2015四川高考压轴卷 理科数学 Word版含答案

2015四川省高考压轴卷数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

满分150分。

考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，则ii 31+=A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123- 2．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x +∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x +∃∈-≤”． 其中正确结论的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.执行右图所示的程序框图，则输出s 的值为A 、43 B 、54 C 、65D 、54．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是A ．24π+B ．20π+ C ． 224π+D ． 220π+5．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减6．定义：在数列{}n a 中，若满足d a aa a nn n n =-+++112（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，,3,1321===a a a 则=20132015a a A ．2420151⨯-B ．2420141⨯-C ．2420131⨯-D ．242013⨯7．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为A ．21 B ．23 C ．21- D ．23-9．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。

已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 A ．80 种 B ．70 种 C ．40 种 D ．10种 10．已知双曲线的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若线段FH 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则)(B A C A =_____________. 12.若函数，则＝13512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．14．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦， 其中弦长为整数的共有 条。

15．已知两个正数,a b ，可按规律c ab a b =++推广为一个新数c ，在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。

若0p q >>，经过五次操作后扩充得到的数为(1)(1)1(,mnq p m n ++-为正整数），则m n +=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，设，求角C 的大小；17. (本题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，350,5S S ==-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.18．(本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点. (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE?证明你的结论． 19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通过的概率分别为23，34，45，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X ，求X 的分布列和数学期望。

20、(本小题13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)。

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:l y kx t =+交抛物线于不同的两点,M N 若抛物线上一点C 满足(),(0)OC OM ON λλ=+>，求λ的取值范围.21（14分）设函数bx x x a x f +++=)1ln()1()(2)1(->x ，曲线)(x f y =过点)1,1(2+--e e e ，且在点)0,0(处的切线方程为0=y 。

（1）求a ，b 的值；（3分）（2）证明：当0≥x 时，2)(x x f ≥；（5分）（3）若当0≥x 时，2)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围。

（6分）数学参考答案及评分意见（理工类）第Ⅰ卷（选择题，共50分）1、【答案】B解析14i ===+，所以选B. 2、【答案】C解析：对于①，令y=x ﹣sinx ，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x ﹣sinx 在R 上递增，则当x ＞0时，x ﹣sinx ＞0﹣0=0，则x ＞sinx 恒成立．则①对；对于②，命题“若x ﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x ﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p ∨q 为真，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出p ∧q 为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错； 对于④，命题“∀x ∈R ，x ﹣lnx ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0﹣lnx 0≤0”．则④对．综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C ． 3、【答案】B解析：由程序框图的流程可知1k =时，11022s =+=； 1122,263k s ==+=；2133,3124k s ==+=；3144,4205k s ==+=，然后得到5k =，满足题意，输出结果。

5、【答案】D解析：3()cos3()6f x x x π=+=x 3cos （3x+）=﹣x 3sin3x由于f （﹣x ）=﹣x 3sin3x=f （x ），可知此函数是偶函数，又x 3与sin3x 在（6π0，）上递增，可得f （x ）=﹣x 3sin3x 在（6π0，）上递减，对照四个选项，D 正确,故选D. 6、【答案】C 解析：由题意可知：332212211,2,312a a a a a a a a ==-=-=． ∴数列{1n na a +}为以1为首项以2为公差的等差数列． ∴11(1)221n nan n a +=+-⨯=-．n ∈N* 所以=20132015a a 2420131⨯-，故选C. 7、【答案】C【解析】由[()]2f f x =，设f(A)=2,则f(x)=A,则2log 2x =，则A=4或A=14，作出f(x)的图像，由数型结合，当A=14时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

8、【答案】A解析：由0222=-++a bc c b 得2221cos 22b c a A bc +-==-,又A 为三角形内角，所以A=120°,则()()113cos sin 222sin sin 30sin(30)1sin sin sin 60sin 2C C C C A C a C b c B C C C ⎫⎫--⎪︒-︒-⎝⎭====--︒--，所以选A.9、【答案】C解析：Grace 不参与该项任务，则有=30种；Grace 参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种,故选：C ． 10、【答案】C解析：由题意可知，一渐近线方程为y=x ，则F 2H 的方程为 y ﹣0=k （x ﹣c ），代入渐近线方程 y=x ，可得H 的坐标为（，），故F 2H 的中点M （，），根据中点M在双曲线C 上，∴=1，∴=2，故e==，故选：C ．11、【答案】{}135，， 解析：由题意得{}2,4A B =，所以{}()135A C A B =，，，故答案为{}135，，。

12、【答案】65-解析：因为()()221f x x f x '=⋅+，所以()()212f x f x ''=+，则令1x =可得()12f '=-，所以()24f x x x =-+，则()15f -=，而()42f x x '=-+，则 ()16f '-=-，即()()1615f f '-=--，故答案为65-。

13、【答案】40解析：令1x =则有12a +=，得1a =，所以二项式为5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以其常数项为2332552240C C -⨯+⨯=所以答案为40.14、【答案】32解析：由题意可知过点(11,2)A 的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有2+2×(26－10－1)=32.15、【答案】13解析：因为p ＞q ＞0 第一次得：c 1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为c ＞p ＞q ，所以第二次得：c 2=（c 1+1）（p+1）-1=（pq+p+q ）p+p+（pq+p+q ）=（p+1）2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c 3=（c 2+1）（c 1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：c 4=（c 3+1）（c 2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5-1，∴m=8，n=5，则m n +=13.16、解：(1)由 f (1)＝0，得a 2－a 2＋b 2－4c 2＝0，∴b ＝2c又由正弦定理，得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，将其代入上式，得sin B ＝2sin C∵B －C ＝π3 ∴B ＝π3＋C ，将其代入上式，得sin(π3＋C )＝2sin C∴sin π3cos C ＋cos π3sin C ＝2sin C ，整理得，3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π6 ---------------6分(2)∵ f (2)＝0，∴4a 2－2a 2＋2b 2－4c 2＝0，即a 2＋b 2－2c 2＝0 ------7分由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2＋b 222ab∴cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12(当且仅当a ＝b 时取等号) ---------------------10分∴cos C ≥12，∠C 是锐角，又∵余弦函数在(0，π2)上递减，∴0<C ≤π3---------12分17解答： 设{}n a 的公差为d ，则由题得1113301,15105a d a d a d +=⎧⇒==-⎨+=-⎩则2n a n=- 6分（2）由（1）得212111111()(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----则所求和为12nn - 6分18．解：设正方体的棱长为1，以A 为原点，直线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(0，0，1)，D (0，1，0)，D 1(0，1，1)，∵E 是DD 1的中点，∴E (0，1，21)，=→BE (-1，1，21)，=→1BA (-1，0，1)．(1)∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，即=→AD (0，1，0)为平面ABB 1A 1的一个法向量，直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：，→<=BE cos |sin θ32|||||||=⋅⋅=>→→→→→AD BE AD BE AD ； 5分 (2)当点F 为棱的C 1D 1中点时，B 1F ∥平面A 1BE ，证明如下：由→BE 、→1BA 的坐标可求得平面A 1BE 的一个法向量为=→n (2，1，2)， ∵点F 在棱C 1D 1上，设→→=111C D F D λ，则==→→AB F D λ1(λ，0，0)， ∴+=→→1AD AF (λ，0，0)= (λ，1，1)，进而→→→-=11AB AF F B = (λ，1，1)-(0，0，1)= (1-λ，1，0)． ∵B 1F ∥平面A 1BE ，∴→F B 1⊥→n ，即→F B 101)1(2=+-=⋅→λn ，∴21=λ， 故点F 为棱的C 1D 1中点时，B 1F ∥平面A 1BE 得到证明． 7分19、（1）25（2）X 的分布列为数学期望为11124700()0100020003000361053E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-- 解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P(A)＝23423455⨯⨯=所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为25-------------4分（2）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分21(0)133P X ==-=，231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-=2342(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分所以，X 的分布列为数学期望为11124700()0100020003000361053E X =⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------12分20、 (1)24x y =………4分（2）由圆心()0,1-到直线l 的距离2111t d k +==+222k t t ⇒=+设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩2440x kx t ⇒--= 其中216160k t ∆=+>23003t t t t ⇒+>⇒><-或12212124424x x ky y k t x x t+=⎧⇒+=+⎨=-⎩ ………9分 ()1212(,)OC OM ON x x y y λλ∴=+=++2(4,42)k k t λ=+代入24x y =得()2244(42)k k t λλ=+即 222211112222k t t k k t λ+==+=+⋅+ ………11 03t t ><-或，在(),3,(0,)-∞-+∞都是单调递减函数15,11,24λ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…13分21.解：(1)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． 3分(2)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)((())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，第 11 页 共 11 页 ∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ． ∴2)(x x f ≥． 8分（3）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=， mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，在(2) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(， ∴mx x x h 23)(-≥'， 11分①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成立．②当320m -<即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m e x ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立． 综上，23≤m ． 14分。