高一数学必修四第二章平面向量周末作业12

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(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(答案解析)

一、选择题1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（）ABC ．12D ．232．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（） A．B ．72C ．103D3．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．－14．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（）A ．B ．2C D ．25．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （） A ．3B ．4C D ．26．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．67．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6B ．4C ．3D ．28．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +9．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于( )A ．a b a b⋅ B ．2a b a⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a b⋅10．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tanθ的值为（） AB．2-C．D 11．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（）A ．3BC ．2D 12．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．28log 5+C ．5D ．18二、填空题13．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．16．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AM MB=__________．17．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 18．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.20．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________. 三、解答题21．已知()3,0a =，(1,3)b =．（Ⅰ）求a b⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？22．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，()2,4c =-.（1）若()//(2)ma c a c +-，求m ；（2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.23．对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作a b c d，（1）求下列行列式的值：①1001；②1326；③251025--；（2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=；（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.24．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．25．在ABC 中，G 为ABC 的重心，过G 点的直线分别交,AB AC 于,P Q 两点，且,AP h AB AQ k AC ==，（1）求11h k+的值；（2）设,APQ ABC S S △△分别表示,APQ ABC △△的面积，求APQ ABCS S的最小值.26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥．（1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果.【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+，因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B AC y A =+-≥-=+=，即23AG ≥，当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．A解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立；故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=3．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩ 可得A （1，0），此时Z max ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(答案解析)

一、选择题1．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角2．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．30,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C ．33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦6．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则（） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（） A ．8B ．4C ．6D ．39．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（） A ．12B ．1C ．32D ．210．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（）A ．3B C ．2D ．211．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________. 14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________． 15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于． 16．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.17．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，P ，Q分别为线段BC 和CD 上的动点，且BP BC λ=，16DQ DC λ=，则AP BQ 的最大值为_____________.18．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.19．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.20．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________．三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 23．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ；（2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 24．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 25．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值；（2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角，故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ．3．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-，同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-，因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=，所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=，所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811 mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN的中点Q的轨迹方程为2234x y+=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ+=，求得PQ的取值范围，进而可求得PM PN+的取值范围.【详解】由1MN =，可知OMN为等边三角形，设Q为MN 的中点，且3sin602OQ OM==Q的轨迹为圆2234x y+=，又()3,4P，所以，33PO PQ PO-≤≤+，即3355PQ≤≤+.由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ+=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6． B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ，化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误故选C8．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF . 【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．9．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ．点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以2101,12AB CE CG CG===∴== 本题选择B 选项.11．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =，又13BE BC =，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λbc ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误；对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据条件两边平方进行数量积运算可求得然后根据即可求得答案【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题解题思路如下：（1）首先根据题中条件结合向量模的平【分析】根据条件1a b +=两边平方，进行数量积运算可求得21a b ⋅=-，然后根据2()a b a b -=-即可求得答案.【详解】因为1a b ==，1a b +=，所以2222()2221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=，所以21a b ⋅=-，所以22()223a b a b a b a b -=-=-=-⋅=，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，解题思路如下：（1）首先根据题中条件，结合向量模的平方等于向量的平方，求得21a b ⋅=-；（2）之后再应用向量的模的平方等于向量的平方来求解.14．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解. 【详解】由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-，222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=，22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为1727a b b⋅==.故答案为：714. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】方法一：3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内，所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， ,设()1cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭，又()(()1,0OC mOA nOB m n m =+=+=，得()1,=22m λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即=212m λλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3mn=. 故答案为：3.16．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出．【详解】因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.17．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算求的解析式根据题意求出的取值范围再根据对勾函数的性质求最大值【详解】解：梯形中则解得；设则在上单调递增；时取得最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量解析：76【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，求AP BQ 的解析式，根据题意求出λ的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值．【详解】解：梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，BP BCλ=，16DQ DCλ=，则61()()()()6AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CDλλλ-=++=++2611666AB BC AB CD BC CB CDλλλλ--=+++26116122cos12021221()662λλλλ--=⨯⨯︒-⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-125536λλ=+-，011016λλ⎧⎪⎨⎪⎩，解得116λ；设125()536fλλλ=+-，则()fλ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；1λ∴=时()fλ取得最大值76，故答案为：76．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得AP BQ的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.18．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】非零向量m→，n→满足4m→=3n→，cos m→〈，13n→〉=,n→⊥t m n→→⎛⎫+⎪⎝⎭,n→∴⋅22+||||cos,||t m n t m n n t m n m n n→→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-，故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果.【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==，2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．20．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2 【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，2345b =+=，则a 在b 的方向上的投影为1025a b b⋅==. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．（12 【分析】（1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可；（2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-，又()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=，所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+，所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=，从而3194BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以27cos8BM AD BM ADθ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以D ⎛ ⎝⎭，AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以9164BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos819BM AD BM ADθ⋅===. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.22．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||2AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OB AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．23．（1）23π；（23）【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=，所以6a b ⋅=-，所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=；（3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=，所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝14322⨯⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 24．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m bm bπ→→→→⋅===，即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 25．（1）2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=，即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ，故A ，B ，C 三点共线．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦. 【详解】（1）313cos32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a ab a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。

高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

必修4第二章平面向量基础练习1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），则a 与b 夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513D ．134．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（）A ．7B ．10C ．13D ．45．设1e 与2e 是不共线的非零向量，且k 1e ＋2e 与1e ＋k 2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ）1（D ）任意不为零的实数6．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形7．已知a ＝（1，2），b ＝（－2，3），且k a +b 与a －k b 垂直，则k ＝（）（A ）21（B ）12（C ）32（D ）238、若平面向量(1,)a x 和(23,)b x x 互相平行，其中x R .则a b （）A. 2或0； B. 25； C. 2或25； D. 2或10.9．若),4,3(AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．10．已知(3,4),(2,3)a b ，则2||3a a b ．11、ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。

12、设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．13．如图，=(6,1),，且。

高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)

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【必修4】第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。

(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题1．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（）AB．C ．10D ．202．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．－13．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（） A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （） A ．3B ． 4C ．3D ．26．已知1a =，2b=，则a b ab ++-的最大值等于（） A ．4B C ．D ．57．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则（） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．22,222]-+D ．[222,2]-9．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =，2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（）A ．3B ．5C ．2D ．10210．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-11．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4512．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:1二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 14．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 15．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =．（1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 22．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ；（2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-. （1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．2．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0），此时Z max ＝2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

姓名: 班级: 学号: 得分:一.选择题（5分×12=60分）:1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（） A ．6563B ．65C ．513D ．134．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ）)(21→→-b a （B ）)(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二. 填空题(5分×5=25分):13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。

2012-2013学年度第二学期高一级数学周末作业必修四第二章平面向量测试题及答案

高一数学限时训练（10）命题：王世丰审题：冯正谦一、选择题: (本大题共8小题,每小6分,共48分.） 1．设点P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（）。

A 、-9B 、-6C 、9D 、62．已知 =(2,3), b =(-4,7)，则在b 上的投影为（）。

A 、B 、C 、D 、3．设点A （1，2），B （3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。

A 、（2，3）B 、（1，2）C 、（3，4）D 、（4，7）4．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。

A 、B 、C 、D 、5．已知O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为2，则（）。

A 、B 、C 、D 、6．O 是ΔABC 所在平面上一点，且满足条件，则点O 是ΔABC 的（）。

A 、重心B 、垂心C 、内心D 、外心7．设、b 、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ²b )2= 2²b 2 (2)| +b |≥| -b | (3)| +b |2=( +b )2(4)(b ) -( a )b 与不一定垂直。

其中真命题的个数是（）。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、48．设、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（）。

A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二：填空题：（本大题共6小题，每小题6分，满分36分.）.9. 设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b= 。

10. 已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a²b= 。

2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=212．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

新课标人教版高一数学必修4第二章平面向量练习题及答案全套

新课标⼈教版⾼⼀数学必修4第⼆章平⾯向量练习题及答案全套第⼆章平⾯向量 21 平⾯向量的实际背景及基本概念 1下列各量中不是向量的是com C位移 D密度 2下列说法中错误的是 A零向量是没有⽅向的 B零向量的长度为0 C零向量与任⼀向量平⾏ D零向量的⽅向是任意的 3把平⾯上⼀切单位向量的始点放在同⼀点那么这些向量的终点所构成的图形是 A⼀条线段B⼀段圆弧C圆上⼀群孤⽴点 D⼀个单位圆 4下列命题①⽅向不同的两个向量不可能是共线向量②长度相等⽅向相同的向量是相等向量③平⾏且模相等的两个向量是相等向量④若a≠b则a≠b 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的是若则 B 若则 C 若则D 若则 6在△ABC中ABACDE分别是ABAC的中点则 A 与共线 B 与共线C 与相等D 与相等7已知⾮零向量a‖b若⾮零向量c‖a则c与b必定8已知ab是两⾮零向量且a与b不共线若⾮零向量c与a共线则c与b必定9已知1 2若∠BAC60°则 10在四边形ABCD中且则四边形ABCD是22 平⾯向量的线性运算 com 向量的加法运算及其⼏何意义 1．设分别是与向的单位向量则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 2在平⾏四边形中ABCD则⽤ab表⽰的是 A．a＋a B．bb C．0 D．a＋b 3若则 A⼀定可以构成⼀个三⾓形 B⼀定不可能构成⼀个三⾓形 C都是⾮零向量时能构成⼀个三⾓形 D都是⾮零向量时也可能⽆法构成⼀个三⾓形 4⼀船从某河的⼀岸驶向另⼀岸船速为⽔速为已知船可垂直到达对岸则 AB C D 5若⾮零向量满⾜则comＤ 6⼀艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶船的实际航⾏的速度的⼤⼩为求⽔流的速度 7⼀艘船距对岸以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶到达对岸时船的实际航程为8km求河⽔的流速 8⼀艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶同时河⽔的流速为船的实际航⾏的速度的⼤⼩为⽅向与⽔流间的夹⾓是求和 9⼀艘船以5kmh的速度在⾏驶同时河⽔的流速为2kmh则船的实际航⾏速度⼤⼩最⼤是kmh最⼩是kmh com 向量的减法运算及其⼏何意义 1在△ABC中 a b则等于 Aab B-a-bCa-b Db-a 2下列等式①a0a ②baab ③--aa ④a-a0 ⑤a-ba-b正确的个数是A2 B3 C4D5 3下列等式中⼀定能成⽴的是 A B -C D - 4化简-的结果等于 A B C D 5如图在四边形ABCD中根据图⽰填空 ab bc c-d abc-d 6⼀艘船从A点出发以2kmh的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶⽽船实际⾏驶速度的⼤⼩为4 kmh则河⽔的流速的⼤⼩为 7若ab共线且ab＜a-b成⽴则a与b的关系为8在正六边形ABCDEF中 m n则 9已知ab是⾮零向量则a-bab时应满⾜条件 10在五边形ABCDE中设a b c d⽤abcd表⽰ com 向量数乘运算及其⼏何意义 1．下列命题中正确的是 A． B．C． D． 2．下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．若与是共线向量与是共线向量则与是共线向量C．则 D．若与是单位向量则 3 已知向量2若向量与共线则下列关系⼀定成⽴是 B C‖ D‖或 4对于向量和实数λ下列命题中真命题是 A若则或 B若则或 C若则或 D若则 5下列命题中正确的命题是 A且 B或 C若则 D若与不平⾏则 6已知是平⾏四边形O为平⾯上任意⼀点设则有 A B C D 7向量与都不是零向量则下列说法中不正确的是 A向量与同向则向量与的⽅向相同 B向量与同向则向量与的⽅向相同C向量与反向且则向量与同向D向量与反向且则向量与同向8若ab为⾮零向量且abab则有 Aa‖b且ab⽅向相同BabCa－bD以上都不对 9在四边形ABCD中－－等于 AB C D 23平⾯向量的基本定理及坐标表⽰ com 平⾯向量基本定理 1若ABCD是正⽅形E是DC边的中点且则等于 AB C D 2 若O为平⾏四边形ABCD的中⼼ 4e1 6e2则3e2－2e1等于 A B C D 3 已知的三个顶点及平⾯内⼀点满⾜若实数满则的值为 A2 B C3 D6 4 在中若点满⾜则 A BC D 5 在平⾏四边形ABCD中M为BC的中点则 A B CD 6如图在平⾏四边形ABCD中EF分别是BCCD的中点 DE与AF相交于点H 设等于_____ 7已知为的边的中点所在平⾯内有⼀点满⾜设则的值为______ 8在平⾏四边形ABCD中E和F分别是边CD和BC的中点或其中R 则 _________ 9．在ABCD中设对⾓线试⽤表⽰10．设是两个不共线向量已知2k 3 2 若三点A B D共线求k的值 comcom 平⾯向量的正交分解和坐标表⽰及运算 1 若则A11 B－1－1 C37 D-3-7 2下列各组向量中不能作为平⾯内所有的向量的基底的⼀组是ＡＢＣＤ 3已知平⾯向量则向量ＡＢＣＤ 4若向量与向量相等则 Ax1y3 Bx3y1 Cx1y -5 Dx5y -1 5点B的坐标为12的坐标为mn则点A的坐标为 A B C D 6在平⾏四边形ABCD中AC为⼀条对⾓线若则 A．－2－4B．－3－5C．35D．24 7已知向量则_____________________ 8已知向量则的坐标是 9已知点O是平⾏四边形ABCD的对⾓线交点25-23则坐标为坐标为的坐标为10．已知x1y1x2y2线段AB的中点为C则的坐标为 com 平⾯向量共线的坐标表⽰ 1 已知平⾯向量且则＝ A B C D 2．已知向量且与共线则等于 A B 9 C D1 3．已知｜｜｜｜若与反向则等于 A-410 B4-10 C -1D 1 4．平⾏四边形ABCD的三个顶点为A-21B-13C34则点D的坐标是A21 B22 C 12 D23 5．与向量不平⾏的向量是 A B CD 6已知ab是不共线的向量＝λa＋b＝a＋µb λµ∈R 那么ABC三点时λµ满⾜的条件是 A．λ＋µ＝2 B．λ－µ＝1 C．λµ＝－1 D．λµ＝1 7与向量同⽅向的单位向量是_______8设向量若向量与向量共线则9．已知A-1-2B48C5x如果ABC三点共线则x的值为 10．已知向量向量与平⾏｜｜4求向量的坐标 24平⾯向量的数量积 com量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是 A向量的数量积满⾜交换律 B向量的数量积满⾜分配律 C向量的数量积满⾜结合律 Da·b是⼀个实数 2已知a6b4a与b的夹⾓为６０°则a2b·a-3b等于 A72 B-72 C36 D-36 3 已知向量121则向量与的夹⾓⼤⼩为 A B CD 4已知a1b且a-b与a垂直则a与b的夹⾓是A60°B30°C135°D４５° 5若平⾯四边形ABCD满⾜则该四边形⼀定是A．正⽅形 B．矩形 C．菱形 D．直⾓梯形 6若向量则与⼀定满⾜ A与的夹⾓等于B C D 7下列式⼦中其中的abc为平⾯向量正确的是A．B．ab·c a·bcC．D． 8设a3b5且aλb与a－λb垂直则λ＝ 9已知ab2i-8ja-b-8i16j其中ij是直⾓坐标系中x轴y轴正⽅向上的单位向量那么a·b 10已知a⊥bc与ab的夹⾓均为60°且a1b2c3则a2b-c２＝______ 11已知a1b1若a‖b求a·b2若ab的夹⾓为６０°求。

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第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ，设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322）解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4）解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ），则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0，即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。

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必修4第二章平面向量检测.选择题:5.已知ABCDE 是正六边形，且 AB = a ,7.设©与e 是不共线的非零向量，且k e 1 + e 2与6 + k e ?共线，则k 的值是()(A ) 1 (B ) — 1 (C ) 1 (D )任意不为零的实数8.在四边形ABCD 中 AB = DC ，且AC • BD = 0,则四边形ABCD ^()(A )矩形(B )菱形 (C )直角梯形(D )等腰梯形9. 已知M ( — 2, 7)、N (10,— 2),点P 是线段MN±的点，且PN 二一2PM ，则P 点的坐标为()(A )(— 14, 16)(B )(22,— 11) (C ) (6,1) (D ) (2, 4)10 .已知 a =( 1, 2), b =( 一 2, 3),且 k a + b 与 a — k b 垂直，则 k =()(A )1 2 (B )2 1 (C ) .23 (D ) 326. 设a , b 为不共线向量， AB = a +2b , BC = — 4a—b , CD = — 5a - -3b,则下列关系式中正确的是 ( )(A )AD = BC (B ) AD = 2BC(C ) AD =— BC (D ) AD =- -2BC(A )2(a b) (B )寺(b a) (C )(D )吕(a b)1 .以下说法错误的是（）A.零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同 D. 2.下列四式不能化简为AD 的是（A. （AB + CD ） + BC ;B.零向量与单位向量的模不相等平行向量一定是共线向量）B. (AD + MB ) + ( BC + CM );C. MB + AD - BM ;D. 0C — OA + CD ;3.已知 a = (3, 4), b = (5, 12), a 与b 则夹角的余弦为（4. ..13 5A 63 65已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60° ,那么|a+ 3b| = A. 、7 B. J0B. . 65 C .C. 、13D. ,13D. 4 AE = b ，贝U BC =(r r r11、若平面向量a (1,x)和b (2x 3, x)互相平行，其中x R.则a b ( )A. 2或0;B. 2 5 ；C. 2 或2.5 ；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是( )① Oa 0 ② a b b a ③ a2|a 2④(ab)c a(bc)⑤ a b a b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二.填空题13•若AB (3,4), A点的坐标为(一2,— 1),则E点的坐标为__________________ .14. 已知a (3, 4), b (2,3)，则2|a| 3a b _________________ .15、已知向量|a 3,b (1,2)，且a b，则a的坐标是________________________ 。

高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

必修4第二章平面向量检测.选择题:3.已知a = (3, 4), b = (5, 12), a 与b 则夹角的余弦为()A 63654. 已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60° ,那么|a+ 3b| =()5. 已知ABCDE 是正六边形，且 AB = a ,7.设©与e 是不共线的非零向量，且k e 1 + e 2与6 + k e ?共线，则k 的值是()(A ) 1 (B ) — 1 (C ) 1 (D )任意不为零的实数8.在四边形ABCD 中 AB = DC ，且AC • BD = 0,则四边形ABCD ^()(A )矩形(B )菱形 (C )直角梯形(D )等腰梯形9. 已知M ( — 2, 7)、N (10,— 2),点P 是线段MN±的点，且PN 二一2PM ，则P 点的坐标为()(A )(— 14, 16)(B )(22,— 11) (C ) (6,1) (D ) (2, 4)10 .已知 a =( 1, 2), b =( 一 2, 3),且 k a + b 与 a — k b 垂直，则 k =()(A )1 2 (B )2 1 (C ) .23 (D ) 32rr r6.设a , b 为不共线向量， AB = a +2b , BC = — 4a —b , CD = — 5a --3b,则下列关系式中正确的是( )(A ) AD = BC (B )AD = 2BC(C ) AD =— BC (D ) AD =- -2BC(A ) 2(a b) (B )寺(b a) (C )(D )吕(a b)1 .以下说法错误的是( )A.零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同 D. 2. 下列四式不能化简为AD 的是(A. (AB + CD ) + BC ;B.零向量与单位向量的模不相等平行向量一定是共线向量 )B. (AD + MB ) + ( BC + CM );C. MB + AD - BM ;D. 0C — OA + CD ;B. .65D. ,13B. 、10D. 4AE = b ，贝U BC =(11、若平面向量a (1,x)和b (2x 3, x)互相平行，其中x R.则a b ( )A. 2或0;B. 2 5 ；C. 2 或2.5 ；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是( )① Oa 0 ② a b b a ③ a2|a 2④(ab)c a(bc)⑤ a b a b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二.填空题13•若AB (3,4), A点的坐标为(一2,— 1),则E点的坐标为__________________ .14. 已知a (3, 4), b (2,3)，则2|a| 3a b _________________ .15、已知向量|a 3,b (1,2)，且a b，则a的坐标是________________________ 。

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)之欧阳科创编

平面向量练习题时间：2021.02.05 创作：欧阳科一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则c 等于( )A 、21-a +23bB 、21a 23-bC 、23a 21-bD 、23-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（）A 、)1010,10103(-=eB 、)1010,10103()1010,10103(--=或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅的最小值是( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是（）A 、－1 ，2B 、－2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a=(cos α,sin β)，b=(cos α,sin β)，则a 与b 一定满足（）A 、a 与b 的夹角等于α－βB 、(a ＋b)⊥(a－b)C 、a∥bD 、a⊥b7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2,0(πθ。

若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于（） A 、θ B 、θπ+2 C 、θπ-2 D 、θπ-8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（）A 、2B 、3C 、23D 、二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y2＝－4x 运动，则使BP AP ⋅取得最小值的点P 的坐标是、 10、把函数3sin y x x =-的图象，按向量(),a m n =-（m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、11、已知向量=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(、三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P （1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ；（2）求θ的最值、14、设，)2cos ,sin 2(x x OA =，x ，OB )1cos (-=其中x∈[0，2π]、 (1)求f(x)=OB OA ·的最大值和最小值； (2)当OA ⊥OB ，求|AB |、15、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||−→−−→−−→−=⋅PC k BPAP 、（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||−→−−→−+BP AP 的最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C二、填空题9、(0，0)10、56m π=11、4三、解答题12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522x y -+⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩、所以/A （1，－1）。

高一数学人教A版必修四练习：第二章平面向量2.2.1含解析

( 本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)1． a、b 为非零向量，且| a＋ b| ＝ | a| ＋ | b| ，则 ()A ． a∥ b，且 a 与 b 方向同样B．a、 b 是方向相反的向量C．a＝－ bD． a、 b 不论什么关系均可分析：只有 a∥ b，且 a 与 b 方向同样时才有 | a＋ b| ＝ | a| ＋| b| 建立，故 A 项正确．答案：A→→→→→)2．( AB＋MB) ＋( BO＋ BC) ＋OM 等于 (→→A. BCB. AB→→C. ACD. AM分析：→→→→→原式＝ AB＋MB ＋ BO＋ BC＋ OM→→→→→＝ ( AB＋ BC)＋( MB＋BO＋OM)→→＝ AC＋ 0＝AC .答案：C3．以下各式不必定建立的是()A ． a＋ b＝ b＋ a＋B ． 0 a＝ a→→→D ．| a＋ b| ＝| a| ＋ | b|C. AC＋ CB＝AB分析： A 建立，为向量加法互换律； B 建立，这是规定； C 建立，即三角形法例；D 不必定建立，只有a， b 同向或有一者为零向量时，才有| a＋ b| ＝ | a| ＋ | b|.答案：D→→＝→ →→4．在矩形 ABCD 中， | AB| ＝4， | BC|2，则向量 AB＋ AD＋AC的长度等于 () A．2 5B．4 5C．12 D ．6分析：→→→→→→→的模的 2 倍，故答案是 4 5.由于 AB＋ AD＝ AC，因此 AB＋ AD＋ AC的长度为 AC答案：B二、填空题 ( 每题 5 分，共 15分)→→→→5. PQ＋ OM ＋ QO ＋MQ ＝ ________．分析：→→→→→→→→→→→→PQ＋ OM＋ QO＋ MQ＝ PQ＋ QO＋ OM ＋MQ ＝ PQ＋ QM＋ MQ＝ PQ.答案：→PQ6．已知正方形 ABCD 的边长为→→→1， AB＝ a， AC＝ c，BC＝b，则 | a＋ b＋ c| 为 ________．分析：→ →→→→→| a＋ b＋ c| ＝ | AB|＝|AC＋ AC| ＝2| AC| ＝2 2.＋ BC＋ AC答案： 2 27．如下图，在平行四边形ABCD 中，以下结论中正确的选项是 ________．→→→→→→→→→→① AB＝ DC ；② AD ＋ AB＝ AC；③ AB＋ AD＝ BD ；④ AD ＋ CB＝ 0.分析：① 明显正确；由平行四边形法例知→→ →→②正确； AB＋ AD ≠DB，故③不正确； AD ＋→ →→CB＝ AD＋ DA＝ 0，故④正确．答案：①②④三、解答题 ( 每题10 分，共20 分)→ →→→→8．化简： ( 1) BC＋ AB； ( 2) DB＋CD＋BC.分析：→→→→→.( 1) BC＋ AB＝ AB＋ BC＝AC→→→→→→→→→→→→→→( 2) DB ＋ CD＋ BC＝ ( DB＋ BC) ＋ CD＝ DC＋ CD ＝ 0，或 DB＋ CD＋ BC＝ ( DB ＋CD) ＋BC→→→→→＝( CD ＋ DB)＋ BC＝ CB＋BC ＝0.9．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳索，这两根绳索在铅垂线的双侧，与铅垂线的夹角分别为30°、 60°，当整个系统处于均衡状态时，求两根绳索的拉力．分析：如图，作 ?OACB，使∠ AOC＝ 30°，∠ BOC＝ 60°，则在△OAC 中，∠ ACO＝∠ BOC＝60°，∠OAC＝ 90°.→→设向量 OA， OB分别表示两根绳索的拉力，→则 CO表示物体的重力，→且| OC| ＝ 300 N.→→∴| OA| ＝ | OC| cos 30°＝150 3( N)，→→| OB|＝ | OC| cos 60°＝150( N) ．∴与铅垂线成 30°角的绳索的拉力是150 3 N ，与铅垂线成 60°角的绳索的拉力是 150 N.。

(2021年整理)必修四第二章__平面向量经典练习题

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第二章平面向量［基础训练A 组]一、选择题1．化简AC -BD +CD -AB 得（）A ．AB B ．DAC ．BCD ．0 2．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是( ） A ．00a b = B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=,则0a =或0b =(3)若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a(4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列命题中正确的是( ）A ．若a b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a b ＝0，则a∥bC ．若a∥b，则a 在b 上的投影为｜a|D ．若a⊥b，则a b ＝（a b)2 5．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是( )A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中,若(4,3)a =-b 且5a b ⋅=，则向量=____.3．若3a =,2b =，且与的夹角为060,则a b -= 。

高一数学必修四单元测试第二章平面向量

必修四第二章平面向量一、选择题1．已知向量,a b 满足||1,||2,a b ==且,a b ⊥则||a b +的值为（）A ．2B ．3C ．2D ．222．在ABC ∆中11,,,33AP AB BQ BC == 记,,AB a BC b ==则PQ =（）A ．1133a b +B ．2133a b +C ．2233a b +D ．1233a b -3．已知向量,(1,2)(1,0),(3,4),a b c ==-=若λ为实数,()a b λ-∥,c 则λ=（）A ．14B ．12C ．1D ．24．已知向量,(,1)(2,1),a b λλ==+ 若||||a b a b +=-，则实数λ的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．已知||1,||6,()2,a b a b a ==⋅-=则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．已知向量a 与e 的夹角为60,︒||4,a e =为单位向量，则a 在e 方向上的投影与e 在a 方向上的投影分别为（） A ．323,2B ．12,2C ．3,232D ．2,27．对于向量,,a b c 和实数λ下列命题中为真命题的是（）A ．若0,a b ⋅=则0a =或0b =B ．若0,a λ=则0λ=或0a =C ．若22,a b =则a b =或a b =-D ．若,a b a c ⋅=⋅则b c =8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形,则(2)(34)AB BC BC AC -⋅-=（）A ．132-B ．112-C ．362--D ．362-+9．已知,,,A B C D 为平面上的四个互异点,且满足(2)()0,DB DC DA AB AC +-⋅-=则ABC ∆的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．在边长为2的等边ABC ∆中, 点,,P Q G 分别是边,,AB BC CA 上的三点，且1,2AP AB =11,34BQ BC CG CA ==则PQ PG ⋅=（）A ．512B ．712C ．34D ．111211．函数tan ()(14)42x y x ππ=-<<的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则()OB OC OA +⋅=（） A ．2 B ．4 C ．6D ．812．如图所示，在直角梯形ABCD 中,0,0,AD AB AD DC ⋅=⋅=60,ACD ∠=︒||AB =3||3,DC =若线段BC 上存在点,E使,CE CB λ=且2,AE AB AC =⋅则λ的值为（） A ．1157+B ．6157-C ．8797- D ．18877-二、填空题13．已知(cos ,sin ),(1,1),a b αα==且a ∥,(0,)b απ∈则α= ． 14．在ABC ∆中，已知90,3,4,ACB CA CB ∠=︒==点E 是边AB 的中点，则CE AB ⋅= ．15．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作一直线，与,AB AC 的两边分别交于两点,,M N且,,,,AM xAB AN yAC x y R ==∈则11x y += ．16．如图，已知O 为ABC ∆的外心,23,22,AB AC ==BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为．三、解答题17．已知向量(1,2),(3,4).a b ==-（1）求向量a b +与a b -的夹角；（2）若(),a a b λ⊥+求实数λ的值.18．已知(2,0),(0,2),(cos ,sin ),O A B C θθ为坐标原点．（1）若1,3AC BC ⋅=-求sin cos θθ⋅的值；（2）若||7,OA OC += 且(,0),θπ∈-求OB 与OC 的夹角．19．已知向量(4,1),(2,3),(7,1).OA OB OC m =-==-+（1）若ABC ∆中的内角A 为钝角,求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆为直角三角形, 求实数m 的值．20．已知非零向量,a b 满足向量2a b -与b 垂直，集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=是单元素集合.（1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-的解集为空集，求实数m 的值．21．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2),a =-又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤．（1）若,AB a ⊥且||5||,AB OA =求向量OB ；（2）若向量AC 与向量a 共线，当4,k >且sin t θ取最大值4时，求OA OC ⋅．22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点,,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+．（1）求证： ,,A B C 三点共线，并求||||AC BA 的值；（2）已知(1,cos ),(1cos ,cos ),(,),22A xB x x x ππ+∈-且函数()f x OA OC =⋅+2(2)||3m AB -⋅的最小值为1,2求实数m 的值．高一数学单元检测试题必修四第二章平面向量1~12 BBBC CBBB BBDA13．4π 14．72 15．3 16．517．（1）135 ；（2） 1- ． 18．（1）518- ；（2）56π ．19．（1）9m <且1m ≠-；（2）9或29 20．（1）3π；（2）12．21．（1）(24,8)或(8,8)-- ；（2）32 ． 22．（1）23；（2）2 ．。

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