平面曲线的弧长与曲率
曲线的曲率计算公式
曲线的曲率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：曲线是几何学中一个非常重要的概念，它描述了平面或空间中的一条连续的曲线。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，它可以帮助我们了解曲线在某一点的弯曲程度，从而对曲线的形状和性质进行分析。
曲线的曲率计算公式是用来计算曲线在某一点的曲率的数学公式。
曲率的定义是曲线在某一点处的弯曲程度，可以理解为曲线在该点处的切线的弯曲程度。
曲线的曲率计算公式可以用不同的数学方法来推导，其中最常用的是微积分的方法。
在微积分中，曲线的曲率可以用导数来表示。
具体来说，对于平面曲线上的一点P(x, y)，曲线在该点处的曲率可以用下面的公式来表示：\[k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\]k表示曲率，y'和y''分别表示y关于x的一阶和二阶导数。
这个公式可以帮助我们计算出曲线在某一点处的曲率，从而了解曲线在该点处的弯曲情况。
曲线的曲率计算公式是数学分析中的一个重要概念，在几何、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
通过计算曲线的曲率，我们可以更深入地了解曲线的形状和性质，从而帮助我们解决各种实际问题。
曲线的曲率计算公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们了解曲线的曲率和弯曲情况，从而对曲线进行全面的分析。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，其计算公式是曲率计算的基础。
在数学、物理、工程等领域，曲率计算公式被广泛应用，用于描述曲线轨迹的弯曲程度，研究曲线的性质和特征。
本文将介绍曲线的曲率计算公式及其应用。
一、曲线的曲率定义我们来定义曲线的曲率。
在平面几何中，曲线的曲率是指曲线某一点处的切线方向改变的速率。
更直观地说，曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度。
曲率的数值越大，说明曲线在该点处的弯曲程度越大；曲率的数值越小，说明曲线在该点处的弯曲程度越小。
弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用
弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用弧线是曲线的一种特殊形式，它具有一定的长度和曲率。
本文将探讨弧线的长度和曲率之间的关系，并介绍在物理学中这种关系的应用。
一、弧线的长度和曲率的概念弧线是指在平面上不同点之间的连续曲线。
弧线的长度是指这条曲线所覆盖的实际距离。
曲率是指在曲线上某一点处的切线与该点附近曲线的弯曲程度，曲率的大小与曲线的弯曲程度成正比，可以用弧长来表示。
二、弧线的长度和曲率之间的关系在微积分中，弧长可以通过积分来计算。
设曲线方程为y=f(x)，x从a到b，弧线的长度可以表示为：L = ∫[a,b] √(1+(dy/dx)^2) dx其中，dy/dx为曲线斜率的导数。
而曲率可以通过求导数来计算，即：k = |dy/dx| / (1+(dy/dx)^2)^3/2可以观察到，曲率与弧线的长度之间并没有直接的数学关系。
曲率的计算只与称为“二阶导数”的概念相关，而弧线的长度则需要通过积分来求解。
三、弧线长度和曲率的物理学应用弧线长度和曲率的关系在物理学中有广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学系统中的透镜设计在光学系统中，透镜的曲率决定了光线的聚焦效果，而弧长则影响光线的传输距离。
通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以设计出更加精确的透镜，提高光学系统的成像效果。
2. 电子学中的电路板设计在电子学中，电路板的设计通常需要考虑电子元件之间的布局和连接。
弧线的长度和曲率可以影响电路板的布线长度和连接的可靠性。
通过优化弧线的长度和曲率，可以减少电路板的空间占用，提高电子设备的性能和可靠性。
3. 车辆运动的轨迹规划在机器人或自动驾驶系统中，车辆需要根据预定的路径进行运动。
弧线的长度和曲率可以影响车辆的转弯半径和行驶距离。
通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以优化车辆的轨迹规划，提高运动效率和安全性。
4. 引力场中的物体运动在物理学中，弧线的长度和曲率对于描述物体在引力场中的运动轨迹非常重要。
曲线的弧长与曲率的计算与性质
曲线的弧长与曲率的计算与性质曲线是我们经常在数学、物理等领域中遇到的概念。
当我们研究曲线的性质时，曲线的弧长和曲率是两个重要的参数。
本文将介绍曲线的弧长和曲率的计算方法，并探讨它们的性质。
一、曲线的弧长计算方法在几何学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的距离。
对于一条平面曲线来说，我们可以通过积分来计算其弧长。
具体计算方法如下：假设有一条曲线C，其方程为y = f(x)，其中a ≤ x ≤ b。
我们可以将曲线分割成无穷多个小线段，然后对每个小线段求长度，并将这些长度累加起来，即可得到曲线C的弧长L。
设曲线上某一点P(x, y)，其切线与x轴的夹角为θ，则小线段的长度可以通过勾股定理计算得到：ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²)dx将dx用x表示，即可得到弧长的积分表达式：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx (a ≤ x ≤ b)通过求解上述积分，我们可以计算曲线的弧长。
二、曲线的曲率计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的一个参数，它与曲线上某一点处的切线有关。
曲线的曲率可以通过以下公式计算：K = |dθ/ds| = |(d²y/dx²)/(1 + (dy/dx)²)^(3/2)|其中，dθ表示角度的变化量，ds表示弧长的微元。
我们可以根据上述公式，对曲线进行求导，然后带入相应的数值，即可得到曲线上某点的曲率K。
三、曲线弧长与曲率的性质1. 弧长与曲线的形状有关：对于相同起点和终点的两条曲线，其弧长不同，取决于曲线的形状。
比如，一条圆形的曲线与一条直线的曲线相比，弧长要更长。
2. 曲率描述曲线的弯曲程度：曲率大的地方，曲线的弯曲程度越大；曲率小的地方，曲线的弯曲程度越小。
通过计算曲率，我们可以描述曲线的局部形态。
3. 曲率与切线垂直：曲线上任意一点处的切线与曲线的法线（垂直于切线的直线）平行。
平面曲线的弧长与曲率
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析 第十章 定积分的应用
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x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
点击图片任意处 播放开始或暂停
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
平面曲线的基本性质与方程
平面曲线的基本性质与方程平面曲线在数学中扮演着重要的角色，它们是我们研究几何学、物理学和其他许多学科的基础。
本文将探讨平面曲线的基本性质以及它们的方程表示。
1. 基本性质平面曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线或双曲线等多种形状。
无论其形状如何，平面曲线都具有一些基本的性质：1.1 曲线的长度曲线的长度是指曲线上一点到另一点的实际距离。
对于直线而言，我们可以利用两点之间的距离来计算曲线的长度。
对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法对曲线进行参数化，并计算参数范围内的弧长来得到曲线的长度。
1.2 曲线的斜率曲线的斜率描述了曲线在任意一点的变化率。
对于直线而言，我们可以用斜率来衡量其陡峭程度。
对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法来计算曲线的切线斜率。
1.3 曲线的曲率曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。
对于直线而言，曲率为零，因为直线没有弯曲。
而对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法计算曲线的曲率。
2. 曲线的方程表示方程是描述曲线的数学表达式。
不同类型的曲线有其特定的方程表示方法：2.1 直线的方程直线的方程可以使用斜率截距法、两点法或一般式等形式表示。
其中，斜率截距法表达式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2.2 圆的方程圆的方程可以使用标准方程、一般方程或参数方程来表示。
其中，标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，表示圆心坐标为(a, b)，半径为r的圆。
2.3 椭圆、抛物线和双曲线的方程椭圆、抛物线和双曲线的方程可以使用一般方程或参数方程来表示。
这些方程涉及到二次方程、一次方程和双曲函数等数学工具。
3. 典型问题解析通过分析曲线的方程，我们可以解决许多典型问题，如求曲线的长度、计算切线方程和求曲率等。
3.1 求曲线的长度通过对曲线进行参数化，我们可以利用微积分的方法计算曲线的弧长。
根据参数范围进行积分运算，即可得到曲线的长度。
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
曲线的弧长与曲率
曲线的弧长与曲率曲线是数学中常见的概念，而研究曲线的性质也是数学分析的重要内容之一。
在曲线的研究中，弧长和曲率被广泛应用于描述和分析曲线的特征。
本文将重点介绍曲线的弧长与曲率的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、曲线的弧长曲线的弧长是指曲线上两点之间的长度。
在平面几何中，我们经常使用直线段的长度来描述距离，但是对于曲线，由于其不是直线，所以无法直接使用直线段的长度来描述曲线间的距离。
曲线的弧长是通过将曲线分成无限多个微小的线段，然后对每个微小线段的长度进行累加得到。
计算曲线的弧长可以使用微积分中的积分方法。
设曲线函数为y=f(x)，对于曲线上的一段很小的微小线段[Pn, Pn+1]，则该微小线段的长度可以表示为：ΔL = √(Δx^2 + Δy^2)其中Δx和Δy分别为微小线段[Pn, Pn+1]在x轴和y轴上的长度变化。
通过将上述微小线段长度进行累加求和，可以得到曲线在给定区间[a, b]上的弧长L，表示为积分形式：L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)^2)dx其中dy/dx表示曲线的导数。
二、曲线的曲率曲线的曲率是描述曲线的弯曲程度的量。
对于曲线上的任意一点P，曲率是一个与该点有关的值，可以表示为曲线在该点处的切线与曲线的夹角的度量。
曲率的大小与曲线的曲率半径有关，曲率半径是曲线在该点处的切线与曲线夹角的倒数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程来计算，参数方程表示曲线上的点与参数之间的关系。
设曲线的参数方程为[x(t), y(t)]，则曲线的曲率可以表示为：K = |(dx/dt)(d^2y/dt^2) - (d^2x/dt^2)(dy/dt)| / [(dx/dt)^2 +(dy/dt)^2]^(3/2)其中dx/dt和dy/dt分别表示曲线参数关于t的导数，d^2x/dt^2和d^2y/dt^2分别表示曲线参数关于t的二阶导数。
三、弧长与曲率的关系曲线的弧长和曲率之间存在一定的关系。
第03章06节平面曲线的曲率
第6节 曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。
()s x 是单调增加的函数。
下面求弧长微分ds 。
()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。
图6.1y +离 散数 学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。
设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。
经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。
容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。
用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集 合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。
导数的应用曲线的弧长与曲率计算
导数的应用曲线的弧长与曲率计算导数的应用——曲线的弧长与曲率计算曲线是几何学中的重要概念，我们在日常生活中经常会遇到各种各样的曲线形状。
在数学中，对于曲线的研究和计算也有很多有趣的应用。
其中，导数的应用可以帮助我们计算曲线的弧长和曲率，进一步深化我们对曲线性质的理解。
本文将介绍导数在曲线的弧长和曲率计算中的具体应用。
一、曲线的弧长计算在数学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的实际距离。
我们可以通过导数来计算曲线的弧长。
假设有一条平面曲线y=f(x)，我们希望计算曲线上从点A(x=a,y=f(a))到点B(x=b, y=f(b))的弧长。
首先，将曲线分割成无穷小的线段，假设一个无穷小线段的长度为ds。
根据勾股定理，该线段的长度可以表示为：ds = √(dx² + dy²)由导数的定义可知，dy/dx为曲线在某一点的斜率。
由此得到dy=dy/dx*dx。
将dy代入上式中，得到：ds = √(1+(dy/dx)²)*dx对上述表达式进行积分运算，就可以得到整个曲线上从A点到B点的弧长L的计算公式：L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)²)dx通过上述公式，我们可以使用导数来计算曲线上任意两点之间的弧长。
二、曲线的曲率计算曲率是指曲线在某一点上的弯曲程度，可以反映曲线的灵活性和形状。
我们可以通过导数来计算曲线的曲率。
假设有一条平面曲线y=f(x)，我们希望计算曲线在点P(x, y)处的曲率。
曲率的计算公式为：κ = |dy/dx|/√(1+(dy/dx)²)³其中，|dy/dx|表示曲线在该点的斜率的绝对值。
曲率计算的实际应用场景非常广泛。
例如，在道路设计中需要考虑道路的弯曲程度，通过曲线的曲率计算可以帮助工程师设计出更符合交通规范和行车安全的道路。
通过导数的应用，我们可以结合曲线的弧长和曲率计算，更深入地研究和理解曲线的各种性质。
总结：在数学中，导数的应用可以帮助我们计算曲线的弧长和曲率，进一步深化对曲线性质的理解。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率)
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念，设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…，P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割，记为T ，然后用线段连接T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=，即任给ε>0,恒存在δ>0，使得对于C 的任何分割T ，只要||T||<δ，就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的，并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…，P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T'：α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠，则存在ε0>0，对于任何δ>0，都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q''，使得|Q''Q'|<δ，而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理，存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β]，使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==，显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
2.4.4平面曲线的曲率
o
x
证 如图
1 y3 y K 6 Rl x 2
(1 y )
3
2
y
R
l
B
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率k0 0.
抛物线在顶点处的曲率 最大.
K
y (1 y )
2
3 2
说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t )
dy yt , dx xt
2
d y dy dt xt yt xtyt yt 2 3 dx dt dx xt ( xt )
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
a
b
a x
例
铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图), 使曲 率连续地由零过渡 1 到 ( R为圆弧轨道 R 的半径).
K | cos x |
3 2 2
K
y (1 y )
2
3 2
例 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
曲线的弯曲程度如何描述
mv 2
.
x 1 y x 0 y x 0 . x 0 0, 2000 2000 1 . 曲率半径为 2000 米. 得曲率为 k x x0 2000
70 4002 所以 F 5600(牛) 571.4(千克力), 2000
所以抛物线在顶点处的 曲率最大.
曲率的近似计算公式
在实际问题中, y 同 1 比较是很小的, 可记为 y 1,
则 1 y 2 1,
所以曲率 K y (1 y )
3 2 2
y .
例2
铁轨由直道转入圆弧弯 道时, 若接头处的曲
率突然改变, 容易发生事故 , 为了行驶平稳, 往往在直 道和弯道之间接入一段 缓冲段 (如图), 使曲率连续地 由零过渡到 1 R ( R为圆弧轨道的半径 ).
3 9 cos 2 t ) 2
3 5 cos 2 t ) 2
2 32
要使 K 最大,必有 (4 5 cos t )
π 3π t , , 2 2
最小,
此时 K 最大.
x
证
如图, x的负半轴表示直道，
y
B
R
l
A( x0 , y0 ) x0
OA是缓冲段 , AB是圆弧轨道 .
C
在缓冲段上, 1 2 y x , 2 Rl
1 y x. Rl
o0 0.
实际要求 l x0 ,
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线.
x2 例3 飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米 )俯冲飞行 , 在原 点O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重 70千克.求俯冲 到原点时, 飞行员对座椅的 压力.
曲线的弧长与曲率
曲线的弧长与曲率在微积分学中，曲线的弧长和曲率是研究曲线性质的重要概念。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离，在物理、几何和工程等领域都有广泛的应用。
而曲率则描述了曲线弯曲的程度，是曲线几何形状的重要属性。
本文将从弧长和曲率的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面进行探讨。
1. 弧长的定义和计算方法在平面直角坐标系中，设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中a≤t≤b。
我们希望计算曲线C上从点P到点Q的弧长。
假设P的参数值为t1，Q的参数值为t2。
首先，我们将弧长近似分为许多小线段，然后对这些小线段进行求和，即可得到总的弧长。
若将两个相邻点之间的距离表示为Δs，将其与曲线上相应的曲线段长度Δl进行比较，可以得到如下近似关系：Δs ≈ Δl。
通过不断缩小曲线上相邻点的数量和距离，我们可以得到越来越精确的弧长。
当曲线弧长的计算求和极限存在时，我们说曲线是可求长的。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以先求出曲线上相邻两点P(t)和Q(t+Δt)的坐标，然后利用勾股定理求出Δl≈√(Δx)²+(Δy)²的近似值，再将这些近似值相加就可以得到曲线C的弧长L。
当Δt无限接近于0时，上述近似值趋于精确的弧长。
2. 曲率的定义和计算方法曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度。
在平面直角坐标系中，曲线C的曲率表示为k。
对曲线上任意一点P(x,y)，选择与该点相切的一条线段，该线段称为切线。
切线与曲线在P点处的夹角被称为曲线在该点的切角α。
切线的斜率由直线的斜率表示，可以通过求导得到。
曲线的曲率k定义为切线斜率对弧长s的导数，即k=dy/dx。
求解曲率的计算方法有多种，其中一种常用的方法是使用参数方程。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，对其分别关于参数t求导，即可得到曲线的导函数dx/dt和dy/dt。
然后，利用链式法则可以求得dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
求解曲线的弧长和曲率问题
曲率在航天器设计中的应用：在航天器设计中，曲率的影响也非常关键， 如卫星轨道的设计、航天器的姿态控制等都需要考虑曲率的影响。
曲率在经济学中的应用
曲率用于描述经济曲线的弯曲程度，可以反映经济的波动和趋势。 曲率在经济分析中可用于预测未来的经济走势，为投资决策提供依据。 曲率可以用于评估不同经济政策的实施效果，为政策制定提供参考。 曲率还可以用于研究经济增长的源泉，为经济增长提供理论支持。
弧长和曲率在几何学中具有重要应用，是 描述曲线形状的重要参数。
弧长和曲率在工程、物理、数学等领域有 广泛的应用，例如桥梁设计、航天器轨道 计算等。
弧长和曲率的关系可以通过微积分等数学 工具进行深入研究，有助于解决复杂的几 何问题。
弧长和曲率的应用关系在数学建模、数 值计算等领域也有着重要的应用，例如 在模拟流体动力学、电磁场等领域。
曲率求解的注意事项
确定曲线的方程和参数 计算曲线的导数 使用曲率公式计算曲率 注意曲率的变化和极值点
05 弧长和曲率的关系
弧长和曲率的定义关系
弧长的定义：弧长是指曲线上某段点的切线长，通常用s表示。
曲率的定义：曲率是指曲线上某点处切线的变化率，通常用k表示。
弧长和曲率的关系：在曲线上，弧长和曲率之间存在一定的关系， 即s=∫k。其中，∫表示积分运算。 弧长和曲率的应用：弧长和曲率在几何学、物理学、工程学等领域 有着广泛的应用，如曲线运动的分析、机械设计、电路设计等。
弧长求解的步骤
确定曲线的 参数方程或
普通方程
利用弧长公式 计算弧长
计算参数t的取 值范围
得出弧长的结 果
曲线的弧微分与曲率半径
曲线的弧微分与曲率半径弧微分和曲率半径是微分几何中经常遇到的概念，它们可以帮助我们研究曲线的特性和性质。
在曲线上，弧微分是描述曲线长度的微小增量，而曲率半径则是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
本文将详细介绍曲线的弧微分和曲率半径的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义曲线的弧微分和曲率半径。
对于平面曲线上的一小段弧长 ds，它的微分 ds 称为弧微分。
弧微分是描述曲线长度的微小增量，可以用微积分中的微分概念来解释。
曲线的弧微分可以表示为ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt，其中 dx 和 dy 分别是曲线上一点的横纵坐标的微分，dt 是曲线参数 t 的微分。
曲率半径是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
在平面曲线上，曲率半径可以定义为两个单位切向量之间的夹角的倒数。
具体来说，单位切向量是指切线方向的单位向量，可以表示为 T = (dx/ds, dy/ds)，其中 dx 和 dy 是曲线在某一点的坐标变化，ds 是曲线弧长的微小增量。
曲率半径可以表示为曲率半径R = 1/κ，其中κ 是曲率，即曲线在某一点上的弯曲程度。
曲率可以用公式κ = |dT/ds| 来计算，其中 dT/ds 是单位切向量的变化率。
接下来，我们将探讨如何计算曲线的弧微分和曲率半径。
对于给定的曲线方程 y = f(x)，我们可以通过对参数 t 的选取来得到参数方程 x = g(t) 和 y = h(t)。
在这个参数方程中，参数 t 通常是曲线上的弧长。
我们可以使用微分几何的知识来计算曲线的弧微分和曲率半径。
首先，我们计算曲线的弧微分。
根据曲线的参数方程，dx/dt = g'(t)和 dy/dt = h'(t)。
代入弧微分的定义公式，我们可以得到ds = √[(dx/dt)²+ (dy/dt)²] dt = √[g'(t)² + h'(t)²] dt。
计算曲率半径的公式
计算曲率半径的公式
曲率半径是曲面几何元素，是曲线在二位平面中的曲率程度。
曲率半径是一种度量曲率的
方法，测量曲面某点处的曲率值。
因此，学习曲率半径的公式可以帮助我们正确应用曲率
和几何的知识。
曲率半径的计算公式是：曲率半径=1/曲率。
其中，曲率的计算公式为：曲率=(曲线的弧长)/(曲线的两个切线的长度)的平方。
因此，计算曲率半径的公式为：曲率半径=1/((曲线的弧长)/(曲线的两个切线的长度)的平方)
曲率是度量曲线的局部曲率，其主要反映了曲线在某点上的局部曲率程度。
曲率反映了曲线弯曲程度，曲率半径定义了曲线弧度。
通过计算曲率半径，我们可以了解曲线的转弯性，它是曲线几何形状特性的一个重要参数，它记录了曲线某点处的曲率值。
因此，计算曲率
半径的公式对学习曲率和几何的知识都非常重要。
从上面的内容中，我们可以看出，计算曲率半径的公式是用来度量曲线某点处的弯曲程度，是曲线几何形状特性的一个重要参数，可以帮助我们更好地理解曲率和几何的知识。
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xi2(i ) yi2(i )
ti
从而
n
s lim T 0 i 1
Pi Pi1
x2 (t ) y2 (t ) dt.
注1 若曲线 C 由直角坐标方程
y f ( x), x [a, b]
表示,则 C 亦可看作
x x, y f ( x), x [a, b].
因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时,
定义2 设平面曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t [, ]
表示.对 [ , ]的一个分割
T : t0 t1 L tn , T miax(Δti )，
相应地对 C 有一个分割,即 C 上有分点
A P0 , P1,L , Pn B.
n
若
lim
T 0 i 1
因此对任意 0, 存在 0, 当 T 时,
y(i )
y(i )
,
i 1, 2,L , n.
n
于是,
x2 (i ) y2 (i ) x2 (i ) y2 (i ) Δti
i 1
n
y(i ) y(i )Δ ti ,
i 1
即
n
lim
T 0
i 1
0,
xi2(i ) yi2(i )
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
0
2
π 2
0
6a.
例 2 求悬链线 y ex ex 在 [0, a] 上的一段弧长.
2
解 y ex ex , 1 y2 (ex ex )2 .
于是
n
n
Pi Pi1
xi2 yi2
i 1
i 1
n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
n
n
x2 (i ) y2 (i )Δti
i1
i 1
x2 (i
)
y2 (i )Δti [ , ] 上连续,从而可积，
s b 1 f 2( x) dx. a
注2 若曲线 C 由极坐标方程
r r( ), [ , ] 表
示,则 C 又可看作
x r( )cos , y r( )sin , [, ].
由于
x( ) r( )cos r( )sin , y( ) r( )sin r( )cos , x2( ) y2( ) r2( ) r2( ), 若 r( )在 [ , ] 上连续,且 r( ) 与 r( ) 不同时为零,
则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率.
由于曲线光滑,故总有
(t) arctan y(t) 或 (t) arccot x(t) .
x(t )
y(t )
若 x(t), y(t) 二阶可导,则由
s(t) x2(t) y2(t)1 2
可得
d
ds
(t )
s(t )
x(t) y(t) x(t) y(t) x2 (t ) y2 (t )3 2 .
则
s r 2( ) r2( )d .
例1 求星形线 x a cos3 t, y a sin3 t, t [0,2π]
的周长.
y
解 x(t) 3a cos2 t sin t,
y(t) 3a sin2 t cos t.
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
Pi 1Pi
s 存在, 则称曲线 C 是可求长的,
并定义该极限值 s 为曲线 C 的弧长.
n
注 可以证明,极限
lim
T 0 i1
Pi 1 Pi
与参数方程的表
示方式无关.
定理10.1 (光滑曲线弧长公式)
设曲线 C 由参数方
程 x x(t ), y y(t ), t [ , ] 表示. 若C为一光滑
处P切( x线(的t )倾, 角y(,t ))
Δ (t Δt ) (t ) 表示动点由 P 沿曲线移至
Q( x(t Δt ), y(t Δt )) 时切线倾角的增量.若
»PQ
之长为
Δs ,则称
K Δ
Δs 为»PQ弧段 的平均曲率.如果存在有限极限
Δ
Δ d
K lim lim ,
t0 Δs s0 Δs ds
即
xy xy
K ( x2 y2 )3 2 .
若曲线由 例1 求椭圆
y 表示f ,(则x) y
K (1 y2 )3 2 . x a cos t, y b上si曲n率t, 0 t 2π
最大和最小的点.
解 由于
x a sin t, x(t) a cos t, y bcos t, y bsint,
*二、平面曲线的曲率
曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,
在光滑曲线 上, 弧C段 与
多而弯曲程度却很不一样.
的长»P度Q相差不Q»R
y
这反映动点沿曲线从P 移 到Q 时, 切线转过的角度 比动点从Q 移到 R 时切线.
转过的角度 要Δ大得多
C
Δ
Pg
O
Rg
Q
g
(t)
x
设 (表t示) 曲线在点
因此椭圆在各点的曲率为
K
(a2 sin2 t
ab b2 cos2 t )3 2
因此
n
lim
T 0 i 1
x2 (i ) y2 (i )Δti
x2 (t ) y2 (t ) dt.
由第一章§1习题 6 可知
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又 y(t) 在 [ , ] 上连续,从而在 [ , ] 上一致连续,
曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为
s
x2(t ) y2(t ) dt.
证 设[ , ]的任一分割
T : t0 t1 tn1 tn .
在 [ti1, ti ] 上由微分中值定理,
Δxi x(ti ) x(ti1 ) x(i )Δti , i [ xi1 , xi ],
Δyi y(ti ) y(ti1 ) y(i )Δti , i [ xi1 , xi ].
2
4
因此 s a 1 y2dx a ex e x dx ea ea .
0
02
2
例3 求阿基米德螺线 r a , [0,2π](a 0) 的一
段弧长.
解 s 2π r 2( ) r2( ) d a 2π 1 2d
0
0
a 2
2π
1 4π2 ln(2π
1 4π2 ) .