一元二次函数教案

数学一元二次方程一．知识点归类知识点一一元二次方程的定义注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例1 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴ 3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点二 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例3 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？ （只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。

）知识点三 直接开平方法解一元二次方程 若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

例4 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）01692=-x ； （2）()01652=-+x ； （3）()()22135+=-x x知识点四 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2的形式； （3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例5 用配方法解下列方程（1）0562=-+x x （2）0342=+--x x知识点五 公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：a ac b b x 242-±-= 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）； （2）求出ac b 42-的值；（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代人求根公式a ac b b x 242-±-=，求出21,x x 。

例6 用公式法解下列方程（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x知识点六 因式分解法解一元二次方程关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例7 用因式分解法解下列方程：（1）x x 452=； （2）025)32(2=--x ； （3）()222596x x x -=+-。

（4）0652=+-x x ； （5）0122=--x x选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例8 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）()()2232932+=-x x ；（2）0682=+-x x ；（3）()0)1(2=-+x x知识点七 一元二次方程根的判别式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42-，运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） △=ac b 42-﹥0⇒方程有两个不相等的实数根；（2） △=ac b 42-=0⇒方程有两个相等的实数根；（3） △=ac b 42-﹤0⇒方程没有实数根；例9 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）05322=--x x ；（2）253092-=x x ；（3）01062=++x x知识点八 根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例10 m 为何值时，方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况： （1） 有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点九 一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21， a b x x =21 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ 例11 已知方程03522=--x x 的两根为21,x x ，不解方程，求下列各式的值。

（1）2221x x +； （2）()221x x -。

二、一元二次函数常见题型题型一 一元二次方程定义例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2±=mB ．m=2C ．2-≠mD ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。

则a 的值为( )A 、 1B 、－lC 、 1 或－1D 、12 4、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

5、关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）A 、≠1B 、≠－2C 、≠1且≠－2D 、≠1或≠－2题型二 一元二次方程的解1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

x 0)2(22=++-+b ax x a a a a a a a a4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。

5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -题型三 一元二次方程的求解方法一、直接开平方法 二、配方法();0912=--x三、公式法1、0822=--x x2、01522=+-x x四、因式分解法1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x3、0862=+-x x题型四 根的判别式1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

2、关于X 的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A 、＞9 B 、＜9且≠0 C 、＜9 D 、≤9且≠03、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) 0162=+-x kx k k k k k k kA.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m4、对于任意实数m ，关于x 的方程一定（ ）A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根三、列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

知识点一 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a ，增长率x 为，则一次增长后的值为()x a +1，两次增长后的值为()21x a +；（2）若基数为a ，降低率x 为，则一次降低后的值为()x a -1，两次降低后的值为()21x a -。

例12 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x ，列出关于x 的方程为知识点二 用一元二次方程解与市场经济有关的问题（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量例13 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

例14 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？例15 某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg ；单价每千克降低一元,日均多售2kg 。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价关系式课后作业计算题（每种解法抽一题做）一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142=-x2、2)3(2=-x3、()162812=-x二、 用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x三、 用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x四、 用因式分解法解下列一元二次方程。