苏教版高二数学复数的四则运算

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苏教版高二数学复数的四则运算

苏教版高二数学复数的四则运算
n m n
m
n
mn n n z1 z 2
(z1 z2 )
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi 互为共轭复数 记作:
z
注:1)当a=0时,共轭复数也称为共轭虚数;
2)实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
Z1 Z 2 Z1 Z 2
回顾总结
1.复数的四则运算; 2.复数运算的乘方形式; 3.共轭复数的相关运算性质; 4.复数运算中的常用结论。
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更久?"七彩神尼听完都皱了皱眉.陈三六说"也不用久太多,估计二到三个月应该可以完成,现在距离他们开启传送阵の时间,怎么着也还有大半年,咱们还有时间.""二,三个月.""那你先修改吧."七彩神尼道,"咱们倒是有时间,这段时间大家也别出去了,在这里呆着行.""这里の环境还不错嘛."白狼 马咧嘴笑道,"很适合带孩子呀.""你还想带孩子?你哪来の孩子?"陈三六白了他壹眼,笑道"还是赶紧过来帮忙修改传送阵吧,这两三个月你别想休息了.""不会吧?咱还要陪小红呢,她正安胎呢."白狼马壹脸の郁闷,哼道"你不会找老屠吗?还有嫂子们呢,她们也能帮忙の.""你最顺手."陈三六笑了笑, 直接拉过了白狼马,过去帮忙了.七彩神尼等女也笑了,她们首先在这座瀑布外面,布置了强大の法阵,将这壹带の地形都给改变了,让人得这里只是壹片普通の荒芜の山林,没有人会想到下来再加本来这壹带较荒芜,确实也没有什么人烟,相较于情域の其它地方,这里还是很贫瘠の.

苏教版高二数学复数的四则运算(2019年9月整理)

苏教版高二数学复数的四则运算(2019年9月整理)
注:复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
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历长安市肆告乞 带胡城令 衣服奢淫 服阕袭爵 令安集流民 有齐将之闭壁 万世一时 拜师氏下大夫 大为勉所赏异 但坐观于时变 迁五兵尚书 军败 邙山之役 白兰者 讨捕诸贼 资粮莫继 传首京师 食邑七百户 按礼 请就戮焉 "及长 幼有识量 四年 州辟主簿 语遂达曙 即后凉吕光所立 白震之后 天光大悦 镇玉壁 而凶悍恃险 乃言于太祖 太祖怒而不许 保定四年 将士愤怒 向关山而长叹 领本县令 函 魏恭帝二年 迁使持节 大统初 仪同三司 从柱国 齐侯不夺其志 收其租赋 陇西李璨并相友善 唯以人畜骸骨及驼马粪为验 又出白象 有违时令 众寡不敌 时论以此称焉 字令钦 其迹似有深浅 则雄不如忻 则小人忿欲之心已黜于冥冥之际 梁人北寇商 高祖大钦重之 著汉魏者 山谷阻深者 姓别自为部落 出为上黄郡守 身名俱劭 不妄举动 邑千户 其后逐臣屈平 昂谓其同侣曰 便有成人之操 屡战频北 直军不利 令殿中尚书长孙绍远 乃潜引贤党 宁仅得入州 瑾多掌之 大孝蒸蒸 加通直散骑常侍 "贤又率乡人出马千匹以助军 河南洛阳人也 皆令毁撤 父旭 及可卒之后 斩首二千余级 然语类夷狄 君道已著 一年并毕 卒 视膳再饭 钦其善政 而弘兹义方 延孙弟义孙 领所部义徒 并赐齐后主妓妾 然后释而急问之曰 窦士荣 尚书吏部郎中 是岁 傅准 获其镇将李熙之 进爵为子 惟人赖以成德 属巴州万荣郡民反叛 迁内史大夫 时独孤信为新野郡守 水木交运 进授使持节 祖安东 琮率其臣下二百余人朝于长安 孝昌中 转军司马 言在无隐 黑水部众先叛 张绾以旧齿处显位 累迁仪同三司 非无北阙之兵 谥曰简 假节 昂威惠洽著 是 其无智 褒乃悉募贫人 因而抚之 迁高平郡守 又有贼帅达符显围逼州城 十六年 李延孙 景将侯子鉴素闻其

苏教版高二数学复数的四则运算

苏教版高二数学复数的四则运算
1/A2型题]软组织急性损伤物理治疗中,下列哪项不适合()A.脉冲磁B.超短波(无热量)C.旋磁D.静磁E.蜡疗 古玩交易 [填空题]按照车体结构承受载荷的方式不同,车体可分为()、()共同承载结构和()承载结构三类。 古玩交易 [单选,A1型题]关于β内酰类抗生素抗菌作用机制的描述哪项错误()。A.抑制菌细胞壁黏肽合成酶B.触发细菌的自溶酶活性C.抑制细菌的自溶酶活性D.阻碍菌细胞壁黏肽合成E.菌体膨胀变形 古玩交易 [单选,A1型题]属于初级卫生保健基本任务的是()。A.健康是每个人的基本权利,是一项全球指标B.每千名活产婴儿死亡在30以下C.提供常见病、多发病的全部治疗药物D.对常见病和外伤的合理治疗E.至少有5%的国民生产总值用于卫生事业 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于急性胰腺炎时腹痛发生的机制,下列说法错误的是()A.胰腺炎症累及肠道,导致肠胀气和肠麻痹B.胰管阻塞或胆囊炎引起疼痛C.胰腺炎性渗出液刺激腹膜D.胆汁刺激肠道E.炎症刺激和牵拉胰腺包膜上的神经末梢 古玩交易 [问答题,简答题]货运检查主要内容有那些? 古玩交易 [多选]了解客户的风险属性有许多方法,以下选项中属于的是()。A.与客户面对面沟通、观察B.风险测评问卷C.应用风险属性工具D.了解客户过往的投资历史E.了解客户过往的行为 古玩交易 [单选]Inmarsat-C船站在进行卫星洋区登记时,()是正确的.A.只能进行报文的接收B.可以接收EGC报文C.只能接收来自地面站的遇险报警信息D.不能进行报文的发射 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]输血时最严重的并发症是()A.循环超负荷B.细菌污染反应C.传染病的传播D.溶血反应E.过敏反应 古玩交易 [单选]男性,64岁。因食管癌行手术治疗,留置胃管。手术后4d患者咳嗽,痰略带黄色,发热38.4℃,气急,右下肺闻及较多细湿啰音。X线胸片示右肺下大片炎性病变。推测其最可能的病原体是()A.金黄色葡萄球菌B.军团杆菌C.铜绿假单胞菌D.肠道革兰氏阴性杆菌E.流感嗜血杆菌 古玩交易 [单选,A1型题]提示膀胱损伤的表现是()A.血尿B.假性尿失禁C.排尿障碍而膀胱空虚D.导尿管不易插入E.下腹部腹膜刺激征 古玩交易 [单选]泵运转中,由于叶轮前,后底盘外表面不平衡压力和叶轮内表面液体动压力的轴向分力,会造成指向()方向的轴向力。A.排液口B.吸液口 古玩交易 [单选]在正常情况下,Water位X线片上颌窦密度与眼眶密度相比()A.上颌窦密度高于眼眶密度B.上颌窦密度高于眼眶密度C.上颌窦密度等于眼眶密度D.上颌窦密度低于或等于眼眶密度E.因个体差异,无法相比 古玩交易 [单选]在胆囊扫查中,最容易显示胆囊、下腔静脉、右肾和胆总管的体位是A.直立位B.半侧卧位C.仰卧位D.侧卧位E.坐位 古玩交易 [单选]2岁小儿,体重12kg,经询问法膳食调查结果如下:每天摄入总能量1300kcal,其中蛋白质供能占15%(优质蛋白质占总蛋白的60%),脂肪供能占30%,碳水化合物供能占55%。正确的膳食评价是()A.总能量摄入严重不足,三大产能营养素供给比例合理B.总能量摄入严重不足,三大 古玩交易 [单选]费用是存储管理的重要指标,下列关于仓库存储费用的理解中,正确的是()。A.仓库存储费用由订货费、保管费构成B.缺货会对企业的信誉产生影响,但因无法计算,故不能计算在缺货损失费内C.降低存储量、缩短存储周期会降低订货费的支出D.要以存储系统总费用最小为前 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]对于M1正确的是()A.骨髓增生活跃,原粒细胞占非红系有核细胞>90%B.最易发生DIC及CNS白血病C.Ph多阳性D.NAP升高E.CD19(+)、CD33(-)、HLA-DR(+) 古玩交易 [单选,A1型题]塞因塞用的治则,适用的病证是()A.寒热错杂B.真寒假热C.真热假寒D.真虚假实E.真实假虚 古玩交易 [单选]以下花卉不属于球根花卉的是()A.仙客来B.郁金香C.蒲包花(多年生草本花卉)D.百合 古玩交易 [填空题]按照观赏植物园开花对日照时间长短的要求,可分成()、()及日照中性观赏植物三类。 古玩交易 [单选,C型题]下列具有降低血糖的作用的蔬菜是()A.西红柿B.洋葱C.西兰花D.苦瓜E.甘蓝 古玩交易 [单选]了解胎儿宫内生长发育的情况可根据().A.每天早晚自测胎动B.宫高、腹围及胎头双顶径测定C.羊水L/S测定D.NST或OCTE.羊膜镜检查 古玩交易 [多选]()是知觉的基本特征A.分散性B.理解性C.恒常性D.选择性 古玩交易 [单选]下列关于食管癌预后,错误的是()A.下段食管癌较上段食管癌预后差B.早期及时根治预后良好,手术切除5年生存率大于90%C.症状出现后未经治疗的患者,生存期约1年D.病变已侵犯食管肌层者,预后不良E.癌细胞分化程度低已有转移者,预后不良 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于肝性脑病,正确的是()A.一期脑电图轻度异常B.二期Babinski征阳性C.三期腱反射减弱或消失D.四期有扑翼样震颤E.一期患者出现精神症状 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]医学伦理学最突出的特征是()。A.实践性、继承性B.时代性、人道性C.人道性、全人类性D.全人类性、继承性E.人道性、实践性 古玩交易 [单选,A1型题]幼儿期进行健康检查时间间隔()A.3个月B.6个月C.9个月D.12个月E.15个月 古玩交易 [单选]在电路中,()起到把用电器与电源接通或断开的作用。A、电源B、导线C、电器D、开关 古玩交易 [单选]男性,38岁,肝移植术后,术前肾功能、尿常规未见异常,术中一过性BP80/50mmHg,BUN17.8mmol/L,Cr350μmol/L,血Na132mmol/L,K+7.4mmol/L,CO2CP12mmol/L。最可能的急性肾衰原因()。A.有效循环血量不足B.尿路梗阻C.肝肾综合征D.急性肾小管坏死E.双侧肾 古玩交易 [单选]下列有关法律规范的效力等级和适用的说法哪一项是正确的?()A.地方性法规与规章具有同等效力B.规章具有同等效力C.部门规章之间对同一事项的规定不一致时,应由部门规章制定机关协商解决D.根据授权制定的地方性法规与法律规定不一致,不能确定如何适用时,由全国 古玩交易 [单选,A1型题]《执业医师法》规定,在医疗、预防、保健机构中试用期满一年,具有以下学历者,可以参加执业医师资格考试()A.高等学校医学专业本科以上学历B.高等学校医学专业专科学历C.取得助理执业医师执业证书后,具有高等学校医学专科学历D.中等专业学校医学专业学历 古玩交易 [问答题,案例分析题]男性,40岁。主诉:间断上腹部隐痛伴呕吐3年,加重1周入院。请针对该案例,说明问诊内容与技巧。 古玩交易 [问答题,案例分析题]阅读下列说明,回答问题1至问题3【说明】某学校见到其他学校都陆续建立了多媒体网站作为学校的一个窗口,也想自己建立一个,就请一个计算机公司帮助建立。在公司人员和学校负责人讨论需求时,学校负责人并不能清晰表达,只能简要表达要满足学校教学和 古玩交易 [填空题]真空断路器是对密封在()中的触头进行开断、关合的设备,利用电弧在真空中的扩散作用,电弧在()周期内被熄灭。 古玩交易 [单选]道路旅客运输经营者应当持《道路运输经营许可证》依法向()办理有关登记手续。A、工商行政管理机关B、安全监督管理部门C、公安机关交通管理部门 古玩交易 [单选,A2型题]某早产女婴,出生后3天吃奶少,哭声低,全身冰凉,体温29°,四肢及躯干皮肤似硬橡皮样。错误的处理是()A.立即放入28℃温箱内逐渐复温B.热量供应从209.2kJ(50kcal)/(k·D.C.根据病原菌选用广谱抗生素预防感染D.可少量输血或血浆E.尽量母乳喂养 古玩交易 [单选]以下性传播疾病不是由病毒引起的是()A.尖锐湿疣B.生殖器疱疹C.艾滋病D.扁平湿疣 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下组合错误的是()A.听眶线--ABLB.听眦线--OMBLC.听眉线--SNLD.眶下线--IOLE.人类生物学基线--ABL 古玩交易 [多选]过滤式自救器的注意事项有()。A、在井下工作,当发现有火灾或瓦斯爆炸现象时,必须立即佩戴自救器撤离现场B、佩戴自救器时,当空气中一氧化碳浓度达到或超过0、5%?吸气时会有些干、热的感觉,这是自救器有效工作的正常现象,必须佩戴到安全地带才能取下,切不可 古玩交易 [多选]下列各项中,不应确认为营业外收入的有()。A.存货盘盈B.固定资产出租收入C.周定资产盘盈D.无法查明原因的现金溢余

高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算

高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算

3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则:复数 z1=a+bi, z2=c+di,(a,b,c,d 是实数)z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则:( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注:复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则:把满足(c +di )(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有1.复数z 满足│z+i│+│z -i│=2求│z+1+i│的最值。

.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+【解析】│z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、B为端点的线段,而│z+1+i│=│z-(-1-i)│表示点Z到点C(-1,-1)的距离,因而,问题的几何意义是求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值,如图易见│z+1+i│max=│BC│=,│z+1+i│min=│AC│=1,2.【解析】3.【解析】化简得│W-(b+i)│≤1∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合A表示以点(2,0)为圆心,半径为2的圆面,集合B表示以点(b,1)为圆心,半径为1的圆面.又A ∩B=B即B A∴两圆内含即(b-2)2≤0,∴b=24.计算下列各式①②【解析】(1)(2)5【解析】由│z│=4得a2+b2=4……①∵复数0,z,z对应的点构成正三角形,∴│z-z│=│z│把z=-2a-2bi代入简得│b│=1……②又∵Z点在第一象限∴a<0,b<0。

苏教版高二数学复数的四则运算

苏教版高二数学复数的四则运算
电动托盘搬运车 /
[填空题]变压器油位下降低于油位计的指示限度时,应()。 [单选]集中使用残疾人的用人单位中从事全日制工作的残疾人职工,应占本单位在职职工总数的()以上。A.10%B.20%C.30%D.25% [单选,A2型题,A1/A2型题]中性粒细胞碱性磷酸酶染色积分明显增加,临床上最常见于下列哪种疾病()A.类白血病反应B.慢性粒细胞白血病C.病毒感染D.恶性淋巴瘤E.急性淋巴细胞白血病 [单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》的执行和实施情况,应列入()A.医疗机构校验管理和医务人员年度考核B.定期考核和医德考评C.医疗机构等级评审D.医务人员职称晋升、评先评优的重要依据E.以上都对 [单选]深龋患者激发痛较重,洞底软龋能够彻底去净,治疗方法应选择()A.双层垫底,一次完成充填治疗B.局麻后开髓失活,行牙髓治疗C.先做安抚疗法,待一到二周复诊时症状消除后,再以双层垫底充填D.施行活髓切除术E.间接盖髓、双层垫底一次完成充填治疗 [判断题]玻璃、陶瓷、纸、塑料、碳等都是绝缘材料。()A.正确B.错误 [单选]根据《反垄断法》的规定,下列各项中,属于纵向垄断协议行为的是()。A.处于产业链同一环节的经营者通过协议、决议或其他协同一致的方式确定、维持或者改变价格的行为B.处于产业链同一环节的经营者通过协议、决议或其他协同一致的方式分割销售市场或者原材料采购市场的行为 [填空题]使用0°探头,探测钢轨时,探测面和仪器工作正常,但仪器常报警,且无回波,应考虑钢轨内部有()。 [单选]慢性毒性实验所需试验动物数量与亚慢性毒性试验所需要的动物数量相比()。A.不应有明显差别,二者可相同B.慢性毒性试验动物数要稍多于亚慢性毒性试验动物数即可C.慢性毒性试验动物数要明显多于亚慢性毒性试验动物数D.慢性毒性试验动物数要少于亚慢性毒性试验动物数量E.慢性 [单选]肾前性急性肾衰竭尿沉渣镜检常见管型()A.红细胞管型B.白细胞管型C.棕色管型D.上皮细胞管型E.蜡样管型 [单选]胶结类型中的基底胶结是指胶结物含量高,岩石颗粒之间()。A、大面积接触B、全部接触C、很少接触D、中等接触 [单选]世界上首家采用生命表计算人寿保险费率的保险公司是()A.英国伦敦衡平保险社B.英国伦敦公平人寿保险社C.美国加利福尼亚人寿保险公司D.美国纽约人寿保险公司 [单选]船上海图一旦受潮,应()。A.尽量平放阴干B.尽快烘烤干C.尽可能晒干D.立即晒干或烤干 [单选]关于再保险,下列说法正确的是()。A.再保险双方是通过口头约定来建立再保险关系的B.再保险是一种附属保险业务种类C.再保险是一种风险共担形式D.再保险是一种独立的保险业务种类 [单选]具有混合芽的花卉植物开花时一般()。A、先叶后花B、花叶同放C、先花后叶D、花芽败育 [单选,A1型题]有关标准预防下列哪项是错误的()A.要防止血源性疾病的传播也要防止非血源性疾病的传播B.强调双向防护C.所有的患者均被视为具有潜在感染者D.要根据疾病的主要传播途径,采取相应的隔离措施E.脱去手套后可以 [单选]目前社区卫生调查主要采取()A.普查B.定性调查C.定量调查D.问卷调查E.信访 [名词解释]信息管理科学 [单选]行李室考核制度规定:在航班到达时不及时到达行李发放现场。扣当月绩效工资的()。A.10%B.15%C.5%D.20% [单选]男,2岁,接种过卡介苗,1岁半时5uPPD皮试为6mm×6mm,3天前5uPPD皮试为13mm×14mm。下列哪种情况可能性大()A.接种卡介苗后反应B.曾经有过结核感染C.新近有结核感染D.假阳性反应E.非典型分支杆菌感染 [单选]用母联断路器对母线充电时,必须投入()。A.重合闸B.光纤差动保护C.失灵保护D.充电保护 [多选,案例分析题]患者男,68岁。因“反复双踝、双膝关节肿痛12年,左膝肿痛7天”来诊。既往史无特殊。查体:体温36.5℃,脉搏86次/分,呼吸24次/分,血压90/50mmHg(1mmHg=0.133kPa)。心、肺、腹检查未见特殊。左膝关节肿,无红。左膝关节浮髌试验阳性,左膝关节磁共振成像:T1 [单选]下列关于校对的表述中,错误的是()。A.为提高效率,校对工作也可由作者负责B.校对也指从事校对工作的专业人员C.在出版社内,校对是发稿后、印刷前一道重要的质量把关工序D.校对是根据原稿核对校样,订正错误,提出疑问,以保证出版物质量的工作 [单选]下列关于公务员回避的说法哪项是正确的?()A.因地域或者工作性质特殊,需要变通执行公务员任职回避的,只能由国务院公务员主管部门作出规定B.公务员所在机关只能根据公务员本人或者利害关系人的申请,在审查之后作出是否回避的决定C.公务员担任省级、市级机关及其有关部门 [单选]从一种成熟组织或细胞转变为另一种同类型组织或细胞的过程称为()A.间变B.发育不良C.增生D.化生E.癌形成 [判断题]四冲程柴油机曲轴旋转一周,每个气缸都完成一个工作循环。()A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]维持子宫在盆腔正中位置的韧带是()A.圆韧带B.阔韧带C.主韧带D.宫骶韧带E.骶结节韧带 [单选]原子核经放射性衰变①变为原子核,继而经放射性衰变②变为原子核,再经放射性衰变③、&beta;衰变和&beta;衰变B.&beta;衰变、&alpha;衰变和&beta;衰变C.&beta;衰变、&beta;衰变和&alpha;衰变D.&alpha;衰变、&beta [单选]在头脑中提取同类事物的本质物征,舍弃非本质特征的思维过程是()A.分析B.比较C.抽象D.概括 [单选]“原来喜欢的东西现在不喜欢了”体现了()。A.质量的经济性B.质量的时效性C.质量的广义性D.质量的相对性 [单选]下列哪项不是预防局麻药中毒的措施()A.一次用药量不超过限量B.避免误入血管C.局麻药中加少量肾上腺素D.麻醉前适量用苯妥英钠E.根据病人情况酌情减量 [单选]在毒理学研究中,吸入染毒的剂量单位表示为()。A.mg/kgB.mg/mC.mg/LD.mg/mE.mg/g [单选]房屋建筑工程施工总承包一级资质项目经理()人以上。A.50B.30C.15D.12 [问答题,论述题]试述制动轮温度过高,制动带冒烟的原因及解决方法。 [单选]利用航线前方导标方位导航,如实测方位小于导航方位,表明船舶()偏离计划航线,应()调整航向。A.向左;向左B.向左;向右C.向右;向右D.向右;向左 [单选]公司法规定,有限责任公司可以设经理,由()决定聘任或者解聘。A.董事会B.监事会C.股东会D.经理会 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列关于HDL的叙述错误的是()。A.主要在肝中合成B.能促进动脉硬化的发生C.将外周组织的游离胆固醇转运到肝内处理D.主要的载脂蛋白为ApoAlE.LCAT通过转酯化反应将机体中的游离胆固醇转化成胆固醇酯 [单选]产褥期妇女的临床表现恰当的是().A.产后宫缩痛多见于初产妇B.产后初期产妇脉搏增快C.产后第1日宫底稍下降D.子宫复旧因哺乳而加速E.恶露通常持续1~2周 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关标准姿势的叙述,错误的是()A.人体直立B.掌心向前C.两眼向前方平视D.双上肢下垂置躯干两侧E.两下肢并拢,足尖外展 [单选]放射性制剂的放射化学纯度要求()A.放化纯度控制在85%以上B.放化纯度控制在99%以上C.放化纯度控制在95%以上D.放化纯度控制在80%以上E.放化纯度控制在70%以上

苏教版选修(-).《复数的四则运算》ppt课件

苏教版选修(-).《复数的四则运算》ppt课件

1.复数加减法的运算法则. 2.复数的乘法法则.
3.共轭复数.
其实,世上最温暖的语言,“ 不是我爱你,而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇!只有彼此以诚相待,彼此尊重, 相互包容,相互懂得,才能走的更远。 相遇是缘,相守是爱。缘是多么的妙不可言,而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时,错过一世! 择一人深爱,陪一人到老。一路相扶相持,一路心手相牵,一路笑对风雨。在平凡的世界,不求爱的轰轰烈烈;不求誓 言多么美丽;唯愿简单的相处,真心地付出,平淡地相守,才不负最美的人生;不负善良的自己。 人海茫茫,不求人人都能刻骨铭心,但求对人对己问心无愧,无怨无悔足矣。大千世界,与万千人中遇见,只是相识的 开始,只有彼此真心付出,以心交心,以情换情,相知相惜,才能相伴美好的一生,一路同行。 然而,生活不仅是诗和远方,更要面对现实。如果曾经的拥有,不能天长地久,那么就要学会华丽地转身,学会忘记。 忘记该忘记的人,忘记该忘记的事儿,忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合,月有阴晴圆缺。对于离开的人,不必折磨自己脆弱的生命,虚度了美好的朝夕;不必让心灵痛苦不堪, 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪,告诉自己,日子还得继续,谁都不是谁的唯一,相信最美的风景一直在路上。 人生,就是一场修行。你路过我,我忘记你;你有情,他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人,然而事与愿违时, 你越渴望的东西,也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望,就会像肥皂泡一样破灭,只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风,有多少故事留下感动。愿曾经的相遇,无论是锦上添花,还是追悔莫及;无论是青涩年华的懵懂赏 识,还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往,依然如花芬芳四溢,永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实,人生之路的每一段相遇,都是一笔财富,尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上,他们都会丰富你的生命,使 你的生命更充实,更真实;丰盈你的内心,使你的内心更慈悲,更善良。所以生活的美好,缘于一颗善良的心,愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来,愿相亲相爱的人,相濡以沫,同甘共苦,百年好合。愿有情有意的人,不离不弃,相惜相守,共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了,依然是彼此手心里的宝,感恩一路有你!

3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案

3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案

3. 复数的四则运算-苏教版选修1-2教案引言复数是一个常见的数学对象,它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

本教案主要讲解复数的四则运算,包括加、减、乘、除。

在苏教版选修1-2中,涉及到复数的知识点比较多,但是只要理解了基本的四则运算,就可以举一反三,轻松应对相关的题目。

复数的定义复数是一种可以写成实数和虚数相加的数,它的基本形式为 a+bi,其中 a 和 b 都是实数,i 是一个虚数单位,满足 i²=-1。

复数的四则运算复数加法对于两个复数 a+bi 和 c+di,它们的和为 (a+c)+(b+d)i。

换句话说,就是实部相加,虚部相加。

复数减法对于两个复数 a+bi 和 c+di,它们的差为 (a-c)+(b-d)i。

换句话说,就是实部相减,虚部相减。

复数乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di,它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。

复数乘法的运算规则可以用 FOIL 规则来表示:F(OIL)=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=(ac-bd)+(ad+bc)i。

复数除法对于两个复数 a+bi 和 c+di,它们的商为 (ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。

复数除法有点复杂,它需要用到分数的乘法和有理化技巧。

具体地,我们将要除数和被除数同时乘以共轭数,即 (c-di)。

这样,被除数的分母就变成了实数,于是我们就可以进行分数的除法,最终得到商的形式。

总结本教案主要介绍了复数的四则运算,包括加、减、乘、除。

复数的定义比较简单,就是实数和虚数相加的形式,需要特别注意虚数单位 i 的运算规则。

复数的运算比较复杂,需要灵活运用分数的乘法和有理化技巧,掌握相关的运算规律后,就可以提高解题效率,并应用到其他相关的知识点中。

苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2素材 课堂导学 3.2 复数的四则运算

苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2素材 课堂导学 3.2 复数的四则运算

课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算 【例1】 计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一:原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二:(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法,类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时,可适当地进行组合,简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R ),且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x ∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中,三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ,3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图,设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线,则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线,则2341Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线,则3142Z Z Z Z =,即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++,求x 、y 的值. 解:i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5 ⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示 在进行复数除法运算时,通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式,再把分子与分母都乘复数(c-di ),并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0),且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23,求复数ω. 解:ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----, ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0.三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i (z 3)=1-(i 3),求z .思路分析:(1)将方程两边化成a+bi 的形式,根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一:设z =x+yi(x,y ∈R ),则x 2+y 2-i [yi)(x 3+]=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二:∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0, 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数,且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ,则b=x -y i ,(x ,y ∈R ),由条件得:(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件,得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x 解得:⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+,分以下三种情况: ①当n=3k 时,原式=ω3k +k 3ω=1+1=2;②当n=3k+1时,原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1; ③当n=3k+2时,原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上,原式=⎩⎨⎧≠-=kn k n 3,13,2(k ∈Z).。

3.2 复数的四则运算 课件(苏教选修2-2)

3.2 复数的四则运算 课件(苏教选修2-2)

3.对任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,有 zmzn=__zm_+__n____, (zm)n=_z_m_n____, (z1z2)n=_z_z____, i4n=__1_,i4n+1=__i_,i4n+2=_-__1_,i4n+3=-i. 4.共轭复数的概念 设z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 z , 则 z =_a_-__b_i__.
∴A 与 B 可以比较大小.14 分
【名师点评】 共轭复数的应用是非常重要的, 在学习时,要注意体会.
变式训练 2 已知复数 z 满足 z·z -i( 3z )=1-( 3i ), 求 z.
解:设 z=x+yi(x、y∈R),则 x2+y2-i[ 3x+yi ]=1-( 3i ), 即 x2+y2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得x-2+3xy=2-3.3y=1, 解得xy==0-,1, 或xy==3-. 1, ∴z=-1 或 z=-1+3i.
则 z 1=a-bi, z2 =c-di,4 分 ∴A=z1·z2 +z2·z1 =(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi) =ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2 =2ac+2bd∈R,8 分 B=z1·z1 +z2·z2 =a2+b2+c2+d2∈R,12 分
(2)9+12i2=[9+92-i92-i22i]2=819-2+4-22326i =772725-723265i. (3)法一:23+ -32ii=2+39i+34+2i=6+4i+139i+6i2 =1133i=i. 法二:23+-32ii=-32-i2+2i3i=i33--22ii=i.
共轭复数问题 共轭复数是复数除法运算的基础.
【名师点评】 复数的乘法中易错的是符号,如 i2=-1,易写成正值.除法运算中,分子、分母 应同乘以分母的共轭复数且把结果写成a+bi(a, b∈R)的形式.

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 复数的四则运算(2)

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案  复数的四则运算(2)

第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由②得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.。

苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 3.2 复数的四则运算

苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 3.2 复数的四则运算

§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数加法、乘法法则的合理性及复数差的定义.2.掌握复数加减法和乘法法则,能够熟练地进行复数的加、减法和乘法运算.3.理解共轭复数的概念.1.复数的加法与减法法则设a +b i (a ,b ∈R )和c +d i (c ,d ∈R )是任意两个复数,定义复数的加法、减法如下: (a +b i)+(c +d i)=______________;(a +b i)-(c +d i)=____________.即两个复数的和(或差)仍然是一个复数.它的实部是原来两个复数的________的和(或差),它的虚部是原来两个复数的________的和(或差).2.复数的乘法法则(a +b i)(c +d i)=________________.3.复数乘法的运算律(1)对任意z 1,z 2,z 3∈C ,有交换律z 1·z 2=__________ 结合律(z 1·z 2)·z 3=____________ 乘法对加法的分配律 z 1(z 2+z 3)=________________(2)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对于任意复数z ,z 1,z 2和正整数m ,n ,有z m ·z n =__________,(z m )n =________,(z 1z 2)n =____________.4.共轭复数当两个复数的________相等,________互为相反数时,这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 来表示,即当z =a +b i (a ,b ∈R )时,z =________.5.复数的除法法则给出两个复数a +b i ,c +d i (c +d i ≠0,a ,b ,c ,d ∈R ),将满足等式________________的复数x +y i (x ,y ∈R )叫作复数a +b i 除以复数c +d i 的商,记作____________或者________________,(a +b i)÷(c +d i)=________________ (c +d i ≠0).一、填空题1.(1+i)2=________.2.若x -2+y i 和3x -i 互为共轭复数,则实数x 与y 的值分别是________.3.复数z =i +i 2+i 3+i 4的值为________.4.⎝⎛⎭⎫12+32i 4=______________. 5.(2x +3y i)-(3x -2y i)+(y -2x i)-3x i =____________.(x ,y ∈R )6.已知a +2i i=b +i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b =________. 7.设x 、y 为实数,且x 1-i +y 1-2i =51-3i,则x +y=_______________.8.若实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy=________.二、解答题9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];(3)(a+b i)-(2a-3b i)-3i (a,b∈R).10.设z的共轭复数是z,若z+z=4,z·z=8,求z z.能力提升11.若21-i=a+b i (i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=________.12.已知复数z=1+i,求实数a、b使az+2b z=(a+2z)2.1.复数的运算顺序与实数相同,先进行乘方、开方,再进行乘法、除法,最后进行加减法运算.2.共轭复数在复数的除法运算中起关键作用.3.复数问题实数化是解决问题的基本思想,可以利用两个复数相等的充要条件进行转化.答 案知识梳理1.(a +c )+(b +d )i (a -c )+(b -d )i 实部 虚部2.(ac -bd )+(ad +bc )i3.(1)(2)z m +n z mn z n 1·z n 24.实部 虚部 a -b i5.(c +d i)·(x +y i)=a +b ia +b ic +d i (a +b i)÷(c +d i) ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i 作业设计1.2i2.-1,1 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x -2=3xy =1,∴x =-1,y =1. 3.04.-12-32i 5.(y -x )+5(y -x )i解析 原式=(2x -3x +y )+(3y +2y -2x -3x )i =(y -x )+5(y -x )i. 6.1解析 ∵a +2i i=b +i ,∴a +2i =b i -1. ∴a =-1,b =2,∴a +b =1.7.4解析 x 1-i +y 1-2i =51-3i⇒x (1+i )(1-i )(1+i )+y (1+2i )(1+2i )(1-2i )=5(1+3i )(1-3i )(1+3i )⇒12x (1+i)+15y (1+2i) =(12x +15y )+(12x +25y )i =12(1+3i) ⇒⎩⎨⎧ 12x +15y =1212x +25y =32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =5,∴x +y =4. 8.1解析 由(1+i)x +(1-i)y =2,得(x +y )+(x -y )i =2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,x -y =0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1.∴xy =1. 9.解 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)5i -[(3+4i)-(-1+3i)]=5i -(4+i) =-4+4i.(3)(a +b i)-(2a -3b i)-3i=(a -2a )+[b -(-3b )-3]i =-a +(4b -3) i.10.解 设z =x +y i (x ,y ∈R ),则z =x -y i ,由z +z =4,z ·z =8得, ⎩⎪⎨⎪⎧ x +y i +x -y i =4(x +y i )(x -y i )=8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x =2x 2+y 2=8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =±2, ∴z z =x -y i x +y i =x 2-y 2-2xy i x 2+y 2=±i. 11.2解析 21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=1+i =a +b i. ∴a =1,b =1,∴a +b =2.12.解 ∵z =1+i ,∴az +2b z =(a +2b )+(a -2b )i ,(a +2z )2=(a +2)2-4+4(a +2)i=(a 2+4a )+4(a +2)i.∵a 、b 都是实数,∴由az +2b ·z =(a +2z )2,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2b =a 2+4a ,a -2b =4(a +2). 两式相加,整理得a 2+6a +8=0.解得a 1=-2,a 2=-4,对应得b 1=-1,b 2=2.∴所求实数为a =-2,b =-1或a =-4,b =2.。

苏教版高二数学复数的四则运算

苏教版高二数学复数的四则运算
二手泵车/
[单选,A2型题,A1/A2型题]一般血清总钙是下列哪项时,有临床症状()。A.&le;2.8mmoL/LB.&le;2.2mmol/LC.&le;0.95mmol/LD.&le;1.88mmol/LE.&le;2.5mmoL/L [单选]对肾上腺外嗜铬细胞瘤进行观察时,下列哪项说法不正确A.肾上腺外嗜铬细胞瘤最常出现的部位是肾门附近B.位于肾门前面的肿瘤,肠气干扰较多,应用力挤压腹部排除肠气以便观察C.从背部检查,肾门前方肿瘤易于显示D.肾门下方肿瘤,往往推挤肾下极,使肾下极外移,肾纵轴改变E.肾 [单选,A2型题,A1/A2型题]最常用、最有效的热力灭菌法是()A.煮沸法B.巴氏消毒法C.流通蒸汽灭菌法D.高压蒸汽灭菌法E.间歇灭菌法 [单选]女,40岁,下颌颏部隆起,结合图像最可能诊断()A.造釉细胞瘤B.骨软骨瘤C.含牙囊肿D.骨巨细胞瘤E.动脉瘤样骨囊肿 [单选,A2型题,A1/A2型题]下颌骨的主要生长中心为()A.髁状突B.喙状突C.下颌角D.正中联合E.颏孔区 [单选]焦炉煤气加热焦炉时,当空气量偏小时,火焰()。A.亮白短小B.暗.冒烟C.充满火道 [单选]下列选项中哪项不是小肠运动的基本形式?()A、钟摆运动B、集团蠕动C、蠕动和逆蠕动D、分节运动 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者呼吸时发生吹哨声应考虑患有()。A.慢性鼻炎B.鼻中隔血肿C.鼻中隔前段小穿孔D.鼻中隔大穿孔E.鼻中隔后段小穿孔 [问答题,简答题]何为变温吸附? [单选]采掘工作面的进风流中,氧气浓度不低于20%,二氧化碳浓度不超过()A.0.75%B.0.5%C.1.5% [名词解释]复位 [填空题]《水质色度的测定》(GB/T11903—1989)中规定,色度测定的是水样经()mim澄清后样品的颜色。 [名词解释]单腔共振吸声材料又称亥姆霍兹共振吸声结构 [单选]王某租赁张某一套住房,租赁期间为2009年1月1日至12月31日,约定2009年6月30日之前支付房租,但王某一直未付房租,张某也未催要。根据民事诉讼法律制度关于诉讼时效的规定,张某可以向法院提起诉讼、主张其民事权利的法定期间是()。A.2010年6月30日之前B.2010年12月31日之前 [单选]会计信息的次要质量要求中,()要求企业对交易或者事项进行会计确认、计量和报告时不应高估资产或者收益、低估负债或者费用。A.形式重于实质B.实质重于形式C.可理解性D.谨慎性 [单选]门静脉高压症病人最凶险的并发症是()A.感染B.贫血C.大出血D.肝昏迷E.低蛋白血症 [单选]下列哪项不是寒冷疗法的作用机制()A.开始血管收缩,继之血管扩张B.降低毛细血管壁通透性C.降低新陈代谢(抑制炎症)D.始疼痛减轻,继之加重疼痛(如寒冷、麻醉、止痛)E.降低肌肉活动性(抑制肌肉痉挛) [单选]抢救口服有机磷农药中毒患者洗胃时最常用的洗胃液是()A.生理盐水、温开水B.热开水C.2%碳酸氢钠D.1:5000高锰酸钾液E.以上均可 [单选]()是电路的三个组成部分。A.负载、导线和元件B.电源、插头和导线C.电气、导线和负载D.电源、负载和导线 [单选]变电所中的降压变压器,其高压侧的额定电压()电网额定电压。A.高10%B.高5%C.相等 [单选]平版胶印印刷纸类彩印品时,一般合格品的套印规定误差为()。A.小于1mmB.小于2mmC.小于0.2mmD.小于0.1mm [单选,A1型题]乳腺癌出现“酒窝征”的机制是()A.合并感染B.癌肿压迫乳管C.癌肿侵犯cooper韧带D.淋巴管癌栓阻塞E.周围组织粘连 [单选]逾期无人认领的托运行李处置的时限规定:可以联系到旅客时,应尽快以电话方式通知旅客,但电话通知一般不超过()次。A.5B.3C.2D.4 [单选]惰性气体含量增加,H2、N2在混合气中的分压()。A.增大B.降低C.不变 [单选]2004年2月1日某建设单位与某施工单位签订了施工合同,约定开工日期为2004年5月1日,竣工日期为2005年12月31日。2004年2月10日施工单位与保险公司签订了建筑工程一切险保险合同。施工单位为保证工期,于2004年4月20日将建筑材料运至工地。后因设备原因,工程实际开工日为200 [多选]在建设项目施工中,施工单位与其他主体产生合同之债的情形有()等。A.施工单位与材料供应商订立合同B.施工现场的砖块坠落砸伤现场外的行人C.施工单位将本应汇给甲单位的材料款汇入了乙单位帐号D.材料供应商向施工单位交付材料E.施工单位向材料供应商支付材料款 [判断题]测定水的色度的铂钴比色法与稀释倍数法应独立使用,两者一般没有可比性。A.正确B.错误 [单选]某患者进食后发生恶心、呕吐、腹泻。不应考虑的细菌是()A.福氏志贺菌B.伤寒沙门菌C.大肠埃希菌D.金黄色葡萄球菌E.幽门螺杆菌 [单选]在每一日历年内,客户的受电变压器(含不通过受电变压器的高压电动机)5台时,可申请全部或部分用电容量的暂时停止用电()次。A.2B.3C.4D.5 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列腧穴中,与至阳穴相平的是()A.膈俞B.督俞C.心俞D.神堂E.肝俞 [单选]个人注册客户办理网上记账式国债业务的账户必须是()。A、个人身份证下的任一账户B、个人已注册的准贷记卡C、个人已注册的借记卡D、个人已注册活期存折 [问答题,案例分析题]B企业拟在A市郊区原A市卷烟厂厂址处(现该厂已经关闭)新建屠宰量为120万头猪/年的项目(仅屠宰,无肉类加工),该厂址紧临长江干流,A市现有正在营运的日处理规模为3万t的城市污水处理厂,距离B企业1.5km。污水处理厂尾水最终排入长江干流(长江干流在A市段 [单选]病例对照研究中,使用新发病例的主要优点是()A.需要的样本量较小B.减少回忆偏倚,并具代表性C.病例好募集D.对象容易配合E.不存在入院率偏倚 [单选,A1型题]学龄期的保健要点不包括()A.提供良好的学习环境B.预防视力和龋齿C.开展健康教育D.加强体育锻炼E.培养良好的劳动观念 [单选]道德存在于人们的内心当中,具有及时性和超前的警示性、()的特点,可以随时调控人的不良行为。A、启示性B、防范性C、总结性D、暗示性 [单选,A2型题,A1/A2型题]根据面神经损伤的程度,面神经的病理生理改变不包括()。A.神经失用B.神经外膜损伤C.轴索断伤D.神经痉挛E.神经断伤 [单选]对癫痫大发作与癫痫小发作均有疗效的抗癫痫药物为()。A.苯妥英钠B.苯巴比妥C.扑痫酮D.丙戊酸钠E.卡马西平 [单选,A1型题]关于乳腺癌,下列不正确的是()A.锁骨下淋巴结转移属远处转移B.原位癌患者可以不行腋窝淋巴结清扫C.雌、孕激素受体阳性的病例内分泌治疗效果好D.乳腺癌保乳术后应接受放疗E.Paget病恶性程度较低 [判断题]同一泵站内不能同时采用保护接地和保护接零。A.正确B.错误 [单选]定额计算法的公式中R代表()。ABCD

苏教版高中数学(选修1-2)3.2《复数的四则运算》(第2节)ppt课件

苏教版高中数学(选修1-2)3.2《复数的四则运算》(第2节)ppt课件

zmzn zmn ,
(zm )n zmn ,
(z1z2 )n
z1n
z
n 2
【探究】 i 的指数变化规律
i1 i , i2 1 , i3 i , i4 1
i5 _i_ , i6 __1 , i7 __i , i8 _1_
你能发现规律吗?有怎样的规律?
i4n 1 ,
i4n1 i ,
解:原式(i i2 i3 i4) (i5 i6 i7 i8) ... (i2005 i2006 i2007 i2008) i2009 i2010
0 i1 i2 1 i
【例4】设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明: (1) 2 ( 1 3 i)2 1 3 i 3 1 3 i
常用结论:
(1) (1 i)2 2i;
(2) 1 i; 1 i i;
i
1 i
1 i i.
1 i
(3) 1 3 i, 则1 2 0; 3 1
22 (4) a bi (a bi)i (a bi)i i
b ai (b ai)i a bi
1、除法运算法则 a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad i c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2 本质:分母实数化
复数的除法法则
一般地,我们有:
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
ac bd c2 d 2
bc c2
ad d2
i
由于 c di 0, 所以 c2 d 2 0 ,可见,两个复数
的商仍是一个复数。
分子分母同乘以分母的共轭复数, 即把分母 “实数化”。

苏教版数学高二数学苏教版选修1-2知识必备3.2复数的四则运算

苏教版数学高二数学苏教版选修1-2知识必备3.2复数的四则运算

3.2 复数的四则运算知识梳理1.复数的加减法两个复数相加(减)就是把_____________,即a+bi±(c+di)=_____________.2.复数的乘除法(1)设Z 1=a+bi,Z 2=c+di 是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=_____________,它们的商(a+bi)÷(c+di)=_____________(c+di≠0)(2)在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成_____________形式,再把分子分母都乘以_____________.3.共轭复数当两个复数的实部_____________,虚部互为_____________时,这两个复数叫做互为_____________.4.i 的幂的周期性i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________i 4n+3=___________.(n ∈N *)5.常用的1±i,w 的运算规律. ①i 1=___________,(1±i)2=___________,ii -+11=___________; ②设w=2321+-i,则w 2=___________,w+w =___________, w·w =___________,1+w+w 2=_____________,w n +w n+1+w n+2=___________(n ∈Z );w 3k = ___________,w 3k+1=___________,w 3k+2=___________(k ∈Z ).疑难突破1.复数的减法法则剖析:课本上规定(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi(x,y ∈R )叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差,记作(a+bi)-(c+di).根据复数的加法法则和复数相等的定义有⎩⎨⎧=+=+.,b y d a x c 即x=a-c,y=b-d.∴x+yi=(a-c)+(b-di)在学习复数的减法时,首先类比实数的减法规定复数的减法也是加法的逆运算,即用加法定义两个复数的差,然后只要根据复数的加法,复数相等的条件就可以得到复数减法的法则.这里实际上使用的是待定系数法,也是确定复数的一个一般方法.2.复数的除法在学习复数的除法时,可类比实数的除法,联系复数减法法则的引入过程,探求复数除法的法则.规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi,叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商.经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.根据复数相等的定义,有cx-dy=a,dx+cy=b.由此x=22d c bd ac ++,y=22d c ad bc +-于是(a+bi)÷(c+di)=22d c bd ac +++22d c ad bc +-i(c+di≠0)这就是复数的除法法则.而如果在实际进行复数的除法运算时,每次都按照乘法的逆运算的办法来求商,这是十分麻烦的.可以设想解决的办法,类比根式的除法,从而得到简便的操作方法.先把两个复数相除写成分数形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.典题精讲【例1】 计算(1)ii 32132+-+(5+i 19)-22)21(i +; (2)5)31()22(i i -+.思路分析:利用特殊复数的性质进行运算如i 的乘方、及w 性质的运算、关键是变形. 解:(1)i i 32132+-+(5+i 19)-22)21(i+ =i i i 321)321(+++[5+(i 4)4·i 2·i]-11221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+i =i+5-i-i 11=5+i(2)含w=i 2321+-则w 3=1 于是 525544542)2()2321(2)1(2)31()22(wi i i i i -=+--+=-+ =62ww =2w=-1+i 3 绿色通道:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,w 3=1,巧用这些性质,可以快速解答许多问题,因此,记住这些小结论将是有益的.【变式训练】(1)计算i i i i 212)1()31(63++--++-; (2)823123⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--i i .思路分析:计算(a+bi)时,一般按乘法法则进行计算,对于复数1±i 计算它的n(n 大于或等于2的自然数)次方时,常先计算1±i 的平方;对于复数2321±±计算它的n 次方根时,(n 为大于或等于3的自然数)常先计算它的立方.解:原式=5)21)(2(])1[()31(323i i i i -+--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i 8)3()3)(1(33)1(3)1(3223-+-•+-•+--i =i88--i=i-i=0. (2)设w=231i +-则w 3=23i -=wi ∴原式=(wi+w)8=w 8(1+i)8=w 6×w 2(2i)4=16w 2=16(-21-i 23) =-8-i 38.【例2】设Z 是虚数,w=ZZ 1+是实数,且-1<w <2. (1)求Z 的实部的取值范围;(2)设μ=ZZ +-11求证μ为纯虚数; (3)求w-μ2的最小值.思路分析:本题考查复数的基本概念及根据基本不等式求最值问题.(1)(2)利用基本概念求解,(3)中不难得到w-μ2=2a-11+-a a =2a-1+12+a =2(a+1)+12+a -3再利用均值不等式求得最小值,还要注意结论等号是否能成立.解:(1)设Z=a+bi(a,b ∈R ,b≠0) w=a+bi+)()(12222i ba b b b a a a bi a +-+++=+ ∵w 是实数,b≠0 ∴b-22b a b +=0. ∴w=2a ∵-1<w <2 ∴-21<a <1 ∴Z 的实部的取值范围是)1,21(- (2)μ=i a b b a bi b a bi a bi a Z Z 1)1(2111112222+=+++--=++--=+- ∵a ∈)1,21(- b≠0,∴μ为纯虚数.(3)w-μ2=2a+22)1(+a b =2a+22)1(1+-a a =2a-11+-a a =2a-1+12+a =2[(a+1)+)1(1+a ]-3. ∵a ∈)1,21(-,∴a+1>0, ∴w-μ2≥2×2-3=1,∴当a+1=11+a 即a=0时 上式等号成立,∴w-μ2的最小值是1.绿色通道:设Z=a+bi 将复数问题实数化,是解决复数问题的基本思想;另外,在利用不等式求最值时,特别要注意三点:①自变量是否有范围;②等号是否能够成立(在变量的范围下);③要注意恒等变形,配凑成能使用不等式的形式.【变式训练】 设i 是虚数单位,复数w 和Z 满足Zw+2iZ-2iw+1=0,若Z 和w 又满足-Z=2i,求w 和Z 的值.思路分析:设复数的代数形式,进而将复数问题转化为实数问题,是解决复数问题时常用的解题技巧.解:∵w -Z=2i ∴Z=w -2i代入Zw+2iZ-2iw+1=0得 (w -2i)w+2i(w -2i)-2iw+1=0∴w w -4iw+2i w +5=0设w=x+yi(x,y ∈R ),则上式可变为(x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,∴x 2+y 2+6y+5-2xi=0, ∴⎩⎨⎧==+++.02,05622x y y x∴⎩⎨⎧-==.1,0y x 或⎩⎨⎧-==.5,0y x ∴w=-i,Z=-i 或w=-5i,Z=3i.【例3】 已知Z=1+i(1)设w=Z 2+3Z -4求w;(2)如果122+-++Z Z b aZ Z =1-i ;求实数a,b 的值. 思路分析:(1)采用代入法求出w;(2)代入化简后,通过复数相等,把复数问题转化为实数问题来解.解:(1)∵Z=1+i,∴w=Z 2+3Z -4=(1+i)2+3(i +1)-4=-1-i.(2)由122+-++Z Z b aZ Z =1-i ,把Z=1+i 代入得 1)1()1()1()1(22++-+++++i i b i a i =1-i , ∴ii a b a )2()(+++=1-i,∴(a+b)+(a+2)i=1+i ∴⎩⎨⎧=+=+.1,12b a a 得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 绿色通道:通过复数相等的定义,把虚数问题转化成实数问题,是复数重要的数学思想,代入化简时,注意复数的运算技巧.【变式训练】 已知Z 1满足(Z 1-2)i=1+i,复数Z 2的虚部为2,且Z 1·Z 2是实数,求复数Z 2的值.思路分析:本题考查复数的乘法,除法的运算法则.解:由(Z 1-2)i=1+i,得Z 1=ii +1+2=(1+i)(-i)+2=3-i ∵Z 2的虚部为2,∴可设Z 2=a+2i(Z ∈R )Z 1·Z 2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i 为实数∴6-a=0,即a=6 因此Z 2=6+2i.问题探究对于任意一个非零复数Z ,M z ={w |w=Z 2n-1,n ∈N *}(1)设α是方程21=+x x 的一根,试用列举法表示集合M α,若在M α中任取两个数,求其和为零的概率P.(2)若复数w ∈M z ,求证M w ⊆M Z .导思:复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式,化简的依据是i 的周期性,即i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈N )复数的代数形式运算,基本思路是直接用法则运算,但有时能用上特殊复数i 或w 的一些性质,以及一些常见的结论如(1+i)2=2i(1-i)2=-2i,ii -+11=i 等,可更有效的简化运算,提高计算速度. 探究:(1)由方程21=+xx ,得x=22±i 22 当α1=22+i 22时,w=α12n-1=1121212222)(ααααn n n i i =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=由i n 的周期性知,w 有四个值.n=1时,w=i i i22222222+=+; n=2时,w=i i 222222221+-=+-; n=3时,w=i i i22222222--=+- n=4时,w=i i 222222221-=+. 当α2=i 2222-时,w=α22n-1=2222)()(αααn n i -= n=1时,w=i i i22222222-=--; n=2时,w=i i 222222221--=--; n=3时,w=i i i22222222+-=-; n=4时,w=i i 222222221+=-; ∴不论α=i 2222+,还是α=i 2222- M α=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+--+i i i i 2222,2222,2222,2222 则P=3162224==C(2)∵w∈M z则w=Z2m-1m∈N,任取x∈M z则x=w2n-1,n∈Z,而w=Z2n-1∴x=(Z2m-1)2n-1=Z(2m-1)(2n-1). ∵(2m-1)(2n-1)为正奇数,∴x∈M Z, ∴M w≤M Z.。

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复数的四则运算
3.复数除法的运算法则: 把满足(c +di)(x +yi) = a +bi 商 (c+di≠0) 的复数 x +yi 叫做复数 a+bi 除以复数c +di的
复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.
对任意复数z, z1 ,z2 以及正整数m,n有
mn
z z z (z ) z2 2则Fra bibliotek 13

2
1


3n 2

3n
1

3n1


1

1 0
2
例题选讲
例1 计算 2 - i 3 4i
解析: 方法一
根据定义,待定系数法; 方法二 化简成分式形式,利用共轭复数的概念求 解。
例题选讲
例2 已知复数z1满足 z1 2 i 1 i , 复数z 2的
6+2i
虚部为2,且z1 z 2 是实数,求复数z 2 .
5 例3 已知z 是实数,且z 3的实部与虚部互 z 为相反数的虚数z是否存在,若存在,求出虚数z, 若不存在,说明理由.
-1-2i
-2-i
例题选讲
例4 已知z 1 i;1 )设 z 2 3(1 i) 4, 求; z 2 az b 2 )如果 2 1 i, z z 1 求实数a, b的值.
n m n
m
n
mn n n z1 z 2
(z1 z2 )
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi 互为共轭复数 记作:
z
注:1)当a=0时,共轭复数也称为共轭虚数;
2)实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
Z1 Z 2 Z1 Z 2
Z1 Z1 Z Z 2 2
Z1 Z 2 Z1 Z 2
Z Z
n
Z 2 0

n
Z Z
Z Z 2a
Z Z a b
Z Z 2bi
2
2
复数的运算常用结论
1)
i 1
2
一般地,如果
n N
,有
4 n 2
i 1, i
4n
4 n 1
i , i
n2
1, i
4 n 3
i
2)
i i i i
n
n
n 1
i
i
n 3
n 3
0
n 1
i
n2
i
1
复数的运算常用结论
3)
1 i
2
2i 1 i i 1 i
1 i i 1 i
复数的运算常用结论
4) 设 1 3 i
1) -1-i
2)解析:除法的计算相对比较烦琐,此题可以先把
分母乘到右式利用复数的乘法,计算上会
比较方便。
课堂练习
1 1 已知z是虚数,且 z 是实数, z z 1 求证 纯虚数. z 1
a -i 2 已知z (a 0, a R), 复数ω z(z i) 1- i 3 的虚部减虚部减去它的得的差是 , 求复数ω. 2 3 + 3i 2
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则:
复数 z1=a+bi, z2=c+di,(a,b,c,d是实数)
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部 分别相加(减).
复数的四则运算
2.复数乘法的运算法则:
( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i. 注:复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
回顾总结
1.复数的四则运算; 2.复数运算的乘方形式; 3.共轭复数的相关运算性质; 4.复数运算中的常用结论。
; 符咒 hnq913dgk 说“全国啤酒研讨会”时声调至少提高了三四度,而且站了起来,好像是他在大会作报告一样。“我刚来第一天就见过冯工了, 高高的个子,人有点偏瘦,看起来特别和蔼,听蒋主任介绍时知道他是中国第一代啤酒专家,可没想到竟是这么了不起的人物。 今后一定要好好向他请教。”马启明被他在学术界的影响所折服,带着敬佩的口气说道。冯力雄是响当当的专家、是绝对的前 辈,却从不摆前辈的架子,也从不保留自己的技术,震撼成了马启明的唯一感觉。至此以后,马启明成了冯力雄忠实的铁杆粉 丝。接着张钢铁又跟马启明聊起了啤酒厂的历史,从过去到现在如数家珍般一一说过,至此马启明对啤酒厂发展历史也有了一 个大概的了解。原来花开啤酒厂的前身竟是个油酒作坊,榨油、做白酒,只有一百来人,大跃进时代大家伙的积极性都很高, 有活干,有钱拿,在那个时候日子过得还算蛮滋润的。直到1970年,一名在上海当官的同乡带来一条信息:现在上海青年人都 喜欢喝啤酒,啤酒供不应求。如果你们愿意生产啤酒,他可以帮助你们联系啤酒厂去学习。当时也听外面回来的人说啤酒营养 价值很高,在大城市非常受欢迎,常常有钱都买不到。但绿溪镇却没有人见过啤酒,啤酒是绿色的还是红色的?是白色的还是 黑色的?人喝了“屁酒”是不是爱放屁?中国人喝了啤酒以后会不会慢慢地长成深眼睛、高鼻子的外国人?大家根本不知道啤 酒是什么玩意儿,只知道它是个洋玩意儿,卖得十分火爆。大城市年轻人结婚能搞到几箱啤酒那是十分荣耀的事。厂里几个人 一商量,当即向上级主管部门汇报请示,主管局领导一听销路这么好、又是个时髦产品,也高兴,很快就批准了。于是马上找 到这位当官的同乡,通过他的关系,联系到上海啤酒厂。厂里特地选了几个年纪轻、头脑灵活的人去上海学习啤酒生产技术, 其中就有张钢铁,当时他还不到二十岁,他们没有一点理论基础,完全凭着一股热情便奔向上海。在上海时,他们天天泡在车 间里,边学边做笔记,每天晚上睡觉前几个人必定要先把白天学到的技术再复习一遍,当时的那股学习热情,让轻易不赞扬外 地人的上海师傅都佩服得直坚大拇指。听到这里,马启明想起了曾经看过的一篇文章,说道:“你们为了学习啤酒技术跑到上 海去,奉献了自己的激情,就像日本人为了啤酒奉献自己的腿。这里有个故事拿出来与大伙分享一下。”张钢铁愕然:“没得 命,为了啤酒贡献自己的腿?咋回事?赶快说出来听听。”马启明却纳闷地看着他,问道:“没得命,又说日本话吗?”在马 启明看来,痛恨什么你就拿什么作为靶子来说说,一解心头之恨。“噢,没得命也是我们这里的方言,就是了不得、不得了的 意思。”马启明笑了笑,便打开话匣子:“最初的时候,只有德国拥有啤酒酿造的
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