y bx y abzdz F dy F dx V z y x y x y x x ,x,,,zy-=-----++-=⋅-=⎰⎰⎰⎰⎰drF 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇kj i k j i F y F x F x F z F z F y F F F F z y x x y z x y z zy x F dzF dy F dx F d V BABABx Az z z y y y x x ⎰⎰⎰⎰---=⋅-=rF1.38 已知作用在质点上的力为式中系数都是常数。

问这些应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。

解 要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以 即得为常数满足上式关系，才有势能存在。

势能为：za y a x a F z a y a x a F z a y a x a F z y x 333231232221131211++=++=++=()3,2,1,=j i a ij ij a 0=⨯∇F ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂x F zF x F yF z F yF zx yx yz ⎪⎩⎪⎨⎧===311321122332aa a a a a ()3,2,1,=j i a ij ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )zx a yz a xy a z a y a x a dz z a y a x a dyz a y a x a dxz a y a x a d F dy F dx F d V z y x y x y x x x zz y x 3123 12 231 212 211, , 0 , , 3332310 , , 0, 0 , 232221, 0 , 0, 0 , 0 1312112 2 2 21 + + + + + =- + + - + + - + + - = + + - = ⋅ - = ⎰ ⎰ ⎰ ⎰⎰ ⎰⎰ r F1.39 一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。