江苏省苏州市中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法

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中考数学复习指导：与抛物线有关的面积问题的求解方法

与抛物线有关的面积问题的求解方法图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法.动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解.一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力.一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB =3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 .分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，P Q P =,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析连结OQ .∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形.又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP = 由勾股定理，得2PQ ==即PQ . 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是( ). (A)5 (B)154 (C)253 (D)203分析点P 在 AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABC PGC ∆∆ ， ∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC= ，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线).∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5, ∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，AB =D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知2EF EH ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2.在Rt EOH ∆中，sin 1EH OE EOH =∠==∴2EF EH =即EF 四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系.仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关.于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+.在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =.则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.。

中考数学复习指导抛物线内接三角形面积计算通法.doc

2019-2020 年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题) 如图 1(1) ，已知抛物线经过A(3,0) ， B(0,3) 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图 1(1) ，动点E，从O点出发，沿着OA的方向以 1 个单位 / 秒的速度向终点 A 匀速运动，同时，动点 F 从点 A出发，沿着 AB 方向以 2 个单位/秒的速度向终点B 匀速运动，当 EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动. 连结EF，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，V AEF为直角三角形?(3)如图 1(2) ，取一根橡皮筋，两端点分别固定在 A ， B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点P 与 A ， B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标; 如果不存在，请简要说明理由.本题第 (3) 问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢 ?值得我们探究 .二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在 x 轴上:(这里约定A点的横坐标记为 x A，A点的纵坐标记为为 y A)如图 2(1) ，有S ABC 1 AB OC 1x A x B y C.2 2如图 2(2) ，有S ABC1AB DC 1x A x B y C .2 2如图 2(3) ，有SABC1 AB DC 1x A x B y C .22 x 轴平行 : 如图 3(1) ，有2. 抛物线内接三角形有一边与S ABC1AB DC 1x A x B y C y D , 2 1 AB OC 2 1 x B 或 S ABCx A y D y C ; 如图 3(2) 2 2 ，有SABC1AB DC 1x A x B y C y D ,2 1 2 1SABCx A y D y C . 或 2 AB OC 2 x B在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积 .三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时( 如图 4) ，三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决 .如图 4，过点 C 作“轴的垂线交 AB 于点 D , 则 ABC 被分成了两个以 CD 为一公共边的三角形 .过点 A 作 AECD 于点 E ，过 B 作 BF CD 于点 F ，则S ABCSCDAS ABC 1 1 CD BF CD ( AE BF ) ，CD AE2 2CD y C y D ，AE BF x C x A x B x C. Q x A x C x B,AE BF x A x B ,SABC 1x A x B y C y D.2ABC 的面积公式:综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接设 a x A x B , h y C y D.a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽 ; h表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高. 在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:SABC 1ah .2.此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设x A x C x B.则 a x A x B ，即是水平宽.过点 C 作x轴的垂线，与直线AB 的交点记为 D ，则 h y C y D，即是铅直高，于是有SABC 1ah1x A x B y C y D.2 2四、问题解决上述问题中，过点P 作 PN // x轴，垂足为 N ，交 AB 于点 M ( 如图 1(2)) ，抛物线解析式为y x2 2x 3 ,直线 AB 的解析式为y x 3 .设 N ( x, x 3) ，则 M ( x, x2 2x 3) .于是有SABC 1 x A x B y P x M21 (3 0) ( x2 2x 3) ( x 3)23 9x2 x2 23 (x 3 )2 27 ,2 2 8即当x 3 时， V ABP 面积最大，最大面积是27，此时 P 点的坐标为( 3 , 27 ).2 8 2 8五、模型应用 ( 动点B在定点A与C之内 )例 1 如图 5，二次函数与x 轴交于点C,与y轴交于点A，B为直线AC下方抛物线上一点，求V ABC 面积的最大值.解易得点 A(0, 4) ，点 C (6,0) ，则水平宽 a x A x C 6 .直线 AC 的解析式为 y 2 x 4 .设点 B 的坐标为 (x, 1x233 x 4) , 3 4则点 D 的坐标为 ( x, 2x 4) .3铅垂高 h y B y D 2 x 4 ( 1 2 4 x 4) 1 x2 2x ,3 2 3 3故 S ABC 1 6 ( 1 x2 2x) x2 6x ( x 3)2 9 .2 3Q 0 x 6 ,当 x 3 时，即当点B(3, 5) 时，ABC 面积最大，最大面积是9.评注题中的ABC 满足公式中的A, C 为定点，B为一动点，但在运动过程中，B的横坐标介于 A, C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得. 由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展 ( 动点P在定点A与C之外 )例 2 如图 6(1) ，二次函数与x 轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与 x 轴平行，且点 B 在抛物线上，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的动点，是否存在点 P ，使S P A C 2S A B,C若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.解析由题意不难得出S ABC 8 ,要使 S PAC 2S ABC，即求 S PAC 16 .因为PAC 为动点三角形，由通用公式S PAC ah ，其中 a 为水平宽， a x C x A 6 , h 为铅直高，应该过动点P 向x轴作垂线;交直线 AC 于点 D ，则h y P y D.问题是此时动点 P 不在两定点A,C之间，而是运动到了两定点A, C 之外，那么通用公式还成立吗 ?由图 6(2) 可知，当动点P 在两定点A, C之外时，SPAC SPDCSPDA1 1PD AF2PD CE1PD (CE1PD2 1ah .AF ) ( x C x A )2 2 2由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立. 区别是 : 动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算; 动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.。

中考数学中的三角形与四边形面积计算思路实例总结

中考数学中的三角形与四边形面积计算思路实例总结数学是中考的重点科目之一，其中涉及到三角形与四边形的面积计算是一个常见的考点。

在解题过程中，正确的计算思路和应用相关的公式至关重要。

本文将总结中考数学中三角形与四边形面积计算的思路，并给出相应的实例解析。

一、三角形的面积计算思路1. 根据底边与高的关系计算面积三角形的面积可以根据底边与高的关系进行计算，即面积等于底边乘以高的一半。

这个思路适用于任意形状的三角形。

例如，已知三角形ABC的底边BC为6厘米，且高AD为4厘米。

根据公式，可以计算出三角形ABC的面积为1/2 * 6 * 4 = 12平方厘米。

2. 利用海伦公式计算面积当已知三角形的三边长时，可以利用海伦公式计算其面积。

海伦公式的表达式为：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s表示三角形的半周长，a、b、c表示三角形的三边长。

例如，已知三角形ABC的三边长分别为AB=3厘米，BC=4厘米，AC=5厘米。

首先计算半周长s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6. 根据海伦公式，可以计算出三角形ABC的面积为√(6 × (6-3) × (6-4) × (6-5)) = √(6 × 3 × 2 ×1) = √36 = 6平方厘米。

二、四边形的面积计算思路1. 矩形的面积计算矩形是一种特殊的四边形，其两边相等且相邻两边互相垂直。

矩形的面积计算公式为面积 = 长 ×宽。

例如，已知一个矩形的长为8厘米，宽为6厘米。

根据公式，可以计算出矩形的面积为8厘米 × 6厘米 = 48平方厘米。

2. 平行四边形的面积计算平行四边形的面积计算可以转化为矩形的面积计算。

平行四边形与其底边平行的边的长度作为矩形的宽，平行四边形的高作为矩形的高。

例如，已知平行四边形ABCD的底边AB为5厘米，高为3厘米。

将平行四边形ABCD展开成矩形，它的宽为5厘米，高为3厘米。

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

探究抛物线中三角形面积求法

．
2
3
通过这节课的学习,主要探究了抛物线中的三角形面积求法.
B
对于不同形状、不同形式放置在平面直角坐标系的三角形面积求法，要充分挖掘其底边或高的特征而展开问题的分析，要着重抓住水平或竖直的线段长度与点的坐标相互转化为问题解决的切入口。
作业布置:
1.请课后每四人小组找三道你们认为很好的,并渗透抛物线中三角形面积的题目交给我.（要有答案）
探究抛物线中三角形面积求法
交讨流论讨交论流
如图，抛物线的顶点A坐标为（1，4）,且经过点B(-1，0）.根据以上条件你能获得哪些信息？
y
A(1,4) C
3
B
-1 O
D
3
x
x 1
（1）连结BC，BD，CD.则S△BCD= 6 .
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PBD=S△CBD，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
•
由题意，得
• • • • •
① ②
解解EE这这HH个个方方32程23程EE，，PP得得，aa，即即 (32 ．2a(2 或或a4 2a a 4a5 )a 5)( a 5( a5 )（5 5 )（舍3 2舍(2 3a 去(a 去 5 ）5 )）)．．．H
E
•3Biblioteka P•即P点的坐标为P( 3 ,0) 或 P( 2 ,0)
M
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标
• 解：（3）设P点的坐标为（a，0），因为线段BC过B，C两点，所以BC所
在的直线方程为 yx5 ．
那么，PH与直线 BC的交点坐标为 E(a，a5．)

抛物线内接三角形面积公式及其应用

抛物线内接三角形面积公式及其应用
计算抛物线内接三角形的面积，是各类考试中的经典问题。

本文介绍了一种仅用顶点横坐标表示的抛物线内接三角形的面积公式，对公式给出了完整的证明，并尝试用它来解决了一些2018年中考问题，取得了很好的效果。

关键词：抛物线内接三角形面积公式
定理：设抛物线y=ax^2+bx+c内接三角形△ABC，三个顶点的坐标分别为
(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则△ABC的面积为S△ABC=|a(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)|/2
可以看出，这个公式只用到抛物线的二次项系数，以及三个顶点的横坐标，公式本身简洁对称，形式优雅，非常容易记忆。

2017年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法

抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A ，(0,3)B 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图1(1)，动点E ，从O 点出发，沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时，动点F 从点A 出发，沿着AB /秒的速度向终点B 匀速运动，当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AEF V 为直角三角形?(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标;如果不存在，请简要说明理由.本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究.二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ，A 点的纵坐标记为为A y )如图2(1)，有1122ABC A B C S AB OC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(2)，有1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(3)，有 1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1)，有1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABC B A D C S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-; 如图3(2)，有 1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABCB A DC S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-.在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积.三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.如图4，过点C 作“轴的垂线交AB 于点D ,则ABC ∆被分成了两个以CD 为一公共边的三角形.过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，则11()22ABC CDA ABC S S S CD AE CD BF CD AE BF ∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯+，C D CD y y =-，C A B C AE BF x x x x +=-+-.A CB x x x <<Q ,A B AE BF x x ∴+=-,12ABC A B C D S x x y y ∆∴=---. 综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接ABC ∆的面积公式: 设,A B D a x x h y C y =-=-- .a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽; h 表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:12ABC S ah ∆=. 此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. 当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设A C B x x x <<. 则A a x x B =--，即是水平宽.过点C 作x 轴的垂线，与直线AB 的交点记为D ，则C D h y y =-，即是铅直高，于是有1122ABC A B C D S ah x x y y ∆==-⋅-. 四、问题解决上述问题中，过点P 作//PN x 轴，垂足为N ，交AB 于点M (如图1(2))，抛物线解析式为223y x x =-++,直线AB 的解析式为3y x =-+.设(,3)N x x -+，则2(,23)M x x x -++.于是有 12ABC A B P M S x x y x ∆=-⋅- 21(30)(23)(3)2x x x ⎡⎤=-⋅-++--+⎣⎦ 23922x x =-+23327()228x =--+, 即当32x =时，ABP V 面积最大，最大面积是278，此时P 点的坐标为327(,)28. 五、模型应用(动点B 在定点A 与C 之内)例1 如图5，二次函数与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ，B 为直线AC 下方抛物线上一点，求ABC V 面积的最大值.解易得点(0,4)A -，点(6,0)C ，则水平宽6A C a x x =-=.直线AC 的解析式为243y x =-. 设点B 的坐标为213(,4)34x x x --, 则点D 的坐标为2(,4)3x x -. 铅垂高22144(4)323B D h y y x x =-=----2123x x =-+, 故222116(2)6(3)923ABC S x x x x x ∆=⨯⨯-+=-+=--+. 06x <<Q ,当3x =时，即当点(3,5)B -时，ABC ∆面积最大，最大面积是9.评注题中的ABC ∆满足公式中的,A C 为定点，B 为一动点，但在运动过程中，B 的横坐标介于,A C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得.由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展(动点P 在定点A 与C 之外)例2 如图6(1)，二次函数与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，直线AB 与x 轴平行，且点B 在抛物线上，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点，是否存在点P ，使2P A C A B C S S ∆∆=,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.解析由题意不难得出8ABC S ∆=,要使2PAC ABC S S ∆∆=，即求16PAC S ∆=.因为PAC ∆为动点三角形，由通用公式PAC S ah ∆=，其中a 为水平宽，6C A a x x =-=, h 为铅直高，应该过动点P 向x 轴作垂线;交直线AC 于点D ，则P D h y y =-.问题是此时动点P 不在两定点,A C 之间，而是运动到了两定点,A C 之外，那么通用公式还成立吗?由图6(2)可知，当动点P 在两定点,A C 之外时，1122PAC PDC PDA S S S PD CE PD AF ∆∆∆=-=⨯-⨯ 111()()222C A PD CE AF PD x x ah =-=⨯-=. 由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立.区别是:动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算;动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.。

6.抛物线求三角形面积(割补法铅垂法)

抛物线与三角形面积问题
———割补法、铅垂法
例1：在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC 的面积．解：过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D。

1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴
于点B .
（1）求抛物线和直线AB 的解析式.
（2）求CAB S .2.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,
（1）求抛物线的表达式.
（2）求△BCD 面积的最大值,并写出D 点的坐标.
x
C O y A B 1
1C (4,7)
B (7,3）
A (1,1)
o x y D
121-=⨯k k (3)x y A B C P E O x y A B
C Q
O
(2)3.如图,二次函数的图象经过点A(0,1),它的顶点B(1,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)过点A 作AC⊥AB 交抛物线于点C,P 是直线AC 上方抛物线上的
一点,当△APC 面积最大时,求点P 的坐标和△APC 面积的最大
值.(提示：若两条直线互相垂直，则)
4.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.。

抛物线内接三角形的面积

(3)co sZ P fA
FP •FA \~^P \•\~^A \
(乾 -
( m - l ，n )
1 F P I (2^ + f } ( y2i - p 2 ) ( m - ^ - ) + 2 p ny1
I FP \ (yf + p2 ) (y l - P2)(y- ^ - f ) + 2P - ^ yi
内接三角形的面积满足统一的表达式，现分享给大家，有不正确的地方，请指正.
已知A、B 、C 是抛物线y2 =
> 0) 上三点，
其纵坐标分别为；^ 、;>"2、73，则 r 2) (r 2 - y3 ) ( y3 - J i ) I •
4p I (Yi
2
2
2
证明：易知 4 ( $ ，：X1) ,B ( . , ：X2) ，C( . , ；T3) ，
i y2 - y3 1 2p
/yf + ，，又厶尸舛中，作边上的高为 / ^
, y2 y3
y2 + r 3 y\
——2— - JY1t • ----- 2------- + —2-
/p2 + y\
1 (ri - r2) (ri - r3) 1 2 V p2 + /1
SAPQR
(j l _ j2 )(y2
I r 2 - Ji 1 'f n r
P
-，原点 0 到的距离 d
I pm I
p 2 + Tl2
I pm I
a//?2 + n2
s AAOB
I j 2 - Ji I
I m I I y2 - y! 2

中考数学中的三角形与四边形面积计算技巧总结

中考数学中的三角形与四边形面积计算技巧总结在中考数学考试中，求解三角形与四边形的面积是一个常见的题型。

正确运用计算技巧可以快速准确地得出结果。

本文将总结中考数学中常用的三角形与四边形面积计算技巧，帮助同学们提高解题效率。

一、三角形面积计算技巧1. 直角三角形面积计算直角三角形是最简单的三角形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高其中，底边是直角边，高是与底边垂直的边。

在解题时，可以利用勾股定理求得直角三角形的底边与高，从而计算出面积。

2. 一般三角形面积计算对于一般的三角形，我们可以利用海伦公式计算面积。

海伦公式的表达式为：面积= √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]其中，s是三角形的半周长，等于三边长之和的一半；a、b、c分别是三角形的边长。

二、四边形面积计算技巧1. 矩形面积计算矩形是一种特殊的四边形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽矩形的特点是四个角都是直角，且相对的两边长度相等。

在考试中遇到矩形的面积计算问题时，只需知道其长和宽即可直接计算出结果。

2. 平行四边形面积计算平行四边形也是一种常见的四边形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高平行四边形的特点是两对边平行且相等，且相对的两个角也相等。

在计算平行四边形面积时，只需知道底边的长度以及与底边平行的高的长度即可。

3. 梯形面积计算梯形是一种具有两对平行边的四边形，其面积计算公式为：面积 = (上底 + 下底) ×高的一半梯形的关键是知道上底、下底和高的长度，通过将梯形划分为两个三角形和一个矩形，可以利用三角形和矩形的面积计算公式得出最终结果。

4. 菱形面积计算菱形是一种具有四个边相等的四边形，其面积计算公式为：面积 = 对角线1长度 ×对角线2长度的一半在计算菱形面积时，只需知道两条对角线的长度即可。

总结：在中考数学中，掌握三角形与四边形的面积计算技巧对解题非常重要。

抛物线内接三角形面积公式

抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。

接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。

我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。

由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。

因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。

我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。

这就是抛物线内接三角形的面积公式。

抛物线中三角形面积问题

学生通过合作学习，讨论来完成问题
作业布置
如图：抛物线y=-(x^2)+2x+3与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧）.与y轴交于点C，点M((5/2)，(7/4)),N(-2,-5),
求四边形CMBN的面积。
学生自由选择一个图形进行面积的计算，鼓励用多种方法进行解决。
探究一
如图：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，
点C是抛物线与y轴交点。
2、点E在抛物线上，且CE∥AB，求S△ABE
3、在（2）的条件下，BF∥AE，F在抛物线上，求S△AEF
4、在（2）的条件下，直线AE解析式为y=x+1，G（-2,-5)在抛物线上，求S△AEG
2、感受转化思想在数学学习中的重要作业
3、培养学生合作交流能力，语言表达能力。
教学重点：三角形面积计算和点坐标的计算
教学难点：用平行线进行三角形的转化
解决措施：利用白板，展示图形的变形转化过程，让学生对图形的变化有直观的认识。
教学设计
教学环节
教师活动
学生活动
预习检测
展示四个图形
学生解答后，老师进行方法的归纳。
应用和延伸
如图：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（1）点P(m,n)是抛物线与x轴所围成的封闭区域内一点（包括边界），若以D、C、P、B为顶点的四边形面积是△BCD面积的2倍，求出m的取值范围。
（2）Q是直线BC上方抛物线上的一点，求△CBQ最大面积。
在抛物线上且ceab求sabe3在2的条件下bfae在抛物线上求saef4在2的条件下直线ae解析式为yx1g25在抛物线上求saeg依次提出问题归纳结论变式练习1学生分别解决三个问题归纳出同底等高三角形面积相等2利用结论解决问题探究二如图

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

抛物线的焦点三角形面积公式

抛物线的焦点三角形面积公式抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

抛物线是一类曲线，当这类曲线经过一定变换后，它们的焦点就会凸显出来。

在抛物线上任意三点A,B,C所组成的三角形ABC的面积，可以用下面的抛物线的焦点三角形面积公式来计算：面积S=1/4[(AB²+AC²+BC²)-2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)]其中，AB、AC、BC分别表示三角形ABC的三条边长度，AB.AC、AB.BC、AC.BC分别表示三边长之间的点乘积。

抛物线的焦点三角形面积公式可以帮助我们计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，而不需要求出抛物线的方程，这个公式比较简单，如果我们了解了它的原理，就可以很容易地计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：如果抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，其面积可以由抛物线的方程来求解，而抛物线的方程可以采用下面的标准形式：y=ax²+bx+c其中a,b,c是抛物线的方程中的常数。

假设抛物线上任意三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则把抛物线的方程代入，可以得到：y1=ax12+bx1+cy2=ax22+bx2+cy3=ax32+bx3+c这三式子可以组成一个三元二次方程组，可以求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

因此，抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

总之，抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

它的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c 的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

初中数学几何图形面积计算的方法与练习

初中数学几何图形面积计算的方法与练习在初中数学的学习中，几何图形面积的计算是一个重要的部分。

它不仅是考试中的常见考点，更是培养我们逻辑思维和空间想象能力的有效途径。

接下来，让我们一起深入探讨一下初中数学中几何图形面积计算的方法，并通过一些练习来巩固所学。

一、常见几何图形面积计算公式1、三角形三角形的面积计算公式为：面积＝底×高÷2。

这里的底和高是相互对应的，需要注意的是，同一个三角形可以有不同的底和高，选择不同的底和高计算时，要确保底和高的对应关系正确。

2、矩形（长方形）矩形的面积等于长乘以宽。

3、正方形正方形的面积等于边长的平方。

4、平行四边形平行四边形的面积等于底乘以高。

5、梯形梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 。

6、圆形圆的面积＝π×半径的平方。

其中，π通常取 314。

二、面积计算方法1、直接运用公式法这是最基本也是最常见的方法。

当我们遇到规则的几何图形，如矩形、正方形、三角形等，且已知相关的边长、底、高等数据时，直接代入相应的公式即可求出面积。

例如：一个矩形的长为 5 厘米，宽为 3 厘米，其面积为 5×3 ＝ 15平方厘米。

2、割补法对于一些不规则的几何图形，我们可以通过割补的方法，将其转化为我们熟悉的规则图形，然后再计算面积。

比如，一个不规则的四边形，我们可以通过添加辅助线，将其分割成两个三角形或一个三角形和一个梯形，分别计算出各部分的面积，再相加得到整个四边形的面积。

3、等积变形法利用图形的面积不变性质，通过对图形的平移、旋转、对称等变换，将图形转化为易于计算面积的形式。

例如，两个三角形等底等高，则它们的面积相等。

我们可以利用这一性质，对图形进行变形，从而更方便地计算面积。

4、整体减部分法当一个图形由几个部分组成时，我们可以先求出整体的面积，再减去不需要的部分的面积，从而得到所求图形的面积。

比如，一个大正方形中包含一个小正方形，求阴影部分的面积，就可以用大正方形的面积减去小正方形的面积。

铅垂线法求解抛物线中三角形面积

新教师教学课例研究引题•如图，平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，-3）.（1）求直线BC 的解析式；（2）平移直线BC ，使它经过点A ，与y 轴相交于点D ，求平移后的直线AD 的解析式；（3）若抛物线经过A 、B 、C 三点，与直线AD 相交于点E.求抛物线的解析式及△BCE 的面积；解法：（1）将B （3，0）C （0，-3）代入到中，得到一个二元一次方程组解得，（2）根据BC ∥AD ，即k 相等，∴，将A （-1，0）代入可得m=1，将A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）代入到中，得到即，通过计算（3）中△EBC 的面积巩固学生对平行线间距离处处相等这一性质应用即同底等高：.通过引题目的复习巩固平行线的2个基本性质：直线平行即k 相等；平行线间距离处处相等（同底等高求面积）。

问题2：若P 为抛物线第四象限上一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标。

解法一：在△BCP 中，BC 要使△BCP 的面积最大即BC ，作与BC 平行的直线PF ，当直线PF 与抛物线有且PF BC三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

（歪：如图1，过△ABC 的三，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）法：。

坐标系中，三角形出现在抛物线中，们只要确定a ，h 的值代入公式求解即可2.归纳结论：一般地，直线BC ：与抛物线交于点C （x C ，y C ），B （x B ，y B ），如果我们把抛物线与直线围成的区域称之为“弓形”，点”的抛物线上的一个动点，则当点P 的横坐标，当△BCP 的面积最大，即点P 的横坐标是点C ，点，“弓形”中的内接三角形的面积最大。

结论证明：要使△CBP 的面积最大，作与y=kx+m 平行且与抛物线y=ax 2+bx+c 相切的直线，切点为P ，此时△CBP 的面积最大，设此直线为y=kx+n ，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=kx+n 有且只有一个解，即ax 2+（b-k ）x +（c-n ）有一解，∴，∴由求根公式.又∵C ，B 的横坐标是方程的两个解，∴问题。

《分割法解决抛物线中三角形面积问题》【2023中考备考数学公开课课件】

知识回顾 1.点P是抛物线y=2X2-3X+4上一动点，若设点P的横坐标为m,则点P的纵坐标可表示为： 2㎡-3m+4 ，则点P的坐标可表示为：（m,2㎡-3m+4) 。
小结：设横坐标，联系解析式，表示纵坐标，即设横表纵。
知识回顾 2.如右图，AB∥x轴，BC∥y轴。则线段BC= 7
，AB= b-a
典例剖析（5）点P是第二象限内该抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，ΔACP 的面积最大？求出此时点P的坐标和ΔACP的最大面积坐标。
几何画板演示
典例剖析（5）点P是第二象限内该抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，ΔACP 的面积最大？求出此时点P的坐标和ΔACP的最大面积坐标。
过点P作PQ//y轴交AC于点Q,设点P的横坐标为t，
则P点坐标(t,-t2-2t+3).(-3<t<0)
由（4）知直线AC的解析式为:y=x+3,
∴Q(t,t+3)
∴PQ=yP-yQ=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,AO=3,
∴S△ACP=
1 PQ×OA= 1 ×(-t2-3t)×3=- 3 t2- 9
2
2
22
∴当t= - 3 时，S△ACP最大，此时P（ - 3， 152Βιβλιοθήκη 24t ），S△ACP最大值=
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归纳小结
铅垂法计算三角形面积
【解题步骤】
（1）求A、C两点水平距离，即水平宽；
（2）过点P作y轴的平行线与AC交于点Q,可得点Q横坐标同点P;
（3)求直线AC解析式并代入点P横坐标，得点Q纵坐标；
（4)根据P、Q坐标求得铅垂高；

苏州市中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导

利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC 于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析存在.理由:易求抛物线的解析式为2188yx .设21(,8)8P m m(80)m ，则22222211118(8),()6(8)28888PF m m PD m mm，故2PD PF , PDE 的周长=2DE EP PD DE EP PF .如图2，过E 点作EGBC 于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF 的值最小，此时214,(4)868PEPx x y ，所以PDE 周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE 的周长最小，只需满足PDPE 的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2012年XX 省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223yxx 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM 的周长最小，求出M 点的坐标.分析易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D ，故224,10ABACOAOC，直线AC 的解析式为33yx .如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B ，连接BD ,交AC 于点M ，则BDM 即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M ，连接,,B M DM BM .由对称性可知:,BMB M BM B M ，于是BDM 的周长=B M ,DM BD BDM 的周长=B M DM BD .而在B DM中，B MDM B D ，即B M DM B M DM ，所以BDM 的周长大于BDM 的周长.)若BB 交AC 于点E ，则90,22cos 2cos ABECAOACO BBBEAB ABEAB ACO312241010105.过B 点作B F x 轴于点F ，则362133cos 355B x BF BB ABE ，3112sin sin 101010105B y B F BB ABE BB ACO ，故2112(,)55B ,易求直线B D 的解析式为4481313y x .联立解方程组448131333y xyx ，得93513235x y，所以M 点的坐标为9132(,)3535.点评本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ,B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B 、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D与直线AC 的交点时，DM BM 的值最小，此时BDM 的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例3 (2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y axbx c a 过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC .将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C ，连接C C ，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF的周长等于线段C C 的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F ，在线段QE 上取异于点P 的任一点P ，连接,,,,CF CP F P F C P C .由轴对称的性质可知P CF 的周长=F CF PP C ，而F CF P P C 的值为折线段CPF C 的长，由两点之间线段最短可知F CF PP CC C ，即P CF 的周长大于PCF 的周长.)如图6，过点Q 作QGy 轴于点G ，过点C 作C Hy 轴于点H ，则CGOCHC，可得12CG QG CQ CH C H CC，即2212CHC H.所以4,CHC H6C H CHCC.在RtC HC 中，222246213C CC HC H.所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为213.点评本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C 、C ，就得到由三条与PCF三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C 、P 、F 、C 四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C 的交点时，PCF的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例 4(2015年XX 沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR 周长的最小值.分析易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C ，故222213,5AB OAOBAC OAOC.如图8，过点B 作BH AC 于点H ，则885,sin65565BC OA BH BHBACACBA.如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P ，连接P P ，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则PQR 是过点P 的ABC 的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR的周长等于线段P P 的长.若PP 交AB 于点,D PP 交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADPAEPDP,DP EPEP ，故2P PDE .连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DFEFAP ，所以⊙F 为ADP 的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,DEGBACDGE ，所以PQR的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC8322265656565.如图10，当点P 与点O 重合时，PQR 的周长最小，最小值为326565. 点评本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P 的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P 长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP APAP P APBAC ，所以AP P 为等腰三角形，且其顶角P AP 为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论:,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.。

教育最新K12中考数学二轮复习高分攻略专题抛物线与面积

抛物线与面积专题抛物线与三角形、四边形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。

此类问题均是结合各个知识点进行综合考查，本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。

其面积为：SΔ=|x1-x2|·||=··||（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。

其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。

其面积为：SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

注意：首先把握好图形的性质，根据特性进行公式运用。

（4）、抛物线内四边形面积问题往往涉及到平行四边形和菱形及其长方形等特殊形状的运用，需要根据题目的具体要求进行分析解答。

注意：在利用菱形的面积公式有多种：两对角线之积的一半；边长与高的积等。

二、典型例题赏析1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．（2015•辽宁阜新）（第18题，12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D 点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．【变式练习】（2015•齐齐哈尔,第23题7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．解答：解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．2．求抛物线的解析式例2．（2015•葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出a\c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣ x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣ x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，∴解得∴y=﹣x2+x+3．（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣ x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣ x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△ABC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．①如图2，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+x+3），则解得或，∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．②如图3，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+x+3），则解得或，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．③如图4，，由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+x+3），则解得，∴点P的坐标是（﹣1，）．综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．【变式练习】（2015年四川省达州市中考，25,12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分别作A关于x轴的对称点E，作B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于D，交y轴于C，连接AD、BC，则此时AD+DC+BC的值最小，根据A、B的坐标求出AB，求出E、F的坐标，求出EF的长，即可求出答案；（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．解答：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得，解得．故二次函数的表达式y=x2﹣x+4；（2）如图：延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F 点，交y轴于G点，GD=GD′EF=E′F，（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE，由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．由勾股定理，得DE==，D′E′==，（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+；（3）如下图：OD=．∵S△ODP的面积=12，∴点P到OD的距离==3．过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，在Et△OGF中，OG===6，∴直线GF的解析式为y=x﹣6．将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，解得：，，将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=，y2=∴点P1（，），P2（，）如下图所示：过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，在Rt△PFO中，OG==6∴直线FG的解析式为y=x+6，将y=x+6代入y=得：x+6=解得：，y1=x1+6=，y2=x2+6=∴p3（，），p4（，）综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．3．求抛物线解析式中字母系数的值。