2005(1)试题

注意请用页面视图显示，才可以看到完整试题！ 一、猜想、探究题 第1题.（2005 内江课改）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：123100?++++= 经过研究，这个问题的一般性结论是123++ 12n n +=(1)n +，其中n 是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1223(1)?n n ⨯+⨯+++=观察下面三个特殊的等式()()()112123012312323412331343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯将这三个等式的两边分别相加，可以得到112233434520.3⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯= 读完这段材料，请你思考后回答：（１）1223100101⨯+⨯++⨯= （２）1223(1)n n ⨯+⨯+++=（３）123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯++++=（只需写出结果，不必写中间的过程）第2题.（2005 海淀课改）印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页， ；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．第3题.图1 16 1 图21 图3 图4（2005 大连课改）在数学活动中，小明为了求2341111122222n +++++ 的值（结果用n 表示）．设计如图7－1所示的几何图形．（１）请你利用这个几何图形求2341111122222n +++++ 的值为 ． （２）请你利用图7－2，再设计一个能求2341111122222n +++++ 的值的几何图形．第4题.（2005 安徽混合）小明的爷爷退休生活可丰富啦！下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东400米，老年大学位于爷爷家西600米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米，再向西走400米． （１）请依据图示中给定的单位长度，在图中标出和平广场Ａ、老年大学Ｂ与和平路小学Ｃ的位置．［解］（１）（２）图7－1图7－2 100m北爷爷家第5题.（2005 南京课改）如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合，那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心．此时，点M 是线段PQ 的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO 的顶点A 、B 、O 的坐标分别为（1P 1，P 2，P 3，…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称： 点P 1与点P 2关于点A 对称，点P 2与点P 3关于点B 对称，点P 3与点P 4关于点O 对称，点P 4与点P 5关于点A 对称，点P 5 与点P 6关于点B 对称，点P 6与点P 7关于点O 对称，…，对称中心分别是A ，B ，O ，A ，B ，O ，…，且这些对称中心依次循 环．已知点P 1的坐标是（1，1），试写出点P 2、P 7、P 100的坐标．第6题.(2005 哈尔滨)已知：直线26y x =+与x 轴和y 轴分别交于A C ，两点，抛物线2y x bx c =-++经过点AC ，，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点． （１） 求抛物线的解析式及点B 的坐标；（２） 设点P 是直线AC 上一点，且13ABP BPC S S =△△∶∶，求点P 的坐标； （３） 直线12y x a =+与（１）中所求的抛物线交于M N ，两点，问：是否存在a 的值，使得90MON ∠=，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．第7题.（2005 长沙大纲）已知抛物线21y ax bx =+-经过点A （1-，0），B （m ，0）（0m >），且与y 轴交于点C ． ⑴求a ，b 的值（用含m 的式子表示）；⑵如图所示，⊙M 过A ，B ，C 三点，求阴影部分扇形的面积S （用含m 的式子表示）； ⑶在x 轴上方，若抛物线上存在点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC △相似，求m 的值．第8题.（2005 青海）如图，面积为18的等腰直角三角形OAB 的一条直角边OA 在x 轴上，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点，A 点和斜边OB 的中点M ．（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴．（2）在坐标轴上是否存在一点P ，使PMA △中PA PM =，如果存在，写出P 点的坐标，如果不存在，说明理由．第9题.（2005 湖北十堰大纲）如图，已知抛物线22y x x n =-+与x 轴交于不同的两点A B ，，其顶点是C D ，是抛物线的对称轴与x 轴的交点． （1）求实数n 的取值范围； （2）求顶点C 的坐标； （3）求线段AB 的长；（4）若直线1y =+分别交x 轴于E ，交y 轴于F ，问B D C △与EOF △是否有可能全等，如果有可能全等请给出证明；如果不可能全等，请说明理由．第10题.（2005 南宁课改）OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，106OA OC ==，．（１） 如图，在AB 上取一点M ，使得CBM △沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B '点．求B '点的坐标；（２） 求折痕CM 所在直线的解析式；（３） 作B G AB '∥交CM 于点G ，若抛物线216y x m =+过点G ，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标．第11题.（2005 吉林课改）如图①，四边形ABCD 的边长为5的正方形，以BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．抛物线2y ax =经过A 、O 、D 三点，图②和图③是把一些这样的小正方形及其内部抛物线部分经过平移和对称变换得到的． （1）求a 的值；（2）求图②中矩形EFGH 的面积； （3）求图③中正方形PQRS 的面积．第12题.（2005 长沙课改）已知抛物线21y ax bx =+-经过点(10)A -，、(0)B m ，（0m >），且与y轴交于点C ．（1）求a 、b 的值（用含m 的式子表示）；（2）如图所示，M 过A 、B 、C 三点，求阴影部分扇形的面积S （用含m 的式子表示）； （3）在x 轴上方，若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求m 的值．第13题.（2005 山西课改）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为(60)A ，、(03)C ，，直线34y x =与BC 边相交于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）若抛物线2y ax bx =+经过D 、A 两点，试确定此抛物线的表达式； （3）P 为x 轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA 面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点Q 为对称轴上一动点，以Q 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的Q 点的坐标．第14题.（2005山西大纲）如图，在平面直角坐标系xoy 中，半径为1的O 分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 、D 四点，抛物线2y x bx c =++经过点C 且与直线AC 只有一个公共点．y x MO C A B（1）求直线AC 的解析式．（2）求抛物线2y x bx c =++的解析式．（3）点P 为（2）中抛物线上的点，由点P 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，问：此抛物线上是否存在这样的点P ，使△PQB ∽△ADB理由．第15题.（2005 临沂课改）如图1，已知抛物线的顶点为(01)A ，，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF交y 轴于点(02)B ，，且其面积为8． （1） 求此抛物线的解析式；（2） 如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．① 求证：PB PS =；② 判断△SBR 的形状；③ 试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说图1图2第16题.（2005威海大纲）已知抛物线2(1)(24)14(40)y k x k x k A =-+++-过点，． （1）试确定抛物线的解析式及顶点B 的坐标；（2）在y 轴上确定一点P ，使线段AP BP +最短，求出P 点的坐标；（3）设M 为线段AP 的中点，试判断点B 与以AP 为直径的M 的位置关系，并说明理由．第17题.（2005烟台大纲）如图，在平面直角坐标系中，以点(23)O '--，为圆心，５为半径的圆交x 轴于A 、B 两点，过点B 作O ' 的切线，交y 轴于点C ，过点O '作x 轴的垂线MN ，垂足为D ，一条抛物线（对称轴与y 轴平行）经过A 、B 两点，且顶点在直线BC 上．（１） 求直线BC 的解析式．（２） 求抛物线的解析式．（３） 设抛物线与y 轴交于点P ，在抛物线 上是否存在一点Q ，使四边形DBPQ 为平行四边 形？若存在，请求出点Q明理由第18题.（2005 成都课改）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于不同的两点1(0)A x ，和2(0)B x ，，与y 轴的正半轴交于点C ．如果12x x ，是方程260x x --=的两个根12()x x <，ＮＭ且ABC △的面积为152． （1）求此抛物线的解析式； （2）求直线AC 和BC 的方程；（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A C ，重合），过点P 作直线y m =（m 为常数），与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为一腰的PQR △为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．第19题.（2005 内江课改）老师提出：如图(10)A ，，AB OA =，过点A B 、作x 轴的垂线交二次函数2y x =的图象于C D ，两点，直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交y 轴于点H ．记点C D ，的横坐标分别为C D x x 、．点H 的纵坐标为H y ．同学讨论发现：①:2:3CMD ABMC S S =△梯形②C D H x x y =-（１） 请你验证结论①②成立；（２） 请你研究：如将上述条件“(10)A ，”改为“()(0)A t t >，0”．其他条件不变，结论①是否仍成立？请说明理由：进一步研究：在（２）的条件下，又将条件“2y x =”改为“2(0)y ax a =>”，其他条件不变，那么C D x x 、和H y 有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）第20题.（2005 漳州大纲）如图，已知抛物线的顶点坐标为(14)M ，，且经过点(23)N ，，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标；（2）若直线y kx t =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在抛物线的对称轴1x =上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：第21题.（2005四川广元大纲）已知：如图，二次函数24y x =-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．直线(2)x m m =>与x 轴交于点D ．（１） 求A B C 、、三点的坐标；（２） 在直线(2)x m m =>上有一点P （点P 在第一象限），使得以P D B 、、为顶点的三角形与以B C O 、、为顶点的三角形相似，求P 点的坐标（用含m 的代数式表示）；（３） 在（２）成立的条件下，试问：抛物线24y x =-上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．第22题.（2005四川眉山大纲）如图是二次函数2(2)y x =+的图象，顶点为A ，与y 轴的交点为B ． （１） 求经过A 、B 两点的直线的函数关系式；（２） 若M 的圆心为M (0)m ，，半径为r ，过A 向该圆作切线，切点为N ．请求出所有能使△AMN 与△ABO 全等的m 、r 的值；（３） 请在第二象限中的抛物线上找一点C ，使△ABC 的面积与△ABO 的面积相等．第23题.(2005 北京大纲)已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx k =-的图象与x 轴交于点A ，抛物 线2y ax bx c =++经过O A 、两点．（１） 试用含a 的代数式表示b ；（２） 设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式； 设点B 是满足（２）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得43POA OBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第24题.（2005江西大纲）已知抛物线2()1y x m x A =--+与轴的交点为、B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．（1）写出1m =时与抛物线有关的三个正确结论； （2）当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．（3）请你提出一个对任意的m 值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）．第25题.（2005 上海大纲）在直角坐标平面中，O 为坐标原点．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点A ，与x 轴的正半轴相交于点B ，与y 轴相交于点C （如图）．点C 的坐标为(03)-，，且BO CO =． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，求AM 的长．y xO第26题.（2005 福州马尾区课改）已知抛物线22(21)1y x n x n =+-+-（n 为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； （2）设A 是（1）所确定的抛物线上位于x 轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB x ⊥轴于B ，DC x ⊥轴于C ． ①当1BC =时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由．第27题.（2005 江苏淮安课改）课题研究：现有边长为120cm 的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： ⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．若90ACB ∠=，设AC x =cm ，该水槽的横截面面积为2cm y ，请你写出y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．若120ABC ∠=，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y 的最大值比较大小．⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更A BDC 60120图2 C A B C A B （图1）CABC AB大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．第28题.（2005 安徽混合）一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ）．该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个．例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的(1)x -个 车站发给该站的邮包共(1)x -个，还要装上下面行程中要停靠的()n x -个车站的 邮包共()n x -个．（２）根据上表，写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y （用x n 、表示）．（３）当18n =时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？［解］ （２）第29题.（2005 广东课改）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P 到x 轴的距离是４，抛物线与x 轴相交于O 、M 两点，4OM =；矩形ABCD 的边BC 在线段的OM 上，点A 、D 在抛物线上．（１） 请写出P 、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式； （２） 设矩形ABCD 的周长为l ，求l 的最大值；（３） 连结OP 、PM ，则P M O △为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M 外），使得OPQ △也是等腰三角形，简要说明你的理由．第30题.（2005 桂林课改）已知：抛物线2y ax bx c =++经过原点(00)，和(13)A -，，(15)B -，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，以OC 为直径作M ，如果过抛物线上一点P 作M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交点为E ，连结MD ，已知点E 的坐标为(0)m ，，求四边形EOMD 的面积（用含m 的代数式表示）；（3）延长DM 交M 于点N ，连结ON ，OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得DON POMD S S =△四边形，请求出此时点P 的坐标．yＢＰ ＥＤＭＣＯ Ａx。