2018版高中数学人教B版选修2-1学案：3.2.5 距离(选学)

3.2.5距离(选学)

学习目标掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．

知识点一点到平面的距离

思考任何平面外一点到平面的距离都可利用向量法解决吗？

梳理(1)图形与图形的距离

一个图形内的__________与另一图形内的__________的距离中的__________，叫做图形与图形的距离．

(2)点到平面的距离

一点到它在一个平面内__________的距离，叫做点到这个平面的距离．

知识点二直线到平面的距离

思考直线与平面平行时，直线到平面的距离是指直线上任意一点到平面的距离吗？

梳理(1)直线与它的平行平面的距离

一条直线上的__________，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．

(2)两个平行平面的距离

①和两个平行平面同时________的直线，叫做两个平面的公垂线．

②__________夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．

③两平行平面的____________________，叫做两平行平面的距离．

知识点三四种距离的关系

类型一点线距离

例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的

距离．

反思与感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)求直线的方向向量．

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影．

(4)利用勾股定理求点到直线的距离．

另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

跟踪训练1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

类型二点面距离

例2已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．

反思与感悟利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)求出该平面的一个法向量．

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．跟踪训练2在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.

(1)求证：A1C∥平面AB1D；

(2)求点C1到平面AB1D的距离．

类型三线面距离与面面距离

例3 在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD 且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点，求直线A 1B 1与平面ABE 的距离．

反思与感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．

(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．

跟踪训练3 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．

1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则P (－2，1，4)到α的距离为( ) A ．10B ．3C.83D.103

2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离为( ) A.2B ．2C.

22D.322

3．若O 为坐标原点，OA →＝(1，1，－2)，OB →＝(3，2，8)，OC →

＝(0，1，0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.

1652B ．214C.53D.532

4．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．

5．设A (2，3，1)，B (4，1，2)，C (6，3，7)，D (－5，－4，8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．

1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得．

2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算．

提醒：完成作业 第三章 3.2.5

答案精析

问题导学 知识点一

思考 可以，可依据点到平面的距离公式求解． 梳理 (1)任一点 任一点 最小值 (2)正射影 知识点二

思考 是的．当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离相等，故线面距可以利用点面距来处理．

梳理 (1)任一点 (2)①垂直 ②公垂线 ③公垂线段的长度 题型探究

例1 解 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．

设DA ＝2， 则A (2，0，0)，

E (0，2，1)，

F (1，0，2)，EF →＝(1，－2，1)，F A →

＝(1，0，－2)． ∴|EF →

|＝12＋(－2)2＋12＝6，

F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴F A →在EF →

上的投影为|F A →·EF →

||EF →|＝16.

∴点A 到直线EF 的距离 d ＝

|F A |2－(

16

)2

＝296＝1746

. 跟踪训练1 解 ∵AB ＝1，BC ＝2， AA ′＝3，

∴A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)， ∴A ′C ――→＝(1，2，－3)．又∵BC →

＝(0，2，0)， ∴BC →在A ′C ――→

上的投影为