概率论(第二版)范大茵 --课后习题答案第三章
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
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答案仅供参考习题2参考答案2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 2.2解根据10kkXP得10kkae即1111eae。
故1ea 2.3解用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数XB20.7 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数YB20.4 1 两人投中的次数相同PXY PX0Y0 PX1Y1 PX2Y2 0011220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CCCCCC2甲比乙投中的次数多PXgtY PX1Y0 PX2Y0 PX2Y1 1020211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CCCCCC2.4解:1P1≤X≤3 PX1 PX2 PX312321515155 2 P0.5ltXlt2.5PX1 PX212115155 2.5解1PX246…246211112222k1111441314kklim 答案仅供参考2PX≥31―PXlt31―PX1- PX21111244 2.6解设iA表示第i次取出的是次品X的所有可能取值为012 123412131241230PXPAAAAPAPAAPAAAPAAAA18171615122019181719 112341234234123412181716182171618182161817162322019181720191817201918172 019181795PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA 1232321011199595PXPXPX 2.7解1设X表示4次独立试验中A发生的次数则XB40.4343140443340.40.60.40.60.1792PXPXPXCC 2设Y表示5次独立试验中A发生的次数则YB50.4 34532415055533450.40.60.40.60.40.60.31744PXPXPXPXCCC 2.81XPλP0.5×3 P1.5 01.51.500PXe1.5e 2XPλP0.5×4 P2 0122222210111301PXPXPXeee 2.9解设应配备m名设备维修人员。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.3、3.4(部分)参考答案
0 −z
x
y
z
0
x
p(
x,
y)
=
⎧3x, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 0 < y < x, 其他.
试求 Z = X − Y 的密度函数．
解：方法一：分布函数法
作曲线簇 x − y = z，得 z 的分段点为 0, 1，
当 z < 0 时，FZ (z) = 0，
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 当 0 ≤ z < 1 时， FZ (z) =
0
x
pZ
(
z)
=
FZ′
(
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
ez, e−z
,
⎩2
z ≤ 0, z > 0.
方法二：增补变量法
（1）函数 z = x + y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 2
18
可得
⎪⎨⎧z
=
x
+ 2
y
,
⎪⎩v = y,
有反函数
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
2z v,
z
x
dx 3xdy +
0
0
1
x
dx 3xdy =
z
x−z
z 3x 2 dx +
0
1
3xzdx =
x3
z
+
3
x2z 1
=
3
z
−
1
z3，
z
02 z2 2
当 z ≥ 1 时，FZ (z) = 1，
y
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X − Y 为连续随机变量，
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0x
0
x0
y 1
0
1x
y
1
0.25
0
0.5 1 x
y
1
1
= ⎜⎛ x 2 − 1 x 4 ⎟⎞ = 1 ； ⎝ 2 ⎠0 2
（4）当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = P (∅) = 0， 当 0 ≤ x < 1 且 0 ≤ y < 1 时，
0
1x
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
x
2udu
= u2
x
=
x2 ；
0
0
0
00
0
当 x ≥ 1 且 0 ≤ y < 1 时，
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
1
du
y
4uvdv =
1 du ⋅ 2uv 2
y
=
1 2uy 2 du = u 2 y 2 1
= y2 ；
0
0
0
00
0
当 x ≥ 1 且 y ≥ 1 时，F (x, y) = P (Ω) = 1，
1
0.0019 0.0227 0.0927 0.1562 0.0918
0
2
0.0066 0.0549 0.1416 0.1132
0 0
3
0.0102 0.0539 0.0661
0 0 0
4
0.0073 0.0182
0 0 0 0
5
0.0019 0 0 0 0 0
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后规范标准答案
概率论与数理统计 习题三 答案1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：0，1.2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.【解】X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：0，1，2.3.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为ππsin sin ,0,0(,)220,x y x y F x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其它求二维随机变量(,)X Y 在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin4346362(31).4=--+=-g g g g题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量(,)X Y 的分布密度(34)e ,0,0(,)0,x y A x y f x y -+⎧>>=⎨⎩ 其他求：（1） 常数A ；（2） 随机变量(,)X Y 的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩ 其它（1） 确定常数k ；（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18k =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83x x x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其它求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） {}P Y X ≤.题6图【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的概率密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其它 所以(,),()*()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e 25e ,00.2,00.20,y yx y --⎧⨯=<<>⎪=⎨⎪⎩ 其它(2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-5500-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为42(1e )(1e ),0,0,(,)0,.x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他 求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 求边缘概率密度.【解】X 的边缘概率密度为()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01y x y x x x ⎧-=-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ ０， 其它 Y 的边缘概率密度为()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01y x x y y y y ⎧-=-+≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ ０， 其它题8图题9图9.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为e ,0(,)0y x yf x y -⎧<<=⎨⎩， 其它求边缘概率密度.【解】X 的边缘概率密度为()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,00,y x x y x +∞--⎧=>⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它Y 的边缘概率密度为()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,00,yy x x y y --⎧=>⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它题10图10.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22,1(,)0cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩， 其它（1） 试确定常数c ； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212242121=(1),11480,x x ydy x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰ 其它()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01420,x y x y y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其它 11.设随机变量(,)X Y 的概率密度为1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<⎪=⎨⎪⎩ 其它求条件概率密度()Y X f y x ，()X Y f x y .题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1） 求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 的可能取值为：1,2,3；Y 的可能取值为3,4,5. X 与Y 的联合分布律及边缘分布律如下表：3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXY XY故X 与Y 不独立.14.设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为/21e ,0,()20,.y Y y f y -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩g 独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥即 2X Y ≥， 从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰22211/2200121d e d 1e d 212d 12[(1)(0)]20.1445.xx y x x y xx πππ---==-==Φ-Φ=⎰⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求/Z X Y =的概率密度.【解】因为X 和Y 相互独立，所以X 与Y 的联合概率密度为62210,1000,1000(,)0,x y f x y x y ⎧>>⎪=⎨⎪⎩ 其它如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()(,)d d d d d d yz Z zx x y y zzF z f x y x y x y y x x y x y +∞≥≥===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy y zy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()(,)d d d d d d zy Z xx y y zzF z f x y x y x y y x x y x y +∞≥≥===⎰⎰⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zF z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设取到的四只电子元件寿命为i X (i =1,2,3,4)，则2~(160,20)i X N ，从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<gg g 44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为()(),0,1,2,3,P X k p k k ===L()(),0,1,2,3,P Y r q r r ===L证明随机变量Z =X +Y 的分布律为()()()ik P Z i p k q i k ===-∑，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,}ik P Z i P X k Y i k =====-∑,{}{}ik X Y P X k P Y i k ===-∑g 相互独立0()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑002200(){}2)ki ki n i k i n k ii kk n k k n ki ki P X i P Y k i n n p q p qi k i n n n p qp q i k i k n m m n i k i k =---+=--=====-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑g （提示：组合计数公式方法二：参见第四章。
概率统计(第二版)第三章习题参考解答
《概率论与数理统计及其应用》（第二版）第三章习题参考解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P 529)(=X E 2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P 29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，2,1,0,}{3123102===-k C C C k X P k k2)(=X E4、设X 为所得分数5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P 1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则λλλλ--=e e!6!565解出6=λ，故6)(==λX E（2）由于∑∑∞=-∞=--=-11212211)1(66)1(k k k k kk k ππ不是绝对收敛，则)(X E 不存在。
6、（1）691)()(03=⋅==⎰⎰∞+-∞+∞-dx xe x dx x xf X E x（2）⎰⎰⎰+∞+∞+∞∞-==-==525210150)251()()(dx x x xd x xdF X E 7、41)1(42)()(105=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x x dx x xf X E8、2ln 23)11(2)()(212-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E 9、0)1(23)1(23)()(102012=-⋅++⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x x dx x x x dx x xf X E10、由4,3,2,1,0,)1(}{44=-==-k p p C k X P k kk)21)(1(4)2(sinp p p XE --=π11、R 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(ax a x f30332416)(6)(a dx a x dx x f x V E aπππ=⋅=⋅=⎰⎰∞+∞-12、564103410329440920*********)()())((-∞+--∞+∞--=⋅+⋅==⎰⎰⎰e dx xe dx xe x dx x f x g X g E x x13、Y 1的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=1,110,)1(10,0)(11111min y y y y y F nY 1的概率密度为⎩⎨⎧<<-=-其它,010,)1()(1111min y y n y f n 11)1()()(1111111min 11+=-⋅==⎰⎰-+∞∞-n dy y n y dy y f y Y E n Y n 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(max n n nn n n y y y y y FY n 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,010,)(1max n n n n y ny y f1)()(11max +=⋅==⎰⎰-+∞∞-n ndy ny y dy y f y Y E n n nn n n n n 14、XXp kY4)(,2)(==Y E X E143}2,2{4})1,2{}2,1{(2}1,1{1)(===⋅+==+==⋅+==⋅=Y X P Y X P Y X P Y X P XY E 41}2,0{)2(})2,1{}1,0{()1(}0,2{2})1,2{}0,1{(1)(-===⋅-+==+==⋅-+==⋅+==+==⋅=-Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X E 3}2,2{10}1,2{8}0,2{6}2,1{7}1,1{5}0,1{3}2,0{4}1,0{2)23(===⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅+==⋅=+Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X E 15、143}2,2{2})1,2{}2,1{}1,1{(1)),(min(===⋅+==+==+==⋅=Y X P Y X P Y X P Y X P Y X E 149}2,2{52}1,2{31}1,1{21}2,0{2})2,1{}1,0{(1))1/((===⋅+==+==⋅+==⋅+==+==⋅=-Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P X Y E 16、⎰⎰-=⋅=10105224)(xxydy x dx X E ⎰⎰-=⋅=10105224)(x xydy y dx Y E⎰⎰-=⋅=101015224)(xxydy xy dx XY E 17、400}14{)2000(}13{)1000(}11{1000}10{2000)(==⋅-+=⋅-+=⋅+=⋅=X P X P X P X P Y E622222106.1}14{)2000(}13{)1000(}11{1000}10{2000)(⨯==⋅-+=⋅-+=⋅+=⋅=X P X P X P X P Y E6221044.1))(()()(⨯=-=Y E Y E Y D18、σπσσ2)(0222=⋅=⎰∞+-dx exx X E x2022222)(22σσσ=⋅=⎰∞+-dx exx X E xσπσπ22)(,)22())(()()(222-=-=-=X D X E X E X D().14)()(-==πX E X D CV X19、∑∞=-=-=111)1()(k k pp p k X E∑∞=--=-=121222)1()(k k ppp p k X E2221))(()()(ppX E X E X D -=-= 20、（1）θθθ1)(1-=⋅=⎰∞++k kdx xk x X E k k（2）由于+∞=⋅⎰+∞θθdx xx 2，则当)(,1X E k 时=不存在。
概率论第二版范大茵--课后习题答案习题答案
习题一1--4 5--10 11--19 20--10h写出下列试验的样本空间：(1)随机抽查10户居民勺记录已安装空调机的户娄(2)记录某一车站某一时间区间内的候车人数;⑶同时掷10个钱币，记录正面朝上的钱币的个娄(4)从某工厂生产的产品中依次抽取3件进行检査. 次品的情况；在单位球内随机地取一点争记录其直角坐标:(6)某人进行射击，射击进行到命中目标为止，记情况；(7)对某工厂的产品进行检查，每次抽查1个产百的次品数达到2个就停止检查或总的检査数达到4个查，记录检查情况.2.设厶5 C为三个事件，用A9民C的运算表示一(IM,民c都发生;(2X5发生,C不发生；解发生,C不发生表示为人胚二仙-C.解"C都不发生表示为［肥(4>4, B中至少有一个发生而C不发生;(5>4, 5 C中至少有一个发生；(6>4, 5 C中至多有一个发生；(7>4, 5 C中至多有两个发生；(8M, 5 C中恰有两个发生.3・将一颗骰子投掷两次，依次记录所得点数.记,之和为5冷E为“两数之差的绝对值为3笃C为^两数之于俨.试用样本点的集合表示事件4 B, C.A^B.AC,.解样本空间为d{(l,l), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1), (2, 2),(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (6, 1),(6, 2),(6, 3), (6,4), (6, 5), (6,6)}.4二{(1,4), (2, 3), (3,2), (4,1)};5=((1, 4), (2, 5), (3, 6), (4,1), (5, 2), (6, 3)};C二{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)};^={(1, 4), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)};AC={(29 3), (3, 2)};BC={(1.4), (4, 1)}.4・(1)设厶乙67为三个事件，已知：PQ4>0.3, P@)=0・8, P(C>0・6,P⑷)=0.2, P(AC)=09 P(BC)=Q.6.试求①企4 zB); (ii)P(AB); (in)P(A<jB<jC).解(1)巩45)二F3)+P(B)—二0.3+0.8—0.2二0.9; (ii)P(A劝二二0.3-0.2二0.1;(111)卩(乩夙丿0二尸⑷+P(B)+HG-P(A^-P(ACyP{BC)+P(ABC)—0.3+0.8+0.6-0.2-0-0.6+0=0.9.注：因为ABCuAC,所以(KPC4BC)<P3C)二0,即P(ABC^0.(2)设卩⑷试问Pg5)的所有可能取值、最小值各是多少？习题一1--4 5--10 11--19 20--10®将一郭段子投掷两次欄依次记录所得点轨试】(1)两骰子点数相同的概率;解用占表示“两数之差的绝对值为以则〃二{(1 歩2), (2,1), (2, 3), (35 2), (3, 4)5(4, 3), (4, 5), (5,4), (5,6), (6? 5)}・因为样本空间的样本点数为36, B的样本点数为insG)两数之乘积小于等于12的概率.P(C)= 23(1)恰好取到1只红球.2只解用C表示"两数之乘积小于等于12丁则G{(1, 1),(1, 2)，(1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2.1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3,4),(4, 1), (4, 2), (4, 3),(5, 1), (5, 2),(6.1), (6, 2)}.因为样本空间的样本点数为36, C的样本点数为23,所以6. 一袋中装有红球5只、黄球6只、蓝球7只,任取6只球，试求:(2)P(B (18用,4解 用鸟表示“恰好取到Z 只红球和Z 只黄球；用B 表示^取 到红球只数与黄球只数相等订则 』二6-27丿 P(B)二 P (冏 uS 1 i)—P{B^)+P(B \ }+P(B2)+P(Bi)7・设一袋中有编号为1, 2厶・・・，9的球共9只， 任取3只球，试求：⑴取到1号球的概率；(2)最小号码为5的概率;中解用B表示最小号码为5二因为〃发生表示号码为5,其它两个球的号码为6 7, & 9.因此⑶所取号码从小到大排序中间一只恰为5的概率解用C表示“所取号码从小到大排序中间一只恰为5二因为c发生表示其中一球的号码为5,其它两个球的号码分别为1,2,3,4 和6,7,&9・因此(4)2号球或3号球中至少有一只没有取到的概率. 解用刀表示乜号球没有取到爲E表示T号球没有取到笃则2号球或3号球中至少有一只没有取到可表示为ME,于是P3E)二 P(D)十P(E)- P(DE)&从数字0, 1, 2,・・・,9十个数字中不放回地依次数字，组成一个三位数(或二位数)'试问:(1)此数个位是5的概率是多少?(2)此数能被5整除的概率是多少?解用貝表示^所得数的个位是5笃用B表示斯得数的个位是0”，则表示所得数的个位或为0或为5,于是所得数能被5整除的概率为巴5)二巴)+P(B)二#令斗⑶依次所取三数怡为从小到大排列的概率是多少解用C表示“所得三数恰为从小到大排列"，则率:(1)解用/表示山至解9.从一副扑克牌(52张冲任取13张牌.试求下列P(B)(Hl(3广方块”或^红桃"中至少缺一种花色的概率;26 P(ABC)解A 表示“缺红桃"显表示“缺方块冷故“方块诫“红桃" 中至少缺一种花色可表示为“故所求概率为P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)⑷缺「方块"且缺梅花冷旦不缺红桃^的概率解 用C 表示“缺梅花”，而怎表示“缺红桃”,B 表示“缺方 块”，故缺“方块”且缺梅花”但不缺“红桃"可表示为ABC=BC-ABC\故所求概率为J3丿10.已知 P(A)=0.39 P(£)=0A 9 P(AB)=0.2,试求⑵ 2W);(4)尸(尿J片_］H现45)］二］F(.4〃)二］0.2 二3 ■■一巴5) 0.3+0」-02一§习题一1--4 5--10 11--19 20--101L已知巩4)=0亿F@)=06尸3方)=05 求(1)凡4心)；(2)恥陀5);(3)P(A\AuB\12.设甲地下雨的概率是0.5,乙地下雨的概率是乙两地同时下雨的概率是0.10,试求：(1)已知甲地下雨的条件下，乙地下雨的概率；解用且表示“甲地下雨訂B表示“乙地下雨笃C表示^丙地下雨：则P ⑷二0.5, P(B)二0.3, P(45)=0.10, 所求概率为P(B ⑷二警^=皿=0.2.v 1 ' P(A) 0.5解P(A\A<J B)P(AuB) (2)已知甲、乙两地中至少有一地下雨的条件下, 的概率.尸3)二0・5,尸3)二 0.3, p(40)二O ・io,所求概率为 5 713. 设有甲、乙、丙三个小朋友，甲得病的概率韦 甲得病的条乙得病的概率是o.4o,在甲、乙两人 条件下丙得病的条件概率是0.80,试求甲、乙、丙三 的概率.解 用表示“甲得病：B 表示Z 得病:凡4)二 0.05, P (旳4)二 0.4, P(CRB)二 0・ &HQ解 用卫表示”点数之和为B 表示“点数相等',则 4)｝，14. 丢两骰子，观察所得数对，试计算下列条件的(1)已知两颗骰子点数之和为8的条件下，两颗段 等的概率;心2, 6), (6, 21 (3, 5), (5, 3), (4, 4)｝,曲二｛(4,所求概率为(2)已知两颗锻子点数之差的绝对值为1的条件I 子点数之和大于等于5的概率.C={(152)9 (2, 1), (2, 3)? (3, 2), (3,4),(4, 3), (4, 5), (5, 4), (5,6), (6, 5)},CD={(2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3),(4, 5), (5, 4)9 (5, 6), (6, 5)}, 所求概率为=解用C表示“差的绝对值为1?5?D - 和大于等3615.设某人按如下原则决定某日的活动：如该天0.2的概率外岀购物，以0.8的概率去探访朋友；如该: 则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友. 雨的概率是0・3・(1)试求那天他外出购物的概率；⑵若已知他那天外岀购物.试求那天下雨的概率.16.设在某一男、女人数相等的从群中，已知5% 0.25%的女人患有色盲.今从该人群中随机地选择一人（1）该人患有色盲的概率是多少？解用」表示"选到男：用鸟表示"所选的人是色盲二则PC4>P(X>|,巴⑷二需池丽牆.所求概率为P(B)二 P⑷ F®A)+P(a(B ⑷1 5 . 1 025 n2100 2 100(2)若已知该人患有色盲，那么他是男性的概率是17.设某地区间应届初中毕业生有70%报考普通］报考中专，10%报考职业高中，录取率分别为90%, 7.试求：(1)随机调查一名学生，他如愿以偿的概率;解用丄表示報考普髙，异表示漲考中专冷c 5职髙笃Q表示"被录取笃则P ⑷二0.7, P(B)二0.2, P(C)二0.1,卩(刀円)二0.9, F(Q0)二0.75, P(D\C)=O 85.所求概率为F(刀)二F3)P(刀H)+P(B)P(Z)|B)+P(C)P(QC)二0.7x0・9+0・2x0・75+0,1x0,85=0.865.(2)若某位学生按志愿被录取了，那么他报考普通率.1&设有甲、乙两个旅行团*旅行团甲有中国旅萌外国旅游者m人；旅行团乙有中国旅游者a人，外匡人.今从旅行团甲中随机地挑选两人编入旅行团乙，旅行团乙中随机地选择一人，试问他是中国人的概率丿n m1 +、2a+20+用鸟表示柱甲团中所选的两个人中有2芥中国人"a二o」2)9A表示^在乙团中所选的人是中国人3则P ⑷二聘Bo)+P3b)+P ⑷ 2)二玖BjPQi |耳)+卩(5)凡4血)+只艮)卩3血) 迪19.有两箱同种类的零件「第一箱装50个，其中品；第二箱装30个，其中18个一等品.今从两箱中, 然后从该箱中取零件两次，每次任取1个厂作不放回丸(1)第一次取到的零件是一等品的概率;解用乙表示“选中第一箱笃场表示'选中第二箱笃A表示“第一次取到的零件是一等品”'，则卩3)二卩3团)+卩3场) 二理1血)+卩厲)凡4艮)-1.10+1.18_2_0 4_______________ 2J5(L2 30L^_+I m+n I(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次是一等品的概率・0」解用C 表示“第二次取到的零件是一等品二则D//-q P （AC ） P （ACB ）+P （ACB^））巩出攻）F （C|HBJ+戶厲辺）P(A)1 10 9 丄1 18 17• ■ ---.2 50 49 2 30 29^4856^ 习题一 1--4 5--10 11--19 20--1030.设4 B 是相互独立的事件” P ⑷=05尸3）=0」 ⑴H(2)电 3):⑶疋一 £);（4侃4禺〃）・21.试证明：若凡4)二1,则/与任何事件独立.证因为P0)=1,所以4是必然事件•设〃是任意事件，则AB=B,卩他冲⑻二卩⑷P(B),因此/与B相互独立.即且与任何事件独立.22.甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击，的命中率依次为0.7, 0.8, 0.9.若敌机被命中两弹或两被击落，设三门炮同时射击一次，试求敌机被击落的相解用A表示用命片；B表示Z命中二C表示Z命中冷刀表示“敌机被击落"，则P ⑷二0.7, P(B)=0. & P(C)=0.9.所求概率为P(D)=P(ABC<J ABC U ABC U ABC)二P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.7x0.8x0.1+07x0.2x0.9+0.3x0.8x0.9+0.7x0.8x0.9 二0.902.各继电器闭合也分别用& 5 C, D 、E 表示 23.如图1-11所示，人表示继电器接#一个继电器闭合的概率均为P 且继电器闭合与否相上求Z 到7?是通路的概率.通路可表示为[(A 5) C] 三4 C AJ B C U DE,所求概率为P{ [(4u5)C]u(Z)£)}=P(ACu5CuZ)£) =P(AC)+P(BC)+P(DE)-PQBC)-P(4CDE)-P(BCDE)+P®BCDE) =p+p+p-p-p-p+p24.设甲、乙、丙三人在某地钓鱼.每人能钓到鱼别为0.4, 0.6, 0.9,且三人之间能否钓到鱼相互独立，方 Z 到人是(1)三人中恰有一人钓到鱼的枇率；解用A表示“甲钓到鱼笃B表示“乙钓到鱼笃C表示^丙钓到鱼；则P ⑷二0.4, P(B)二0.6, P©二09三人中恰有一人钓到鱼用刀表示，则所求概率为P(D)二 P(应 C)+P(ABC)+P(A BC)=0.4x0.4x0.1+0.6x0.6x0.1+0.6x0.4x0.9=0.268.(2)三人中至少有一人钓到鱼的概率.解三人中至少有一人钓到鱼用£表示，则所求概率为P(£)=1-P(£)=1-P05Q=1-0.6x0.4x0.1=0.976.。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.2-3.3(部分)参考答案
习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X 当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y 并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y 故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p b aY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211，因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z z x z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−， 当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2当z ≤ 0或z ≥ 2时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，z dy z p zZ ==∫01)(，当1 ≤ z < 2时，z dy z p z Z −==∫−21)(11，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0,21,2,10,)(其他z z z z z p Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当0 < z < 1时，z zy z y Z dy z p −−−−=−==∫e 1)e (e )(0，当z ≥ 1时，zz z z z yzz yZ dy z p −+−−−−−−−=+−=−==∫e )1(e ee )e (e)(111，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)(z z z z p z z Z10．设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X /Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)； （2）X ~ Exp (λ1)，Y ~ Exp (λ2)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx=，即直线簇z x y =，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0， 当z > 0时，)e 1(e)(e)e (e)(111011zz x zx zx yz x yZ z z dx dx dy dx z F −−−∞+−∞+−−=−==−⋅==∫∫∫∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X /Y 为连续随机变量， 故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=′=−−.0,0;0,e 1e 1)()(11z z z z F z p z z Z Z（2）作曲线簇z yx =，即直线簇z xy =，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫∫∞+−−∞+∞+−−∞+∞+−−⋅=−⋅⋅=⋅=0101021212121ee)e(eee)(dx dx dy dx z F zx xzx yxzx yxZ λλλλλλλλλλ2110)(2110)(12121eeλλλλλλλλλλλ+=+−==+∞+−∞++−∫z z zdx xzxz，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X /Y 为连续随机变量，zz故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=′=.0,0;0,)()()(22121z z z z F z p Z Z λλλλ方法二：增补变量法（1）函数z = x / y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧==,,/y v y x z 有反函数⎩⎨⎧==,,v y zv x 且v z v y y x x J vz vz==′′′′=10， 则∫+∞∞−⋅=dv v v zv p z p Z ||),()(，作曲线簇x / y = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z z v z vZ z z v vdv z p 1111010e 1e 11e 11e )1(e )(−−−−−−−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+−=⋅=∫，故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−.0,0;0,e 1e 1)(11z z z z p z z Z（2）作曲线簇x / y = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，+∞+−∞+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−=⋅⋅=∫)(22121210212121e )(1e e )(v z v zv Z z z v vdv z p λλλλλλλλλλλλ 22121)(λλλλ+=z ， 故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)()(22121z z z z p Z λλλλ 11．设X 1 , X 2 , X 3为相互独立的随机变量，且都服从(0, 1)上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之和的概率．解：设A i 分别表示X i 大于其他两者之和，i = 1, 2, 3，显然A 1 , A 2 , A 3两两互不相容，且P (A 1) = P (A 2) = P (A 3)， 则P (A 1∪A 2∪A 3) = P (A 1) + P (A 2) + P (A 3) = 3P (A 3) = 3P {X 3 > X 1 + X 2} 因X 1 , X 2 , X 3相互独立且都服从(0, 1)上的均匀分布，则由几何概型知61121131}{213=××=+>X X X P ， 故21}{3)(213321=+>=X X X P A A A P U U ． 12．设随机变量X 1与X 2相互独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p1试求Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}的分布． 解：分布函数法，二维随机变量(X 1, X 2) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0;10,10,4),(212121其他x x x x x x p 因Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2} = | X 1 − X 2 |，作曲线簇 | x 1 − x 2 | = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，∫∫∫∫+−−=⋅−=−=−−111221311221112211)2(41221421)(11zzz x zzx Z dx x z zx x x x dx dx x x dx z F323823244232414123244142444212123141z z z z z z z z x z zx x z +−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}为连续随机变量， 故Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+−=′=.,0;10,34438)()(3其他z z z z F z p Z Z13．设某一个设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为λ 的指数分布．当3个元件都正常工作时，设备才正常工作．试求设备正常工作时间T 的概率分布． 解：设T i 表示“第i 个元件正常工作”，有T i 服从指数分布Exp (λ)，分布函数为3,2,1.0,0,0,e 1)(=⎩⎨⎧≤>−=−i t t t F t i λ，则设备正常工作时间T = min {T 1, T 2, T 3}，分布函数为F (t ) = P {T = min {T 1, T 2, T 3} ≤ t } = 1 − P {min {T 1, T 2, T 3} > t } = 1 − P {T 1 > t }P {T 2 > t }P {T 3 > t }= 1 − [1 − F 1 (t )][1 − F 2 (t )][1 − F 3 (t )]当t ≤ 0时，F (t ) = 0，当t > 0时，F (t ) = 1 − (e − λ t )3 = 1 − e − 3λ t ，故设备正常工作时间T 服从参数为3λ 的指数分布Exp (3λ)，密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 3)()(3t t t F t p t λλ14．设二维随机变量(X , Y ) 在矩形G = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上服从均匀分布，试求边长分别为X 和Y的矩形面积Z 的密度函数．解：二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,20,21),(其他y x y x p 方法一：分布函数法矩形面积Z = XY ，作曲线族xy = z ，得z 的分段点为0, 2， 当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，1当0 < z < 2时，∫∫∫∫∫∫+=+=20020102212121)(z z z z Z dx x z dx dy dx dy dx z F x z)ln 2(ln 22ln 222z z z x z z z −+=+=， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = XY 为连续随机变量， 故矩形面积Z = XY 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,20),ln 2(ln 21)()(其它z z z F z p Z Z 方法二：增补变量法矩形面积Z = XY ，函数z = xy 对任意固定的y ≠ 0关于x 严格单调增加，增补变量v = y ， 可得⎩⎨⎧==,,y v xy z 有反函数⎪⎩⎪⎨⎧==,,v y v z x 且v vzv y y x x J vz vz1112=−=′′′′=， 则∫+∞∞−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dv vv v z p z p Z 1,)(， 作曲线族xy = z ，得z 的分段点为0, 2， 当z ≤ 0或z ≥ 2时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 2时，)ln 2(ln 212ln 210ln 2121)(1212z z v dy v z p z zZ −=−===∫， 故矩形面积Z = XY 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,20),ln 2(ln 21)(其它z z z p Zz。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
第三章 多维随机变量及其分布习题3.11． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为0281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为03125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210X Y2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P {X = Y }．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．3． 口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列； （2）(X 1, X 2)的联合分布列． 解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，395124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．39/539/10139/1039/1401012X X4． 设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．25.05.025.0101P X i −解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<−−=.,0,42,20),6(),(其他y x y x k y x p试求（1）常数k ；（2）P {X < 1, Y < 3}； （3）P {X < 1.5}； （4）P {X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得6)6(2242⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫xy y k dx dy y x k dx故81=k ； （2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<<1032210322681)6(81}3,1{y xy y dx dy y x dx Y X P 832278127811210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<5.104225.10422681)6(81}5.1{y xy y dx dy y x dx X P 3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫x x dx x ； （4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<+204222422681)6(81}4{xxy xy y dx dy y x dx Y X P326268124681203222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫x x x dx x x ． 6． 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()43(其他y x k y x p y x 试求（1）常数k ；（2）(X , Y ) 的联合分布函数F (x , y )； （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得e 0)43(⎢⎣⎡⋅=∞+∞+∞++−∫∫∫k dx dy k dx y x 故k = 12；（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当x > 0且y > 0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xy u x y v u x y v u du du dv du y x F 0430)43(0)43()e 1(e 3]e 3[e 12),()e 1)(e 1()e 1(e 43043y x xy u −−−−−−=−−=故(X , Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),e 1)(e 1(),(43其他y x y x F y x （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P {X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 − e −3) (1 − e −8)．7． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p 试求（1）P {0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P {X = Y }； （3）P {X < Y }；（4）(X , Y ) 的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==<<<<5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xy dx xydy dx Y X P641516158155.0025.00===∫x xdx ； （2）P {X = Y } = 0；（3）∫∫∫∫−=⋅==<1311211)22(24}{dx x x xy dx xydy dx Y X P xx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x x ；（4）当x < 0或y < 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，220220202224},{),(y x y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F x x x y x y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，2020010210224},{),(x u udu uv du uvdv du y Y x X P y x F x xx x ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，210221210210224},{),(y y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F y y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x , y ) = P (Ω) = 1， 故(X , Y ) 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或 8． 设二维随机变量(X , Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P {X 22 解：设D 表示该正方形区域，面积S D = 4，G 表示单位圆区域，面积S G = π，故4π}1{22==≤+D G S S Y X P ．9． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,),(2其他x y x k y x p （1）试求常数k ；（2）求P {X > 0.5}和P {Y < 0.5}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得1632)(10321021122==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫k x x k dx x x k y k dx kdy dx xx xx， 故k = 6；（2）∫∫∫∫−=⋅==>15.0215.015.0)66(66}5.0{22dx x x ydx dy dx X P x xxx5.0)23(15.032=−=x x ；∫∫∫∫−=⋅==<5.005.005.00)66(66}5.0{dy y y xdy dx dy Y P y yyy432)34(5.00223−=−=y y ． 10．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<−=.,0,10),1(6),(其他y x y y x p （1）求P {X > 0.5, Y > 0.5}；（2）求P {X < 0.5}和P {Y < 0.5}； （3）求P {X + Y < 1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=>>∫∫∫∫x dx x y dx dy y dx Y X P xx； （2）∫∫∫−−⋅=−=<5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{x x y dx dy y dx X P 87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫x dx x ； ∫∫∫−−⋅=−=<5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxy dx dy y dx Y P21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫−−−−⋅=−=<+5.00125.001])1(3[)1(6}1{x xxxy dx dy y dx Y X P43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫x x dx x x ．11．设随机变量Y 服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量X k 如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧>≤=k k Y k Y X k ．求X 1和X 2的联合分布列．解：因Y 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y且X 1和X 2的全部可能取值为0, 1，则1101021e 1e e }1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，P {X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (∅) = 0，21212121e e e e }21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤<=≤>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，22221e e e }2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−==>=>>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，故X 1和X 2的联合分布列为221112e e e 1e 1010−−−−−−X X12．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0,20,10,3),(2其他y x xy x y x p 求P {X + Y ≥ 1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥+1021221021263}1{x x xy y x dx dy xy x dx Y X P 72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫x x x dx x x x ． 13．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=−.,0,0,e ),(其他y x y x p y 试求P {X + Y ≤ 1}． 解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)e e ()e (e }1{dx dx dy dx Y X P x x x xy x xy5.015.001e 2e 1)e e (−−−−−+=−−=x x ．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,10,2/1),(其他y x y x p求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=<∫∫∫dx dy dx Y X P Y X P ．15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率． 解：设X 、Y 分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,1),(其他y x y x p故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dx x x dy dx Y X XY P x x3ln 16341ln 1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=x x x ．习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p baY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n nn n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211， 因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z zx z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−，当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0x
0
x0
y 1
0
1x
y
1
0.25
0
0.5 1 x
y
1
1
= ⎜⎛ x 2 − 1 x 4 ⎟⎞ = 1 ； ⎝ 2 ⎠0 2
（4）当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = P (∅) = 0， 当 0 ≤ x < 1 且 0 ≤ y < 1 时，
0
1x
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
⋅8 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1,
0)}
=
5 13
⋅4 12
⋅8 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1, 1)}
=
5 13
⋅4 12
⋅3 11
=
5 143
；
（2）
P{( X1,
X2)
=
(0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
=
14 39
，
P{( X1,
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ，
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1
0.0024 0.024 0.09 0.15 0.09375
0
2
0.0072 0.054 0.135 0.1125
概率论第三章答案.docx
习题3T1.而且戶{尤/=0} = 1・求&和及的联合分布律.解由P{X}X2 =0} = 1知P{X x X2 H 0} = 0.因此K和基的联合分布必形11Pi—— 122⑵注意到P{/ = 0, %. =()} =(),而戶{尤=()}・P{A\ = ()} = - ^ 0,所以X 和星 4不独立.2.-盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球 的只数，以丫表示取到红球的只数.求/和丫的联合分布律.解 从7只球中取4球只有=35种取法.在4只球中，黑球有Z 只，红 球有丿只（余下为白球4 一,一 j 只）的取法为C ；C 扌 CjT, i = 0,1,2,3,丿=0,1,2,, + 丿 W 4.于是有C°c 2c 2 1P{X = 0y Y = 2}= 3 2 2 = — t P{X = l,Y = l}： 35 35p{x = i,y = 2} = CCG == 2,y =o}： 35 35F{X = 2,Y = 1}= WG =!£ p{x = 2,y = 2}： 35 35P{X = 3,Y = 0} =宝O, P{X = 3,Y = l]c\c\c\6-35 ■35' 广2 x^r() _ 3 「 35-35'gc ； 3 35 ~35' 厂 3「l 「0 c 3c 2c 2 2/（兀』）=^(6 -X- y),0<x<2,2< y <4,0,其它.求:⑴ 常数A ；(2) P{%<l,y<3}；(3) P{%<1.5)；(4) P{X + Y^4}.35 35 35 35 P{x = o,y = O } = P {X = O ,Y = I } = P {X = I ,Y = 0} = p{x = 3,y = 2} = o.xp(/f — x— 9)1 00 w p v T UH MX )V U Hm VX5:(D)」IOO IP r.—A 、—9) L r E JIC I m JI 一 r Ixp(\ Ix 19)1000=y v K=p「v i p x p (\H )/・=丄d v x sr Q )Z 20 i l A、—9)「T x p(亠— x— 9)亠T v 一・ I n(亠 — 寸)I 寸)1 Ie 〒 i i r r LZ二8 •s'尸(4—寸)T+(亠—寸)el 」Z二8ip 〔 M —寸)7 — (4 — 寸)(4— 9)1」r-—x (\ — 9)」l 00p(o w c r x )s7H (寸 w x + x s:M E l oo —en 剧 M G — 寸v/亠 V07V X V W O S-•£>黑*«匣(寸o x (z o ) w 凶论畏g O N E H )、m 逐凶心H-镒泗去皂床•寸H\ + X ®M 址(寸)4.二维随机变量（X, Y ）的概率密度为/（X 』）=试确定并求P ［（X,Y ）E G},G:x2WyWx,0WxWl.解 由 1 = J j f (x, y)dxdy = drj , kxydy = — j 0 -^(1 - x 4)dx = — t o s 2 o 6解得k = 6. F{ (X, Y) w G} = J ； dr J ： 6xydy = 3j\(x 25・设二维随机变量（X 丫）概率密度为求关于X 和丫边缘概率密度.解（儿Y ）的概率密度/（x j ）在区域G:OWxWl,OWyWx 外取零值•因而,图3-8第4题积分区域kxy,十0,其它.因而f(x 9y) =4.8 尹(2-x), 0, oWxWi, 0£尹£兀,其它.0<x< 1,其它.2.4(2-兀)x[ 0,0<x< 1,其它.=L •心'J'4.8j<2-x)dr,0,0<y<l,其它.2.4X3-4y + y), 0,Ovyvl,其它.4®(2 — x)4几试求：（i）x和丫的联合概率分布；（2）P{X + Y ^1}.解（1）见本章第三节三（4）.（2）P{X + y Wl} = \-P{X + Y>\} = \-P{X = \,Y = \} =1-- = -.4 4解⑴由于P{X = 2} = 0.3 + 0 +0.1+ 0.2 = 0.6 以在条件x=2下Y的条件分布律为P{Y = 1\X = 2]P{^ = 2,y = l} 0.3 _£2或写成P[Y = 4\X = 2} =P{X = 2}'"0.6_P{X = 2,Y = 2} 0P{X = 2}_0.6P{X = 2,y = 3) 0.1P{X = 2}~0.6P{X = 2,r = 4} 0.20,丄61P{X = 2}0.6 3Y = k 1 2 3 4P{Y = k\X = 2}121613 若UW —1,右(7 > —1,若UW1,若u>\・习题3-21.设（X 丫）的分布律为下丫的条件分布律；（2） P{X22|yW2}.在条件於2P{Y = 2\X = 2}P{Y = 3\X = 2]到p (r ^2} = P{r = i}+P{y = 2} = o.i+o.3+o+o+o.2 = o.6.P[X^2,Y^2} = P[X = 2,Y = }} + P[X = 2J Y = 2}+ P{X = 3,Y = l} + P{X = 3y Y = 2} =0.3+ 0 + 0 +0.2 = 0.5 ・2.设平面区域D 由曲线_y =丄及直线y = 0,x = l,x = e 2所围成，二维随机变量3, X)X在区域Q 上服从均匀分布，求(X X)关于X 的边缘概率密度在x=2处的值・解 由题设知D 的面积为丄dx = lnx|" =2.—,(x, y)e D y 因此(XX)的密度为 /(x, y) = <2 0,其它.+8f(x.y)dy ・显然,当XW1或兀头2时，厶，(兀)= 0；当1 vjcvM 时，厶d) = F A (2)= ~-3.设二维随机变戢(X, K)的概率密度为1, 0 < x < 1,0 < j/ < 2x,0,其它.求：⑴区”的边缘概率密度f x MJr (y^(2)F{YW2 2解(1)当0vxvin 寸,f x (x) = f (x,y)dy = £ dy = 2x ； 当 xWO 时或x$l 时，/Y (X )= 0.2x, 0 v x v 1, 0, 其它.f(x 9y)dx= (ydx = l-^- 22f因此P{X^2\Y^2} =W2}P{Y W2}05 _5 0£~61 1—dy =—・故 ° 2「 2x fx M =当Ov 严2时，厶(刃=当y WO 吋或y $2时，/；(y) = O.y 亠I — —, 0 < v < 2,故fy (y) = 20, 其它.(2)当 zWO 时，巧(z) = o ； 当 z$2 时，巧(Z )= l;当()VV2 时，F 7(Z ) = P{2X-Y^Z }= JJ /(x, y)d.xdyz胡 dxfl.dy + 關仁 1.®2Z" =Z ----- ・4,1 — 9 0 < z < 2,厶⑵=FXz) =2 0, 其它.4.设G 是由直线尸X,尸3, x=\所围成的三角形区域，二维随机变fi(X,y )在Gt 服从二维均匀分布.求：(1)(X7)的联合概率密度；(2) P{Y-X^\}； (3)关于X 的边缘概率密度.解 ⑴由于三角形区域G 的面积等于2,所以(X,Y)的概率密度为⑵记区域D = {(x,y)\y-x^\］与G 的交集为G ()，则其中S G °为Go 的面积.±4Z !I JJg}扌丄0,(x.y)电 G.⑶X 的边缘概率密度f x (X )=r +8J —oof(x, y)dy •所以,当X .1,3］时，几(x) =「：⑪J (3 - X).J x 2 2当x v 1 或x > 3 时，/丫(x) = 0. 因此./\ W = < 2(1_%)，XE卩⑶’0, 其它.习题3-3设与柑互独立，且分布律分别为下表:求二维随机变最(儿的分布律.解由于X与丫相互独立，所以冇P{X = Xi,Y = y.} = P{X = x i}-P{Y = yj},i == 0,2,5,6.J因此可得二维随机变量Y)的联合分布律Pir A- 〃•丿(匸 12 丿二123)・2—G + # =匕故可得方程组31 1 z 1 _ = _•(□ + _)・19 3921解得 ex = —, 0 =—.9 92 1经检验，当CX = —, P =—吋，对于所有的匸1,2; 7=1,2,3均有Pij= Pi ，p.j bX.i2 1 a = _,p =—时.x 与y 相互独立••993.设随机变量Y 的概率密度为 \be (x+y \(1)试确定常数b ・9 118匚因此当0 < x < 1, j/ > 0,其它.问Q,0为何值时X 与Y 相互独立?/=](2) 求边缘概率密度f x (x)y f Y (y). (3) 问X 与Y 是否相互独立？解⑴由1 = j J f(x,y)dxdy = j ^e _<v+r>dydx e~'dye -'dr = b(l -e _,),l-e _, e~v,0<x<l, 宁 1-e" 0, e _y , _y>0,0, 其它.⑶ 由于f(x,y) = f x (x)* f Y (y) f 所以x 与Y 相互独立.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0, 1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为r了 /、 丄e 2, y >0,0,求X 和Y 的联合概率密度.设关于a 的二次方程为a 2 +2Xa + Y = 0t 试求。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0.5 1
dx
4xydy =
0.5
dx
⋅
2xy 2
1
0
0.25
0
0.25
（2）P{X = Y } = 0；
∫= 0.5 15 xdx = 15 x2 0.5 = 15 ；
08
16 0 64
∫ ∫ ∫ ∫ （3） P{X < Y} =
1
dx
1
4xydy =
1 dx ⋅ 2xy 2 1 =
1 (2x − 2x3 )dx
0505dydxln16ln163414且取这些值的概率依次为1613112512试求x的边际分布列为12的边际分布列为12max12max12max12dydydxdx设平面区域d由曲线y从均匀分布试求x的边际密度函数
第三章 多维随机变量及其分布
习题 3.1
1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取．
y
（2）(X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)；
（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}．
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
0
x
∫ ∫ ∫ ∫ +∞ dx
+∞ k e −(3x+4 y) dy =
0
0
+∞
+∞ 0
dx
⋅
k ⎢⎣⎡−
（1）试求常数 k；
4
概率论第二版第3章习题答案讲解
习 题3.11． 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数，求(,)X Y 的分布列．解 X 的可能取值为0，1，2；Y 的可能取值为0，1，2，3，因此(,)X Y 的可能取值为{(,):0,1,2;0,1,2,3}i j i j ==，且有217131021(0,2)120C C P X Y C ⋅====， 3731035(0,3)120C P X Y C ====， 11127131014(1,1)120C C C P X Y C ⋅⋅====，122731042(1,2)120C C P X Y C ⋅====， 21213101(2,0)120C C P X Y C ⋅====， 21273107(2,1)120C C P X Y C ⋅====． 由此，(,)X Y 的分布列可以由下表给出4． 设(,)X Y 的密度函数为e 0(,)0y x y f x y -⎧<<=⎨⎩，；，其它.，求(1)P X Y +≤．解 11112210(1)e d d d e d 1e 2e xyy xx y x yP X Y x y x y -----+<<+===+-⎰⎰⎰⎰≤≤．5． 设(,)X Y 的密度函数为, 04,0(,)Axy x y f x y⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤；0, 其它. ，求：(1)常数A ；(2){1,1}P X Y ≤≤．解 （1）由联合密度函数的性质(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有4d d 1x Axy y =⎰，得 332A =．（2）1001,104,0331(1,1)d d d d 323264x y x y P X Y xy x y x x y y ===⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤． 10． 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只． 定义下列随机变量：1, 0, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球；第一次取到黑球. 1, 0, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球；第二次取到黑球. 分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) (,)X Y 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率．解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得(,)X Y 的联合分布列为339(0,0)5525P X Y ===⋅=， 326(0,1)5525P X Y ===⋅=， 236(1,0)5525P X Y ===⋅=， 224(1,1)5525P X Y ===⋅=． 如下表两次摸到同样颜色球的概率为9413(0,0)(1,1)252525P X Y P X Y ==+===+=． （2）无放回抽样：由乘法定理得(,)X Y 的联合分布列为326(0,0)5420P X Y ===⋅=， 326(0,1)5420P X Y ===⋅=， 236(1,0)5420P X Y ===⋅=， 212(1,1)5420P X Y ===⋅=． 如下表两次摸到同样颜色球的概率为(0,0)(1,1)0.30.10.4P X Y P X Y ==+===+=．习 题3.22． 已知(,)X Y 的联合分布函数为()1e e e 0,0(,) 0x y x y x y F x y ---+⎧--+>>=⎨⎩， ；， 其它. ， 求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断X 与Y 的独立性．解 （1）1e ,(0())lim (,)X y x F x F x y x →+∞-=->=1e ,(0())lim (,)Y x y F y F x y y →+∞-=->=即有 1e ,0;()0,0.x X x F x x -⎧->=⎨⎩≤， 1e ,0;()0,0.y Y y F y y -⎧->=⎨⎩≤． （2）(2)(,e ,0,0;0)(,),x y F x y f x x y x y y -+⎧>>⎨=∂∂=∂⎩其它. ()0ed ee d e ()(,,)d ()0x y xx X y y y f x f x x y y +∞-+∞+∞+--∞--===>=⎰⎰⎰ ()ed ee d e ()(,,)d ()0x y yy Y x x x f y f x y y x +∞-+∞+∞+--∞--===>=⎰⎰⎰故 e ,0;()0,0.x X x f x x -⎧>=⎨⎩≤， e ,0;()0,0.y Y y f y y -⎧>=⎨⎩≤． （3）由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立．3． 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以X ，Y 分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X 和Y 的联合分布列；（2）X 和Y 的边缘分布列；（3）判断X 和Y 的独立性．解 定义下列随机变量：1, 2, X ⎧=⎨⎩第一次取到白球;第一次取到黄球. 1, 2, Y ⎧=⎨⎩第二次取到白球;第二次取到黄球.（1）在有放回取球条件下111(1,1)339P X Y ===⋅=， 122(1,2)339P X Y ===⋅=，212(2,1)339P X Y ===⋅=， 224(2,2)339P X Y ===⋅=．（2）边缘分布列（3）由于{,}{}{},1,2;1,2P X i Y j P X i P Y j i j ====⋅===，所以,X Y 相互独立．5． 随机变量(,)X Y 在区域{(,)|,}x y a x b c y d <<<<上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量,X Y 是否独立．解 区域{(,)|,}x y a x b c y d <<<<的面积为()()D S b a d c =--， 所以(,)X Y 的联合密度函数1,,;()()(,)a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪⎩0, 其它. X 和Y 的边缘密度函数11()(,)d d ,()()()d X c f x f x y y y a x b b a d c b a+∞-∞===<<---⎰⎰11()(,)d d ,()()()b Y a f y f x y x x c y d b a d c d c+∞-∞===<<---⎰⎰ 故 ,1;()X a x b f x b a ⎧⎪⎨⎪⎩<<=-0, 其它.， ,1 ;()Yc yd f y d c ⎧⎪⎨⎪⎩<<=-0, 其它.． 由于 (,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 独立．8． 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲、乙命中次数X 与Y 的联合概率分布．解 依题意，~(2,0.2),~(2,0.5)X b Y b ，据公式()(1)k kn k nP X k C p p -==-可算得X 和Y 的概率分布分别为012~0.640.320.04X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，012~0.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由X 和Y 的独立性可得X 和Y 的联合概率分布为习 题3.31. （1）max(,)012340.10.150.250.40.1=M X Y P ；min(,)1230.440.340.140.08=m X Y P；（2）12345670.0440.10.1750.290.2270.110.0460.008+M m P.5. 设随机变量（X ,Y ）的密度函数为301,0(,)0 x x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它.，；，求12().-≤P X Y （修改后的题）解 121()(,)2-≤-≤=⎰⎰x y P X Y f x y dxdy1121102219113381616++-===⎰⎰⎰⎰xx x xdx dy xdx dy6. 设随机变量X 与Y 独立，它们的概率密度分别为201()0 X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.，；， 201()0 Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它.，；， 求1().+≤P X Y （修改后的题）解 因为X 与Y 独立，所以（X ,Y ）的密度函数为401,01(,)()()0 X Y xy x y f x y f x f y ≤≤≤≤⎧==⎨⎩其它.，；， 1(1)(,)+≤+≤=⎰⎰x y P X Y f x y dxdy 11120142(1)6-==-=⎰⎰⎰x dx xydy x x dx习 题3.42． 设X 与Y 的联合密度为()e 0,0(,)0 x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.，；，， 求()P X Y <及()E XY ．解 （1）设D 为{0,0,}X Y X Y >><所围区域，则()2200011()e d d e d e d e d e 22x y x y x xx DP X Y x y x y x +∞+∞+∞-+----+∞<====-=⎰⎰⎰⎰⎰． （2）()0()()d d e d d x y E XY xyf xy x y xy x y +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰e d e d 1x y x x y y +∞+∞--==⎰⎰．4． 设~(1)Y E 且0,(1,2)1,.k Y k X k Y k ⎧==⎨>⎩≤；，求：（1）1X 与2X 的联合概率分布；（2）12()E X X +．解 （1）e 0~()0,0., -⎧=⎨<⎩y y Y f y y 10,11,1⎧=⎨>⎩Y X Y ，20,21,2.⎧=⎨>⎩Y X Y12(,)X X 有四个可能取值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，且由题意，有11120(0,0)(1,2)(1)e d 1e y P X X P Y Y P Y y --======-⎰≤≤≤，12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===>=≤，212121(1,0)(1,2)(12)e d e e y P X X P Y Y P Y y ---===>=<==-⎰≤≤，2122(1,1)(1,2)(2)e d e y P X X P Y Y P Y y +∞--===>>=>==⎰．1X 与2X 的联合概率分布为（2）12X X +的概率分布为 121122012()~1e e e e X X ----⎛⎫+ ⎪--⎝⎭故 11221212()0(1e )1(e e )2e e e E X X ------+=⨯-+⨯-+⨯=+．5． 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D 上服从均匀分布，求随机变量U X Y =+的方差．解 方法1X 和Y 的联合密度函数为 2, (,);(,)0, x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其它.11012()(,)d d 2d d 3x E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，11222011()(,)d d 2d d 2x E X x f x y x y x x y +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，从而 221()()[()]18D X E X E X =-=．同理，21(),()318E Y D Y ==．11015()2d d 12x E XY x x y y -==⎰⎰，1(,)()()()36Cov X Y E XY E X E Y =-=-，1()()()2(,)18D X Y D X D Y Cov X Y +=++=．方法211014()()()d d d 2()d 3x E X Y x y f xy x y x x y y +∞+∞-∞-∞-+=+=+=⎰⎰⎰⎰，112220111[()]()()d d d 2()d 6x E X Y x y f xy x y x x y y +∞+∞-∞-∞-+=+=+=⎰⎰⎰⎰，221()[()][()]18D X Y E X Y E X Y +=+-+=．习 题3.52． 在n 次独立试验中，事件A 在第i 次试验中发生的概率为(01,1,2,)i i p p i <<=，证明：事件A 发生的频率依概率收敛于A 发生概率的平均值．证明 设X 表示在n 次试验中事件A 发生的次数，若引入随机变量1,0,第次试验中发生;第次试验中不发生.i i A X i A ⎧⎪⎨⎪⎩=，12,i n =，，，则1ni i X X ==∑．且i X 服从0—1分布，01~1i ii X p p ⎛⎫⎪-⎝⎭，故 (),()(1)i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=．由于 22()()4140≥i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-，故 1(),1,2,,4i i i D X p q i n ==≤，即i X 12,i n =，，方差有公共的上界. 因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的0ε>，有1111lim ()1n ni i n i i P X E X n n ε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑， 即 11lim 1n i n i X P p n n ε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑．可见，事件A 发生的频率依概率收敛于A 发生概率的平均值．5． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解 设n 为所求的箱数，且设i X 为第i 箱的重量(1,2,,)i n =．由题意，知()5i E X ==．且将12,,,n X X X 视为独立同分布的随机变量．又n 箱的重量1nn i i Y X ==∑，易算得()50n E Y n ==根据林德贝格—莱维中心极限定理，n Y 近似服从正态分布(50,25)N n n ．依题意n 需满足{5000}0.977≤n P Y >，即有{5000}≤n P Y P =0.977(2)ΦΦ≈>=2>，即 1010000n +<．x =，则有210210000x x +-<，解得9.9x <（舍去负的下界）． 因此，298.01n x =<，即最多可以装98箱可保证不超载的概率大于0.977． 6． 已知相互独立的随机变量1ξ,2ξ,…,50ξ都服从泊松分布，记501i i X ξ==∑，求(3)P X ≥．解 因为1ξ,2ξ,…,50ξ独立同分布，且(),()(1,2,,50)i i E D i ξλξλ===．根据林德贝格—莱维中心极限定理，X 近似服从正态分布(50,50)N λλ．(3)1P X P Φ==-≥．7． 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X ．（1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．解 设A ={抽查到被盗索赔户}，则()0.2p P A ==． 依题意，~(,)(100,0.2)X b n p b =，因此分布律为100100{}0.20.8,(0,1,,100)kk k P X k C k -==⋅⋅=．（2）()20,()(1)16E X np D X np p ===-=，根据棣莫佛—拉普拉斯定理，{1430}{140.5300.5}P X P X ≈-+≤≤≤≤13.5202030.52020{}{1.625 2.625}4444X X P P ----==-≤≤≤≤(2.625)[1(1.625)]0.995710.94790.9436ΦΦ=--≈-+=．8． 在n 次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?解 设12,,,n X X X 表示n 次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数，则 12~(,0.75)n X X X b n +++．且在n 次试验中事件成功发生的频率12nX X X X n+++=满足21(1)0.1875()0.75,()(1)p p E X p D X np p n n n-===-==．利用棣莫弗-~(0,1)X N ，所以{0.740.76}{0.01}P X P X p <<=-<P ⎫=<P =<21Φ=-．故要“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90， 即{0.740.76}0.90P X <<≥，只需210.90Φ-≥，0.95Φ≥，查表知(1.645)0.95Φ= 1.645，或5074n ≥． 9． 设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦)．因检修等原因，每台机床平均只有60%的时间在运转．问配电室至少要供给这个车间多少电才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作．解 设X 表示150台机床中同时运转的机床台数，则~(150,0.6)X b ．设配电室需供应k 千瓦电，能以99.9%的概率保证车间正常工作．由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{5}{}0.9995k P X k P X Φ=≈≤≤≥． 解得 540.5k ≥.故至少供应540.5千瓦电力才能以99.9%的概率保证车间正常工作．10． 某公司电话总机有200台分机，每台分机有6 %的时间用于外线通话，假定每台分机用于外线是相互独立的，问该总机至少应装多少条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．解 设X 表示200分机同时使用外线的数目，则~(200,0.06)X b ．设总机至少应装k 条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有()12,()(1)11.28E X np D X np p ===-={}0.95P X k P Φ=≈≤≥． 而(1.645)0.95Φ= 1.645解得 17.03k ≥.故至少应装18条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候．11． 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取1 000件，求不合格的件数在40到60之间的概率．解 设X 表示1 000件零件中不合格品的件数，则~(1000,0.05)X b ．()50,()(1)47.5E X np D X np p ===-=，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{4060}{400.5600.5}P X P X =-+≤≤≤≤2(1.524)1P Φ⎫==- 20.935710.8714=⨯-=．12． 有一大批种子, 其中良种占20%，从中任取5 000粒，问这些种子中良种所占比例与20% 的绝对差小于0.01的概率．解 设X 表示所取5 000粒种子中良种的粒数，则~(5000,0.2)X b ．()1000,()(1)800E X np D X np p ===-=，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有{}{}0.20.011000501000500.55000X P P X P X ⎧⎫⎪⎪-<=-<=-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭2(1.785)1P Φ⎫=<=- 20.96291=⨯-=0.925 8．。
概率论与数理统计(复旦大学第二版)习题及答案
概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=3423.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458.习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 X 012P2235 1235 135（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d x xF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 P k1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为Y 0 1 4 9 P k1/5 7/30 1/5 11/3029.设P {X =k }=(12)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()111()(ln )e ,0d 2πy Y Y x F y f y f y y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2111222y y y P X P X ⎛⎫---⎛⎫=≤=-≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)/2(1)/2()d y X y f x x ---=⎰故 d 1211()()d 4122Y Y XX y y f y F y f f y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--==+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(1)/4121e ,1212πy y y --=>-(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/22e ,02πy y -=>31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e )1XP Y <=<=当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e)2z zP X P X -=≤-=≥/21/2e d 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为221,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论 第三章(课后答案)
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