实验数据与曲线拟合
数据处理与曲线拟合的技巧与方法
数据处理与曲线拟合的技巧与方法在科学研究和工程应用中，数据处理和曲线拟合是非常重要的一环。
正确地处理数据并通过曲线拟合方法得到准确的拟合曲线，对于研究和预测数据的规律具有重要意义。
本文将介绍数据处理和曲线拟合的一些技巧与方法，以帮助读者更好地应用于实践中。
一、数据处理技巧1. 数据的清洗和去噪在进行数据处理之前，首先需要对原始数据进行清洗和去噪操作。
这包括去除异常值、缺失值以及噪声干扰。
可以使用各种统计方法和数据处理算法进行清洗和去噪，如平均值滤波、中值滤波、小波滤波等。
2. 数据的归一化对于不同量纲的数据，为了消除量纲差异对分析结果造成的影响，需要对数据进行归一化处理。
常用的归一化方法包括最小-最大归一化和Z-score归一化。
最小-最大归一化将数据线性映射到[0, 1]的范围内，Z-score归一化则将数据映射到均值为0，标准差为1的正态分布。
3. 数据的平滑和滤波对于采样数据，由于受到采样精度和测量噪声的影响，数据可能会出现抖动或者波动现象。
为了提高数据的光滑性，可以使用数据平滑和滤波技术，如移动平均滤波、加权移动平均滤波、卡尔曼滤波等。
二、曲线拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种经典的曲线拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的误差平方和来确定拟合曲线的参数。
最小二乘法适用于线性拟合问题，可以通过求解正规方程或者使用矩阵运算的方法得到拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法对于非线性拟合问题，可以使用非线性最小二乘法进行曲线拟合。
非线性最小二乘法通过迭代优化的方式，逐步调整拟合曲线的参数，使得实际观测值与拟合曲线之间的误差平方和最小化。
常用的非线性最小二乘法包括高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt算法。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段多项式的曲线拟合方法。
它通过构造分段多项式曲线，使得曲线在各个插值节点处满足一定的条件，如连续性、光滑性等。
样条插值适用于数据点较密集、曲线变化较剧烈的情况。
实验数据与曲线拟合
实验数据与曲线拟合一、引言实验数据与曲线拟合是科学研究和工程应用中常见的任务之一。
通过对实验数据进行曲线拟合，可以找到数据背后的规律和趋势，从而进行预测、优化和决策。
本文将介绍实验数据与曲线拟合的基本概念、方法和应用。
二、实验数据的收集与处理1. 实验数据的收集实验数据的收集是实验研究的基础，可以通过传感器、仪器设备或人工记录等方式进行。
在收集实验数据时，应注意数据的准确性和可靠性，避免误差和干扰的影响。
2. 实验数据的处理在进行曲线拟合之前，需要对实验数据进行处理，以提高数据的可靠性和可用性。
常见的数据处理方法包括数据清洗、异常值处理、数据平滑和数据归一化等。
三、曲线拟合的基本概念1. 曲线拟合的定义曲线拟合是通过数学模型来描述和预测实验数据的一种方法。
通过找到最佳拟合曲线，可以近似地表示实验数据的规律和趋势。
2. 曲线拟合的目标曲线拟合的目标是找到最佳拟合曲线，使得拟合曲线与实验数据之间的误差最小化。
常见的误差度量方法包括最小二乘法、最大似然估计和最小绝对值法等。
3. 曲线拟合的模型曲线拟合的模型可以是线性模型、非线性模型或混合模型等。
选择合适的模型需要根据实验数据的特点和目标需求进行。
四、曲线拟合的方法1. 线性回归线性回归是一种常见的曲线拟合方法，适用于线性关系较为明显的实验数据。
通过最小化实验数据与拟合曲线之间的误差，可以得到最佳拟合直线。
2. 非线性回归非线性回归适用于实验数据存在非线性关系的情况。
常见的非线性回归方法包括多项式回归、指数回归和对数回归等。
通过选择合适的函数形式和参数，可以得到最佳拟合曲线。
3. 插值法插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
通过插值方法可以得到平滑的曲线拟合结果。
4. 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化实验数据与拟合曲线之间的误差来求解模型参数的方法。
通过最小二乘法可以得到最佳拟合曲线的参数估计值，并评估拟合曲线的拟合程度。
曲线拟合实验报告[优秀范文5篇]
![曲线拟合实验报告[优秀范文5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/ed56c4cd0342a8956bec0975f46527d3240ca6e1.png)
曲线拟合实验报告[优秀范文5篇]第一篇：曲线拟合实验报告数值分析课程设计报告学生姓名学生学号所在班级指导教师一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的: ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式,并应用算法于实际问题。
⑵学会基本的矩阵运算,注意点乘与叉乘的区别。
实验要求: ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式,并求平方误差,做出离散函数与拟合函数的图形;⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差,并用MATLAB的内部函数plot作出其图形,并与(1)结果进行比较。
三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的数据点,并不要求这条曲线精确的经过这些点,而就是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。
思路分析 : 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点）（i iy x , 误差i i iy x p r -=)(的大小,常用的方法有三种:一就是误差i i iy x p r -=)(绝对值的最大值im ir≤≤ 0max ,即误差向量的无穷范数;二就是误差绝对值的与∑=miir0,即误差向量的 1成绩评定范数;三就是误差平方与∑=miir02的算术平方根,即类似于误差向量的 2 范数。
前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2 范数的平方,此次采用第三种误差分析方案。
算法的具体推导过程: 1、设拟合多项式为:2、给点到这条曲线的距离之与,即偏差平方与:3、为了求得到符合条件的 a 的值,对等式右边求偏导数,因而我们得到了:4、将等式左边进行一次简化,然后应该可以得到下面的等式5、把这些等式表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====niininiiknikinikinikinikiniiniinikiniiyyyaax x xx x xx x11i11012111111211 1an MMΛM O M MΛΛ 6.将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n kkn nkkyyyaaax xx xx x M MΛM O M MΛΛ21102 21 1111 7、因为 Y A X = * ,那么 X Y A / = ,计算得到系数矩阵,同时就得到了拟合曲线。
物理实验技术使用中如何进行数据拟合与曲线拟合
物理实验技术使用中如何进行数据拟合与曲线拟合在物理实验中，数据拟合与曲线拟合是一项非常重要的技术。
通过对实验数据进行拟合，我们可以得到更准确的实验结果，进一步理解和解释实验现象。
本文将介绍物理实验中如何进行数据拟合与曲线拟合的常用方法和技巧。
一、数据拟合的基本概念与方法数据拟合是指根据一组离散的实验数据点，找到能够最好地描述这些数据点的某种函数形式。
常用的数据拟合方法有最小二乘法和非线性最小二乘法。
1. 最小二乘法最小二乘法是一种最常用的线性数据拟合方法。
它通过寻找最小化残差平方和的参数值，来确定拟合函数的参数。
残差是指实验数据和拟合函数值之间的差异。
在使用最小二乘法进行数据拟合时，首先需要确定拟合函数的形式。
然后，将实验数据代入拟合函数，并计算残差平方和。
通过对残差平方和进行最小化，可以得到最佳的拟合参数。
2. 非线性最小二乘法非线性最小二乘法是适用于非线性拟合问题的方法。
在非线性拟合中，拟合函数的形式一般是已知的，但是函数参数的确定需要通过拟合实验数据来进行。
非线性最小二乘法通过迭代寻找最小化残差平方和的参数值。
首先，假设初始参数值，代入拟合函数，并计算残差。
然后，根据残差的大小，调整参数值，直到残差平方和最小化。
二、曲线拟合的常用方法与技巧曲线拟合是一种在实验中常见的数据处理方法。
例如，在光谱实验中，我们常常需要对谱线进行拟合，来确定峰的位置、宽度等参数。
1. 多项式拟合多项式拟合是一种常用的曲线拟合方法。
多项式可以近似任何函数形式，因此可以适用于不同形状的实验数据曲线。
在多项式拟合中，我们根据实验数据点的分布情况，选择适当的多项式次数。
通过最小二乘法，确定多项式的系数，从而得到拟合曲线。
2. 非线性曲线拟合非线性曲线拟合适用于实验数据具有复杂形状的情况。
拟合函数的形式一般是已知的，但是参数的确定需要通过拟合实验数据来进行。
非线性曲线拟合的方法类似于非线性最小二乘法。
通过寻找最小化残差平方和的参数值，可以得到拟合曲线的形状和特征。
实验数据曲线拟合方法研究
本科毕业设计论文题目实验数据曲线拟合方法研究专业名称学生姓名指导教师毕业时间毕业一、题目实验数据曲线拟合方法研究二、指导思想和目的要求通过毕业设计，使学生对所学自动控制原理、现代控制原理、控制系统仿真、电子技术等的基本理论和基本知识加深理解和应用；培养学生设计计算、数据处理、文件编辑、文字表达、文献查阅、计算机应用、工具书使用等基本事件能力以及外文资料的阅读和翻译技能；掌握常用的实验数据曲线拟合方法，培养创新意识，增强动手能力，为今后的工作打下一定的理论和实践基础。
要求认真复习有关基础理论和技术知识，认真对待每一个设计环节，全身心投入，认真查阅资料，仔细分析被控对象的工作原理、特性和控制要求，按计划完成毕业设计各阶段的任务，重视理论联系实际，写好毕业论文。
三、主要技术指标设计系统满足以下要求：数据拟合误差要尽量的小的同时保证曲线的线形形状最佳。
四、进度和要求1、搜集中、英文资料，完成相关英文文献的翻译工作，明确本课题的国内外研究现状及研究意义；（第1、2周）2、撰写开题报告；（第3、4周）3、应用最小二乘法进行曲线拟合；（第5、6周）4、应用Matlab命令曲线拟合；（第7、8周）5、应用Matlab图形用户界面曲线拟合；（第9、10周）6、研究其他曲线拟合方法；（第11周）7、整理资料撰写毕业论文；（1）初稿；（第12、13周）（2）二稿；（第14周）8、准备答辩和答辩。
（第15周）五、主要参考书及参考资料[1]卢京潮，《自动控制原理》，西北工业大学出版社，2010.6[2]胡寿松，《自动控制原理》，科学出版社，2008，6[3]薛定宇，陈阳泉，《系统仿真技术与应用》，清华大学出版社，2004.4[4]王正林，《Matlab/Simulink与控制系统仿真》，电子工业出版社，2009.7[5]李桂成，《计算方法》，电子工业出版社，2013.8[6]蒋建飞，胡良剑，唐俭.数值分析及其Matlab实验【M】.北京：科学出版社，2008学生指导教师系主任摘要在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。
Origin8.0实验数据处理与曲线拟合详解
1.1 Origin的一些变化
1、新增了“X－Functions”技术 自1991年Origin问世以来，版本从4.0、5.0、
6.0、7.0、7.5到2007年推出的8.0版，软件不断完 善。与7.5版相比，Origin8.0在菜单设计、具体操 作等很多方面都有显著改进，特别是采用了X－ Functions技术，更是把“模块化”和“对象化” 发挥到了淋漓尽致的程度。
6、非线性曲线拟合
(1) 导入Gaussian.dat数据文件，选中C(Y)列数据，将 其坐标属性改为C(yEr?)栏，选中B(Y)和C(yEr?)栏，选择 菜单命令[Plot]→[Symbol]→[Scatter],绘制散点图如下：
6、非线性曲线拟合
选择菜单命令[Analysis]→[Fitting]→[Nonlinear Curve Fit],打开[NLFit]对话框如下图
•设定级数为3
3、多项式拟合
点击“OK”后画出的拟合曲线事下图，从图中可以看 出，拟合曲线与数 据点吻合的非常好， 而且它的相关系数 也很好，达到了 0.99767。
3、多项式拟合
因此，这组数据的变化规律可以用一元三次多项式来描述：
3、多项式拟合
如果把拟合多项式的级数进一步增大，比如增大到6， 拟合结果又会是怎样的呢？请同学们自己立刻拟合一次！
5、指数拟合
可以看出，拟 合曲线与散点 变化规律非常 吻合
5、指数拟合
6、非线性曲线拟合
非线性曲线拟合(Nonlinear Curve Fit , NLFit)是Origin 所提供的功能最强大、使用也最复杂的数据拟合工具。有 多达200多个数据表达式，用于曲线拟合函数，这些数学表 达式选自不同的学科领域的数据模型，能满足绝大多数科 技工程中的曲线拟合需求。Origin的非线性曲线拟合是通 过[NLFit]对话框实现的。下面以Samples\Curve Fitting\Gaussian.dat数据进行非线性曲线拟合演示。
曲线拟合数值方法的介绍与其在试验数据分析中的应用
题目：曲线拟合数值方法简介与其在实验数据分析中的应用学院化工学院专业工业催化年级2014级博姓名赵娜2015年6月9日曲线拟合数值方法的简介与其在实验数据分析中的应用一．简介我的专业研究方向为工业催化，听上去和数学毫不沾边，但在大量的数据处理中，我们必须应用到各种数据处理方法，数据拟合分析就是其中之一。
曲线拟合有多种方法，下面我们来简单介绍一下。
首先介绍下曲线拟合的定义：曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。
即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
二．拟合方法简述曲线拟合的方法有很多种，各有各的优势。
再此我将简单介绍最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS三次曲线拟合和基于RBF曲线拟合四种曲线拟合方法。
1.最小二乘法最小二乘法是一种早期的曲线拟合方法，主要利用最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
该方法求出数据点到拟合函数的距离和最小，且最小二乘法的拟合函数可以是一元二次，也可一元多次，多元多次。
2.移动最小二乘法移动最小二乘法是对最小二乘法进行的改进优化得到的，通过引入紧支概念，选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数，以得到更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
3.NURBS三次曲线拟合NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代图形学的基础，因此NURBS曲线拟合有着重要的实际意义，利用OpenGL 的NURBS曲线拟合函数，即可得到NURBS曲线。
4.基于RBF的曲线拟合径向神经网络是以径向基函数（RBF）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。
这是一种数学分析方法，具有较快的收敛速度、强大的抗噪和修复能力。
三.数据处理中的应用如上图所示，此为催化剂活性的动力学示意图，在实验中记录不同条件下的各个点，最后采用曲线拟合的方法得到动力学曲线，并且使得实验误差最小。
物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法
物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法实验数据处理和曲线拟合方法在物理实验中起着至关重要的作用。
通过对实验数据的处理和曲线拟合，我们可以更好地理解实验现象、验证理论模型以及得出精确的实验结果。
本文将探讨物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法。
在物理实验中，实验数据处理的第一步是数据整理和转化。
在实验过程中，我们通常会使用各种仪器和设备来测量和记录数据，如示波器、电压表、温度计等。
这些仪器所得到的数据通常需要进行数据清洗和整理，去除噪声和异常值，以提高数据的准确性和可靠性。
同时，为了方便后续的处理和分析，我们还需要对数据进行转化和标准化，如将温度数据转化为摄氏度、将时间数据转化为秒等。
一种常用的实验数据处理方法是统计分析。
统计分析可以帮助我们更好地理解数据的分布特征和规律性，并从中得到有意义的结论。
常见的统计分析方法包括均值、标准差、相关系数等。
通过这些统计指标，我们可以了解数据的集中趋势、离散程度以及变量之间的关系。
如果实验数据符合正态分布，我们还可以应用概率论和数理统计的方法，推导出更精确的物理模型或结论。
除了统计分析外，曲线拟合也是实验数据处理的一种重要方法。
曲线拟合是将已知的实验数据与已知的函数形式进行比较，并通过拟合求取最佳的拟合参数。
常见的曲线拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
在物理实验中，我们经常遇到需要将实验数据拟合为直线、二次曲线、指数曲线等情况。
通过曲线拟合，我们可以得到实验数据的数学表达式，进而对实验结果做出更深入的分析和解释。
实验数据处理和曲线拟合尤其在物理实验的结果分析中扮演重要角色。
通过对实验数据的处理和分析，我们可以验证理论模型的准确性，并从中得出实验结果的科学解释。
例如，在电学实验中，通过对电压和电流数据的处理和曲线拟合，我们可以推导出电阻的数值以及电路中其他元器件的特性。
在力学实验中，通过对质点运动轨迹数据的处理和曲线拟合，我们可以得到质点的加速度和力的大小等信息。
数据拟合与曲线拟合实验报告
数据拟合与曲线拟合实验报告【数据拟合与曲线拟合实验报告】1. 实验介绍数据拟合与曲线拟合是数学和统计学中非常重要的概念和方法。
在科学研究、工程技术和数据分析中，我们经常会遇到需要从一组数据中找到代表性曲线或函数的情况，而数据拟合和曲线拟合正是为了解决这一问题而存在的。
2. 数据拟合的基本原理数据拟合的基本思想是利用已知的一组数据点，通过某种数学模型或函数，找到一个能够较好地描述这组数据的曲线或函数。
常见的数据拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、指数拟合等。
在进行数据拟合时，我们需要考虑拟合的精度、稳定性、可行性等因素。
3. 曲线拟合的实验步骤为了更好地理解数据拟合与曲线拟合的原理与方法，我们进行了一组曲线拟合的实验。
实验步骤如下：- 收集一组要进行拟合的数据点；- 选择合适的拟合函数或模型；- 利用最小二乘法或其他拟合方法，计算拟合曲线的参数；- 对拟合结果进行评估和分析；- 重复实验，比较不同的拟合方法和模型。
4. 数据拟合与曲线拟合的实验结果通过实验，我们掌握了数据拟合和曲线拟合的基本原理与方法。
在实验中，我们发现最小二乘法是一种简单而有效的数据拟合方法，能够较好地逼近实际数据点。
我们还尝试了多项式拟合、指数拟合等不同的拟合方法，发现不同的拟合方法对数据拟合的效果有着不同的影响。
5. 经验总结与个人观点通过这次实验，我们对数据拟合和曲线拟合有了更深入的理解。
数据拟合是科学研究和实践工作中不可或缺的一部分，它能够帮助我们从一堆杂乱的数据中提炼出有用的信息和规律。
曲线拟合的精度和稳定性对研究和实践的结果都有着重要的影响，因此在选择拟合方法时需要慎重考虑。
6. 总结在数据拟合与曲线拟合的实验中，我们深入探讨了数据拟合和曲线拟合的基本原理与方法，并通过实验实际操作，加深了对这一概念的理解。
数据拟合与曲线拟合的重要性不言而喻，它们在科学研究、工程技术和信息处理中发挥着重要的作用，对我们的日常学习和工作都具有重要的指导意义。
物理实验中的数据拟合与曲线分析技术
物理实验中的数据拟合与曲线分析技术在物理实验中，数据拟合与曲线分析技术是非常重要的工具。
通过对实验数据的分析和处理，我们可以得到更准确的结果，进一步理解和解释所研究的物理现象。
本文将介绍数据拟合与曲线分析的基本概念和常用方法。
一、数据拟合的基本概念所谓拟合，即通过某种数学模型来拟合实验数据的曲线，以求得该模型的参数。
拟合的目的是找到最佳的拟合曲线，使其能够较好地描述实验数据，并能够用于预测和推测未知数据。
在物理实验中，常见的拟合模型包括线性模型、多项式模型、指数模型等。
数据拟合有多种方法，其中最常见的是最小二乘法。
该方法通过最小化实验数据与拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线。
在实际操作中，可以利用计算软件进行拟合计算，以提高效率和准确性。
二、曲线分析的常用方法曲线分析是研究曲线特性和趋势的方法。
通过对实验数据进行曲线分析，可以揭示出数据的规律和趋势，促进对物理现象的深入理解。
在曲线分析中，有几个基本的概念和方法是非常重要的。
首先是斜率和截距，它们可以提供曲线的直观特征。
通过斜率可以了解曲线的变化速率，而截距则提供了曲线与坐标轴的交点位置。
其次是曲率和凸凹性。
曲率描述了曲线的弯曲程度，可以用于判断曲线的平滑程度和拐点位置。
凸凹性则指曲线的凸起和凹陷程度，通过分析凸凹性可以得到曲线上的极值点。
还有相关系数和确定系数，它们用于评估拟合曲线的质量和拟合程度。
相关系数衡量了实验数据与拟合曲线之间的线性关系程度，确定系数则表示拟合曲线能够解释实验数据的百分比。
三、实例分析为了更好地理解数据拟合与曲线分析技术，我们以某种物理实验的实例进行分析。
假设我们进行了一次关于弹簧的实验，通过测量质点的位移和受力的关系，我们得到了一组实验数据。
根据经验，我们可以猜想该实验符合胡克定律，即受力与位移成正比。
首先，我们可以利用最小二乘法进行线性拟合，得到拟合直线的斜率和截距。
通过斜率可以计算出胡克系数，从而得到弹簧的弹性常数。
标准曲线拟合原则
标准曲线拟合原则
标准曲线拟合原则是指在拟合实验数据时，选择合适的拟合函数，并通过将实验数据点与拟合曲线进行比较，使得拟合曲线能够最好地描述实验数据的趋势和规律。
具体来说，标准曲线拟合原则包括以下几个方面：
1. 选择合适的拟合函数：根据实验数据的特点和目的，选择合适的拟合函数，如线性函数、多项式函数、指数函数等。
通常，选择的拟合函数应该与实验数据的趋势和规律保持一致。
2. 最小二乘法拟合：使用最小二乘法进行拟合，即使得拟合曲线与实验数据点之间的误差平方和最小。
通过求解最小二乘法拟合的优化问题，可以得到拟合曲线的参数值。
3. 拟合曲线与实验数据点的比较：将拟合曲线与实验数据点进行比较，评估拟合的优度。
常用的评估指标包括残差平方和、相关系数、回归系数等。
如果拟合曲线能够较好地描述实验数据的趋势和规律，拟合的效果就较好。
4. 验证拟合结果的可靠性：进行交叉验证或重复实验，验证拟合结果的可靠性。
如果拟合结果能够稳定地预测和解释新的实验数据，说明拟合结果比较可靠。
总的来说，标准曲线拟合原则强调在拟合实验数据时选择合适的拟合函数，并通过比较拟合曲线与实验数据点之间的误差和
拟合的优度评估指标，确保拟合结果能够较好地描述实验数据的趋势和规律。
python拟合曲线并输出公式
一、引言Python作为一种功能强大的编程语言，广泛应用于数据处理、科学计算和人工智能等领域。
在数据分析和曲线拟合方面，Python也有着丰富的库和工具，能够帮助我们对数据进行拟合并输出拟合曲线的公式。
本文将介绍如何使用Python进行曲线拟合并输出拟合公式的方法和步骤。
二、数据准备进行曲线拟合之前，首先需要准备好相应的数据。
数据可以是实验采集得到的，也可以是从文件中读取的。
假设我们有一组实验数据，包括自变量X和因变量Y，我们需要将这些数据导入到Python中进行处理和拟合。
三、导入库在Python中进行曲线拟合需要使用到一些相关的库，如numpy、scipy、matplotlib等。
我们首先需要导入这些库，以便后续进行数据处理和绘图。
import numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fitimport matplotlib.pyplot as plt四、曲线拟合接下来，我们使用curve_fit函数对数据进行曲线拟合。
该函数能够根据给定的模型对数据进行拟合，并返回拟合曲线的参数。
def func(x, a, b, c):return a * np.exp(-b * x) + cpopt, pcov = curve_fit(func, X, Y)其中，func为我们要拟合的函数模型，popt为拟合得到的参数，pcov为参数的协方差矩阵。
在这里，我们以指数函数a*exp(-bx)+c 为例进行拟合，实际拟合的函数模型可以根据实际情况进行选择。
五、输出拟合公式拟合得到参数后，我们可以将其组合成拟合公式并输出。
我们将拟合参数格式化成字符串，然后将其插入到拟合函数中，最终得到拟合公式。
a = popt[0]b = popt[1]c = popt[2]fit_equation = f'y = {a} * exp({-b} * x) + {c}'print('拟合公式：', fit_equation)六、绘制拟合曲线我们可以使用matplotlib库将拟合曲线和原始数据一起绘制出来，以便直观地观察拟合效果。
实验数据曲线拟合方法研究答辩稿
最小二乘法原理
曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂 函数f(x)，求出一个简单的便于计算的函 数p(x)，要求使f(x)与p(x)的误差在某种 度量意义下最小。我们把近似值 s( xi ) 和 测定值 yi 的插值称为残余误差 i ，即 i s( xi , yi ) 显然，残差的大小是衡量拟 合好坏的重要标志。采用残差的平方和最 小： i2 min ,而只要残差误差最小。
实验数据曲线拟合方法研究
指导老师： 指导学员： 学 班 号结构
1.曲线拟合概述
2.曲线拟合及最小二乘法
3.基于MATLAB实现最小二乘法 4.多项式摆动
曲线拟合概述
在科学实验或社会活动中，人们常常需要 观测数据的规律,，通过实验或者观测得到量x与 y的一组数据对( xi , yi ) (i=1,2, …，N),其中是彼 此不同的。人们希望用一类与数据本质规律相适 应的解析表达式 来反映量x与y之间的依赖关系， 即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
论文主要内容
本文介绍了几种常用的数据拟合方法，并 着重对曲线拟合方法进行了研究，介绍了线性 与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、 牛顿迭代法等。介绍了软件MATLAB，应用 MATLAB处理克服了最小二乘法计算量大等缺 点。并使用MATLAB实现最小二乘法法，非线 性曲线，多项式曲线的仿真。 为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多 项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这 些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中 减少这些偏差的处理方法。
选择拟合模型
• 1.根据散点图来确定类型。 • 2.根据专业知识和经验，判断研究的数据曲 线属于什么类型。
常见的非线性模型
1.多项式函数 2.双曲线模型 3.双对数函数模型 4.半对数函数模型 5.逻辑斯蒂曲（Logistic）线 6.指数曲线 7.幂函数曲线 8.龙伯兹曲线
数值分析实验之拟合
数值分析实验之拟合拟合是数值分析中的重要内容之一，通过对已知数据进行拟合，可以得到未知数据的近似值，从而进行预测和分析。
本次实验的目的是通过拟合方法，对给定的数据集进行曲线拟合，并分析拟合结果的准确性和适用性。
实验步骤：1.数据收集：从已有的数据集中选择一组适当的数据用于拟合实验。
这些数据可能是实验数据、调查数据或者通过其他方法获得的数据。
为了方便分析，我们选择一个二次曲线的数据集作为示例。
2. 选择拟合模型：根据数据的性质和曲线的特点，选择合适的拟合模型。
在本次实验中，我们选择二次曲线模型进行拟合。
该模型可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待求的参数。
3.参数估计：通过最小二乘法等统计方法，对待求参数进行估计。
最小二乘法是常用的参数估计方法，它通过最小化残差的平方和来确定最佳参数估计值。
在本次实验中，可以利用MATLAB或者其他数值计算软件来实现最小二乘法。
4.拟合结果评估：将估计获得的参数代入拟合模型中，得到拟合曲线，并将其与原始数据进行对比。
在本次实验中，可以通过绘制原始数据和拟合曲线的图像，观察拟合效果的好坏。
5.拟合结果分析：分析拟合结果的准确性和适用性。
可以从图像上观察拟合曲线与原始数据的拟合程度，如果两者重合度较高，则拟合结果较为准确。
此外，还可以比较拟合曲线的误差和残差等指标，来评估拟合结果的质量。
实验结果分析：通过以上步骤，我们得到了二次曲线拟合的结果。
拟合曲线与原始数据的重合度较高，说明拟合效果较好。
此外，通过计算拟合曲线的误差和残差，可以得到更加准确的评估结果。
在本次实验中，我们选择了二次曲线模型进行拟合。
然而，在实际应用中，并不是所有的数据都适合二次曲线模型。
根据实际情况，选择合适的拟合模型非常重要。
如果选择不当，将会导致拟合结果的不准确和误导性。
总结：拟合是数值分析中一项重要的实验内容，通过对已知数据进行拟合，可以获得未知数据的近似值，并进行预测和分析。
数据处理与曲线拟合的技巧与方法
数据处理与曲线拟合的技巧与方法数据处理和曲线拟合是科学研究和工程应用中的重要环节，它们在各个领域都起到至关重要的作用。
本文将介绍一些数据处理和曲线拟合的常用技巧和方法，帮助读者更好地进行数据分析和模型建立。
一、数据处理的技巧1. 数据清洗在进行数据分析之前，首先需要对原始数据进行清洗。
数据清洗包括去除异常值、缺失值处理和数据平滑等步骤。
去除异常值是为了避免异常数据对后续分析结果的影响，可使用统计学方法或者专业领域知识进行判断。
缺失值处理可以采用插补、删除或者替代等方法，以保证数据的完整性和准确性。
数据平滑是为了去除数据中的噪声，使得数据更具可读性和可分析性。
2. 数据标准化数据标准化是将不同指标具有不同量纲或量纲不同的数据进行统一处理，以便进行综合比较和分析。
常见的数据标准化方法有最大最小值标准化、Z-score标准化和小数定标标准化等。
最大最小值标准化将数据线性映射到[0,1]区间内，Z-score标准化将数据转化为标准正态分布，而小数定标标准化则将数据除以一个固定的基数。
3. 数据采样在大规模数据集中进行分析时，为了提高效率和减少计算量，可以对数据进行采样。
常见的数据采样方法有随机采样、分层采样和聚类采样等。
随机采样是从原始数据集中随机抽取一部分数据进行分析；分层采样是将数据分成若干层，然后按照一定比例从每一层中抽取样本；聚类采样是将数据分成若干簇，然后从每一簇中随机选取样本。
二、曲线拟合的方法1. 线性拟合线性拟合是最简单的曲线拟合方法之一，它拟合出的曲线为一条直线。
在线性拟合中，通过最小二乘法可以求得拟合直线的斜率和截距。
线性拟合常用于分析两个变量之间的线性关系。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来拟合数据的方法。
通过最小二乘法可以求得多项式函数的系数，可以根据需要选择合适的多项式阶数。
多项式拟合在具有非线性关系的数据分析中经常使用。
3. 非线性拟合非线性拟合是拟合更复杂的非线性模型的方法，常用的非线性模型有指数函数、幂函数和对数函数等。
数据处理及曲线拟合的技巧集
数据处理及曲线拟合的技巧集在当今数字化的时代，数据处理和曲线拟合成为了许多领域中至关重要的环节。
无论是科学研究、工程设计，还是经济分析、社会调查，我们都经常需要对大量的数据进行处理和分析，以提取有价值的信息，并通过曲线拟合来建立数据之间的关系模型。
本文将为您介绍一些实用的数据处理及曲线拟合的技巧，帮助您更高效地应对各种数据相关的任务。
一、数据处理的基础技巧在进行数据处理之前，首先要确保数据的准确性和完整性。
这就需要对原始数据进行仔细的检查，排除可能存在的错误和缺失值。
对于错误的数据，可以通过与相关数据源进行对比、采用逻辑判断等方法进行修正；而对于缺失值，可以根据具体情况选择合适的处理方法，如使用平均值、中位数或通过其他相关数据进行估算填充。
数据的清洗也是一项重要的工作。
这包括去除重复的数据、消除异常值以及对数据进行标准化或归一化处理。
异常值可能是由于测量误差、数据录入错误或特殊情况导致的，需要谨慎判断其是否应该被剔除。
标准化和归一化则可以使不同量级和单位的数据具有可比性，便于后续的分析和处理。
数据的分类和分组也是常用的技巧之一。
根据数据的特征和研究目的，可以将数据分为不同的类别或组别，以便分别进行分析和比较。
例如，在市场调查中，可以将消费者按照年龄、性别、收入等因素进行分组，研究不同组别的消费行为差异。
二、数据处理的高级技巧除了基础技巧，还有一些高级的数据处理技巧能够帮助我们更深入地挖掘数据的价值。
主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法。
当数据的维度较高时，直接进行分析和处理会变得非常困难。
PCA 可以将多个相关的变量转化为少数几个不相关的主成分，在保留大部分数据信息的同时，降低数据的维度，从而简化分析过程。
聚类分析则可以将数据按照相似性分为不同的簇。
通过聚类分析，我们可以发现数据中的隐藏模式和结构，例如在客户细分中，将客户分为不同的群体，为精准营销提供依据。
时间序列分析在处理具有时间顺序的数据时非常有用。
python ceres 曲线拟合
一、概述Python是一种高效、易用的编程语言，广泛应用于科学计算、数据分析等领域。
而Ceres是一个用C++编写的优化库，主要用于求解大规模、非线性最小二乘问题。
在实际工程和科学研究中，常常需要对实验数据进行曲线拟合，以求得合适的模型参数。
本文将介绍如何使用Python和Ceres进行曲线拟合。
二、数据准备在进行曲线拟合之前，首先需要准备一组实验数据。
假设我们有一组二维数据点(x, y)，我们的目标是找到一个函数y=f(x)，使得该函数能够很好地拟合这些数据点。
三、Python的曲线拟合功能Python提供了多种方法进行曲线拟合，比如最小二乘法、最大似然估计、正则化方法等。
这些方法在不同的情况下有着不同的优劣势。
在本文中，我们将重点介绍最小二乘法，并使用Ceres库进行优化。
四、Ceres库的安装Ceres库是一个开源的优化库，支持多种优化问题的求解。
在使用Ceres之前，我们需要先安装该库。
以下是Ceres库的安装步骤：1. 下载并安装CMake2. 下载Ceres库的源码并解压3. 使用CMake配置和生成Ceres的makefile4. 编译并安装Ceres库五、使用Ceres进行曲线拟合在安装好Ceres库之后，我们可以开始使用该库进行曲线拟合。
以下是使用Ceres进行曲线拟合的基本步骤：1. 定义曲线拟合模型，包括误差函数和优化变量2. 设置优化问题的参数，比如优化的方式、最大迭代次数等3. 调用Ceres库的优化函数，求解得到最优的模型参数六、案例分析为了更好地理解Ceres库在曲线拟合中的应用，我们将以一个简单的案例来进行分析。
假设我们有一组数据点(x, y)，现在我们想要使用Ceres库来拟合这些数据点，并得到一个最优的多项式拟合函数。
具体步骤如下：1. 定义误差函数2. 设置优化问题的参数3. 调用Ceres库进行优化4. 得到最优的多项式拟合函数七、总结本文介绍了如何使用Python和Ceres库进行曲线拟合。
ic50曲线拟合 excel
IC50曲线拟合在药物筛选和毒理学研究中起着重要作用。
在实验室中，通过测定药物对细胞或生物体的半数抑制浓度（IC50值），可以评估药物的药效和毒性。
在IC50数值确定后，通常会通过曲线拟合来确定药物的活性和毒性。
本文将介绍如何使用Excel进行IC50曲线拟合。
一、准备实验数据在进行IC50曲线拟合之前，首先需要准备实验数据。
实验数据通常包含不同浓度下的药物效应值，如细胞存活率或酶活性。
这些数据应当按照浓度从低到高的顺序排列，并且至少包含3个不同浓度的数据点。
可以使用Excel表格记录每个浓度下的细胞存活率。
二、绘制药效曲线在Excel中，可以利用散点图或折线图将实验数据绘制成药效曲线。
在绘制图表时，应当将浓度作为X轴，药物效应值作为Y轴。
在绘制图表时，应当选择合适的数据系列，并添加足够的数据点以确保曲线的平滑和可靠性。
三、确定IC50值IC50值是指药物的半数抑制浓度，通常是指药物对细胞存活率或酶活性产生50的抑制作用时的浓度。
在Excel中，可以利用公式或函数来计算IC50值。
常见的方法是通过拟合药效曲线来确定IC50值。
四、IC50曲线拟合在Excel中，可以利用数据分析工具来进行IC50曲线拟合。
需要点击“数据”选项卡，选择“数据分析”命令，然后选择“曲线拟合”功能。
在弹出的对话框中，可以选择“对数型曲线”，并输入相应的参数。
五、结果分析拟合完成后，可以得到IC50值和相关的拟合曲线。
在结果分析中，需要对拟合曲线进行评估，并确定IC50值的可靠性。
通常会通过相关系数、残差分析等指标来评估拟合效果，并使用图表来展示拟合曲线和实验数据的吻合程度。
六、结果验证为了验证IC50曲线拟合的结果，可以进行进一步实验或继续观察药物的效应。
对于新药研发或毒理学评价，IC50曲线拟合的准确性和可靠性至关重要。
结果验证是非常必要的。
七、实验注意事项在进行IC50曲线拟合时，需要注意一些实验细节。
实验数据的准确性和可靠性、曲线拟合的参数选择、结果评估的客观性等。
–1实验数据和曲线拟合示意图
图7–1 实验数据和曲线拟合示意图
图7-2 表7-2数据的散点图 图7-3 例7.2.1数据散点图和拟合曲线
图7-5a 例7.3.1数据的散点图图7-5b数据散点图和拟合曲线的图形
图7–7 电阻R 与温度t 之间的关系 图7–8
数据点(t i ,r i )和拟合直线
图7-6a 表7-3 给出的数据的散点图 图7-6b 数据散点图和拟合曲线
图7-9 例7.5.1数据点的散点图图7-10散点图和拟合曲线
图7–11a血药浓度c (t)数据图7-11b散点图和拟合曲线
图7–13 最佳逼近函数的图形
图7–14 例7.7.1 的函数)(x f ，350,60,13 n 的三角多项式和数据点的图形
图7–15 用最近邻内插法拟合函数Z =7-3x 3e
2
2y - -x 的曲面和节点的图形
图7–16 用三角基线性内插法拟合函数Z =7-3x 3e
2
2y - -x 的曲面和节点的图形
图7–17 用三角基三次内插法拟合函数Z =7-3x 3e
2
2y - -x 的曲面和节点的图形
图7–18 用MATLAB 4网格化坐标方法拟合函数Z =7-3x 3e
2
2y - -x 的曲面和节点的图形
图7–19 被拟合函数Z =7-3x 3e
2
2y - -x 的曲面和节点的图形
图7–20 被拟合函数)1(73+-=z y x w e
2
2
2
Z
y x ---的有关图形
图7–21被拟合函数x w +=2e
2
22z y x ---的有关图形。
物理实验技术中如何利用校准曲线进行数据拟合
物理实验技术中如何利用校准曲线进行数据拟合在物理实验中，我们经常需要根据实验数据得到某种物理量的数值。
然而，由于一些系统误差的存在，我们得到的原始数据往往存在一定的偏差。
为了减小这些误差，提高实验的精度，我们通常会使用校准曲线来对数据进行拟合。
一、校准曲线的概念和作用校准曲线是通过对标准物质进行一系列测量实验得到的曲线，用来校正仪器的测量结果。
它的作用是建立一个与实验结果相关的数学模型，通过对实验数据和标准曲线进行比较，获得更准确的测量结果。
校准曲线的建立过程需要严格控制实验条件，以确保测量结果的可靠性。
一般而言，我们会多次测量标准曲线上的不同点，然后利用这些测量结果拟合出一个数学模型。
而后，我们可以通过该模型对未知数据进行预测和修正，减小仪器的系统误差。
二、校准曲线的拟合方法在物理实验中，我们会遇到各种各样的曲线。
因此，校准曲线的拟合方法也会因曲线类型的不同而有所差异。
下面介绍几种常见的拟合方法。
1. 直线拟合法直线拟合法是校准曲线拟合中最简单的方法之一。
它适用于实验数据呈线性关系的情况。
通过寻找最优的直线拟合来确定标准曲线的函数表达式。
直线拟合的常用方法有最小二乘法和最大似然法。
2. 曲线拟合法当标准曲线的形状复杂，或实验数据呈现出非线性关系时，我们需要使用曲线拟合法。
曲线拟合法具有较高的灵活性，能够适应各种类型的曲线。
我们常用的方法有多项式拟合、指数拟合、对数拟合等。
3. 非线性拟合法非线性拟合法适用于实验数据与标准曲线之间存在非线性关系的情况。
在这种情况下，我们需要使用非线性函数来进行数据拟合。
常用的非线性拟合方法有最小二乘法、最大似然法、全局最优拟合等。
非线性拟合通常需要一定的计算量，因此较为复杂。
三、校准曲线的应用实例为了更好地理解校准曲线的应用，我们举一个实例进行说明。
假设我们需要测量一个固体的密度。
为了获得更准确的结果，我们使用了一个已知密度的标准物质进行校准。
我们首先测量了这个标准物质的质量和体积，得到一组数据，并通过直线拟合法获得了一个线性校准曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验数据与曲线拟合1. 曲线拟合1. 曲线拟合的定义2. 简单线性数据拟合的例子2. 最小二乘法曲线拟合1. 最小二乘法原理2. 高斯消元法求解方程组3. 最小二乘法解决速度与加速度实验3. 三次样条曲线拟合1. 插值函数2. 样条函数的定义3. 边界条件4. 推导三次样条函数5. 追赶法求解方程组6. 三次样条曲线拟合算法实现7. 三次样条曲线拟合的效果4. 12.1 曲线拟合5. 12.1.1 曲线拟合的定义6. 曲线拟合(Curve Fitting)的数学定义是指用连续曲线近似地刻画或比拟平面上一组离散点所表示的坐标之间的函数关系，是一种用解析表达式逼近离散数据的方法。
曲线拟合通俗的说法就是“拉曲线”，也就是将现有数据透过数学方法来代入一条数学方程式的表示方法。
科学和工程遇到的很多问题，往往只能通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，如果能够找到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程，使得实验数据与方程的曲线能够在最大程度上近似吻合，就可以根据曲线方程对数据进行数学计算，对实验结果进行理论分析，甚至对某些不具备测量条件的位置的结果进行估算。
7. 12.1.2 简单线性数据拟合的例子8. 回想一下中学物理课的“速度与加速度”实验：假设某物体正在做加速运动，加速度未知，某实验人员从时间t0 = 3秒时刻开始，以1秒时间间隔对这个物体连续进行了12次测速，得到一组速度和时间的离散数据，请根据实验结果推算该物体的加速度。
9. 表 12 – 1 物体速度和时间的测量关系表10. 在选择了合适的坐标刻度之后，我们就可以在坐标纸上画出这些点。
如图12–1所示，排除偏差明显偏大的测量值后，可以看出测量结果呈现典型的线性特征。
沿着该线性特征画一条直线，使尽量多的测量点能够位于直线上，或与直线的偏差尽量小，这条直线就是我们根据测量结果拟合的速度与时间的函数关系。
最后在坐标纸上测量出直线的斜率K，K就是被测物体的加速度，经过测量，我们实验测到的物体加速度值是1.48米/秒2。
11.12. 图 12 – 1 实验法测量加速度的过程13.14. 12.2 最小二乘法曲线拟合15. 使用数学分析进行曲线拟合有很多常用的方法，这一节我们先介绍一下最简单的最小二乘法，并给出使用最小二乘法解决上一节给出的速度与加速度实验问题。
16.17. 12.2.1 最小二乘法原理18. 最小二乘法（又称最小平方法）通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，当然，做为一种插值方法使用时，最小二乘法也可以用于曲线拟合。
使用最小二乘法进行曲线拟合是曲线拟合种早期的一种常用方法，不过，最小二乘法理论简单，计算量小，即便是在使用三次样条曲线或RBF（Radial Basis Function）进行曲线拟合大行其道的今天，最小二乘法在多项式曲线或直线的拟合问题上，仍然得到广泛地应用。
使用最小二乘法，选取的匹配函数的模式非常重要，如果离散数据呈现的是指数变化规律，则应该选择指数形式的匹配函数模式，如果是多项式变化规律，则应该选择多项式匹配模式，如果选择的模式不对，拟合的效果就会很差，这也是使用最小二乘法进行曲线拟合时需要特别注意的一个地方。
19. 下面以多项式模式为例，介绍一下使用最小二乘法进行曲线拟合的完整步骤。
假设选择的拟合多项式模式是：20.21. 这m个等式相当于m个方程，a0,a1,…a m是m个未知量，因此这m个方程组成的方程组是可解的，最小二乘法的第二步处理就是将其整理为针对a0,a1,…a m的正规方程组。
最终整理的方程组如下：22.23. 最小二乘法的第三步处理就是求解这个多元一次方程组，得到多项式的系数a0,a1,…a m，，就可以得到曲线的拟合多项式函数。
求解多元一次方程组的方法很多，高斯消元法是最常用的一种方法，下一节就简单介绍一下最小二乘算法实现所用的高斯消元法算法。
24. 12.2.2 高斯消元法求解方程组25. 在数学上，高斯消元法是线性代数中的一个算法，可用来求解多元一次线性方程组，也可以用来求矩阵的秩，以及求可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法虽然以数学家高斯的名字命名，但是最早出现在文献资料中应该是中国的《九章算术》。
26. 高斯消元法的主要思想是通过对系数矩阵进行行变换，将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，从而达到消元的目的，最后通过回代逐个获得方程组的解。
在消元的过程中，如果某一行的对角线元素的值太小，在计算过程中就会出现很大的数除以很小的数的情况，有除法溢出的可能，因此在消元的过程中，通常都会增加一个主元选择的步骤，通过行交换操作，将当前列绝对值最大的行交换到当前行位置，避免了除法溢出问题，增加了算法的稳定性。
27. 高斯消元法算法实现简单，主要有两个步骤组成，第一个步骤就是通过选择主元，逐行消元，最终行程方程组系数矩阵的三角矩阵形式，第二个步骤就是逐步回代的过程，最终矩阵的对角线上的元素就是方程组的解。
下面就给出高斯消元法的一个算法实现：76/*带列主元的高斯消去法解方程组，最后的解在matrixA的对角线上*/77bool GuassEquation::Resolve(std::vector<double>& xValue)78{79 assert(xValue.size()== m_DIM);8081/*消元，得到上三角阵*/82for(int i =0; i < m_DIM -1; i++)83{84/*按列选主元*/85int pivotRow = SelectPivotalElement(i);86if(pivotRow != i)/*如果有必要，交换行*/87{88 SwapRow(i, pivotRow);89}90if(IsPrecisionZero(m_matrixA[i * m_DIM + i]))/*主元是0? 不存在唯一解*/91{92return false;93}94/*对系数归一化处理，使行第一个系数是1.0*/95 SimplePivotalRow(i, i);96/*逐行进行消元*/97for(int j = i +1; j < m_DIM; j++)98{99 RowElimination(i, j, i);100}101}102/*回代求解*/103 m_matrixA[(m_DIM -1)* m_DIM + m_DIM -1]= m_bVal[m_DIM -1]/m_matrixA[(m_D IM -1)* m_DIM + m_DIM -1];104for(int i = m_DIM -2; i >=0; i--)105{106double totalCof =0.0;107for(int j = i +1; j < m_DIM; j++)108{109 totalCof += m_matrixA[i * m_DIM + j]* m_matrixA[j * m_DIM + j];110}111 m_matrixA[i * m_DIM + i]=(m_bVal[i]- totalCof)/ m_matrixA[i * m_DIM+ i ];112}113114/*将对角线元素的解逐个存入解向量*/115for(int i =0; i < m_DIM; i++)116{117 xValue[i]= m_matrixA[i * m_DIM + i];118}119120return true;121}28.29. GuassEquation::Resolve()函数中m_matrixA是以一维数组形式存放的系数矩阵，m_DIM是矩阵的维数，SelectPivotalElement()函数从系数矩阵的第i列中选择绝对值最大的那个值所在的行，并返回行号，SwapRow()函数负责交换系数矩阵两个行的所有值，SimplePivotalRow()函数是归一化处理函数，通过除法操作将指定的行的对角线元素变换为1.0，以便简化随后的消元操作。
30. 12.2.3 最小二乘法解决“速度与加速度”实验31. 根据12.2.1节对最小二乘法原理的分析，用程序实现最小二乘法曲线拟合的算法主要由两个步骤组成，第一个步骤就是根据给出的测量值生成关于拟合多项式系数的方程组，第二个步骤就是解这个方程组，求出拟合多项式的各个系数。
根据对上文最终整理的正规方程组的分析，可以看出其系数有一定的关系，就是每一个方程式都比前一个方程式多乘了一个x i。
因此，只需要完整计算出第一个方程式的系数，其他方程式的系数只是将前一个方程式的系数依次左移一位，然后单独计算出最后一个系数就可以了，此方法可以减少很多无谓的计算。
求解多元一次方程组的方法就使用12.2.2节介绍的高斯消元法，其算法上一节已经给出。
32. 这里给出一个最小二乘算法的完整实现，以12.1.2节的数据为例，因为数据结果明显呈现线性方程的特征，因此选择拟合多项式为v = v0 + at，v0和a就是要求解的拟合多项式系数。
99bool LeastSquare(const std::vector<double>& x_value,const std::vector<double>&y_v alue,100int M, std::vector<double>& a_value)101{102 assert(x_value.size()== y_value.size());103 assert(a_value.size()== M);104105double*matrix =new double[M * M];106double*b=new double[M];107108 std::vector<double> x_m(x_value.size(),1.0);109 std::vector<double> y_i(y_value.size(),0.0);110for(int i =0; i < M; i++)111{112 matrix[ARR_INDEX(0, i, M)]= std::accumulate(x_m.begin(), x_m.end(),0.0); 113for(int j =0; j <static_cast<int>(y_value.size()); j++)114{115 y_i[j]= x_m[j]* y_value[j];116}117 b[i]= std::accumulate(y_i.begin(), y_i.end(),0.0);118for(int k =0; k <static_cast<int>(x_m.size()); k++)119{120 x_m[k]*= x_value[k];121}122}123for(int row =1; row < M; row++)124{125for(int i =0; i < M -1; i++)126{127 matrix[ARR_INDEX(row, i, M)]= matrix[ARR_INDEX(row -1, i +1,M)]; 128}129 matrix[ARR_INDEX(row, M -1, M)]= std::accumulate(x_m.begin(),x_m.end(), 0.0);130for(int k =0; k <static_cast<int>(x_m.size()); k++)131{132 x_m[k]*= x_value[k];133}134}135136 GuassEquation equation(M, matrix, b);137delete[] matrix;138delete[] b;139140return equation.Resolve(a_value);141}33. 将表12－1的数据带入算法，计算得到v0 = 4.05545455，a = 1.48818182，比作图法得到的结果更精确。