高三数学一轮复习课时作业40 空间几何体的表面积和体积新人教A版文

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高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．知识点一空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl 2πr(l＋r)圆锥(底面半径r，母线长l)πrl πr(l＋r) 圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)4πR2易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144解析：正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6×34×42＝483，S表＝144＋483＝48(3＋3)．答案：A2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D.答案：D知识点二空间几何体的体积空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh . (2)V 锥体＝13Sh .(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．[自测练习]3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3 B.83 cm 3 C ．3 cm 3D ．4 cm 3解析：由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝83cm 3.答案：B4.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案：8－2π3考点一空间几何体的表面积|1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.答案：B3．(2016·昆明模拟)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R 为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916(1)由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.(2)根据几何体(常规几何体、组合体或旋转体)的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏.考点二空间几何体的体积|(1)(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)(2015·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．[解析] (1)由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2、高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝423π.(2)由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝2×2×3－13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×3＝11.[答案] (1)B (2)11空间几何体体积问题的三种类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(2015·绵阳模拟)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点三与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：1．四面体的外接球． 2．四棱锥的外接球． 3．三棱柱的外接球． 4．圆锥的内切球与外接球． 5．四面体的内切球．探究一四面体的外接球问题1．(2016·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.答案：A探究二四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( )A.323π B ．32π C ．64πD.643π 解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD -BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三三棱柱的外接球问题3．(2016·长春模拟)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．解析：设球半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝3，又易得AM ＝2，由勾股定理可知，OM ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝3 3. 答案：3 3探究四圆锥的内切球与外接球问题4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π探究五四面体的内切球问题5．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．21.补形法在空间几何体的体积、面积中的应用【典例】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π[思维点拨] 可考虑将几何体补完整，再分析求解．[解析] 法一：由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.法二：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用大小与形状完全相同的补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.[答案] B[方法点评] 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．[跟踪练习] (2015·沈阳模拟)已知四面体P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且BC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解析：依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π，选C.答案：CA 组考点能力演练1．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233 D.643解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D.答案：D2.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43π D ．23π解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A3．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8π＋16 B ．8π－16 C ．8π＋8 D ．16π－8解析：由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.答案：B4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π B ．22π C.π3 D.2π3解析：依题意得，该几何体是由两个相同的圆锥将其底面拼接在一起所形成的组合体，其中该圆锥的底面半径与高均为1，因此题中的几何体的体积等于2×13π×12×1＝2π3，选D.答案：D5．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.323π B ．12π C ．16π D ．32π 解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.答案：C6.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43.答案：437．(2016·台州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π8．(2016·南昌一模)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.答案：4π9．已知某锥体的三视图(单位：cm)如图所示，求该锥体的体积．解：由三视图知，原几何体是一个五面体，由一个三棱柱截去一个四棱锥得到，其体积为V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×2×2×2－13×12×(2＋1)×2×2＝2.10．已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2，所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.B 组高考题型专练1.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：三棱锥V O -ABC ＝V C -OAB＝13S △OAB×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O -ABC ＝V C -OAB ＝13×12×R 3＝36，其中R 为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积为S ＝4π×36＝144π. 答案：C3．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.15解析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A -A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：该几何体的体积V ＝23＋13×22×2＝323(cm 3)．答案：C5．(2015·高考四川卷)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：因为M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥AC ，NP ∥CC 1，所以平面MNP ∥平面CC 1A 1A ，所以A 1到平面MNP 的距离等于A 到平面MNP 的距离．根据题意有∠MAC ＝90°，AB ＝1，可得A 到平面MNP 的距离为12.又MN ＝12，NP ＝1，所以VP -A 1MN ＝V A -MNP ＝13S △MNP ×12＝13×12×12×1×12＝124. 答案：124。

(人教A版)高考数学一轮复习精品学案：空间几何体的表面积和体积

2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---空间几何体的表面积和体积一．【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．【近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2019年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．【要点精讲】1．多面体的面积和体积公式侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式 12 上、下底面半径，R 表示半径四．【典例解析】题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16即l 2=16所以l=4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

高三数学,一轮复习,人教A版(文), 8.2 空间几何体,的表面积与体积, 课件

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5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,则CP+PA1的最关闭由题意知 ,把面 BB1C1C 沿 BB1 展开与面 AA1B1B 在一个平面上 ,如图小值为 (其中PA1表示P,A1两点沿棱柱的表面距离). 所示 ,连接 A1C 即可 ,
12
知识梳理知识梳理双击自测
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2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm,圆心角为的扇形, 3 则此圆锥的高为 cm.
2π
关闭
设圆锥的底面半径为 r cm, 则 2πr= ×3,所以 r=1(cm),此圆锥的高为 32 -12 =2 2(cm). 3 2 2
解析
2π
2 3 1 3
关闭
解析
-14答案
考点一
考点二
考点三
关闭
答案
知识梳理知识梳理双击自测
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3.若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 .
关闭
几何体为圆锥,圆锥的底面半径为 2,高也为 2,体积 V= ×π×4×2= π.
3 3
8 3
关闭
1
8
π
解析答案
知识梳理知识梳理双击自测
B 所以体积为 V=2× ×π×( 2)2× 2 =
3
1
4 2π 3
关闭
.
解析
-12答案
考点一
考点二
考点三
2.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
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高三数学一轮复习课时作业第2讲空间几何体的表面积和体积

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲空间几何体的表面积和体积A 级基础达标1.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1 C.2∶3D ．3∶22.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺D.48丈6尺3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16B.12C.23D.134．正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π B ．8π C ．12π D ．16π5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．106.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋5 7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．B 级知能提升1.如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A.113B.83C.163D.2232.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋ 5B.4＋5C.2＋2 5D.53.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．5.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．——★参考答案★——A级基础达标1.『答案』A『解析』根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A. 2. 『答案』 B『解析』设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B. 3.『答案』 D『解析』由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＝13.故选D.4．『答案』 B『解析』由正弦定理得3sin60°＝2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r ＝1，∴外接球的半径R ＝12＋12＝2，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选B. 5.『答案』 D『解析』由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D.6.『答案』 C『解析』由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2.又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3，从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.故选C.7.『答案』 B『解析』由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的14圆锥．其体积V ＝63－13×14×π×32×6＝216－9π2.故选B.8．『答案』 32『解析』设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R . ∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 9.『答案』 2(π＋3)『解析』由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3). 10.『答案』1603『解析』由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13×12×4×4×4＝64－323＝1603.B 级知能提升1.『答案』 D『解析』根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P －ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选D.2.『答案』 C『解析』由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC )，如图，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C. 3.『答案』 36π『解析』如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 4.解：解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.5. 解：如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333cm ，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)，所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫3253＋34×20×30＝1900(cm 3)．故棱台的体积为1900 cm 3.。

新高考一轮复习人教版空间几何体的表面积和体积作业

专题八立体几何8.1 空间几何体的表面积和体积基础篇固本夯基考点一空间几何体的结构特征1.(2022届山东烟台一中开学考,2)已知圆锥的表面积等于12πcm 2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为( )A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm 答案 B2.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2B.2√2C.4D.4√2 答案 B3. (2020课标Ⅰ理(文),3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12答案 C4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm 2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 . 答案 1考点二空间几何体的表面积与体积1.(2022届河北邢台入学考,4)六氟化硫,化学式为SF 6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)( )A.4√23a 3 B.8√23a 3C.4√2a 3D.8√2a 3答案 B2.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C 是半径为1的球O 的球面上的三个点,且AC ⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC 的体积为( ) A.√212B.√312C.√24D.√34答案 A3.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8B.6√2C.8√2D.8√3 答案 C4.(2020山东泰安期末,8)已知正三棱锥S-ABC 的侧棱长为4√3,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是( )A.16πB.20πC.32πD.64π 答案 D5.(多选)(2021河北保定二模,9)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为√5πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案BD6.(2021福建泉州二模,6)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体,其所有顶点都在球O 的球面上,若十四面体的棱长为1,则球O的表面积为()A.2πB.4πC.6πD.8π答案B7.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为. 答案39π8.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN 的体积为.答案 19.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.10.(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.答案(12√3−π2)11.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为 .答案13综合篇知能转换A 组考法一空间几何体的表面积和体积1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( ) A.56 B.28√2 C.563 D.28√23答案 D2.(2021济南一模,7)已知菱形ABCD,AB=BD=2,将△ABD 沿BD 折起,使二面角A-BD-C 的大小为60°,则三棱锥A-BCD 的体积为( ) A.√32B.2√23 C.3√32D.2√2 答案 A3.(2018课标Ⅲ,文12,理10,5分)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√34.(2020湖南衡阳联考,10)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=2.若三棱锥P-ABC的外接球体积为36π,则当该三棱锥的体积最大时,其表面积为()A.6+6√3B.8+6√3C.8+8√5D.6+8√5答案C5.(2022届浙江浙南名校联盟联考一,15)一圆锥母线长为定值a(a>0),母线与底面所成角大小为θ(0<θ<π2),当圆锥体积V最大时,sinθ=.答案√336.(2019天津,文12,理11,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π47.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.答案40√2π8.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案1129.(2017课标Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考法二与球有关的切、接问题1.(多选)(2022届河北神州智达省级联测二,12)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点全部在球O 的表面上,AB=AC,∠BAC=120°,三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面积为8+4√3,则球O 的表面积可能是( ) A.4π B.8π C.16π D.32π 答案 CD2.(2020天津,5,5分)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 答案 C3.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为( ) A.√3 B.32C.1D.√32答案 C4.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为 ( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π 答案 D5.张衡(78年—139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家,他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,B,若线段AB 的最小值为√3-1,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( ) A.30 B.10√10 C.12√10 D.36 答案 C6.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 答案92π 7.(2017课标Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 . 答案 14π8.(2021山东烟台一模,16)已知正三棱锥P-ABC 的底面边长为2,侧棱长为√13,其内切球与两侧面PAB,PBC 分别切于点M,N,则MN 的长度为 . 答案56B 组(2022届江苏海安高级中学期中,8)如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=BC=√3,cos ∠ABC=13,P 是A 1B 上的一动点,则AP+PC 1的最小值为( )A.√5B.√7C.1+√3D.3 答案 B应用篇知行合一应用与立体几何有关的实际应用问题1.(多选)(2022届河北9月联考,10生活实践情境)“端午节”为中国国家法定节假日之一,已被列入世界非物质文化遗产名录,吃粽子是端午节的习俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图,粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽,也可做成底面半径为32cm,高为6cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料,若一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积,则(参考数据:√2π≈4.44)( )A.这两碗馅料最多可包三角粽35个B.这两碗馅料最多可包三角粽36个C.这两碗馅料最多可做竹筒粽21个D.这两碗馅料最多可做竹筒粽20个答案 AC2.(2021新高考Ⅱ,4,5分科技发展)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr 2(1-cos α)(单位:km 2),则S 占地球表面积的百分比约为( )A.26%B.34%C.42%D.50% 答案 C3.(多选)(2021辽宁开原三模,12生产实践)国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2020年全国夏粮总产量达14281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食,也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63000π立方米的粮食储藏容器,如图1所示.已知该容器分上下两部分,其中上部分是底面半径和高都为r(r ≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r 米、高为h 米的圆柱体,如图2所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为√2a 元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用均为a 元,设每个容器的制造总费用为y 元,则下面说法正确的是( )A.10≤r<40B.h 的最大值为1 8803C.当r=21时,y=7029a πD.当r=30时,y 有最小值,最小值为6300a π 答案 BCD4.(2021山东青岛二模,15劳动教育)某校学生去工厂进行劳动实践,加工制作某种零件.如图,将边长为10√2cm 的正方形铁皮剪掉阴影部分(四个全等的等腰三角形),然后将△P 1AB,△P 2BC,△P 3CD,△P 4DA 分别沿AB,BC,CD,DA 翻折,使得P 1,P 2,P 3,P 4重合并记为点P,制成正四棱锥P-ABCD 形状的零件.当该四棱锥体积最大时,AB= cm;此时该四棱锥外接球的表面积S= cm 2.答案 8;6765π 创新篇守正出奇创新一数学文化下的立体几何问题1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,5)公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”,即V=kD 3,欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解,他们将体积公式V=kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱),正方体也可利用公式V=kD 3求体积(在等边圆柱中,D 表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a),等边圆柱(底面圆的直径为a),正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k 1、k 2、k 3,那么k 1∶k 2∶k 3=( ) A.π3∶π2∶2 B.π6∶π4∶2 C.π3∶π2∶1 D.π6∶π4∶1 答案 D2.(2019课标Ⅱ理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-14.(2021河北张家口一模,16)早期的毕达哥拉斯学派学者注意到:用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体,它们的各个面和多面角都全等.如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面,是五个柏拉图多面体之计算,则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于.一.如果把sin36°按35答案55√336π创新二圆锥曲线与立体几何的综合1.(2021山东青岛二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹长度为()A.πB.√2πC.2πD.2√2π答案B2.(2021山东德州二模,7)我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即12V 球=πR 2·R-13πR 2·R=23πR 3.现将椭圆x 24+y 29=1绕y 轴旋转一周后得一橄榄球形状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )A.8πB.16πC.24πD.32π答案 B3.(2022届广东深圳七中10月月考,14)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点H 在棱AA 1上,且HA 1=1,P 是侧面BCC 1B 1内一动点,HP=√13,则CP 的最小值为 .答案 √13-2。

2019大一轮高考总复习文数课时作业提升40 空间几何体

课时作业提升(四十) 空间几何体的表面积和体积A 组夯实基础1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V 球∶V 柱为( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析：选B 设球的半径为R .则V 球V 柱＝43πR 3πR 2×2R ＝23，故选B ．2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C ．2倍D ．32倍解析：选B 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则由体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×(16π)2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ． 4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．33B ． 3C ．26D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．323B ．64C ．3233D ．643解析：选D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D ．6．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图可得圆锥的母线长为22＋(23)2＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S 圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S 圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C ．7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S ＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋16 2.答案：72＋16 28．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·(12)2x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案：1.69．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝92π.答案：92π10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中， A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.11．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图①所示，墩的上半部分是正四棱锥P -EFGH ，下半部分是长方体ABCD -EFGH ，图②、③分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积．解：(1)侧视图同正视图，如图所示．(2)该安全标识墩的体积为V ＝V P -EFGH ＋V ABCD -EFGH ＝13×402×60＋402×20 ＝32 000＋32 000＝64 000(cm 3)．B 组能力提升1．如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．8π3C ．43πD ．23π解析：选A 由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.2．(2018·临沂检测)已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于________．解析：将三棱锥S -ABC 补形成以SA 、AB 、BC 为棱的长方体，其对角线SC 为球O 的直径，所以2R ＝SC ＝2，R ＝1，∴表面积为4πR 2＝4π.答案：4π3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC .设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2 ＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4. 令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415cm 3. 答案：4154．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，已知PB ＝PD ＝2，P A ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积． (1)证明：连接AC ，交BD 于O 点，连接PO .因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO . 由PB ＝PD 知，PO ⊥BD .再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥平面APC ，因此BD ⊥PC . (2)解：因为E 是P A 的中点，所以V P -BCE ＝V C -PEB ＝12V C -P AB ＝12V B -APC. 由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD . 因为∠BAD ＝60°，所以PO ＝AO ＝3，AC ＝23，BO ＝1. 又P A ＝6，PO 2＋AO 2＝P A 2，即PO ⊥AC . 故S △APC ＝12PO ·AC ＝3.由(1)知，BO ⊥平面APC ，因此V P -BCE ＝12V B -APC ＝12·13·BO ·S △APC ＝12. 5．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．解：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直．设d 为AD 到BC 的距离．则V D -ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d 最大时，V D -ABC 体积最大，因为AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，所以当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.。

2020届一轮复习人教A版空间几何体的表面积和体积课时作业

1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A. B.1C. D.答案C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=×1=.4．[2019·开封市高三考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.2π9 B.π3C.16π3 D.16π9解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120°，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V＝13×13×π×22×4＝169π，故选D.答案：D5．[2019·山东潍坊模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．4＋2 3 B．4＋4 2C．6＋2 3 D．6＋4 2解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC ＝2，所以PC＝22＋22＝22，又AB＝22，所以S△PBC＝S△P AB＝12×2×22＝22，S△ABC＝S△P AC＝12×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4 2.答案：B6．[2018·福州高三期末]已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于()A.83π B.323πC．16π D．32π解析：设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(3)2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝43πR3＝43π×23＝323π，故选B.答案：B7．[2018·福州高三期末]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A ．14B ．10＋4 2C.212＋4 2D.21＋32＋4 2解析：解法一由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D.解法二由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝S 三棱柱表－S 三棱锥侧＋S 三棱锥底＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋2＋22)×2＋2×12×22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D.答案：D8．[2019·山西八校联考]已知一个球的表面上有A ，B ，C 三个点，且AB ＝AC ＝BC ＝23，若球心到平面ABC 的距离为1，则该球的表面积为( )A ．20πB ．15πC ．10πD ．2π解析：设球心为O ，△ABC 的中心为O ′，因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以AO ′＝23×3＝2，因为球心到平面ABC 的距离为1，所以OO ′＝1，所以AO ＝22＋12＝5，故该球的表面积S ＝4π×(OA )2＝20π.故选A.答案：A9．[2019·石家庄摸底考试]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.16(π＋1)3 B.8(2π＋1)3C．8(2π＋1) D．16(π＋1)解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为4，正四棱锥的底面边长为2，高为2，所以该几何体的体积为13×2×2×2＋13×π×22×4＝16π＋83，故选B.答案：B10．[2019·南昌调研]已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝22，∠ACB＝90°，P A为球O的直径且P A＝4，则点P的底面ABC的距离为()A. 2 B．2 2C. 3 D．2 3解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝22，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝2，且OO1⊥AO1，又球O的直径P A＝4，所以OA＝2，所以OO1＝OA2－O1A2＝2，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2 2.答案：B二、填空题11．[2019·南昌模拟]如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋2π＝(3＋2)π.答案：(3＋2)π12．[2019·山东潍坊模拟]已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－h22，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝⎝⎛⎭⎪⎫6－h22h，则V′＝6－32h2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，V max＝8.答案：213．[2019·福州四校联考]已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱柱的体积为3，BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90°，则球O的体积为________．解析：设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为3，BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90°，∴13×12×3×3×h＝3，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝23，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为32π3.答案：32π314．[2018·江苏卷，10]如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：本题考查组合体体积的计算．多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43.答案：4315．[2019·广东广州调研]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．4＋42＋2 3 B．14＋4 2C．10＋42＋2 3 D．4解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S －ABCD .连接AC ，因为AC ＝22＋42＝25，SC ＝(25)2＋22＝26，SD ＝SB ＝22＋22＝22，CD ＝22＋22＝22，SB 2＋BC 2＝(22)2＋42＝24＝SC 2，故△SCD 为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．过D 作DK ⊥SC 于点K ，则DK ＝(22)2－(6)2＝2，△SCD 的面积为12×2×26＝23，△SBC 的面积为12×22×4＝4 2.所求几何体的表面积为12×(2＋4)×2＋2×12×2×2＋42＋23＝10＋42＋23，选C.答案：C16．[2019·河北联盟考试]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD －A ′B ′C ′D ′所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C.答案：C17．[2019·广州调研]如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥B －CDE ，且长方体的长、宽、高分别为2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,1)，C (0,1,0)，D (1,2,0)，E (0,2,0)，设球心为P (x ，y ，z )，依题意可得|PB |＝|PC |＝|PD |＝|PE |.由|PD |＝|PE |得(x －1)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝12.由|PC |＝|PE |得x 2＋(y －1)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得y ＝32.由|PB |＝|PE |得x 2＋y 2＋(z －1)2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得z ＝32.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，故三棱锥外接球的半径R ＝|PB |＝14＋94＋14＝112，故该三棱锥的外接球的表面积S ＝4π×114＝11π.答案：11π。

2022高考数学文人教A版一轮复习学案：8.2 空间几何体的表面积与体积【含解析】

8.2空间几何体的表面积与体积必备知识预案自诊知识梳理1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是,表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式侧面展开3.柱、锥、台和球的表面积和体积1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点.(2)半径:r=√a2+b2+c22(a,b,c分别为长方体的长、宽、高).3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r=√64a(a为正四面体的棱长).(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r=√612a(a为正四面体的棱长).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.()(3)若一个球的体积为4√3π,则它的表面积为12π.()(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.()(5)将圆心角为2π3,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4π.()2.(2020北京,4)某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√33.(2020全国3,文9)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+4√2B.4+4√2C.6+2√3D.4+2√34.(2020全国1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.√5-14B.√5-12C.√5+14D.√5+12(第3题图)(第4题图)5.(2020天津,5)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π关键能力学案突破考点空间几何体的表面积【例1】(1)(2020全国1,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π(2)(2020浙江,14)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.?解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路对点训练1(1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A.2√2+√3+√5B.2√2+2√5C.2+√2+√3+√5D.8+4√2+4√3+4√5(2)(2020全国2,文11)已知△ABC是面积为9√34的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为()A.√3B.32C.1 D.√32考点空间几何体的体积【例2】(1)(2020浙江,5)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.73B.143C.3D.6(2)(2020山东潍坊模拟)如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A.√23B.√33C.43D.32解题心得1.求由三视图给出的几何体的体积,一般思路是根据三视图画出几何体的直观图,从三视图中找到构成几何体的元素间的位置关系及数量关系,然后求其体积.2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法.3.一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.对点训练2(1)(2020四川绵阳中学质检)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥P-ABA1的体积为.(2)(2020陕西二模,文16)如图,圆锥形容器内盛有水,水深3 dm,水面直径2√3dm放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为dm3.考点与球有关的切、接问题(多考向探究)考向1棱柱的外接球问题【例3】(2020陕西榆林一模,理14)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=1,AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于.?解题心得求棱柱外接球的半径,常利用球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r 的关系式R2=r2+d2,这里棱柱的底面看作球的截面.对点训练3已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为√3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于.考向2棱锥的外接球问题(多方法)1.补形法求球的半径【例4】(1)(2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π(2)(2020湖南湘潭三模,文16)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=BC=5,PB=AC=√15,PC=AB=2√5,则球O的表面积为.,怎样求其外接球的半径?解题心得一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a,b,c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2R=√a2+b2+c2.对点训练4(1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A.143π B.7π C.11π D.14π(2)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是()A.16π3B.28π3C.11πD.32π32.体积法求球的半径【例5】正四面体的棱长为a,则其内切球和外接球的半径是多少??解题心得正四面体的内切球及外接球的半径及其求法1.内切球的半径是根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成四个正三棱锥,且正四面体的体积等于四个正三棱锥体积之和,从而求出球心到正四面体面的距离,即内切球半径.2.外接球的半径是根据外接球的球心到正四面体的每一个顶点的距离是相等的,所以继计算出内切球半径后,再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可.3.内切球与外接球半径的联系:内切球半径+外接球半径=正四面体的高.对点训练5(2020福建福州三模,理12)三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC的投影为△ABC的内心,三个侧面的面积分别为12,16,20,且底面面积为24,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为()A.4π3B.12π C.16π3D.16π3.确定球心位置【例6】(1)(2020河北石家庄二模,文15)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=AP=2,∠PAB=∠PAD=60°,则该四棱锥的外接球的表面积为.(2)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于.?解题心得球是中心对称图形和轴对称图形,球心与任意一个截面圆的圆心的连线垂直截面圆,经常由此性质来确定球的球心位置.对点训练6(1)在四面体ABCD中,AB=BC=1,AC=√2,且AD⊥CD,该四面体外接球的表面积为.(2)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD且满足AB=2AD=2DC=2,SC=√2,则球O的表面积是.1.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面.3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误.3.易混侧面积与表面积的概念.【例1】如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为( )A.2000π9B.4000π27C.81πD.128π解析如图,设小圆柱体底面半径为5cos θ, 所以高为5+5sin θ,θ∈0,π2,小圆柱体积 V=π·(5cos θ)2(5+5sin θ), 设sin θ=t ,t ∈(0,1), 则V=125π(-t 3-t 2+t+1),V'=125π(-3t+1)(t+1),易知当t ∈0,13时,函数V=125π(-t 3-t 2+t+1)单调递增,当t ∈13,1时,函数V=125π(-t 3-t 2+t+1)单调递减,所以当t=13时,V max =4000π27. 【例2】在四面体ABCD 中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD 体积的最大值是( )A.2√327 B.13 C.2√3D.√3,取AB 中点E ,连接CE ,DE ,设AB=2x (0<x<1),则CE=DE=√1-x 2,当平面ABC ⊥平面ABD 时,四面体体积最大,四面体的体积V=13×12×2x×√1-x 2×√1-x 2=13x-13x 3,V'=13-x 2,当x ∈0,√33时,函数V=13x-13x 3单调递增,当x ∈√33,1时,函数V=13x-13x 3单调递减,则当x=√33时,函数V=13x-13x 3有最大值V max =13×√33−13×(√33)3=2√327.故选A .【例3】如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为 .√15 cm 3,连接OD ,交BC 于点G.由题意知OD ⊥BC ,OG=√36BC. 设OG=x ,则BC=2√3x ,DG=5-x ,三棱锥的高h=√DG 2-OG 2=√25-10x +x 2-x 2=√25-10x ,x ∈0,52.因为S △ABC =12×2√3x×3x=3√3x 2,所以三棱锥的体积V=13S △ABC ·h=√3x 2·√25-10x =√3·√25x 4-10x 5,x∈0,52.令f (x )=25x 4-10x 5,x ∈(0,52),则f'(x )=100x 3-50x 4.令f'(x )=0,可得x=2,则f (x )在(0,2)内单调递增,在(2,52)内单调递减,所以f (x )max =f (2)=80.所以V ≤√3×√80=4√15,所以三棱锥体积的最大值为4√15.,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最大值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最大值.8.2 空间几何体的表面积与体积必备知识·预案自诊知识梳理1.所有侧面的面积之和2.2πrl πrl π(r 1+r 2)l3.S 底h 13S 底h 4πR 2 43πR 3考点自诊1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√2.D 由题意可得,三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形,侧面是三个边长为2的正方形,则其表面积为S=3×(2×2)+2×12×2×2×sin60°=12+2√3.故选D. 3.C 由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为3×12×2×2+12×2√2×2√2×sin60°=6+2√3. 4.C 如图,设正四棱锥的高为h ,底面边长为a ,侧面三角形底边上的高为h',则有{ℎ2=12aℎ',ℎ2=ℎ'2-(a 2)2,因此有h'2-(a 2)2=12ah', 化简得4(ℎ'a )2-2(ℎ'a )-1=0, 解得ℎ'a=√5+14.(负值舍去)5.C ∵2R=√(2√3×√2)2+(2√3)2=6,∴球的表面积为4πR 2=36π.故选C .关键能力·学案突破例1(1)A (2)1 (1)由题意知☉O 1的半径r=2.由正弦定理知ABsinC =2r ,∴OO 1=AB=2r sin60°=2√3, ∴球O 的半径R=√r 2+|OO 1|2=4. ∴球O 的表面积为4πR 2=64π.(2)设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,由题意可知πrl=12πl 2=2π,解得r=1,l=2.对点训练1(1)D (2)C (1)由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A-BCD ,∵△BCD 是等腰直角三角形且CB=CD=4,∴S △BCD =8,∵△ABC 是直角三角形,AB=2√2,∴S △ABC =4√2;∵△ACD 是等腰三角形,且AC=AD=2√6,∴S △ACD =4√5.∵BD=4√2, ∴AB 2+AD 2=BD 2,∴∠BAD=90°,∴S △ABD =4√3,∴该几何体的表面积是8+4√2+4√3+4√5,故选D .(2)设等边三角形ABC 的边长为a ,球O 的半径为R ,△ABC 的外接圆的半径为r ,则S △ABC =√34a 2=9√34,S 球O=4πR 2=16π,解得a=3,R=2.故r=23×√32a=√3.设O 到平面ABC 的距离为d ,则d 2+r 2=R 2,故d=√R 2-r 2=√4-3=1. 故选C .例2(1)A (2)A (1)如图,几何体是上下结构,下面是三棱柱,底面是等腰直角三角形,斜边为2,高为1,三棱柱的高是2,上面是三棱锥,平面DA 1C 1⊥平面A 1B 1C 1,且DA 1=DC 1,三棱锥的高是1,故几何体的体积V=12×2×1×2+13×12×2×1×1=73.(2)如图所示,分别过点A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连接DG ,CH ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,因为三棱锥高为12,直三棱柱高为1,AG=√1-(12)2=√32,取AD 的中点M ,则MG=√22, 所以S △AGD =12×1×√22=√24,所以V=√24×1+2×13×√24×12=√23.对点训练2(1)9√34(2)125π (1)由图可知,因为三棱锥P-ABA 1的体积等于三棱锥C-ABA 1的体积也等于三棱锥A 1-ABC 的体积,所以三棱锥P-ABA 1的体积为13S △ABC ·AA 1=13×√34×32×3=9√34. (2)作出相关图形,可得AH=√3,因此∠ACH=30°,因此放球前V 1=13π×(√3)2×3=3π,球O 与边A 1C 相切于点M ,故OM=r ,则OC=2r ,所以CH 1=3r ,A 1H 1=√3r ,所以放球后V 2=13π×(√3r )2×3r=3πr 3,而V 1+V 球=V 2,而V 球=43πr 3,解得V 球=125π.例38π 由题意可知,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为h=AA 1=2,在△ABC 中,AB=AC=1,则该三角形为等腰三角形,又∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,设△ABC 的外接圆半径为r ,由正弦定理得2r=ACsin∠ABC =2,∴r=1. 设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的外接球半径为R ,则R=√r 2+(ℎ2)2=√2, 因此,该球的表面积为4πR 2=8π.对点训练38π 由题意得12×2×1×sin60°×AA 1=√3,∴AA 1=2,球心到底面的距离d=1.∵B C 2=AB 2+A C 2-2AB ×AC ×cos60°,∴BC=√3,设△ABC 的外接圆的半径为r ,则BC=2r ,∴r=1,设外接球的半径为R ,则R=√d 2+r 2=√1+1=√2, ∴球的表面积等于4π(√2)2=8π. 例4(1)D (2)30π (1)设PA=PB=PC=2x.∵E ,F 分别为PA ,AB 的中点,∴EF ∥PB ,且EF=12PB=x.∵△ABC 为边长为2的等边三角形,∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=2AE=12PA=x. 在△AEC 中,由余弦定理可知 cos ∠EAC=x 2+4-(3-x 2)2×2·x. 作PD ⊥AC 于点D ,∵PA=PC , ∴D 为AC的中点,cos ∠EAC=ADPA=12x .∴x 2+4-3+x 24x=12x .∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22.∴PA=PB=PC=√2.又AB=BC=AC=2, ∴PA ⊥PB ⊥PC.∴2R=√2+2+2=√6.∴R=√62. ∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D .(2)如图,将三棱锥P-ABC 补成长方体.球O 为长方体的外接球,长、宽、高分别为a ,b ,c ,则{a 2+b 2=25,a 2+c 2=15,b 2+c 2=20,所以a 2+b 2+c 2=30,所以球O 的半径R=√302,则球O 的表面积为S=4πR 2=4π(√302)2=30π.对点训练4(1)C (2)B (1)该几何体为三棱锥,补形为长方体,其外接球的直径为2R=√(√3)2+22+22=√11,该几何体外接球的表面积为4πR 2=11π.(2)三棱锥的直观图如下图所示,由三视图可知直观图中PC ⊥平面ABC ,AC=BC=√3+1=2=AB ,所以△ABC 是正三角形,将三棱锥补形为三棱柱,则三棱锥与三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱与球都是中心和轴对称图形,所以球心为三棱柱两底面中心连线的中点,设△ABC 的外心为O 1,设球心为O ,连接OC ,O 1C ,则O 1C=23×√3=2√33,所以R 2=(2√33)2+12=12+99=219=73,S 球=4π×73=28π3. 例5解如图所示,设点O 是内切球的球心,正四面体棱长为a.由图形的对称性知,点O 也是外接球的球心.设内切球半径为r ,外接球半径为R.正四面体的表面积S 表=4×√34a 2=√3a 2, 正四面体的体积V A-BCD =13×√34a 2×AE=√312a 2×√AB 2-BE 2=√312a 2×a -(√33a)=√212a 3.∵13S 表×r=V A-BCD ,∴r=3V A -BCDS 表=√612a.在Rt △BEO 中,BO 2=BE 2+EO 2,即R 2=(√33a)2+r 2,得R=√64a.对点训练5C 不妨设S △PBC =12,S △PAC =16,S △PAB =20,设P 在底面ABC 的投影为H ,分别作HD ⊥BC 于点D ,HE ⊥AB 于点E ,HF ⊥AC 于点F ,则PD ⊥BC ,PE ⊥AB ,PF ⊥AC.依题意,H 为△ABC 的内心,则Rt △PDH ≌Rt △PFH ≌Rt △PEH ,故PD=PF=PE ,所以S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB =BC ∶AC ∶AB=12∶16∶20=3∶4∶5,所以∠ACB=90°. 令BC=3x ,AC=4x ,AB=5x.则S △ABC =12BC·AC=12·3x·4x=24,解得x=2, 所以BC=6,AC=8,AB=10. 设△ABC 内切圆半径为r ,则12(BC+AC+AB )r=S △ABC ,解得r=2,故HD=2.由S △PBC =12BC·PD=12,BC=6,得PD=4, 所以PH=√PD 2-HD 2=2√3,所以V P-ABC =13S △ABC ·PH=13×24×2√3=16√3,设三棱锥P-ABC 的内切球的半径为R ,则V P-ABC =13(S △PBC +S △PAC +S △PAB +S △ABC )R ,即16√3=13×(12+16+20+24)R ,解得R=2√33, 则所求内切球的表面积为4πR 2=16π3,故选C.例6(1)8π (2)1015π (1)因为∠PAB=∠PAD=60°,AB=AP=2,ABCD 为正方形,所以△PAB ,△PAD 为全等的等边三角形,且边长为2,过点P 作PT 垂直于底面ABCD于点T ,连接TD ,TA ,TB ,如图,易知TD=TA=TB ,所以T 为△ABD 的外心,又ABCD 为正方形,即T 为正方形ABCD 的中心,设四棱锥的外接球的球心为O ,半径为R ,连接OA ,由已知,BD=2√2,PT=√PA 2-AT 2=√22-(√2)2=√2,所以OT 2+TA 2=R 2=(PT-OT )2, 即OT 2+2=(√2-OT )2,解得OT=0,即球心与T 重合,所以外接球半径R=√2,其表面积为4πR 2=8π. (2)由该四棱锥的三视图知,该四棱锥直观图如图,由△SAB 是一个锐角三角形,可知其外接圆的圆心在三角形内,设为O 1,长方形ABCD 的外接圆的圆心为其对角线的中点O 2,设四棱锥外接球的球心为O ,则OO 1⊥平面SAB ,OO 2⊥平面ABCD ,则OB 为球的半径R.设r 1为△SAB 外接圆半径,r 2为矩形ABCD 外接圆半径,L=AB ,则r 1=O 1B ,r 2=O 2B ,由平面SAB ⊥平面ABCD ,可得O 1E 2=r 12−L 24,又因为O 1E=OO 2,且R2=OO 22+O 2B 2,所以R2=r 12+r 22−L 24,SE=√9-4=√5,由相交弦定理得易求△SAB 外接圆的半径,即SE ×(2r 1-SE )=BE 2,所以r 1=2√5,2r 2=√42+22=2√5.所以R 2=8120-4+5=10120,所以S=4πR 2=1015π.对点训练6(1)2π (2)5π (1)如图所示,由AB=BC=1,AC=√2,得AB ⊥BC ,所以△ABC 为直角三角形.AC 的中点到点A ,B ,C 的距离相等且为AC 长的一半,又AD ⊥CD ,△DAC 也是直角三角形,AC 的中点到点D 的距离也是AC 长的一半,所以AC 的中点到四面体各顶点的距离都相等,所以其外接球的球心即为AC 的中点.所以外接球半径R=12AC=√22,所以S 球=4πR 2=2π.(2)因为底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD 且满足AB=2AD=2DC=2,所以cos ∠BCD+cos ∠BAD=0=CB 2+CD 2-BD 22CB ·CD+AB 2+AD 2-BD 22AB ·AD=2-BD 22+5-BD 24,解得BD=√3,故AB 2=AD 2+BD 2,即∠BDA=π2,又因为底面ABCD 是等腰梯形,故四边形ABCD 的外接圆直径为AB ,设AB 的中点为O 1,球的半径为R ,在Rt △SCD 中,因SC=√2,CD=1,所以SD=1,因为SD ⊥平面ABCD ,所以面SCD ⊥面ABCD ,过四边形ABCD 外接圆的圆心O 1作圆面的垂线,过Rt △SCD 斜边的中点E 作△SCD 所在平面的垂线,两条垂线的交点即为球心O ,连接OA ,且OO 1=EF=12SD ,所以R 2=12+SD 22=54,因此球O 的表面积是S=4πR 2=5π.。

高考数学总复习课时作业40 空间几何体的表面积和体积

课时作业(四十) 空间几何体的表面积和体积A 级1．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A．32 B．16＋16 2C．48 D．16＋32 22．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．12π B．45πC．57πD．81π3．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的( )A.116B.316C.112D.184．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB．23πC.736π D.733π5．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC的体积之比为( )A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶26．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.8.如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．9．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.11．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求它的外接球的体积．B 级1．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )A.12512π B.1259πC.1256π D.1253π2．圆锥的全面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________cm3.3．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P －ABC 中，求证：PA ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．答案：课时作业(四十) A 级1．B由三视图还原几何体的直观图如图所示．S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＋4×4＝16＋16 2.2．C 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示．圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆柱＝13Sh 1＋Sh 2＝13×π×32×4＋π×32×5＝57π.3．B 由题意可得截面圆半径为32R (R 为球的半径)，所以截面面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＝34πR 2，又球的表面积为4πR 2，则34πR 24πR 2＝316，故选B. 4．D 上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2，∴高h ＝l 2－R －r2＝3，∴V ＝13π·3×(12＋1×2＋22)＝733π.5．C ∵G 为PB 中点，∴V P －GAC ＝V P －ABC －V G －ABC ＝2V G －ABC －V G －ABC ＝V G －ABC ，又多边形ABCDEF 是正六边形，∴S △ABC ＝12S △ACD ，∴V D －GAC ＝V G －ACD ＝2V G －ABC ， ∴V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1，故选C.6．解析：三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16.答案： 167．解析：由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.答案： 18＋9π8．解析：如图所示，画出正方体，则2R ＝CD ＝3DA 2＝6， ∴R ＝62，V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π. 答案：6π9．解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧πl ＝2πr ，12πl 2＝2π，∴⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1，∴h ＝ 3.∴V 圆锥＝13π×12×3＝33π.答案：33π 10．解析： (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．所以表面积S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋2 3.11．解析：如图所示，△SAC 的外接圆是外接球的一个大圆，∴只要求出这个外接圆的半径即可，设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA ＝OC ＝OS ，∴O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆半径就是球的半径．∵AB ＝BC ＝a ，∴AC ＝2a . ∵SA ＝SC ＝AC ＝2a ， ∴△SAC 为正三角形．由正弦定理得2R ＝AC sin ∠ASC ＝2a sin 60°＝263a ，因此R ＝63a ，V 球＝43πR 3＝8627πa 3. B 级1．C 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一半，则V 球＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝1256π. 2．解析：设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr )a ＝πra .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πra ＋πr 2＝15ππra ＝16πa 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝157a 2＝36×157，故圆锥的高h ＝a 2－r 2＝53，所以体积为V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π(cm 3)．答案：2537π 3．解析： (1)证明：由题设知A ，B ，C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC ，取BC 的中点D ，连AD ，PD ，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，AD ∩PD ＝D .∴BC ⊥平面PAD .故PA ⊥BC . (2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，PA ＝P 1A ＝BC ＝10，PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12，在等腰三角形DPA 中，底边PA 上的高h ＝AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA 2＝119，∴S △DPA ＝12PA ·h ＝5119，又BC ⊥平面PAD ， ∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA＝13BD·S△DPA＋13DC·S△PDA＝13BC·S△PDA＝13×10×5119＝503119.。

高考数学一轮复习讲解与练习 7.2空间立体几何体的表面积和体积理新人教A版.pdf

[备考方向要明了] 考什么怎么考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查．2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年安徽T12，广东T6，浙江T11等．也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年江苏T7，山东T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如2012年湖南T18(2)，湖北T19(2)等. [归纳·知识整合] 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋) h球S＝4πR2V＝πR3[探究]　1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？提示： 2．如何求不规则几何体的体积？提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现． [自测·牛刀小试] 1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A. B．4 C．4 D．16 解析：选C　正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S＝4××22＝4. 2．(2012·上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表＝S侧＋2S底＝cl＋2πr2＝2π×2＋2π＝6π. 答案：6π 3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S1＝4π，S2＝4π×32＝36π，即＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V1＝π，V2＝π×33＝12π，即＝27，所以体积扩大为原来的27倍．答案：9　27 4．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π. 答案：12＋π 5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为，所以这个圆锥筒的容积为π×12×＝π. 答案：π 几何体的表面积 [例1]　(2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 [自主解答]　该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且ABC＝90°，据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，据侧视图知，BC＝4. 综上所述，BC平面PAB，PB＝＝5， PC＝＝＝， AC＝＝， PA＝＝2. PC＝AC＝，PAC的边AP上的高为 h＝＝6. S△PAB＝AB·PD＝10，SABC＝AB·BC＝10， SPBC＝PB·BC＝10，SAPC＝AP·h＝6. 故三棱锥的表面积为SPAB＋SABC＋SPBC＋SAPC＝30＋6. [答案]　B ——————————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤 →→ 1．(2013·马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( ) A．4π B. C．5π D. 解析：选D　由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为·4π·12＋3··π·12＝π. 几何体的体积 [例2]　(1)(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B．3π C. D．6π (2)(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________． [自主解答]　(1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋×π×12×2＝3π. (2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.该几何体的体积为V＝×4×4＝56. [答案]　(1)B　(2)56 ——————————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． 2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：选B　由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9. 3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A．8－ B．8－ C．8－2π D. 解析：选A　圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝23－×π×12×2＝8－π. 与球有关的切、接问题 [例3]　(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D. [自主解答]　ABC的外接圆的半径r＝，点O到平面ABC的距离d＝＝.SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d＝，故棱锥的体积为V＝SABC×2d＝××＝. [答案]　A ——————————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A．12π B．36π C．72π D．108π 解析：选B　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π. 3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤 3种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体． 1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 创新交汇——空间几何体中体积的最值问题 1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查． 2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值． [典例]　(2012·湖北高考(节选))如图1，ACB＝45°，BC＝3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC＝90°(如图2所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？ [解]　如图1所示的ABC中，设BD＝x(0<x<3)，则CD＝3－x. 由ADBC，ACB＝45°知ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x. 由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADDC，且BD∩DC＝D，所以AD平面BDC， BDC＝90°，所以SBCD＝BD·CD＝x(3－x)．于是VA－BCD＝AD·SBCD＝(3－x)·x(3－x)．法一：VA－BCD＝(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝(x3－6x2＋9x)．由f′(x)＝(x－1)(x－3)＝0，且0<x0；当x(1,3)时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值，即BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．法二：VA－BCD＝·2x(3－x)(3－x)≤·3＝，当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，取“＝”．故当BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( ) 解析：选B　显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，选B. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：选A　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 2．(2013·长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( ) A.π B．2π C．3π D．4π 解析：选A　依题意知，该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱，则其全面积为2π×2＋2π××1＝π. 3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A．72π B．48π C．30π D．24π 解析：选C　此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V＝×π×33＋π×32×＝30π. 4．(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( ) A. B. C. D. 解析：选D　设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝. 5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 解析：选C　由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，两底面积和为2××(2＋4)×4＝24，四个侧面的面积为4×(4＋2＋2)＝24＋8，几何体的表面积为48＋8. 6．已知正方形ABCD的边长为2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是( ) 解析：选B　由平面ABC平面ACD，且O为AC的中点可知，BO平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，SAMC＝MC·AD＝x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·x＝(－x2＋2x)(0<x<2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S＝(4＋2＋5＋5)×4＋2××(2＋5)×4＝92. 答案：92 8．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3. 解析：由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则ACBD.由面面垂直的性质定理，可证AO平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为3×2＝6，从而VA－BB1D1D＝×OA×S长方形BB1D1D＝6. 答案：6 9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．解析：该棱锥的直观图如图，取CD的中点E，BD的中点F，由三视图知，AE平面BCD，AF＝5，AE＝＝4，CBD＝90°.设O为该棱锥外接球的球心，半径为R，由题知BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3)2＋(R－4)2，解得R＝，故球的表面积为S＝4×π×2＝. 答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，DAB＝90°，ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝×4－π×22×2＝π. 11．(2013·郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的表面积S. 解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为. 所以V＝1×1×＝. (2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2. 12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B、C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1AA1分别交A1D1、AD1于点B1、P，作CC1AA1分别交A1D1、AD1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1. (1)求证：AB平面BCC1B1； (2)求多面体A1B1C1－APQ的体积．解：(1)由题知，在图2中，AB＝3，BC＝4，CA＝5， AB2＋BC2＝CA2，AB⊥BC. 又AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，AB⊥平面BCC1B1. (2)由题易知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为×3×4×12＝72. 在图1中，ABP和ACQ都是等腰直角三角形， AB＝BP＝3，AC＝CQ＝7， VA－CQPB＝×S四边形CQPB×AB＝××(3＋7)×4×3＝20. 多面体A1B1C1－APQ的体积V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝72－20＝52. 1．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( ) A．24 B．12 C．8 D．4 解析：选B　依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因此其体积等于2×3×4－×2×3×4＝12. 2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( ) A．32 B．16＋16 C．48 D．16＋32 解析：选B　该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为2，故其表面积是4×4＋4××4×2＝16＋16. 3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝. 答案： 4．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm. 解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．答案：13。

高三文科数学一轮复习课时作业(四十一) 空间几何体的表面积与体积

课时作业(四十一) 空间几何体的表面积与体积[对应学生用书P 258]1．(2021·江西赣州模拟)在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )A ．5 πB ．6 πC ．3πD ．4πA [圆锥的侧面展开图是半径为5 ，弧长为2π的扇形，其面积S ＝12 l ·r ＝12 ×2π×5 ＝5π，所以圆锥的侧面展开图面积为5 π.]2．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )A ．12B ．1C ．32D ．3B [由主视图可得如图的四棱锥P -ABCD ，其中平面ABCD ⊥平面PCD .由主视图和俯视图可知AD ＝1，CD ＝2，P 到平面ABCD 的距离为32 .所以四棱锥P -ABCD 的体积为V ＝13 ×S 长方形ABCD ×h ＝13 ×1×2×32＝1.]3．(2020·江西高三月考)某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中，主视图是腰长为4的等腰直角三角形，侧视图中的圆的半径为4，则制作该手工制品表面积为( )A ．5πB ．32＋8π＋42 πC ．32＋8π＋82 πD ．24＋12πC [由三视图知该几何是两个相同的四分之一圆锥组合，圆锥底面所在圆重合．其表面为两个四分之一的圆锥侧面，两个四个之一的圆，4个等腰直角三角形．因此其表面积是S ＝2×14 ×12×(2π×4)×42＋42 ＋2×14 ×π×42＋4×12×4×4＝82 π＋8π＋32.]4．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．73B ．143 C ．3 D ．6A [ 如图，三棱柱的体积 V 1＝12×2×1×2＝2，三棱锥的体积V 2＝13 ×12 ×2×1×1＝13 ，因此，组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝2＋13 ＝73.]5．(2020·河南郑州三模)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A ．103 cmB ．10 cmC ．102 cmD ．30 cmB [依题意，在四棱锥S -ABCD 中，所有棱长均为20 cm ，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，则SO ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝102 cm ，易知点O 到AB ，BC ，CD ，AD 的距离均为10 cm ，在等腰三角形OAS 中，AO ＝SO ＝102 cm ，SA ＝20 cm ，所以O 到SA 的距离d ＝10 cm ，同理可证O 到SB ，SC ，SD 的距离也为10 cm ，所以球心为四棱锥底面ABCD 的中心O ，所以皮球的半径r ＝10 cm.]6．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr＝________．233[由水面高度升高r ，得圆柱体积增加了πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43 πr 3＝πR 2r .故R r ＝233.] 7．(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm 3.123 －π2 [螺帽的底面正六边形的面积S ＝6×12 ×22×sin 60°＝63 (cm 2)，正六棱柱的体积V 1＝63 ×2＝123 (cm 3)，圆柱的体积V 2＝π×0.52×2＝π2(cm 3)，所以此六角螺帽毛坯的体积V ＝V 1－V 2＝⎝⎛⎭⎪⎫123－π2 cm 3.]8．(2020·陕西名校联考)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403 ，则经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为________．24π [设AA 1＝x ，则VABCD －A 1C 1D 1＝VABCD A 1B 1C 1D 1－VB A 1B 1C 1＝2×2×x －13 ×12 ×2×2×x ＝403 ，则x ＝4.因为A 1，C 1，B ，D 是长方体的四个顶点，所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R ＝22＋22＋422＝6 ，所以球的表面积为24π.]9．如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).解 (1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8 ＝1.2－2r ，所以塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r ) ＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r ).所以当r ＝0.4米时，S 有最大值，约为1.51平方米． (2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米). 制作灯笼的三视图如图．10．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.求此几何体的体积．解方法一如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC -NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D -MNEF 的体积为V 2＝13 ×S 梯形MNEF ×DN ＝13 ×12 ×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.方法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，如图所示，所以V 几何体＝12 V 三棱柱＝12 ×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.11．(2020·河南郑州质检)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF -BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A ．14B ．13C ．12D.随点M 位置的变化而变化B [由三视图可知多面体ADF -BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为a .因为M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，所以点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，为a ，所以V 1＝V E FMC ＝V M EFC ＝13 ×12 a ·a ·a ＝a 36 ，又V 2＝12 a ·a ·a ＝a 32 ，故V 1V 2＝a 36a 32＝13 .] 12．(2020·江西萍乡一模)已知三棱锥A -BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，CD ＝2，则此三棱锥外接球的体积等于( )A ．43 πB ．32π3C ．12πD ．64π3B [取BD 的中点O 1，BC 中点G ，连接GO 1、AG ，由题意可得O 1为△BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点O 1作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH ⊥AG 于H ，连接AO 、OD ，可知四边形OHGO 1为矩形，∵△ABC 是边长为3，CD ＝2，∴AG ＝332 ，BD ＝13 ，O 1G ＝1，设OO 1＝m ，则HA ＝332 －m ，∴OD 2＝DO 21 ＋OO 21 ＝134＋m 2， OA 2＝OH 2＋HA 2＝1＋⎝⎛⎭⎫332－m 2，由OD 2＝OA 2可得134＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎫332－m 2，解得m ＝32 ，∴三棱锥A -BCD 外接球的半径R ＝134＋m 2 ＝2， ∴此三棱锥外接球的体积V ＝43 πR 3＝323π.]13．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78 ，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515 ，则该圆锥的侧面积为________．402 π [如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为 12 ·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12 ·SA 2· 1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515 ，所以SA 2＝80，SA ＝45 .因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45 ×22＝210 .所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410 π，所以圆锥的侧面积为12×45 ×410 π＝402 π.]14．(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2 的正方形，侧棱长均为5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．π4[如图所示，在四棱锥V - ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为2 ，可得OC ＝1.设M 为VC 的中点，过点M 作MO 1∥OC 交OV 于点O 1，则O 1即为圆柱上底面的中心． ∴O 1M ＝12 OC ＝12 ，O 1O ＝12 VO .∵VO ＝VC 2－OC 2 ＝2，∴O 1O ＝1.可得V圆柱＝π·O 1M 2·O 1O ＝π×⎝⎛⎭⎫12 2×1＝π4.]15．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4， EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10，于是MH ＝EH 2－EM 2 ＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12 ×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97 ⎝⎛⎭⎫79也正确 .16．(综合创新)已知等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝2，点D 是斜边AB 上一点(不同于点A ，B ).沿线段CD 折起形成一个三棱锥A -CDB ，则三棱锥A CDB 体积的最大值是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [设AD ＝x ，将△ACD 折起使得平面ACD ⊥平面BCD .在△ACD 中，由面积公式得12 CD ·h 1＝12AD ·1(h 1为点A 到直线CD 的距离)，则h 1＝x1＋（x －1）2.由题易知h 1为点A 到平面BCD的距离，故三棱锥A CDB 体积为V ＝13 S △BCD ·h 1＝13 ×⎝⎛⎭⎫12BD ·1 ·h 1＝16·2x －x 2x 2－2x ＋2，x ∈(0，2).令t ＝x 2－2x ＋2 ，则t ∈[1，2 )，故V ＝16 ·2－t 2t ＝16 ·⎝⎛⎭⎫2t －t .由于2t－t 是减函数，故当t ＝1时，V 取得最大值为16 ×(2－1)＝16.故选D.]17．(背景创新)已知三棱锥O -ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O -ABC 的体积为( )A ．32 B ．233 C ．23 D ．13B [设球O 的半径为R ，因为S △AOC ＋S △BOC ＝12 R 2(sin ∠AOC ＋sin ∠BOC )，所以当∠AOC ＝∠BOC ＝90°时，S △AOC ＋S △BOC 取得最大值，此时OA ⊥OC ，OB ⊥OC ，又OB ∩OA ＝O ，OA 平面AOB ，OB平面AOB ，所以OC ⊥平面AOB ，由题意知R ＝2，所以V 三棱锥O -ABC ＝V 三棱锥C -OAB ＝13OC ·12 OA ·OB sin ∠AOB＝16 R 3sin ∠AOB ＝233 .]。

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课时作业(四十) [第40讲空间几何体的表面积和体积][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图K40－1(单位： cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．36π cm 2－1图K40－22．[2011·西安三检] 图K40－2是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则图中正视图所标a ＝( )A ．1 B.32C. 3 D ．2 33．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为( )A ．8πB ．4π C.32π3 D.423π4．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________．能力提升 5．[2011·东北六校联考] 图K40－3是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π图K40－3K40－46．[2011·潍坊质检] 已知某个几何体的三视图如图K40－4(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A ．288＋36πB ．60πC ．288＋72πD ．288＋18π7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 38．如图K40－5，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92 B ．5 C ．6 D.152－5K40－69．如图K40－6，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P －ABC ，则此正三棱锥的侧面积是( )A ．3 5B ．513C ．315D ．41510．[2010·福建卷] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K40－7所示，则其表面积等于________．K40－7图K40－811．[2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图K40－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.12．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，则四面体P －CDQ的体积是________．13．圆锥的底面半径为3，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________．14．(10分)已知某几何体的俯视图是如图K40－10所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.15．(13分)圆锥底面半径为5 cm，高为12 cm，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积为最大？最大值是多少？图K40－11难点突破16．(12分)如图K40－12所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．图K40课时作业(四十)【基础热身】1．C [解析] 该几何体是底面半径等于3，母线长等于5的圆锥，其表面积S 表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm 2)．2．C [解析] 由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V ＝12×2×a ×3＝33， ∴a ＝ 3.3．A [解析] 如图，设截面的半径为r ，则πr 2＝π，r ＝1，又已知球心与截面的距离d ＝1，则球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，球的表面积V ＝4πR 2＝8π.4．50 6 cm 2[解析] 侧面高为52－1＝26，所以侧面积为S ＝5×＋62＝506(cm 2)．【能力提升】 5．B [解析] 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为1，下底半径为2，母线长为4，所以该几何体的侧面积为π×(1＋2)×4＝12π.故选B.6．A [解析] 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8.因此该几何体的体积V ＝8×6×6＋12×π×32×8＝288＋36π.7．D [解析] 由43πR 3＝323π，∴R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4，设其底面边长为a ，则13×32a ＝2，∴a ＝43， ∴V ＝34×(43)2×4＝48 3. 8．D [解析] 如图所示，连接EB ，EC ，AC .四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×32×2＝6.由于AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .∴V F －BEC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC ＝32，∴V EF －ABCD ＝V E －ABCD ＋V F －BEC ＝6＋32＝152.9．C [解答] 设球心为O ，连接因为P －ABC 是正三棱锥，所以PO ⊥底面ABC ，且PO ＝AO ＝2，所以PA ＝2 2.作PD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．连接OD .△AOB 中，∠AOB ＝120°，AO ＝BO 所以AB ＝23，DO ＝1.在Rt △POD 中，得PD ＝5，所以棱锥的侧面积为3×12·AB ·PD ＝32×23×5＝315.故选C.10．6＋2 3 [解析] 由正视图可知，该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，其表面积为2×34×4＋3×2×1＝6＋2 3.11．4 [解析] 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V ＝2×1×1＋1×1×2＝4.12.112V [解析] 设长方体的长、宽、高分别为 AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则有V ＝abc .由题意知PD ＝12c ，S △CDQ ＝12·CD ·AD ＝12ab ，∴V P －CDQ ＝13S △CDQ ·PD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝112V .13．4π [解析] 如图，球心为O ，圆锥底面圆心为O 1，OO 1为球半径，AO 1为圆锥底面圆半径，∠O 1AO ＝30°，OO 1＝33AO 1＝1，所以球的表面积为4π.14．[解答] 4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面PAD 、PBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面PAB 、PCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，因此侧面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 15．[解答] 作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为x ，内接圆柱的高为h ，则有12－h x ＝125， ∴h ＝12－125x ，因此内接圆柱的表面积是x 的函数，S 圆柱侧＝2πxh ＝2πx ⎝⎛⎭⎪⎫12－125x (0＜x ＜5)，S 底＝πx 2，∴S圆柱全＝2πx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－125x ＋2πx 2＝2πx ⎝⎛⎭⎪⎫12－75x ＝10π7·7x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12－75x ≤10π7×62＝3607π(cm 2)．当且仅当7x 5＝12－75x ，即x ＝307时，等号成立．因此，当内接圆柱的底面半径为307 cm 时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是3607πcm 2.【难点突破】16．[解答] (1)证明：由题设知A 、B 、C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC .取BC 的中点D ，连接AD 、PD ，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，∴BC ⊥面PAD ，故PA ⊥BC .(2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，PA ＝P 1A ＝BC ＝10， PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12. 在等腰三角形DPA 中，底边PA 上的高h ＝AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA 2＝119， ∴S △DPA ＝12PA ·h ＝5119.又BC ⊥面PAD ，∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA ＝13BD ·S △DPA ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119＝503119.。

高三数学一轮复习课时作业40 空间几何体的表面积和体积 新人教A版 文