1(因式分解)

2014年9月11日星期四
二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上 的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也 没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组 处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法．分组分解法的关键在于如何分组．
【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6
(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
(2)x 2 13 x 36
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6).
(1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解： 解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x 2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
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三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
四、配方法
(1) x 2 6 x 16 【例10】因式分解： (2)x 2 4 xy 4 y 2
解 : (1)x 2 6 x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2). (2)x 2 4 xy 4 y 2 ( x 2 4 xy 4 y 2 ) 8 y 2
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因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要 的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法 ( 平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．
解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5

2 1 2 4
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( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
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二、分组分解法
【例4】因式分解 2x2 + 4xy +2y2 -8z2
解 : 2 x 2 4 xy 2 y 2 8z 2 2( x 2 2 xy y 2 4 z 2 ) 2[( x y )2 ( 2 z )2 ] 2( x y 2 z )( x y 2 z ).
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一、公式法(立方和、立方差公式)
【例2】因式分解：
(1) 3a 3b 81b4 (2) a 7 ab6
解 : (1) 3a 3b 81b4 3b(a 3 27b 3 ) 3b(a 3b)(a 2 3ab 9b 2 ).
(2) a 7 ab6 a(a 6 b6 ) a(a 3 b 3 )(a 3 b 3 ) a(a b)(a 2 ab b 2 )(a b)(a 2 ab b 2 ) a(a b)(a b)(a 2 ab b 2 )(a 2 ab b 2 ).
c1 ，这里按 c 2
2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ，那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2
【例5】因式分解 ab(c2-d2)-(a2-b2)cd
解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
解 : (1)原式 ( x 2 2 x 1)( x 2 2 x 8).
(2)原式 ( x 2 2 x 15) ( ax 5a ) ( x 3)( x 5) a( x 5) ( x 5)( x 3 a )11日星期四
一、公式法(立方和、立方差公式)
a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
三、十字相乘法 【例9】因式分解：
(1)( x 2 2 x ) 7( x 2 2 x ) 8 (2)x 2 2 x 15 ax 5a
分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合.
说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止．
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(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).
( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).
2ax 10ay 5by bx 【例3】因式分解： 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试．
解 : 2ax 10ay 5by bx 2a( x 5 y ) b( x 5 y ) ( x 5 y )(2a b).
( x 2 y )2 8 y 2 ( x 2 y 2 2 y )( x 2 y 2 2 y ).
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解．
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五、拆(添)项法 【例11】因式分解： x3 3 x 2 4
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三、十字相乘法
1． x2 ( p q) x pq 型的因式分解
x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q )
x 2 ( p q ) x pq ( x p )( x q )
解 : x 3 3 x 2 4 ( x 3 1) (3 x 2 3) ( x 1)( x 2 x 1) 3( x 1)( x 1) ( x 1)[( x 2 x 1) 3( x 1)]
( x 1)( x 2 4 x 4) ( x 1)( x 2)2 .