人教版必修四第二章平面向量教案

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高中数学人教版必修4教案第二章平面向量 2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例

2. 5.1平面几何中的向量方法教学目的：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1. 两个向量的数量积：. cos |||| θb a b a =⋅2. 平面两向量数量积的坐标表示3. 向量平行与垂直的判定//1221-⇔y x y x b a4.平面内两点间的距离公式：5. 求模： = 22y x +=221221)()(y y x x -+-=二、讲解新课：例 1. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，, , -=+=你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？练习1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.（用向量方法证明）思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例2．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？三、课堂小结用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.四、课后作业习题2.5 A组第1题2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：1. 讲解上节作业题..,2,,62:),0,1(的轨迹方程求点若上的一点是直线点直线已知P AP RA l R x y l A =-=2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与平行四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1.设两人拉力分别为1F ，2F ，其夹角为θ ，旅行包的重力为G 。

人教版高中必修4《平面向量》教学设计

人教版高中必修4《平面向量》教学设计《人教版高中必修4《平面向量》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、单元教学内容分析本章节内容教学安排在人教版必修四三角函数章节后，和差公式前，这为后面的和差公式的学习做好铺垫，又为解三角形问题和平面几何中的许多计算问题提供便利工具。

向量既有代数特征，又有几何特征，是沟通代数与几何的桥梁。

向量具有代数特征，运算及其规律是代数学研究的基本问题，向量可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。

向量运算具有一系列运算性质。

向量具有几何特征，它不仅可以描述，刻画几何中的点、线、面及其位置关系，数量关系，还可以表示空间中的曲线与曲面，是研究几何问题的基本工具。

本教材从学生熟悉的实例出发，经过观察、分析、归纳等方法概括出向量的相关概念，比以往的教材更能使学生产生自然而亲切的感觉，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识。

教材结合向量的几何背景——有向线段，引入向量的表示法，规定了向量的长度的概念。

定义了零向量，单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等概念。

对于许多旧有的知识利用向量方法去处理，就会变得简单易懂，从而有助于学生对这些知识有更深刻的理解，更牢固的记忆，更自如的应用。

二、单元学生情况分析1、学生在初中阶段接触过物理学中的矢量，已具备基本的认知水平和运算能力。

2、学生已基本掌握函数和三角函数的基础知识，会运用数形结合法、整体代换法、分类讨论法等解决实际问题。

3、学生已具备基本的分析为和解决问题的勇气和智慧。

三、教学目标1、知识与技能目标(1)理解并掌握平面向量的基本概念。

(2)通过实例，掌握向量的加、减、数乘和数量积运算，并理解其几何意义。

(3)理解并掌握向量共线和垂直问题，理解平面向量基本定理及其意义。

会用坐标表示向量的加、减、数乘和数量积运算。

(4)掌握数量积的坐标表示，能运用数量积表示两个向量的夹角，能解决两个向量的垂直问题，投影问题。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(4)

《平面向量基本定理》的教学设计一教学目的：1 了解平面向量基本定理及其意义；2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,e e 线性表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3 通过作图体会基底的不唯一性；二教学重点与难点1 重点：平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示2 难点：平面向量基本定理的理解3 教学方法：教师主要引导、学生主体思维为主线，学生动手操作。

4 教学手段：使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。

使用方格纸让学生画图，使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。

三教学过程1 复习以提问的方式复习旧知：求向量和的方法，向量的数乘运算；设计意图：让学生思考并回答这两个问题，为这节课的内容做准备。

2 新课引入在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出212,3e e ，并画出2123e e +；设计意图：让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固；教师活动：动画演示刚刚所做的图，设计意图：从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解，同时，利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。

教师活动：提出问题：“既然我们给定了212,3e e，那么很容易就可以画出1232e e a +=，如果我们给出a ，能否用21,e e 表示a 呢？”3 新课讲解教师活动：让学生在所给的方格上画出,a b ，,c d ，,f g ，并分别用21,e e 来表示，为了方便起见21,e e 是两个互相垂直的向量。

学生活动：分小组来讨论并画出所给向量。

设计意图：让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。

教师活动：在幻灯片上打出两个不共线的向量21,e e ，和第三个向量a，让学生讨论怎样由21,e e 来表示向量a 。

人教A版高中数学必修4《二章平面向量小结》优质课教案_12

学校：学科：高中数学姓名：教学内容：平面向量数量积复习（教案）一、教学内容解析向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。

它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。

而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。

人教版《高级中学课本数学必修四》中第二章《平面向量坐标表示》涉及到了向量的坐标表示及运算（2课时）、向量的数量积（2课时）、平面向量的分解定理（2课时）、向量的应用（2课时）。

其中平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要运算，也是高中平面向量教学中的一个重要概念，既有对几何的体现，也有其对应的特殊性质和运算律。

因此它在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。

二、教学目标设置《高级中学数学教学参考资料》（人教版）在教学设计建议中提到：向量是沟通代数、几何的一种工具。

向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合。

一方面，它可以把几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它还可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。

向量是解决数学问题和实际问题的有力工具。

所以，对于向量的数量积复习课而言，希望可以从定义的梳理展开，结合图形将向量数量积相关问题的求解方法进行归纳总结，并且让学生体会到向量数量积如何成为解决数学问题的有力工具入手完成这节课。

综上所述，结合《全国中小学课程标准》要求和学生实际，制定本节课的教学目标和教学重难点。

教学目标：1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。

2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重解能力。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案(1)

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。

向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。

向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。

向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。

在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。

本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。

通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。

二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。

4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。

新课标数学必修4第2章平面向量教案

第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。

高中数学第二章平面向量教案新人教A版必修4

aaa平面向量复习教案一、教学目标1．知识与技能：通过复习本章知识点，提高综合运用知识的能力”. 2．过程与方法：通过知识回顾，例题分析，强化训练，体现向量的工具作用. 3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想一、基础知识：（一）平面向量的计算及其性质：（1）+=+；（2）（-+=-；平行四边形法则三角形法则（3）)(,≠=λ⇔和共线；（4的模（即长度）0≥（5+≤+≤-+≤-≤-。

（6）θcos =⋅，其中θ为向量a 和b 的夹角。

==（7）()()⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+；那么()()___=+⋅- （8）⊥⇔=⋅0 （二）向量的坐标表示和运算：在平面中，若,不共线（可作为平面的一组基底），则任意向量，有且只有一组数（y x ,）使得y x +=当我们选定的一组基为直角坐标系上两互相垂直的单位向量和j ，则平面任意向量c 可以表示成j y i x c +=，那么任意向量和坐标平面上的一个点坐标相对应，如图所示，即),(y x =，（1）设),(),,(2211y x y x ==则=+=-=λ=⋅=；若//，则；⊥，则；（填坐标关系）（2）已知点),(11y x A 、),(22y x B 则向量==；二、例题选讲（一）加减运算例1、（1）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +（2）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（）A ．2B ．3C ．4D ．5（3）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，练习：1、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 2、在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.4平面向量的数量积》教案(4)

平面向量的数量积教案教学目标1．理解掌握平面内两向量夹角的概念及取值范围[0，π]．2．理解掌握两个非零向量的数量积(内积)cosθ的定义及其几何意义．3．理解掌握两向量共线、垂直的几何判定．4．理解掌握平面向量数量积的五个重要性质．教学重点和难点重点：本节课是全章的重点内容，所有内容都非常重要，主要有：平面向量夹角的概念；平面向量数量积的定义；平面向量数量积的几何意义；平面向量共线、垂直的判定；平面向量数量积的五个重要性质．难点：对平面向量数量积的定义，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的五条重要性质的正确理解和掌握．教学过程设计(一)学生阅读课文．阅读思考题：(1)怎样定义平面内两向量的夹角．(2)什么是平面向量的数量积，它的几何意义是什么？(3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行．(4)平面向量的数量积有那些重要性质．(二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评．1．平面向量的夹角：(1)两向量的夹角：已知非零向量，作，∠AOB＝θ，(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向．(2)两向量的垂直：如果与的夹角是90°，则说与垂直，记作．2．平面向量的数量积：已积两个非零向量和，它们的夹角为θ，把数量|a|·|b|cosθ叫做与的数量积(内积、点积)记作，即cosθ．并且规定零向量与任一向量的数量积为0．(1)两个平面向量的数量积是一个数量，不是向量，它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(2)两平面向量的数量积与数a与数b的积a·b不同，的数值与向量的夹角有关，而a·b没有这一因素，因之二者有不同之处．如当a≠时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量即有＝0，这与a·b＝0，则a＝0或b ＝0不同．又如，已知实数a、b、c，(b≠0)由ab＝bc我们可以推出a＝c，但对于向量，这种推理是不正确的．并不能一定推出．即cos＝cos这里表示向量与的夹角，表示向量与的夹角，由cos＝cos可推得，，推不出．3．两向量共线与垂直的判定两向量共线，若与共线同向，θ＝0．则；若与共线反向，θ＝π，则重要方法：4．平面向量数量积的几何意义：(1)投影：在cosθ中， cosθ叫做向量在方向上的投影．当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是零；当θ＝0°时，它是；当θ＝180°时，它是－．(2)的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影cosθ的乘积．5．平面向量数量积的五个重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角．(1) (提问学生，给出证明)证：(2)证：，向量与的夹角为90°，＝0，即cosθ＝0，cosθ＝0，θ＝90°(3)当与同向时，；当与反向时，．特别地证：与同向，与的夹角为0°．与反向，与的夹角为180°．因与的夹角为0°．即(4)cosθ＝．证：∵这是求两向量夹角时常用的公式．(5)证：．这里|cosθ|≤1．∴在以上这五个性质中，较常用的是：cosθ＝同学们要牢牢掌握．(三)学生练习，教师辅导．练习1：课本练习2．解：＝8，＝6，、夹角60°．·＝·cos60°＝24．练习2：课本练习3．θ＝135°．练习3：课本练习4．解：△ABC中，＝，＝．当＜0时，、夹角为钝角，△ABC为钝角三角形．当＝0时，⊥，△ABC为直角三角形．解：练习5：＝4，与的夹角为30°，求与方向上的投影．练习6：已知＝－40，＝10，＝8，求与的夹角θ．(四)教师小结．1．平面向量的数量积，射影．2．平面向量的性质，(2)，(3)，(4)．(五)作业。

人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计

人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．1．本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

本章知识结构如下：根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例. 课标要求的具体化和深广度分析①平面向量的实际背景及基本概念《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．如：用向量a 表示向东走了，则-a 表示____．一辆汽车从A 地出发向西行驶了100km ，到达B 地，可以用向量a 表示，那么从B 地出发到A 达地应如何表示？向量a ，b 都是非零向量，下面说法不正确的是（）（A ）向量a 与b 反向，则向量a +b 与向量a 的方向可能相同（B ）向量a 与b 反向，则向量a +b 与向量b 的方向可能相同（C ）向量a 与b 反向，且a b >，则向量a +b与向量a 的方向可能相同（D ）向量a 与b 反向，且a b <，则向量a +b理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量与向量a的方向可能相同②向量的线性运算《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义．①如：若向量a表示向东走了2km，b表示向南走了1km，则a-b表示___________．已知下列各式①AB BC CA++；②AB MB BO OM+++；③OA OB BO CO+++；④AB AC BD CD-+-；其中结果为零向量的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4②已知向量a，b满足AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是（）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在A B C∆中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设AB=a，AC=b，用a，b表示向量A O．①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．③平面向量的基本定理及坐标表示《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标①如：某人在静水中游泳，速度为每小时3km，水流的速度为每小时4km，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知(0,1)A，(3,4)B-且点C在A O B∠的平分线上，若2O C=，则向量OC=_________．④已知向量(,12)O A k=，(4,5)O B=，①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件ABCD EF表示的平面向量共线的条件．(,10)O C k =-且A ，B ，C 三点共线，则k =_________．④平面向量的数量积《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①如：用两根夹角为120 角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力大小是_________． ②如：已知点(0,1)A -，(2,2)B ，(4,6)C -，则AB在A C 上的投影的值为_________．③如：a =（-3，2），b =（-4，k ），若（5a -b ）⋅（3a -b ）=55，求实数k 的值．④如：两单位向量a ，b 的夹角为60 ，则两向量p =2a +b 与q =3a +2b 的夹角为_________．换垂直的题 ①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义②明确向量b 在向量a 的方向上的投影 ③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算 ④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．⑤向量的应用《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．如图，在平行四边形A B C D 中，13D E D C =，A E 与B D 交于F ，用向量的方法证明：14D F D B =．实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为0.4km ，一艘船从一岸边的A 处出发驶向对岸，已知船速为15km v h = ，水速为23km v h =，欲使航行最短，则所用时间为_________．掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题（2）本单元变化之处①删繁就简，降低了知识的难度②调整章节，凸显了知识的框架③贴近生活，重视了知识的应用（3）人教B版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(=a b b+a)又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB∥CD中，+AD∥BC，AB∥CD，ABD∆).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间∆≌C B D的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为[形到数]——[数的运算]——[数到形]，则向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.5.1平面几何中的向量方法》教案(1)

§2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题．⒉培养和发展运算能力和解决实际问题的能力．⒊体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力．教学重点：平面几何中的向量方法．教学难点：平面几何中的向量方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：222222+=+++．AC BD AB BC CD DA分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD=-，我=+，DB AB AD们计算2||||BD．AC和2证明：不妨设AB=a，AD=b，则AD=|b|2．||AC=a+b，DB=a-b，2AB=|a|2，2||∴2AC AC AC=⋅=( a+b)·( a+b)||= a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理2DB=|a|2-2a·b+|b|2．②||①+②得2||AB+2AD)．||AC+2||||DB=2(|a|2+|b|2)=2(2所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．解：设AB =a，AD =b，则AC =a+b．∵AR与AC共线∴存在实数m，使得AR=m(a+b)．又∵BR与BE共线∴存在实数n，使得BR=n BE= n(12b- a)．由AR AB BR=+=AB +n BE，得m(a+b)= a+ n(12b- a)．整理得(1)m n+-a＋1()2m n-b＝0．由于向量a、b不共线，所以有1012m nm n+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1323mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以13A R A C=．同理13T C A C=．于是13R T A C=．所以AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法．例3已知△ABC三条高线AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF交于一点．分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题．解：如图，以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A、B、C三点的坐标分别为(0,)A a，(,0)B b，(,0)C c，且BE、CF交于点(,)H x y，则(,)BH x b y=-，(,)CH x c y=-，(,)AC c a=-，(,)AB b a=-．∵BH AC⊥，CH AB⊥，∴()0()0c x b ayb xc ay--=⎧⎨--=⎩，解得0x=．所以，点H在y轴上，即点H在AD上，AD、BE、CF交于一点．（Ⅲ）课后练习：课本125P练习习题2.5 B组⒊（Ⅳ）课时小结:几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算”.这就是把点、线等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线的相应结果．如果把代数方法简单地表述为［形到数］——［数的运算］——［数到形］，则向量方法可以简单的表述为［形到向量］——［向量的运算］——［向量和数到形］．（Ⅴ）课后作业：⒈课本125P 练习习题2.5 A 组 ⒈⒉⒉预习课本124P ～125P ，思考下列问题：⑴怎样把物理问题转化为数学问题？⑵如何用数学模型来解释相应的物理现象？教学后记:§2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标：⒈学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算．⒉培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力．⒊体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性．教学重点：向量在物理中的应用．教学难点：向量在物理中的应用．教学方法：讨论式．教具准备：用《几何画板》演示例3、例4．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|，由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos 2G θ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．（用《几何画板》演示）师：请同学们结合刚才课件的演示，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？生：当0θ=时，|F 1|最小，最小值是12|G |，当120θ=时，|F 1|=|G |．例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：||v 96=，所以， 60 3.1||96d t v ==⨯≈(min)．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．（Ⅲ）课后练习：课本126P 练习习题2.5 B 组 ⒈⒉（Ⅳ）课时小结:⑴用向量知识解决物理问题的一般思路是：物理问题−−−→转化数学问题−−−→利用向量运算−−−→得到物理问题的结论．⑵力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化到向量的数量积上来．（Ⅴ）课后作业：课本125P 练习习题2.5 A 组 ⒊⒋板书设计：教学后记:。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(3)

《平面向量基本定理》的教学设计[设计说明]:本节课是在学习了向量的加、减、数乘运算，以及共线向量基本定理的前提下引入的，是后面学习向量的直角坐标运算和数量积运算的基础。

本节起到承上启下的作用，是很重要的知识链结。

本设计中充分的发挥了学生的主观能动性，以问题串和合作探究的形式将学生引入到自主学习知识的境界中，能很好的提升学生的能力。

一、教学课题：普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理、第一课时。

二、教学目标：1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性精神，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、合作交流能力，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

四、教学方法与手段探求式教学法、多媒体手段五、教学过程1、作图观察，引发思考2、数学探究探究一给定一个向量是否一定可以用两个已知向量表示？探究二学生作图,发现问题将给定向量a 分解为与1e 、2e 平行的两个向量提问：比较分解后与1e 、2e 平行的两个向量的方向和长度是否对应一致,即观察分解的结果是否唯一?学生观察并讨论。

提问:既然a 可以分解成与1e 、2e 平行的两个向量,那么a 是否可以用含有1e 、2e 的式子表示出来? OA =1e OM =1a 1eOB =2e ON =2a 2eOC =a =OM +ON =1a 1e +2a 2e 再问:：一对实数1a 、2a 是否惟一?(学生讨论并回答)点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。

高中数学平面向量教案(精选6篇)

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

人教版高中数学必修4第二章平面向量的表示和线性运算同步教案

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

相等向量=，且a b（二）平面向量的线性运算知识梳理1.向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )2. 向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。