矢量分析与场论基础

S

根据通量的叠加性：当F 0时，表示矢量场 A 向正侧穿过曲面S 的通量＞向负侧穿过S 的通量。同理当F 0或F 0时，则表示向 正侧穿过曲面S 的通量＜或＝沿负侧穿过S 的通量。 若S 为闭合曲面，则 Φ A n dS 其中 n 为曲面外侧法向
u v grad ( u) u grad (v ) grad ( ) v v2 grad[ f ( u)] f (1) ( u) grad ( u) f f grad[ f ( u, v )] grad ( u) grad (v ) u v
几个特例：
grad ( r a ) a
r grad r l l cos cos sin sin cos( )
r(M)=C r(M0)=C0 M0

0
M
x
二、矢量场的通量与散度
1. 矢量场的通量
矢量场 A( x , y, z ) P ( x , y, z ) i Q( x , y, z ) j R( x , y, z ) k 沿空间 有向曲面S 某一侧的曲面积分

A P i Q j R k

在空间区域V 上具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R ) dV S V x y z 这里的S 是V 的整个边界曲面的外侧。 Φ A n dS (
④通量的物理意义 由定义式 Φ A n dS 通量是一种标量。




a a 0



( a ) b ( a b )







a b b a





a ( b c ) a b a c



( b c ) a b a c a

S S i 1 i 1 S i 1


n




n
②若令有向曲面微元的法向方向余弦为

n (cos , cos , cos )
S S
则有： Φ A n dS P dydz Q dzdx R dxdy ③矢量场中闭合曲面S 上通量的计算公式（高斯定理） 设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，矢量场






b
4. 矢量的内积
①定义： a b | a | | b | cos a , b

a a | a | 0
2

( a ) b ( a b )

a b b a




a ( b c ) a b a c
②参数式：
y y(t ) z z(t )
曲线上任一点M0处切向矢量的直角坐标为： ( x' (t ), y' (t ), z ' (t )) |t M 0
三、场论
1. 场的概念：
在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个 确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。
按时变与时不变来划分，场可分为：时变场和静态场。
①定义： a 在 b 的投影 Prj a | a | cos a , b ， a , b [0, p ]
其中 a, b 为两矢量之间的夹角，相等的矢量在同一矢量上的投 影相等。 ②性质： Prj ( a k ) Prj a k
b k 1 k 1 b n n
①定义： a ( b c )




②性质：
a ( b c ) ( a c ) b ( a b ) c








a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) 0
8. 拉格朗日恒等式
a c a (a b ) ( c d ) d b c b d

6. 矢量的混合积
①定义： ( a b ) c

( a b ) c ( b c ) a ( c a ) b
②性质：








ax 直角坐标系下： ( a b )பைடு நூலகம் c bx cx
ay by cy
az bz cz
7. 矢量的二重外积




a b 0
a或b 0

②性质：
若 a 、 0 有： b 0 a// b b a

i
j ay by

k az bz
a b a x 直角坐标系下： bx

a x a y az 若 a 、 0， b 0 b a bx b y bz
若 a 、 0， b 0 b a


| a || b |

a x bx a y b y a z bz 0
5. 矢量的外积
①定义：a b

模： | | b | sin a , b |a
方向： a 以不超过p 的角度转向 b ，右手螺旋定 则判定。

dx dy dz 矢量线的微分方程： P Q R
（由微分方程的存在定理可知，当函数P、Q、R 为单值、连续 且有一阶连续偏导数时，矢量线存在，且充满了矢量场所在的空 间，矢量线之间互不相交）
矢量面和矢量管：
4. 平行平面场：
①平行平面矢量场： a、场中所有的矢量都平行于某一平面p； b、垂直于p的任一直线的所有点上，矢量的大小和方向都相同； ②平行平面标量场： 垂直于场中某一直线l 的所有平行平面上，标量场的分布情况都相 同。








二、曲面与曲线
1. 曲面方程
①一般式： F ( x, y, z ) 0 曲面上任一点M0处法线矢量的直角坐标为： ( Fx , Fy , Fz ) |M 0
x (u, v )
②参数式：
y (u, v ) z (u, v )
2. 曲线方程
①一般式：
F ( x, y, z ) 0 G( x , y , z ) 0 x x(t )
u u u u cos cos cos grad ( u) t l (1) l x y z

(1)式表明：标量场 u在某点处，沿方向l 的方向导数就等于梯度 在该方向上的投影。
4. 梯度的性质
①梯度的方向就是标量场u 在空间某点处变化率最大的方向，梯 度的模是这个最大变化率的数值。 ②标量场u 在空间某点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向标 量场u 增大的一方。 标量场 u=u(x,y,z) 的等值面为：u(x,y,z)=C，在等值面上某点处切 平面的法线方向为： u u u i j k x y z 与标量场 u=u(x,y,z) 在该点处的梯度方向正好一致。 又∵沿梯度方向的方向导数 u l grad (u) 0 这说明函数u沿梯度 方向是增大的，梯度指向函数u增大的一方。
grad (|| r ||)

r



其中a 为常矢量



|| r ||
r0


其中|| r || x 2 y 2 z 2


grad (|| r r0 ||)


r r0
|| r r0 ||

其中|| r r0 || ( x x0 )2 ( y z0 )2 ( z z0 )2
2. 标量场：
常用数性函数 u u( x, y, z ) 来表示 标量场的等值面： u( x , y , z ) C，C为某个常数 （由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且各一阶偏导数存 在、连续、不全为零时，等值面一定存在且互不相交）
3. 矢量场：
常用矢性函数 A P ( x , y, z ) i Q( x , y, z ) j R( x , y, z ) k 来表示 矢量场的矢量线：曲线上每一点处都与对应于该点的场矢量相切。

Φ A n dS

S



( n 为有向曲面微元dS 的单位法向)
叫做矢量场 A( x , y , z ) 向积分所沿一侧穿过曲面S 的通量。 注释： ①矢量场的通量具有叠加性：即若 A Ai 则有
i 1 n n
Φ A n dS ( Ai ) n dS ( Ai n dS ) Φi
②
u |M 0 ，表示标量场 u，在点M0 沿方向l ，函数值变化的 ③ l
快慢。
3. 梯度的定义
标量场 u=u(x,y,z) 在某点处的梯度定义为：
u u u grad ( u) i j k x y z
在某点处，若沿l 的方向余弦为 t l (cos , cos , cos ) ，则









a b 0
a或b 0



②性质：
若 a 、 0 有： b 0 a b b a
a b a x bx a y b y a z bz





直角坐标系下：
cos a , b ( a x bx a y b y a z bz )