吉林省延边州汪清六中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)

吉林省延边州汪清六中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则( )A．M∩N={4，6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．（∁U M）∩N=N考点：交、并、补集的混合运算．分析：对答案项逐一验证即可．解答：解：由题意M∩N={2，6}，A错误；M∪N={2，3，4，5，6，7}=U，故选B点评：本题考查集合的混合运算，较简单．2．函数f（x）=lg的定义域为( )A．{x|﹣4＜x＜1} B．{x|x＜﹣1 或x＞4} C．{x|x＜1} D．{x|x＜﹣4或x＞1}考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据对数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出函数的定义域．解答：解：由题意得：，即（x﹣1）（x+4）＞0，解得x＜﹣4或x＞1．故选D．点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及分式不等式的解法，属于基础题．3．若函数f（x）的唯一一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内，则下列结论中正确的是( )A．f（x）在区间（0，1）内一定有零点B．f（x）在区间专题：函数的性质及应用．分析：由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间=（•）（）﹣（•）（）=0，故（•）﹣（•）与垂直，故③不正确．由于（3+2）•（3﹣2）=9=9||2﹣4||2，故④正确．故选D．点评：本题主要考查两个向量数量积公式，两个向量数量积的几何意义和运算性质，两个向量垂直的性质，属于中档题．7．命题p：∀x∈考点：命题的否定．专题：计算题．分析：利用指数函数的单调性判断出命题p是真命题；据含量词的命题的否定形式写出否命题．解答：解：：∵0＜log32＜1∴∀x∈D、把答案代入函数解析式得，y=f（x）sinx=﹣2sinxcosx=﹣sin（2x），函数图象和正弦函数图象关于x轴对称，故D对．故选D．点评：本题主要考查了正弦函数图象和倍角公式的应用，根据图象的变换和函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力．9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．e2D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲求切线与坐标轴所围三角形的面积的大小，只须求出其斜率得到切线的方程即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵点（2，e2）在曲线上，∴切线的斜率k=y′|x•2=e x|x•2=e2，∴切线的方程为y﹣e2=e2（x﹣2）．即e2x﹣y﹣e2=0．与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣e2），（1，0），∴S△=×1×e2=．故选D．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．10．函数y=﹣xcosx的部分图象是( )A．B．C．D．考点：函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．专题：数形结合．分析：由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．解答：解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故应选D．点评：本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．11．“0＜a≤1”是“关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：这是一个二次型方程，首先我们要分析当a=0时，方程是否有负根，再分析当a≠0时，方程存在负根的情况，综合即可得到结论．解答：解：当a=0时，方程ax2+2x+1=0可化为方程2x+1=0方程存在一个负根当a≠0时，若关于x的二次方程ax2+2x+1=0有根则△=4﹣4a≥0，即a≤1若方程ax2+2x+1=0无负根则x1+x2=﹣≥0，x1•x2=≥0，这种情况不存在故关于x的方程ax2+2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是a≤1又“0＜a≤1”成立，“a≤1”但反之“a≤1”成立，“0＜a≤1”不一定成立，所以“0＜a≤1”是“关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，充要条件的判断，其中容易忽略当a=0时的情况．12．已知f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），且f（1）=2，则f的值为( )A．0 B．﹣2 C．2 D．2009考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值．专题：计算题．分析：根据已知等式取x=﹣3，得到f（3）=f（﹣3）+f（3）．再利用原函数为偶函数得到f （3）=f（﹣3）=0，代入已知等式得到f（x+6）=f（x）说明函数的周期为6，最后利用这个周期得到f=f（﹣1）=f（1）=2．解答：解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），对任意x∈R成立，∴令x=﹣3，则f（3）=f（﹣3）+f（3），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（3）=f（﹣3）=0．∴代入已知条件，得：f（x+6）=f（x），∴f=f（﹣1+6×335）=f（﹣1）=f（1）=2故选C．点评：本题以一个抽象函数为例，考查了函数的奇偶性、周期性和函数求值等知识点，属于基础题．赋值法，是解决此类问题的常用方法．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．对于实数a （a＞0且a≠1），函数f （x）=a x﹣2﹣3的图象过定点（2，﹣2）．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，我们易求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的定点的坐标．解答：解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=a x﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移两个单位，再向下平移三个单位．则（0，1）点平移后得到（2，﹣2）点故答案为：（2，﹣2）．点评：本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=a x﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．14．已知向量，向量=（x，3），且，则x=6．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：根据所给的两个向量的坐标和两个向量平行的充要条件，得到关于x的方程，解方程即可得到要求的x的值．解答：解：因为向量，向量=（x，3），且，根据向量共线的充要条件得4×3=2x，x=6故答案为：6．点评：本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，是一个基础题．15．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2+（n∈N*），则数列{a n}的第4项是6．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：利用条件，分别依次代入求解可得．解答：解：∵a1=2，a n+1=2+，∴，故答案为6．点评：本题考查考查了学生综合把握数列基础知识，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，认真审题，注意公式的合理选用．16．若函数f（x）=2x﹣在定义域（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围（﹣∞，﹣2]．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）=2x﹣的导数f′（x），由已知可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离，求出右边的最小值即可．解答：解：函数f（x）=2x﹣的导数f′（x）=2+，f（x）在定义域（0，1]上是减函数，则有2+≤0在（0，1]恒成立，则a≤﹣2x2在（0，1]恒成立，由于﹣2x2在（0，1]递减，则最小值为﹣2．则a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]点评：本题考查已知函数的单调性求参数的范围，注意运用导数求解，同时也可以运用单调性的定义，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知y=2x，x∈的值域为集合A，y=log2定义域为集合B，其中m≠1．（Ⅰ）当m=4，求A∩B；（Ⅱ）设全集为R，若A⊆C R B，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：（1）欲求A∩B，先分别求出集合A，B，再求它们的交集即可；（2）由题目中条件：“A⊆C R B，”得集合A是C R B={x|x≤2或x≥m+1}的子集，结合端点处的不等关系，可得m的取值范围．解答：解：（1）∵y=2x，x∈的值域为A=，当m=4，由﹣x2+7x﹣10＞0，解得B=（2，5），∴A∩B=∴1＜m≤3若m＜1，则C R B={x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆C R B成立．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，3）．点评：本题主要考查对数函数的定义域、集合的包含关系判断及应用、指数函数的值域以及交集及其运算等．18．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•，g（x）=．（Ⅰ）求函数g（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间及最值．考点：二倍角的正弦；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性．专题：综合题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化简，再求函数g（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用数量积公式化简函数，再求f（x）的单调增区间及最值．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，sin2x），∴g（x）==1+sin22x=﹣cos4x+，∴T=；（Ⅱ）f（x）=•=2cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可得﹣+kπ≤x≤+kπ，可得f（x）的单调增区间为（k∈Z），函数的最大值为3，最小值为﹣1．点评：本题考查二倍角公式、数量积公式化简函数，考查三角函数的性质，属于中档题．19．设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣2n（n∈N*），可得n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2n﹣1（n∈N*），两式相减，结合b n=，即可证明数列{b n}为等差数列；（2）确定a n=（n+1）•2n﹣1，再利用错位相减法，可求数列{a n}的前n项和S n．解答：（1）证明：因为S n=2a n﹣2n（n∈N*），所以n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2n﹣1（n∈N*），所以a n=2a n﹣2n﹣（2a n﹣1﹣2n﹣1），即a n=2a n﹣1﹣2n﹣1．由a1=2a1﹣2得a1=2．由b n=得b1=1．当n≥2时，b n﹣b n﹣1=，所以{b n}是首项为1，公差为的等差数列．（2）解：由（1）知，b n=，即=，所以{a n}的通项公式为a n=（n+1）•2n﹣1．所以S n=2•20+3•21+…+（n+1）•2n﹣1，①∴2S n=2•21+3•22+…+（n+1）•2n，②由①﹣②得﹣S n=2•20+21+22+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n，∴S n=n•2n．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．20．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2﹣c2）=3ab；（1）求；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cosC中，化简即可求出cosC的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π﹣C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cosC的式子，把cosC的值代入即可求出值；（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：（1）∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∵A+B=π﹣C，∴===；（2）∵a2+b2﹣c2=ab，且c=2，∴a2+b2﹣4=ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab﹣4，∴ab≤8，∵cosC=，∴sinC===，∴S△ABC=absinC≤，当且仅当a=b=2时，△ABC面积取最大值，最大值为．点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式及三角形的面积公式．要求学生熟练掌握三角函数的恒等变换公式，同时注意灵活变换已知的等式，利用整体代入的数学思想解决问题．21．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a8+a4=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求a n及S n；（Ⅱ）求出b n的通项公式，利用裂项法即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3=7，a8+a4=26，所以有，解得a1=3，d=2，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n====（﹣），所以数列{b n}的前n项和T n=（1﹣﹣）=（1﹣）=，即数列{b n}的前n项和T n=．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的计算，以及利用裂项法进行求和．22．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调增区间．（2）若函数f（x）在上的最小值为，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论．分析：（1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，分类讨论后，即可得到答案．（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在上何时取最小值，分析后即可得到答案．解答：解：∵f（x）=∴函数的定义域为（0，+∞）且f'（x）=+=①当a≥0时，f'（x）≥0恒成立，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当a＜0时，令f'（x）≥0，则x＞﹣a∴函数f（x）的单调增区间为（﹣a，+∞）（II）由（I）可知，f'（x）=①若a≥﹣1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在上为增函数∴f（x）的最小值为：f（1）=﹣a=，此时a=﹣（舍去）②若a≤﹣e，则f'（x）≤0恒成立，函数f（x）在上为减函数∴f（x）的最小值为：f（e）=1﹣=，此时a=﹣（舍去）③若﹣e＜a＜﹣1，当1＜x＜﹣a时，则f'（x）＜0，当﹣a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）的最小值为：f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，此时a=﹣综上所述：a=﹣点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中根据导函数的解析式，对参数a进行分析讨论是解答本题的关键．。