WJF6-5

1 2
∫a udv = [uv ]a − ∫a vdu
b b b
1 2
1 2
解 ∫0 arcsin xdx = [ x arcsin x ]0 − ∫0 xd (arcsin x )
1 1 xdx = ⋅ arcsin − ∫0 1 − x2 2 2 1 π = ⋅ + 1 − x2 0 2 6 π 3 = + −1 12 2
πHale Waihona Puke 4π2π
4
例3 计算
1
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫a udv = [uv ]a − ∫a vdu
b b b
1 ln(1 + x ) 1 解 ∫0 dx = − ∫ ln(1 + x )d 2 0 (2 + x ) 2+ x 1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
( 2m − 1)!! π ( 2m )!! ⋅ 2 , n = 2m , n n 2、 sin xdx = ∫0 cos xdx = ∫0 ( 2m )!! , n = 2m + 1 ( 2m + 1)!!
π 2 π 2
1 2
( 1 − x )′ =
2
−2 x 2 1 − x2 −x
1 − x2
[
]
1 2
=
v = x,
分析
u = arcsin x ,
d (arcsin x ) =
dv = dx , dx
1 − x2
xdx . 例2 计算 ∫0 1 + cos 2 x
π
4
∫a udv = [uv ]a − ∫a vdu
1
ln 2 − ln 3 + ln 2
1 ln 2 1 1 dx + ∫0 ⋅ =− 2+ x 1+ x 3
1 − 1 + x 2= 1 +x
e 练习∫1 ln xdx 1
5 ln 2 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
例4 证明定积分公式 I n = ∫0 sin n−1 x ⋅ sin xdx n n I n = ∫0 sin xdx = ∫0 cos xdx = − ∫0 sin n−1 x ⋅ d cos x 3 1 π n−1 n− 3 n ⋅ n − 2 ⋅ ⋅ L 4 ⋅ 2 ⋅ 2 , n为 正 偶 数 ； = n−1 n−3 4 2 n为 正 奇 数 . ⋅ ⋅ ⋅L ⋅ , n−2 5 3 n − 证明: 证明 设 u = sin n−1 x , dv = sin xdx , 2 1− sin x − n− 2 − du = ( n − 1) sin x cos xdx , v = − cos x , 0
′dx = ∫ab u′vdx + ∫ab uv′dx , ∫a ( uv )
b
又因∫a ( uv)′dx = [uv ]b , a
b
所以[uv ]a = ∫a u′vdx + ∫a uv′dx ,
b b b
∴ ∫a udv = [uv ]a − ∫a vdu.
b b b
二、应用实例
1 2
例1 计算 ∫0 arcsin xdx .
π
2
π
π
2
2
π
2
I n = − sin x cos x 0 = ( n − 1)∫0 sin n−2 xdx − ( n − 1)∫0 sin n xdx
n−1
2 2
π
+ ( n − 1)∫0 sin n− 2 x cos 2 xdx
π π
2
π
2
n−1 I n− 2 ∴ In = n
练习： 练习：计算 ∫0 令t = 3 x,
6
π
8 3 xdx sin
dt = 3 dx
1 2 8 1 7 5 3 1 π 原式 = ∫ sin tdt = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 0 3 8 6 4 2 2
π
小结
1、用分部积分公式时,如何将被积函数分成 u, v 用分部积分公式时, 两部分,才能使积分顺利进行. 两部分,才能使积分顺利进行. 按照： 按照：“反、对、幂、三角、指”的优先级 三角、 顺序， 顺序，看作函数 "u"
6.5
定积分的分部积分法
分部积分公式 应用实例 小结
一、分部积分公式
上具有连续导数， v 设函数 u( x ) 、 ( x ) 在区间[a, b]上具有连续导数，
则有 ∫ udv = [uv ]a − ∫ab vdu.
b a b
定积分的分部积分公式 证明 Q ( uv )′ = u′v + uv′,
b b b
解 Q cos 2 x = 2cos 2 x − 1
xdx xdx 1 ∴ ∫0 = ∫0 = ∫0 xd ( tan x ) 2 1 + cos 2 x 2 cos x 2
π π
4 4
π
4
π 1 1 4 = [x tan x ] 0 − ∫0 tan xdx 2 2 练习∫0 x cos xdx π 1 = + [ln | cos x |]0 8 2 π = −1 π 1 2 π ln 2 2 . = + ln = − 8 2 2 8 4
= ( n − 1) I n− 2 − ( n − 1) I n
I n = ∫0 sin xdx = ∫0 cos n xdx 3 n−1 n− 3 n ⋅ n − 2 ⋅ ⋅L 4 ⋅ = n−1 n−3 4 ⋅ ⋅ ⋅L ⋅ n−2 5 n
π
2
n
π
2
1 π ⋅ , n为 正 偶 数 ； 2 2 2 , n为 正 奇 数 . 3