高中物理第2章研究圆周运动习题课圆周运动教学案沪科版必修

习题课 圆周运动[学习目标] 1.熟练掌握圆周运动各物理量的关系以及向心力、向心加速度的公式.2.会分析圆周运动所需向心力来源.3.会分析圆锥摆在水平面内的圆周运动.4.会分析汽车过拱(凹)形桥问题.一、描述圆周运动的各物理量间的关系例1 如图1所示，光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是( )图1A.周期B.线速度C.角速度D.向心加速度解析 轨道对小球的支持力与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B 错误；根据v ＝ωr ，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度变大，故C 错误；根据T ＝2πω，角速度增大，故周期减小，故A 正确；根据a ＝v2r，转动半径减小，故向心加速度增大，故D 错误.答案 A(1)线速度v、角速度ω以及周期T之间的关系：v＝2πrT＝ωr.(2)角速度ω与转速n的关系：ω＝2πn(注：n的单位为r/s).这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系中各量是瞬时对应的.二、分析圆周运动问题的基本方法例2如图2所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？图2答案3∶2解析对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2对球1有：F1－F2＝mlω2由以上两式得：F1＝3mlω2故F1F2＝32.分析圆周运动问题的基本方法(1)首先要明确物体做圆周运动的轨道平面、圆心和半径.(2)其次，准确受力分析，弄清向心力的来源，不能漏力或添力(向心力).(3)然后，由牛顿第二定律F＝ma列方程，其中F是指向圆心方向的合外力，a是指向心加速度，即用ω2R 或用周期T 来表示的形式.针对训练1 (多选)如图3所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab 为水平直径，cd 为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )图3A.物块始终受到三个力作用B.物块受到的合外力始终指向圆心C.在c 、d 两个位置，支持力N 有最大值，摩擦力f 为零D.在a 、b 两个位置摩擦力提供向心力，支持力N ＝mg 答案 BD解析 物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c 、d 两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故A 错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B 正确.设物块做匀速圆周运动的线速度为v ，物块在c 、d 两位置摩擦力f 为零，在c 点有N c ＝mg－mv 2R ，在d 点有N d ＝mg ＋mv 2R，故在d 位置N 有最大值，C 错误. 在b 位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有N ＝mg ，f ＝mv 2R.同理a 位置也如此，故D 正确.三、水平面内的常见圆周运动模型例3 如图4所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆长为 L ′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装置可绕竖直轴转动.(g 取10 m/s 2)问：(结果均保留三位有效数字)图4(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力多大？ 答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r ＝L ′＋L sin 45°.对小球受力分析，设绳对小球拉力为T ，小球重力为 mg ，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.对小球利用牛顿第二定律可得：mg tan 45°＝m ω2r① r ＝L ′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/sT ＝mgcos 45°≈4.24 N.1.模型特点：(1)运动平面是水平面.(2)合外力提供向心力，且沿水平方向指向圆心. 2.常见装置：运动模型飞机在水平面内做圆周运动火车转弯圆锥摆向心力的来源图示运动模型飞车走壁汽车在水平平路面转弯水平转台向心力的来源图示针对训练2 质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( ) A.mg 2＋v 4R 2 B.m v 2RC.mv 4R 2－g 2D.mg 答案 A解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动.对飞机的受力情况进行分析，如图所示.飞机受到重力mg 、空气对飞机的作用力F 升，两力的合力为F 向心，方向沿水平方向指向圆心.由题意可知，重力mg 与F 向心垂直，故F 升＝m 2g 2＋F 2向心，又F 向心＝m v 2R，联立解得F 升＝mg 2＋v 4R2.四、汽车过桥问题例4 如图5所示，质量m ＝2.0×104kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m.如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N ，g 取10 m/s 2，则：图5(1)汽车允许的最大速度是多少？(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 答案 (1)10 m/s (2)1×105N解析 (1)汽车在凹形桥最低点时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得：N －mg ＝m v 2R代入数据解得v ＝10 m/s.(2)汽车在凸形桥最高点时对桥面有最小压力，由牛顿第二定律得：mg －N 1＝mv 2R，代入数据解得N 1＝1×105N.由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于1×105N.1.汽车过拱形桥(如图6)图6汽车在最高点满足关系：mg －N ＝m v 2R ，即N ＝mg －m v 2R.(1)当v ＝gR 时，N ＝0. (2)当0≤v <gR 时，0<N ≤mg .(3)当v >gR 时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险. 2.汽车过凹形桥(如图7)图7汽车在最低点满足关系：N －mg ＝mv 2R ，即N ＝mg ＋mv 2R.由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.针对训练3 在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了.把这套系统放在电子秤上做实验，如图8所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )图8A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小 答案 D解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－N ＝m v 2R ，即N ＝mg －m v 2R<mg ，根据牛顿第三定律可知玩具车对桥面的压力大小与N 相等，所以玩具车通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小，选项D 正确.1.(圆周运动各物理量之间的关系)(多选)如图9所示，一小物块以大小为a ＝4 m/s 2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R ＝1 m ，则下列说法正确的是( )图9A.小物块运动的角速度为2 rad/sB.小物块做圆周运动的周期为π sC.小物块在t ＝π4 s 内通过的位移大小为π20 mD.小物块在π s 内通过的路程为零 答案 AB解析 因为a ＝ω2R ，所以小物块运动的角速度为ω＝a R ＝2 rad/s ，周期T ＝2πω＝π s，选项A 、B 正确；小物块在π4 s 内转过π2，通过的位移大小为 2 m ，在π s 内转过一周，通过的路程为2π m，选项C 、D 错误.2.(水平面内的圆周运动)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图10所示，A 运动的半径比B 的大，则( )图10A.A 所需的向心力比B 的大B.B 所需的向心力比A 的大C.A 的角速度比B 的大D.B 的角速度比A 的大 答案 A解析 小球的重力和悬线的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F ＝mg tan θ＝mω2l sin θ，θ越大，向心力F 越大，所以A 对，B 错；而ω2＝g l cos θ＝gh.故两者的角速度相同，C 、D 错.3.(汽车过桥问题)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥.如图11所示，桥面是半径为R 的圆弧形的立交桥AB 横跨在水平路面上，一辆质量为m 的小汽车，从A 端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v 1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )图11A.小汽车通过桥顶时处于失重状态B.小汽车通过桥顶时处于超重状态C.小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N ＝mg －m v21RD.小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR 答案 A解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg －N ＝m v 21R ，解得N ＝mg －m v 21R ＜mg ，故其处于失重状态，A 正确，B 错误；N ＝mg －m v21R 只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C 错误；由mg －N ＝m v21R，N ≥0解得v 1≤gR ，D 错误.4.(圆周运动中的受力分析)质量为25 kg 的小孩坐在质量为5 kg 的秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2.5 m.如果秋千板摆动经过最低点的速度为3 m/s ，这时秋千板所受的压力是多大？每根绳子对秋千板的拉力是多大？(g 取10 m/s 2) 答案 340 N 204 N解析 把小孩作为研究对象对其进行受力分析知，小孩受重力G 和秋千板对他的的支持力N两个力，故在最低点有：N －G ＝m v 2L所以N ＝mg ＋m v 2L＝250 N ＋90 N ＝340 N由牛顿第三定律可知，秋千板所受压力大小为340 N.设每根绳子对秋千板的拉力为T ，将秋千板和小孩看作一个整体，则在最低点有：2T －(M ＋m )g ＝(M ＋m )v 2L解得T ＝204 N.课时作业一、选择题(1～6题为单选题，7～10题为多选题) 1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.由a ＝v 2R可知，a 与R 成反比B.由a ＝ω2R 可知，a 与R 成正比 C.由v ＝ωR 可知，ω与R 成反比 D.由ω＝2πn 可知，ω与n 成正比答案 D解析物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比.对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论.正确选项为D.2.如图1所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )图1A.物块A不受摩擦力作用B.物块B受5个力作用C.当转速增大时，A所受摩擦力增大，B所受摩擦力减小D.A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴答案 B解析物块A受到的摩擦力充当向心力，A错；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用，B正确；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大，C错误；A对B的摩擦力方向沿半径向外，D错误.故选B.3.如图2所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是( )图2A.小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1B.大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4C.大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4D.大齿轮和小齿轮边缘的向心加速度大小之比为4∶1答案 B解析小齿轮和后轮共轴，角速度相同，故A错误；大齿轮和小齿轮边缘上的点线速度大小相等，根据ω＝v R可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4，故B 正确；小齿轮和后轮共轴，根据v ＝ωR 可知，小齿轮边缘和后轮边缘的线速度之比为1∶16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，故C 错误；大齿轮和小齿轮边缘的线速度大小相等，根据a ＝v 2R可知，向心加速度大小之比为1∶4，故D 错误.4.质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图3所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )图3A.mω2R B.m g 2－ω4R 2C.m g 2＋ω4R 2D.不能确定 答案 C解析 小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动.这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示.用力的合成法可得杆对球的作用力：N ＝(mg )2＋F 2向心＝m g 2＋ω4R 2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力N ′＝N ，C 正确.5.节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m ，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图4所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可看为质点)，下列说法正确的是( )图4A.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mgB.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mgC.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力D.选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动 答案 B解析 由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向心力，有T －mg ＝mv 2R ，T ＝mg ＋m v 2R>mg ，B 正确.6.半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图5所示)，顶部有一小物体A ，今给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( )图5A.沿球面下滑至M 点B.沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动C.沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动D.立即离开半圆球做平抛运动 答案 D解析 当v 0＝gR 时，所需向心力F ＝m v20R＝mg ，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动.7.如图6所示，A 、B 两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO ′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比m A ∶m B ＝2∶1，那么关于A 、B 两球的下列说法中正确的是( )图6A.A 、B 两球受到的向心力之比为2∶1B.A 、B 两球角速度之比为1∶1C.A 、B 两球运动半径之比为1∶2D.A 、B 两球向心加速度之比为1∶2 答案 BCD解析 两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A 错，B 对.设两球的运动半径分别为r A 、r B ，转动角速度为ω，则m A r A ω2＝m B r B ω2，所以运动半径之比为r A ∶r B ＝1∶2，C 正确.由牛顿第二定律F ＝ma 可知a A ∶a B ＝1∶2，D 正确. 8.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动.如图7所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h ，下列说法中正确的是( )图7A.h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大B.h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大C.h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越大D.h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 答案 BC解析 摩托车受力分析如图所示.由于N ＝mgcos θ所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力F 也不变，A 错误；由F ＝mg tan θ＝m v 2r＝mω2r 知h 变化时，向心力F 不变，但高度升高，r 变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B 、C 正确，D 错误.9.如图8所示，半径为L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P 时的速度为v ，则( )图8A.v 的最小值为gLB.v 若增大，球所需的向心力也增大C.当v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大 答案 BD解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝m v2r，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝gL时，圆管受力为零，故v由gL逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由gL逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确.故选B、D.10.如图9所示，叠放在水平转台上的滑块A、B和C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )图9A.B对A的摩擦力一定为3μmgB.B对A的摩擦力一定为3mω2rC.转台的角速度一定满足ω≤μg rD.转台的角速度一定满足ω≤2μg 3r答案BD解析B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，所以f BA＝3mω2r，选项A错误，选项B 正确.当滑块与转台间不发生相对运动，并随转台一起转动时，转台对滑块的静摩擦力提供向心力，所以当转速较大，滑块转动需要的向心力大于最大静摩擦力时，滑块将相对于转台滑动，对应的临界条件是最大静摩擦力提供向心力，即μmg＝mω2R，ω＝μgR，所以质量为m、离转台中心距离为R的滑块，能够随转台一起转动的条件是ω≤μgR；对于本题，滑块C需要满足的条件ω≤2μg3r，滑块A和B需要满足的条件均是ω≤μgr，所以，要使三个滑块都能够随转台转动，转台的角速度一定满足ω≤2μg3r，选项C错误，选项D正确.二、非选择题11.如图10所示，一辆质量为4 t的汽车匀速经过一半径为50 m的凸形桥.(g＝10 m/s2)图10(1)汽车若能安全驶过此桥，它的速度范围为多少？(2)若汽车经最高点时对桥的压力等于它重力的一半，求此时汽车的速度多大？ 答案 (1)v <22.4 m/s (2)15.8 m/s解析 (1)汽车经最高点时受到桥面对它的支持力N ，设汽车的行驶速度为v .则mg －N ＝m v 2R当N ＝0时，v ＝gR此时汽车从最高点开始离开桥面做平抛运动，汽车不再安全，故汽车过桥的安全速度v <gR ＝10×50 m/s ≈22.4 m/s.(2)设汽车对桥的压力为12mg 时汽车的速度为v ′，由牛顿第三定律知桥对汽车的支持力为12mg ，则mg －12mg ＝m v ′2Rv ′＝gR2≈15.8 m/s.12.如图11所示，半径为R 的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为45°.已知重力加速度大小为g ，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为F ＝24mg .图11(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；(2)若改变陶罐匀速旋转的角速度，而小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的最大值和最小值. 答案 (1)2gR(2)32g2R2g 2R解析 (1)小物块受的摩擦力为零，则受到的重力和支持力的合力提供向心力.有mg tan θ＝mω20R sin θ解得ω0＝2g R.(2)陶罐旋转的角速度越大，需要提供的向心力越大，需要摩擦力垂直半径向下，摩擦力最大时转动角速度最大，设为ω1，向心加速度a1＝ω21R sin θ，垂直半径向下的加速度分量a1′＝a1cos θ垂直半径方向应用牛顿第二定律有F＋mg sin θ＝ma1′解得ω1＝32g 2R摩擦力垂直半径向上且最大时转动角速度最小，设为ω2，向心加速度a2＝ω22R sin θ，垂直半径向下的加速度分量a2′＝a2cos θ垂直半径方向应用牛顿第二定律有mg sin θ－F＝ma2解得ω2＝2g 2R.。