2011年上海高考理科压轴题推广
探究2011年上海春季高考压轴题
递增． 从而当初始项 ｚ 逐渐增大 时， ｏ 由 １ — ：
】 ＾一 ＋ ／
／ ａ
知 １ 也逐渐增 大， 而 从
ａ ｎ＜ ２ ａ ， ｎ≠ １ 而 ａ ． ｎ＜ １｛ ２一ａ ｎ＞ １｛
２ — ：
也逐渐增大， 依次类 推 … … ，
／ａ
ａ ＋ ＿ 一 ＜ １ 若 １＜ ａ ｎ １： ＝ － ； ｌ＜ ２ 设存在正 ，
父 Ｉ ， 一； （ 时 交 ｆ￣３——Ｊ 当１１Ｊ 点 ／ （ 日 ＼ －— １ ∈， 寸 ＼ — ， ／ — 且 恒 但
有 Ｘ ｎ １ （， ） ２＋ ＞ ２— 成立， Ｃ ２一 ∈ １ ， ｎ １ ｘｎ ｌ 且９ ｎ∈ ２
必 证 明） ．
分析： 简要性质如： 两点 （， ） ２ １， ① １ ２、（， ） 均 在函数 ｆｘ ＝ 、７ 图像上； ２ ∈（，） （） ／ —３ ／ ② ； １２， １ 贝 ∈ （，） ０ １２； ⑨ ｌ∈ （，） 贝 ｉ 佗 ＝ １２， ０ｌ ａ ｒ
中的相关 问题．
＿
＋１： — —
故有下界且单调递减数列｛ ） 必有下确界，
即极限 ｌ 存在． ｌ ＝ Ｘ 则有 ＝ ｉ ｍ 设 ｉ Ｘ ａ ｒ ，
＋１一 ／
，
／ ａ
进而 ｚ：
．
／ ａ
探究 ２ 数与形结合， 观察迭代过程
∞＋ ～ 一 ｜
问题
（０ １ 上海春考题） 给定首项 ｏ ２１ 年 对
／ａ
ｎ
当初始项 ０ 在某个范围内时， ｎ １ ｆｘ ） 由Ｘ ＋ ＝ （ｎ 迭代得到无穷递减（ 或递增） 列？ 数
例 ３ （０ １ 上海 高考 题） 对于 初始 项 ２０ 年 若 ｏ ＋ Ｘ －Ｚ（ ∈ Ｎ） ，由 １＝ ￣＿ ｎ－ 礼 产生的无穷
11年全国各地高考数学压轴题解析
11年高考数学压轴题1、（安徽理）（21）（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=，求点P 的轨迹方程。
（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。
解：由MP QM λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y 0),M(x,x 2),则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1(①再设),(11y x B ，由λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y 。
2、（广东理）21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:214y x =.实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。
（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段AB 上任一点Q(p ，q)有0(,);2p p q ϕ= （2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。
2011高考理科综合压轴试题
2011高考理科综合压轴题（4）可能用到的相对原子质量：H：1C：12N：14O：16Na：23Mg：24Al：27 S：32Cl：35．5Fe：56Cu：64Zn：65Br：80一、选择题：1.将某一经3H充分标记DNA的雄性动物细胞（染色体数为2N）置于不含3H的培养基中培养，经过连续两次细胞分裂。
下列有关说法正确的是：A．若进行有丝分裂，则子细胞含3H的染色体数一定为NB．若进行减数分裂，则子细胞含3H的DNA分子数为N/2C．若子细胞中染色体都含3H，则经胞分裂过程中可能发生基因重组D．若子细胞中有的染色体不含3H，则原因是同源染色体彼此分离2.下列有关生命活动调节的叙述，错误的是：A．免疫系统通过防卫、监控和清除功能实现它在维持稳态中的作用B．水平放置的幼苗，其根的向重力性体现了生长素作用的两重性C．下丘脑和垂体共同调节甲状腺激素的分泌D．人和高等动物神经调节的结构基础是反射3.图为患甲病（A对a为显性）和乙病（B对b为显性）两种遗传病的家系图，其中有一种遗传病的致病基因位于X染色体上，若Ⅱ-7不携带致病基因，下列分析不正确的是：A．甲病是伴X显性遗传病，乙病是常染色体隐性遗传病B．I一2可产生4种类型卵细胞，Ⅲ一9可产生4种类型精子C．如果Ⅲ一8是一个女孩，则她不可能患甲病D．Ⅱ—6不携带甲、乙致病基因的概率是1／34.抗菌药物抗菌机理青霉素抑制细菌细胞壁的合成环丙沙星抑制细菌DNA解旋酶的活性红霉素能与细菌细胞中的核糖体结合利福平抑制敏感型结核杆菌的RNA聚合酶的活性的复制过程C．红霉素可导致细菌蛋白质合成过程受阻D．利福平能够抑制RNA病毒逆转录过程5.人体在正常情况下，下列生理过程能够发生的是A．相同的RNA逆转录合成不同的DNA B．相同的DNA转录合成不同的RNAC．相同的密码子决定不同的氨基酸D．相同的tRNA携带不同的氨基酸6.下列说法不正确的是：A．标准状况下，等体积的CH4和CO2所含的共用电子对数相等B．与NaOH溶液、H2SO2溶液反应产生等量的H2，所需铝粉的质量相等C．明矾溶液中K+和Al3+的物质的量浓度相等D．1 mol OH -和17 g NH3所含的电子数相等7.8.流感）是市场上唯一的奥司他韦制剂。
上海(理科)历年高考数学试卷及答案(-)-试题.doc
2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 。
2．若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤U ，则U C A = 。
3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。
4．不等式13x x+<的解为 。
5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。
6．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。
7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。
8．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
9．马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯 定这两个“？”处的数值相同。
据此，小牛给出了正确答案E ε= 。
10．行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。
11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=u u u r u u u r。
12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
13．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。
?!?321P(ε=x )x14．已知点(0,0)O ．0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q ．1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ．2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P L L ，则0lim ||n n Q P →∞= 。
2011年上海高考理科压轴题推广
点 Ｑ， 线段 ＰＱ长度 的最 小值， 记作 ｄＰ ） 并 （ｊ ； 记点Ｐ到线段ｆ 所在直线的距离为ｄ （ ， Ｒ１ 点Ｐ到 ）
点 Ｑ的 距 离 为 ｄ Ｑ． ｐ １ ．由直 线 段 到 圆弧 对 于线 段 ＡＢ ，由过 端 点且 垂 直 于 Ｂ 的两
Ｏ≤７＋ｆ Ｌ ｒ ） ．由余弦函数的性质知，Ｏ 在 ［ ７ ＣＳ ０ｒ ，］ 上单调递减， ７ ２ 】 在【，丌上单调递增． ｒ 故取射线０
图 ２
（） １ 当点 Ｐ落在 Ｚ ＯＡ的 内部 （ 含射 线 Ｆ 包
（ 时， 二 ） Ｆ） 易知 ０＜ ０＜ ≤ ７ ｒ ．故 当 ＝ Ｏ Ｚ ０
若 点Ｊ 落在 区域 １包 含射线 和 ） Ｆ ） （ 中， 易知 ｄＪ ｓ （ ，）＝ ｄ ｏ—ｒ Ｐ ｐ ．因为连结 Ｐ（， 二 必与 ｓ ） 交于一 点 Ｑ， 弧 ｓ 异于点 Ｑ的任意点 Ｒ， 取 上 由
若点 Ｐ在区域 ３（ 包含射线 ＯＥ ， 比直线 ）类
知 ＣＳＬ ＯＯ 的最大值为 ＣＳ 或ｃｓ２ ＋ ） 由于 Ｏ ｏ ｏ（０ ０． ＣＳ 的图像关于直线 ＝ ７ Ｏ ｒ 对称， （ ＋ — 而 ２ ０ ７ 一 （ —Ｏ ） ２ ｏ＋２ ２ ｒ ） ７ ｚ ＝ ａ ｒ ０ ０— ７ ０ 即 ２ ｒ≤ ， ＋
ｉ３ 一８
数 学教 学
２１ 年第 １ ０２ 期
２ １ 年上海高考理科压轴题推广 ０ １
５０ １ 华南师范大学数学科学学院 黄靖舒 １３ ６
２ １ 年全 国高考理科上海卷压轴题很有趣， ０１ 题 目如 下： 已知平面上 的线段 Ｚ 及点 Ｐ， ｆ 在 上任 取一 点Ｑ， 线段 ＰＱ长度的最小值称为点 Ｐ到线
２ （ ＜７ ， ０ ０＜ ｒ 由余弦定理知ＰＱ ） ＝ＰＯ ＋ ｏＱ —２ Ｏ・ Ｐ ＯＱＣＳ ｚＰＯ与 （ ＯＯ ， ＝ ） Ｑ均为定值， 故
2011年全国高考数学试题压轴题
2011年全国高考数学试题压轴题（1）、（2011年全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（2）、（2011年全国卷）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e ＜＜（3）、（2011年新课标卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
（4）、（2011年新课标卷）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-，求k 的取值范围。
（5）、（2011年北京卷）已知函数2()()xkf x x k e =-。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e ，求k 的取值范围。
（6）、（2011年北京卷）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.（7）、（2011年北京卷）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2, (1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。
2011年高考终极压轴新课标卷(数学理)
π
3
）的值；
（2）当 x∈[ 0， ] 时，求函数 f（x）的最大值。 4
π
C1
18． （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧面 AA1C1C 底面 ABC ， AA1 A1C AC 2, AB BC ，且 AB BC ,O 为 AC 中点． （Ⅰ）在 BC1 上确定一点 E ，使得 OE // 平面 A1 AB ，并 说明理由； （Ⅱ）求二面角 A A1 B C1 的大小．
π 3 2π 2π 3 3 （1）f（ ）= sin -sin = - =0。 （4 分） 2 3 4 4 3 3 （2）因为 f（x）=
13.8
14.
15. 16 2 2
16．
3 5
1 1 π 1 3 3 2 sin2x-sin x=f（x）= sin2x+ cos2x- =sin（2x+ ）- 。所以当 x 2 2 6 2 2 2
π π π 2π 1 π 1 ∈[0， ]时， ≤2x+ ≤ ，所以： ≤sin（2x+ ）≤1，所以 f（x）的最大值为 。… 4 6 6 3 2 6 2 （12 分） 18. （本小题满分 12 分）解： （Ⅰ） E 为 BC1 中点． ·························· 2 分 证法一：取 BC 中点 F ，连接 OF , EF ． ················ 3 分 所以可得 OF // AB, EF // BB1 ，所以面 OEF // 面 A1 AB ． ········· 5 分 所以 OE // 平面 A1 AB ． ························ 6 分 证法二：因为 A1 A A1C ，且Ｏ为 AC 的中点，所以 A1O AC ．又由题意可知， 平面 AA1C1C 平面 ABC ，交线为 AC ， 且 A1O 平面 AA1C1C ，所以 A1O 平面 ABC ． 以Ｏ为原点， OB, OC , OA1 所在直线分别 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．…………1 分 由题意可知， A1 A A1C AC 2, 又
2011年高考数学压轴题(三)
2011年高考数学压轴题（三）1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.（I）求证：；（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线，渐近线，……3分（II）双曲线C的方程为：……7分（III）由题意可得……8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分，得的取值范围是（0，1）……13分2．（本小题满分13分）已知函数，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：（I）……1分……将这n个式子相加，得……3分（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1……6分（III）设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m 个满足条件的正整数N ，则，解得中满足条件的正整数N 存在，共有495个，……9分（IV ）设，即则显然，其极限存在，并且……10分 注：（c 为非零常数），等都能使存在.19. （本小题满分14分） 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线的方程； （II ）若A 、B 分别为上的点，且，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点能否作出直线，使与双曲线交于P 、Q 两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ），渐近线方程为4分（II ）设，AB 的中点[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，，则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线设由（i）（ii）得∴k不存在，即不存在满足条件的直线. 14分3. （本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.（I）求证数列是等比数列；（II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？解：（I）由已知（2）由得：，即对任意都成立（II）当时，由题意知，13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=． 由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而b x b c ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分 圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分 由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ΛΛΛd n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++ΛΛΛ)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++． 当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为 2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分 11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(32),0(],,0[Θ.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),(ΛΛx g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(ΛΘx f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。
2011年高考试题——数学理(上海卷)
2011年全国普通高等学校统一招生考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间为120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数的反函数为 .1()2f x x =-1()f x -=2.若全集，集合，则.U R ={|1}{|0}A x x x x =≥≤ U C A =3.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则.m (0,5)F 2219y x m -=m =4.不等式的解为 .13x x+≤5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 （结果用反三角函数表(2cos sin )2ρθθ+=cos 1ρθ=示）.6.在相距2千米的、两点处测量目标，若，，则、两点之间的距离是A B C 75CAB ∠= 60CBA ∠=A C千米.7.若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为.2ππ8.函数的最大值为 .sin()cos()26y x x ππ=+-9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：ξx123()P x ξ=？！？请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个ξ“？”处的数值相同。
据此，小牛给出了正确答案.E ξ=10.行列式（）的所有可能值中，最大的是 .a bc d,,,{1,1,2}a b c d ∈-11.在正三角形中，是上的点，，，则.ABC D BC 3AB =1BD =AB AD ⋅=12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）.0.00113.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间()g x R ()()f x x g x =+[3,4][2,5]-()f x 上的值域为.[10,10]-14.已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、(0,0)O 0(0,1)Q 0(3,1)R 00Q R 1P 01Q P 10PR 1Q 1R ，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，11(||2)(||2)0OQ OR --<11Q R 2P 12Q P 21P R 2Q 2R 使之满足；依次下去，得到点，则 .22(||2)(||2)0OQ OR --<12,,,,n P P P 0lim ||n n Q P→∞=二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，没题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）a b R ∈、0ab >．； ．； ．.A 222a b ab +>B a b +≥C 11a b +>D 2b aa b +≥16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）(0,)+∞．； ．； ．； ..A 1ln||y x =B 3y x =C ||2x y =D cos y x =17.设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的12345,,,,A A A A A 123450MA MA MA MA MA ++++=M 个数为（）．0； ．1； ．5 ； .10.A B C D 18.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要{}n a i A 1,i i a a +1,2,i = {}n A 条件为（）．是等比数列；A {}n a ．或是等比数列；B 1321,,,,n a a a - 242,,,,n a a a ．和均是等比数列；C 1321,,,,n a a a - 242,,,,n a a a .和均是等比数列，且公比相同.D 1321,,,,n a a a - 242,,,,n a a a 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.1z 1(2)(1)1z i i -+=-i 2z 212z z ⋅2z 20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数满足.()23xxf x a b =⋅+⋅,a b 0ab ≠（1）若，判断函数的单调性；0ab >()f x （2）若，求时的取值范围.0ab <(1)()f x f x +>x 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点.1111ABCD A B C D -1O 11A C 11B D （1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为.求证：1AB 1111A B C D α111A B D A --βtan tan βα=；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.C 11AB D 431111ABCD A B C D -22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.DBD 11B已知数列和的通项公式分别为，，将集合{}n a {}n b 36n a n =+()*27n b n n N=+∈中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，，.**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 1c 2c 3c ⋅⋅⋅n c ⋅⋅⋅（1）写出，，，；1c 2c 3c 4c （2）求证：在数列中、但不在数列中的项恰为，，，，；{}n c {}n b 2a 4a ⋅⋅⋅2n a ⋅⋅⋅（3）求数列的通项公式.{}n c 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作l P l Q PQ P l .(,)d P l （1）求点到线段的距离；(1,1)P :30(35)l x y x --=≤≤(,)d P l （2）设是长为2的线段，求点的集合所表示图形的面积；l {|(,)1}D P d P l =≤（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，12l l 、12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==12l AB l CD ==、是下列三组点中的一组.A B C D 、、、对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.① ，，，.(1,3)A (1,0)B (1,3)C -(1,0)D -② ，，，.(1,3)A (1,0)B (1,3)C -(1,2)D --③ ，，，.(0,1)A (0,0)B (0,0)C (2,0)D2011年上海高考数学试题（理科）答案一、填空题：1．；2．；3．；4．或；5．；6；7；12x +{|01}x x <<160x <12x ≥8；9．；10．；11．；12．；13．；14261520.985[15,11]-二．选择题：15．；16．；17．；18．.D A B D 三．解答题19．解： ∵，∴. （4分）1(2)(1)1z i i -+=-12z i =-设，22,z a i a R =+∈则. （8分）12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-∵ ，∴，12z z R ∈4a =∴ . （12分）242z i =+20．解：（1）当时，因为、都单调递增，所以函数单调递增；（2分）0,0a b >>2xa ⋅3xb ⋅()f x 当时，因为、都单调递减，所以函数单调递减．（4分）0,0a b >>2xa ⋅3xb ⋅()f x （2）．(1)()2230x xf x f x a b +-=⋅+⋅>（i ）当时，， （7分）0,0a b <>3()22xab>-解得； （8分）32log ()2ax b>-（ii ）当时，， （11分）0,0a b ><3()22xab<-解得． （12分）1.5log (2ax b<-21．解：设正四棱柱的高为．h（1）连，∵底面于，1AO 1AA ⊥1111A B C D 1A ∴为是与底面所成的角，11AB A ∠1AB 1111A B C D 即．（2分）11AB A α∠=∵在等腰中， ，又，11AB D ∆111AO B D ⊥1111A C B D ⊥∴ 是二面角的平面角，11AO A ∠111A B D A --即． （4分）11AO A β∠=在中，；在中，．11Rt AB A ∆111tan AA h A B α==11Rt AO A∆111tan AA A O β==∴ . （6分）tan βα=（2）【解法一】 建立如图空间直角坐标系，有，11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h 则. （8分）11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=设平面的一个法向量为，11AB D (,,)n u v w =∵，，1n AB ⊥ 1n AD ⊥ ∴ ，.10n AB ⋅= 10n AD ⋅=由，()()100010u v w h u v w h ⋅+⋅+⋅-=⎧⎪⎨⋅+⋅+⋅-=⎪⎩得，，∴. （11分）u hw =v hw =(,,)n hw hw w =令，得.1w =(,,1)n h h =由点到平面的距离为，C 11AB D ||43||n AC d n ⋅=== 解得高. （12分）2h =【解法二】连，， .AC 1CB 1CD 一方面，1111112AB D S AO B D∆=⋅=B 1D 1BD=则四面体的体积. （9分）11AB DC V =另一方面，设正四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，1111ABCD A B C D -1V 111C B C D -2V 则. （12分） 12143V V V h =-=据此，得13h =解得高. （14分）2h =22．解：（1）；（4分）12349,11,12,13c c c c ====证明：（2）∵数列由、的项构成，{}n c {}n a {}n b∴只需讨论数列的项是否为数列的项．{}n a {}n b ∵对于任意，，*n N ∈21323(21)6632(32)7n n a n n n b --=-+=+=-+=∴是的项．（7分）21n a -{}n b 下面用反证法证明：不是的项.2n a {}n b 假设是数列的项，设，则2n a {}n b 2n m a b =，326=27n m ⋅++，与矛盾.132m n =-*m N ∈∴结论得证. （10分）解：（3）∵，，，，322(32)763k b k k -=-+=+2163k a k -=+3165k b k -=+266k a k =+367k b k =+，∴. （14分）32213123,1,2,3,k k k k k b a b a b k ---=<<<=⋅⋅⋅所以，.32213123,43,,42,*,,41,,4k k k n k kb a n k b n kc k N a n k b n k ---==-⎧⎪=-⎪=∈⎨=-⎪⎪=⎩综上， . （18分）*63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩23．解：（1）设是线段上任一点，(,3)Q x x -:30(35)l x y x --=≤≤则||PQ =. （2分）5)x =≤≤∴当时，（4分）3x =min (,)||d P l PQ ==（2）不妨设、为线段的两个端点，()1,0A -()1,0B l 则为线段、线段、半圆、半圆D 1:1(||1)l y x =≤2:1(||1)l y x =-≤221:(1)1(1)C x y x ++=≤-所围成的区域. （6分）222:(1)1(1)C x y x -+=≥这是因为对，则；(,),1P x y x ≤(,)d P l y =而对，则；(,),1P x y x <-(,)d P l =对，则. （9分）(,),1P x y x >(,)d P l =于是所表示的图形面积为. （10分）D 4S π=+（3） ① 选择，，，，. （12分）(1,3)A (1,0)B (1,3)C -(1,0)D -{(,)|0}x y x Ω==②选择，，，，(1,3)A (1,0)B (1,3)C -(1,2)D --.2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> （16分）③选择，，，，(0,1)A (0,0)B (0,0)C (2,0)D {(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤ . （18分）21{(,)|(1),12}{(,)|4230,2}2x y y x x x y x y x =+<≤--=>共 11 页，第 11 页。
上海高考数学：压轴题注重考查能力体现开放性思维
上海高考数学：压轴题注重考查能力体现开放性思维
文卫星 (上海市七宝中学)
2011年理科数学卷出现了一个有趣的现象，中等偏下的学生反映不太难，而中等以上的学生却反映有点难。
分析原因，主要是基础题比较多，“尾巴”有点翘。
对中等偏下学生来说，期望值较低，本来就不要求高分，基础题多，他们的心理目标已经到达，难题就没打算做出;而中等以上学生在主要得分点第22题会遇到困难，久攻不下，士气难免受到影响。
第23题虽然(1)、(2)两题不算新题，但由于引入新符号，且第(3)问的题目较长，又分成3种情况只能选择一种解答，也会给部分考生造成心理上的压力。
理科数学卷填空题和选择题除第14题题目有点长，理解上略有困难，其余题目难度都不大。
解答题部分，第22题第(2)题，学生普遍反映不好表述。
原因是要把原本两个简单的等差数列进行分类，才能便于证明，而这要涉及到简单的整除问题，教材中没有类似内容，学生会有陌生感;第(3)题求数列通项本质上已知数列的前若干项，求其通项问题，没有固定方法，这一小题也要分类，这些知识点由于不常遇到，正考到了学生的弱项，自然会感到有难度。
第23题“压轴题”，注重考查能力，对考生阅读理解、分析问题的能力要求较高，也体现了一些开放性，具体运用的是解析几何知识。
但有点遗憾的是，几乎没有涉及解析几何的核心内容。
此外，三角、函数的考查分量都较轻，与其在教学中的重要地位不相称。
这里例举的几道题解题的关键知识点不是教材的重点内容，这对指导中学教学可能会有不利影响。
上海市高考数学试卷理科答案与解析
2011年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011?上海）函数的反函数为f﹣1（x）=，（x≠0）．【考点】反函数．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的表达式，解出用y表示x的式子，即可得到答案．【解答】解：设，可得xy﹣2y=1，∴xy=1+2y，可得，将x、y互换得．∵原函数的值域为y∈{y|y≠0}，∴，（x≠0）故答案为：，（x≠0）【点评】本题考查了求函数的反函数的一般步骤，属于简单题．2．（4分）（2011?上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?U A=（0，1）．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．3．（4分）（2011?上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．【点评】本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型．4．（4分）（2011?上海）不等式的解为．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．【解答】解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案为：【点评】本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法．5．（4分）（2011?上海）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）【考点】简单曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．【解答】解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1∴2x+y﹣2=0与x=1∴2x+y﹣2=0与x=1夹角的正切值为直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．6．（4分）（2011?上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB?sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．7．（4分）（2011?上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2011?上海）函数的最大值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．【解答】解：=cosxcos（﹣x）=sin（+2x）+≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值．考查了考生对三角函数基础公式的熟练记忆．ξ的概率分布律如下表：“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=2．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；整体思想．【分析】根据已知设出P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，且根据离散型随机变量分布列的性质知2a+b=1，根据离散型随机变量分布列的期望求法即可求得结果．在计算过程中注意整体性．【解答】解：设P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，则2a+b=1，Eξ=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为2．【点评】此题是个基础题．考查离散型随机变量的期望和方差，在计算过程中注意离散型随机变量分布列的性质和整体代换．10．（4分）（2011?上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．11．（4分）（2011?上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）（2011?上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．13．（4分）（2011?上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]．【考点】函数的周期性；函数的值域．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】根据已知中g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，由函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，结合函数的周期性，我们可以分别求出f（x）在区间[﹣10，﹣9]，[﹣9，﹣8]，…，[9，10]上的值域，进而求出f（x）在区间[﹣10，10]上的值域．法二：可根据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，研究函数f（x）=x+g（x）的性质，得f（x+1）﹣f（x）=1，由此关系求出函数在f（x）在区间[﹣10，10]上的值域即可．【解答】解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）又∵函数f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]令x+6=t，当x∈[3，4]时，t=x+6∈[9，10]此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11] (1)同理，令x﹣13=t，在当x∈[3，4]时，t=x﹣13∈[﹣10，﹣9]此时，f（t）=t+g（t）=（x﹣13）+g（x﹣13）=（x﹣13）+g（x）=[x+g（x）]﹣13所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8] (2)…由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]法二：由题意f（x）﹣x=g（x）在R上成立故f（x+1）﹣（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）﹣f（x）=1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]【点评】本题考查的知识点是函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性利用换元法将区间[﹣10，﹣9]…上的值域转化为区间[3，4]上的值域问题，是解答本题的关键．14．（4分）（2011?上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则=．【考点】数列与解析几何的综合；数列的极限．【专题】综合题；压轴题．【分析】由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），然后求出．【解答】解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，P n的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011?上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．16．（5分）（2011?上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A． B．y=x3C．y=2|x| D．y=cosx【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．【解答】解：对于函数的定义域为x∈R且x≠0将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x∈（0，+∞）时，∵∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数故选A．【点评】本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性．17．（5分）（2011?上海）设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．5D ．10【考点】向量的加法及其几何意义． 【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，设出M 与A 1，A 2，A 3，A 4，A 5的坐标，结合题意，把M 的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M 的坐标x 、y 的解的组数，进而转化可得答案．【解答】解：根据题意，设M 的坐标为（x ，y ），x ，y 解得组数即符合条件的点M 的个数，再设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5的坐标依次为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），（x 4，y 4），（x 5，y 5）；若=成立，得（x 1﹣x ，y 1﹣y ）+（x 2﹣x ，y 2﹣y ）+（x 3﹣x ，y 3﹣y ）+（x 4﹣x ，y 4﹣y ）+（x 5﹣x ，y 5﹣y ）=，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M 有且只有一个； 故选B ．【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M 的个数转化为求其坐标即关于x 、y 的方程组的解的组数，易得答案．18．（5分）（2011?上海）设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n }为等比数列的充要条件是（ ） A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 【考点】等比数列的性质． 【专题】压轴题．【分析】根据题意可表示A i ，先看必要性，{A n }为等比数列推断出为常数，可推断出a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等，答案可得． 【解答】解：依题意可知A i =a i ?a i+1， ∴A i+1=a i+1?a i+2，若{A n }为等比数列则==q （q 为常数），则a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比均为q ；反之要想{A n }为等比数列则=需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011?上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1?z2是实数，求z2．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1?z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1?z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1?z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．20．（12分）（2011?上海）已知函数f（x）=a?2x+b?3x，其中常数a，b满足a?b≠0（1）若a?b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a?b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】（1）先把a?b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a?b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a?2x＞﹣2b?3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a?2x与y=b?3x均为增函数，所以f（x）=a?2x+b?3x在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a?2x与y=b?3x均为减函数，所以f（x）=a?2x+b?3x在R上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a?2x+1+b?3x+1＞a?2x+b?3x，化简得a?2x＞﹣2b?3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．21．（14分）（2011?上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β．求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）此题由题意画出图形因为ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，所以应先利用线面角及二面角的定义求出α，β，即可得证；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．【解答】解：（1）由题意画出图形为：∵ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴，又因为二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴，∴．（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用R t△AA1O1∽R t△CHA 得到，而，∴??AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2．【点评】此题重点考查了线面角，二面角，点到面的距离这些定义，还考查了学生的空间想象能力及计算能力．22．（18分）（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．【考点】等差数列的通项公式；数列的概念及简单表示法．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．（2）对于数列{a n}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．（3）对{a n}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{b n}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．【解答】解：（1）a1=3×1+6=9；a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于a n=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7∈{b n}当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k﹣1+7不属于{b n}∴在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=a2k﹣1b3k﹣1=6k+5a2k=6k+6b3k=6k+7∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…∴【点评】本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法．23．（18分）（2011?上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．【考点】点到直线的距离公式；空间点、线、面的位置．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．（3）根据题意从三组点的坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．【解答】解：（1）点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线，直线y=﹣x﹣1（x＞1）．选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y=x，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知（1，1）点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y=x（0＜x≤1），（1＜x＜2），（x≥2）或x≤0，y≤0．【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．。
2011年高考上海卷理综试题(真题)
2011年全国普通高等学校招生同一考试上海综合能力测试试卷（理科使用）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
全卷共12页。
满分为150分。
考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（共63分）考生注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必用钢笔或圆珠笔在试卷和答题卡上清楚填写姓名、准考证号、校验码，并用铅笔在答题卡上正确涂写准考证号和校验码。
2．第Ⅰ卷（1—21题）为单选题，由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上。
考生应将代表正确答案的小方格用2B铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
答案涂写在试卷上一律不给分。
1．志愿者是上海世博会一道亮丽的风景线。
志愿者的主口号是：“世界在你眼前，我们在你身边”；副口号是：“志在，愿在，我在”、“2010，心在一起”、“城市有我更可爱”。
这些口号体现的人生价值观是（）。
A．个人要全面提高思想道德素质B．个人对社会尽责任、做贡献C．社会要提供财富给个人索取和享用D．社会要注重对个人的尊重和满足2．2010年5月9日，中华人民共和国主席胡锦涛出席了俄罗斯纪念卫国战争胜利六十五周年庆典。
二战期间，中、美、苏、英等国家组成了世界反法西斯联盟，其标志是1942年1月1日包括四国在内的26个国在华盛顿共同签署了（）。
A．《联合国家宣言》B．《关于被解放的欧洲的宣言》C．《开罗宣言》D．《大西洋宪章》3．2010年6月11日第19届世界杯足球赛将在南非约翰内斯堡拉开帷幕。
若开幕式定于当地时间（东二区）20：00进行，此时上海地区可能是（）。
A．旭日初升B．烈日当空C．夕阳西下D．繁星闪烁4．右图是一张天文爱好者经过长时间拍摄的“星星的轨道”照片。
这些规律的弧线的形成，说明了（）。
A．太阳在运动B．月球在运动C．地球在公转D．地球在自转5．高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是（）。
A．动能减少，重力势能减少B．动能减少，重力势能增加C．动能增加，重力势能减少D．动能增加，重力势能增加6．民间常用“拔火罐”来治疗某些疾病，方法是将点燃的纸片放入一个小罐内，当纸片燃烧完时，迅速将火罐开口端紧压在皮肤上，火罐就会紧紧地被“吸”在皮肤上。