(完整版)高考圆锥曲线经典真题
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.
由已知可得，点A 的坐标为或(1,.
所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，
则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122
MA MB x x y y
k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得
121212(23()42)(2)
MA MB x x x x k k x x k
k k -+++=
--.
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.
所以，21221222422
,2121
x x x k k k x k -+==++.
则31313222
44128423()4021
k k k k k
k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型
一．选择题（共10小题）
1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离
心率的范围是（）
A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）
A．B．C． D．
3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）
A．B． C．D．
4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．
5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此
双曲线的离心率的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）
6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线
的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的
左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x
8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心
率的取值范围是（）
A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）
5年高考真题《圆锥曲线》
5年高考真题《圆锥曲线》
1.已知双曲线
2
224=1x y b
-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）22=414
-y x （D ）2
224=11x y - 2.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知
|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
3.已知方程1322
2
2=--+n
m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）
（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)
4.设Q P ,分别为()262
2
=-+y x 和椭圆110
22
=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）
A.25
B.246+
C.27+
D. 26
6.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则
21cos AF F ∠=（ ）
A ．
14 B ．13 C D 8.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．
12 B ．23 C ．34 D ．43
9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
圆锥曲线十年高考题(带详细解析)
答案解析
1将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b a
y b y a x -==+22
222,111.因为a ＞b ＞
0，因此，
a
b 1
1>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 4.答案：B 2.答案：D ∵θ∈（0，
4
π），∴sin θ∈（0，
2
2
），∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2
=θθθθ2
22sin 1
tan cot tan =+=a c ，∴e =θ
sin 1，∴e ∈（2，+∞） 3.答案：D 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上∴椭圆焦点（2
253n m -，0），双曲线
焦点（
2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±
|
|2|
|6m n ⋅²x
∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±
4
3x 4答案：C 由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1，又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2，
又∵e ＝
2
1
=a c ，∴选C. 5.答案：D 由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±c
a 2
，∴椭圆中心到准线距离为
6.答案：C 渐近线方程为y =±
b a x ，由b a ²（－b
a ）＝－1，得a 2＝
b 2，∴
c ＝2a ，14.答案：B y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝
21，焦点坐标F （0，－4
1
）． 7.答案：A 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23
高考圆锥曲线经典大题
圆锥曲线经典大题
1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直
线l 的斜率是12时，AC
→＝4AB →.
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．
2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．
〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。
〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． 〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； 〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.
〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；
〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足
0·=FB FA ,分别延长
AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的
最小值.
4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．
〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；
〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，
时，AB = 5.设椭圆22
2:12
x y M a +
=(a >的右焦点为1F ，直线2
:2
2-=
a a x l 与x 轴交于点
A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕
． 〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为
圆锥曲线高考真题
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且 ，求a,b.
3.已知椭圆C：，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.
（I）求C的方程；
（II）P为C上动点， 为C在点P处的切线，求O点到 距离的最小值．
18.已知动直线 与椭圆C: 交于P 、Q 两不同点，且△OPQ的面积 = ,其中O为坐标原点.
（1）证明 和 均为定值;
（2）设线段PQ的中点为M，求 的最大值；
（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得 若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
10.设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（1）若 ，求 的值；
（2）求四边形 面积的最大值．
11.已知椭圆 的中心和抛物线 的顶点都在坐标原点O， 和 有公共焦点 ，点 在x轴正半轴上，且 的长轴长、短轴长及点 到 右准线的距离成等比数列。
（1）当 的准线与 的右准线间的距离为15时，求 及 的方程；
（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；
（II）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值。
（完整版）圆锥曲线高考真题
（完整版）圆锥曲线⾼考真题
（1）求M 的⽅程
（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.
2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.
（1）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离⼼率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .
3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.
4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.
5.已知抛物线C ：y 2
=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．
6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
高考经典圆锥曲线习题(含答案)
高考圆锥曲线试题精选
一、选择题：（每小题5分，计50分）
1、(2008海南、宁夏文)双曲线
22
110x y -=的焦距为（ ）
2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）
A ．
23 B ．3 C ．2
7
D ．4 3．（2006辽宁文）方程2
2520x x -+=的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42
=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.
5.(2007福建理)以双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A .
B.
C .
D.
6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=
e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A ．13422=+y x
B ．16822=+y x
C ．122
2=+y x D ．1422=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）
A ．163
B ．83
C ．316
D ．3
8
8. (2008重庆文)若双曲线22
历年高考圆锥曲线大题精选
1.（2018全国I理19）
设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
2.(2018全国II理）
3.(2018全国III理）
4.（2018全国I文）
5.(2018浙江）
6.（2017全国I理20）
7.
8.
9.(2017全国III理）
10.（2017全国I文20）
11.（2016全国I理20）
12.(2016全国III理20）
13.（2016山东理）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是
，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上;
②直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
14.（2015全国I理）
15.(2015全国II理）
16.
17.
18.
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+
=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其
中O 为原点）. 求k 的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b
y a x ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==
b b a
c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.
0)1(36)31(36)26(,
0312
222
k k k k
即.13
1
22<≠
k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319
,31262
2>+>⋅--=-=
+B A B A B A B A y y x x OB OA k
x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
.1
37
3231262319)1(22222
-+=+-+--+=k k k k k k k
于是解此不等式得即,01393,213732
222>-+->-+k k k k .33
1
2<
1
2<
故k 的取值范围为).1,3
3()33,1(⋃-
- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型
的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双 曲线C 的离心率为（
）
•选择题（共 10小题） 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 （b > 0）有两个不同的交点，则此双曲线
离
心率的范围是（ A . （1,工）
) B . r ：：,
+x) C. (1, +x
D . (1, ：)U( ：!,
2
4
2
M ・丫卩< 0,则yo 的取值范围是（
2.已知M （x o , y o ）是双曲线C:[ 个焦点，若 A . =1上的一点，F 1, F 2是C 的左、右两
V3 .
2 2
、-（a >0, b >0）的左、右焦点，若双曲线右 a 2 /
B.
3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得：-一…卜-|,其中0为坐标原点，且 -
-I-',则该双曲线的离心率为（
）
A . ，B. in C.
D .
2
2 2 4.过双曲线 ———=1 （a >0, b >0）的右焦点F 作直线y=— x 的垂线，垂足 为A ,交双曲线左支于B 点，若日=2匚，则该双曲线的离心率为（ ） A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 （a >0, b >0）的渐近线与圆（x - 2） 2+y 2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（ ） A . （2, +x ） B. （1, 2）
C. （1
,：）
D. ( :■:, +x)
6.已知双曲线C :
b>Q ）的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线
a b
A.丄B•口c. :: D. 2
2
2 2
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线
2000年：
（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直
03422=+++x y x 线的方程是（ ）
（A ） （B ） （C ）
（D ）x y 3=x y 3-=x 3
3
x 3
3-
（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y
段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q q
p 1
1+（A ）
（B ）
（C ） （D ）
a 2a
21a 4a
4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14
92
2=+
y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。（22）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，
CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当时，求双曲线离心率4
3
3
2
≤
≤λ的取值范围。
e 2004年
3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为
（ ）
032=+-y x A ．B ．C ．D ．
12=-+y x 0
52=-+y x 0
52=-+y x 0
72=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆
x 0443=++y x C 的方程为
（ ）
A ．
B ．
0322
2
=--+x y x 042
2
=++x y x C ．D ．
322
2
=-++x y x 042
2
=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线2
1
=
e 的焦点重合，
x y 42-= 则此椭圆方程为
高考圆锥曲线经典大题
圆锥曲线经典大题
1.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的
斜率是12
时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
2.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程。
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．
（1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；
（2）求MA MB ⋅的最小值．
3.设点F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.
（1）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线的方程；
（2）设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积
的最小值.
4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一
点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．
（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，410AB =．求此时抛物线的方程； 5.设椭圆22
2:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若
112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
数学圆锥曲线测试高考题
一、选择题：
1.（2006全国II）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为（）。
A。$\frac{\sqrt{2}}{2}$ B。$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。$\frac{\sqrt{5}}{2}$ D。$\frac{\sqrt{7}}{2}$
2.（2006全国II）已知$\triangle ABC$的顶点B、C在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则$\triangle ABC$的周长是（）。
A。2.B。3.C。4.D。6
3.（2006全国卷I）抛物线$y=-x^2$上的点到直线$4x+3y-
8=0$的距离的最小值是（）。
A。2.B。$\frac{4}{3}$。C。$\sqrt{2}$。D。$\sqrt{3}$
4.（2006广东高考卷）已知双曲线$3x^2-y^2=9$，则双曲
线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比
等于（）。
A。2.B。$\frac{1}{2}$。C。$\sqrt{2}$。D。4
5.（2006辽宁卷）方程$2x^2-5x+2=0$的两个根可分别作
为（）。
A。一椭圆和一双曲线的离心率B。两抛物线的离心率C。一椭圆和一抛物线的离心率 D。两椭圆的离心率
6.（2006辽宁卷）曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{6-
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高考圆锥曲线经典真题
知识整合：
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线
分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则
AF
FB
= ．1
3
2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线
22
(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.
33[33-
D. 33
(,33-
3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22
1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F
平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：
考点一：直线与曲线交点问题
例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.
解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l
的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±
2
时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2
时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即
3－2k=0,k=23
时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.
②当Δ＞0,即k ＜23
,又
k ≠±
2
,故当k ＜－
2
或－2
＜k ＜
2
或
2＜k ＜2
3
时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即
k ＞23
时，方程(*)无解，l
与C 无交点.
综上知：当k=±2,或k=23
，或
k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23
,或－2＜k ＜2,或k ＜－
2
时，l 与C 有两个交点；
当
k ＞23
时，l
与C 没有交点.
(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=
2
121x x y y --=2
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线
AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以
Q 为中点的弦不存在.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题
对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
例2 直线m ：1+=kx y 和双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过P （0,2-）
和AB 线段的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。
解：由)1(11
22-≤⎩⎨⎧=-+=x y x kx y 消去y 得022)1(2
2=++-kx x k ，由题意，有： ⎪⎪
⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>--=<-=+>-+=∆0120120)1(842
212
2122k x x k k x x k k 21<<⇒k 设M （00,y x ），则⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=+=-=+=20
022*******k kx y k k x x x 由P （0,2-）、M （2
211,1k k k --）、Q （b ,0）三点共线，可求得222
2++-=k k b 设
22)(2
++-=k k k f 817
)41(22+--=k ，则)(k f 在)2,1(上为减函数。 所以)1()()2(f k f f <<，且0)(≠k f
所以1)()22(<<--k f 所以)22(+-b 考点三：弦长问题
涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
例3.如图所示，抛物线y2=4x 的顶点为O ，点A
的坐标为(5，0)，倾斜角为4
π
的
直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 解：由题意，可设l 的方程为y=x+m,－5＜m ＜0.
由方程组⎩⎨⎧=+=x y m x y 42
,消去
y,得x2+(2m －4)x+m2=0 ①
∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，
∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m ，x1·x2=m2, ∴|MN|=4)1(2m -.
点A 到直线l 的距离为d=2
5m
+.
∴S △=2(5+m)
m -1,从而
S △2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(35522m
m m ++++-)3=128.
∴S △≤8
2
,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l 的方程为y=x －1，△AMN 的最大面积为82
.
考点4：圆锥曲线关于直线对称问题
例 4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为
(4)λλ>,
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上,求λ的取值范围.