2018年高考新人教版A压轴题数列整合含答案

2018年高考新人教版A 压轴题数列整合含答案1．已知数列{}n a 满足11a =， ()121n n na a n n -=≥-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意的*N n ∈，都有①212313nn a +<；②()1212111111n n n nk k a a a a k ++--++++>+（*2,N k k ≥∈）．2．设等差数列{}n a 的公差为1d ，等差数列{}n b 的公差为2d ，记{}1122m ax ,,n n n c b an b a n b a n =--⋅⋅⋅-()1,2,3n =⋅⋅⋅，其中{}12max ,,s x x x ⋅⋅⋅表示12,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数(1)若2,42n n a n b n ==-，求123,,c c c 的值，并猜想数列n c 的通项公式（不必证明）(2)设,2n n a n b n =-=-+，若不等式231112222nn c c c nλ⋅++⋅⋅⋅+<--- 对不小于2的一切自然数n 都成立，求λ的取值范围(3)试探究当无穷数列{}n c 为等差数列时， 1d 、2d 应满足的条件并证明你的结论 3．我们称满足： ()()211kn nn a k aa +-=--（*n N ∈）的数列{}n a 为“k 级梦数列”.（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<， 1220171112a a a +++=，求201814a a -的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列{}2n a 的前n 项和为n S .证明：()()112221n S n n n ≤≤++（*n N ∈）.4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*111n n n N S a λ++=∈， λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时， 803n a <≤． 5．已知无穷数列{}n a 的首项112a =， *1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<； （Ⅱ） 记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 6．已知数列{}n a 满足112a =， ()211n n n a a a n n +=-+，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，（1）10n n a a +<<；（2）31n na n ≤-； （3）12n S n >-.7．在数列{}n a 中， 12a =， 1121n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，试求数列{}2n n S S -的最小值；（3）求证：当2n ≥时， 271112n n S +≥. 8．已知数列{}n a ， {}n b 满足12a =， 14b =，且12n n n b a a +=+， 211n n n a b b ++=.（1）求234,,a a a 及234,,b b b ；（2）猜想{}n a ， {}n b 的通项公式，并证明你的结论； （3）证明：对所有的*n N ∈，32111321•••nn a a a b b b --<< 9．数列{}n a 中， 11,n a a ==（1）证明： 1n n a a +<； （2）证明： 121n n a a n +≥+；（3）设n b =，证明：)22n b n <<≥． 10．已知数列{}n x 满足： ()()*1n n 1n 1x =1x x ln 1x n N ++=++∈，证明：当*n N ∈时 （I ）n 1n 0x x +＜＜;（II ）n n 1n 1n x x 2x -x 2++≤； (III) n n 1n-211x 22-≤≤11．已知数列{}n a 满足112a =， 11210n n n a a a ++-+=， *n N ∈．（1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）求证： 231223411nn a a a a n n n a a a a +<+++<+． 12．已知数列{}n a 中，满足111,2n a a +==记n S 为n a 前n 项和． （I ）证明： 1n n a a +>； （Ⅱ）证明： 1cos32n n a π-=⋅（Ⅲ）证明： 22754n S n π+>-.13．数列{}n a 中， 112a =， ()2*121n n n n a a n N a a +=∈-+（Ⅰ）求证： 1n n a a +<；（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证： 1n S <．14．已知数列{}n a 的各项均为非负数，其前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有212n n n a a a +++≤. （1）若11a =， 5052017a =，求6a 的最大值；（2）若对任意*n N ∈，都有1n S ≤，求证： ()+1201n n a a n n ≤-≤+.15．已知每一项都是正数的数列{}n a 满足11a =， ()*1112n n na a n N a ++=∈．（1）用数学归纳法证明： 2121n n a a +-<； （2）证明：116n a ≤≤； （3）记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，证明： ()*6n S n N <∈．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13,21122n n a S n a n ==++≥． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()*211n n b n N a =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*710nTn N <∈． 17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足14a =，且354a 是2a 、4a 的等差中项，数列{}nb 满足11n n b b +=+，其前n 项和为n S ，且264S S a +=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式2log (4)73n n n T b n λ+-+≥对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈，且满足21n n a S n +=+． （1）求证：数列{2}n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：21223111112223n n n a a a a a a ++++<． 19．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等 比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立． （Ⅰ）求数列{}na 、{}nb 的通项公式； （Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．20．已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，，记数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和公式； （Ⅱ）求数列的通项公式及前项和公式；（Ⅲ）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，1145n n n S S S +-+=（2n ≥），n T 是数列{}2log n a 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求满足231111009(1)(1)(1)2016n T T T ---≥…的最大正整数n 的值． 23．在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=-，121n n b a =-，其中n *∈N ． （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设2n b n c =，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．（3）已知当n *∈N 且6n ≥时，1132n mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，其中1m =，2，⋅⋅⋅，n ，求满足等式()()3423n nbn n n n b ++⋅⋅⋅++=+的所有n 的值．24．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，0,,0111>+⋅==++q q q a a a n n n ，1,2=+=n a b n n n ，2，3，…（Ⅰ）求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n q a 是等差数列；（Ⅱ）试比较2231b b b 与的大小；（Ⅲ）求正整数k ，使得对于任意的正整数11,++≤n n k k b bb b n 恒成立． 25．（本小题满分12分）设各项均为正数的等比数列{}n a 中，133510,40.a a a a +=+= 2log n n b a = （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若111,nn n nb c c c a +==+，求证： 3n c <； （3）是否存在正整数k ，使得1111210n n n kb b b n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>+++对任意正整数n 均成立？若存在，求出k 的最大值，若不存在，说明理由．26．（本小题满分12分）我们把一系列向量(1,2,3,,)i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a 满足：()1,11=a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+()2n ≥． （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设n θ表示向量n a 与1n a -间的夹角，若2n n n b θπ=，对于任意正整数n ，不等式1(2)a a b++>+恒成立，求实数a 的范围 （3）设2log n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由参考答案1．(1) n a n = (2)见解析【来源】【全国市级联考】浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试数学试题 【解析】试题分析：（1）对递推关系式进行变形，转化为一个常数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，即得数列{}n a 的通项公式；（2）①先对通项进行放缩：n =<，再根据裂项相消法求和，即证得结论②先倒序相加法求和，再利用基本不等式进行放缩求和，最后证明和值与结果大小 试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时，11111n n a a a n n -====-， ∴当2n ≥时， n a n =．又 11a =， ∴ n a n =， *n N ∈．（Ⅱ）①证明：当1n =时，13<成立；当2n ≥时，n==<⎛⎫==<∴22221231n n a a a a ++++11n⎛<+++++++-⎝⎝113=+< ∴222212313nn a a a a ++++<②1211111111111221n n n nk a a a a n n n nk nk ++-++++=+++++++--设111111221s n n n nk nk =+++++++--，则1111121s nk nk n n=++++--+， 111111112112211s n nk n nk nk n nk n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0,0x y >>时， ()1124y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭， ∴ 114x y x y +≥+，当且仅当x y =时等号成立．∴当*2,N k k ≥∈时， ()()()4141421111k k s nk n n nk k k n-->⋅-=>+-++-， ∴ ()211k s k ->+．即()1212111111n n n nk k a a a a k ++--++++>+．点睛:证明数列不等式，，常用方法为方缩法，经过放缩，将数列化为可求和，最后再比较和值与结果大小即可2．(1) 1230,2,4,22n c c c c n ==-=-=-+ (2) 14λ>（3）12110,20d d d d >≤=或 【来源】【全国区级联考】上海市徐汇区2018届高三一模数学试题【解析】试题分析：（1）根据定义，依次求出123,,c c c 的值，根据规律猜想数列n c 的通项公式（2）先根据定义以及单调性得n c ，再利用裂项相消法求和23111222ncc c++⋅⋅⋅+---，根据变量分离法得12n n λ->，最后根据数列单调性确定12n n -最大值，即得λ的取值范围（3）先根据定义以及单调性分类讨论n c ，再比较1n n c c +，大小与单调性是否一致，进而确定1d 、2d 应满足的条件 试题解析：点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法 先研究数列的单调性，可以用11{ n n n n a a a a +-≥≥或11{ n n n n a a a a +-≤≤也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解.. 3．(1)43111117a a -=-- , 23111113a a -=-- ;（2）72-；(3)见解析。