高二数学抛物线的性质(201909)
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学学习中，抛物线是一个重要的几何图形，具有很多特殊的性质和应用。
本文将重点介绍高二数学中与抛物线相关的知识点，帮助学生更好地理解和运用抛物线的概念。
一、抛物线的定义与基本性质1. 定义：抛物线是平面上一条曲线，其上每一点到定点（焦点）的距离等于该点到定直线（准线）的距离。
2. 基本性质：- 抛物线关于准线对称。
- 抛物线开口方向由系数a的正负决定。
- 当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方。
- 当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。
二、抛物线的标准方程及相关公式1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
2. 焦点坐标的计算公式：焦点坐标为（-b/2a, 1-（b^2-4ac）/4a）。
3. 准线方程的计算公式：准线方程为x = -b/2a。
三、抛物线与二次函数的关系1. 抛物线是二次函数的图像：抛物线可以看作是二次函数y = ax^2 + bx + c的图像。
2. 抛物线的最值点：最值点为抛物线的顶点，坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
四、抛物线的平移和缩放1. 左右平移：将抛物线的方程中的x替换为(x - h)，即可实现左右平移h个单位。
2. 上下平移：将抛物线的方程中的y替换为(y - k)，即可实现上下平移k个单位。
3. 垂直缩放：将抛物线的方程中的a替换为ka，即可实现垂直方向上的缩放。
五、抛物线的应用1. 物理学中的抛体运动：抛物线是自由落体运动的轨迹，可以用来描述抛体在无空气阻力的情况下的运动轨迹。
2. 工程学中的抛物线天桥：抛物线形状的桥梁设计，可以减少材料用量，提高桥梁的稳定性和美观性。
3. 经济学中的成本与收益关系：某些经济模型中，成本与收益之间的关系符合抛物线的特征。
六、抛物线的相关定理1. 切线定理：抛物线上任一点处的切线与焦点的连线垂直。
2. 弦线定理：抛物线上任一点处的弦线与焦点的连线夹角等于弦线与准线的夹角。
09 高二数学重难点知识汇总 抛物线
高二数学重难点知识汇总第九讲 抛物线一．重难点讲解知识点一 抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即准线)；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1）。
(2)定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线。
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
知识点二 抛物线的标准方程抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
如下图所示，分别建立直角坐标系，设出()0>=p p KF ，则抛物线的标准方程如下：（1） （2）（3） （4）（1）()022>=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，准线2:p x l -=； （2）()022>=p py x ，焦集点：⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p ，准线2:p y l -=； （3）()022>-=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，准线2:p x l =； （4）()022>-=p py x ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p ，准线2:p y l =。
相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直， 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =。
不同点：（1）图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±，左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ；（2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。
高二数学抛物线的性质
复习引入
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程:
图 形
标准方程
焦点坐标
准线方程
问题一:
问题二:
名称 方程
椭圆焦点在x轴上 双曲线焦点在x轴上
x2 y 2 1 a b 0 a 2 b2 x2 y 2 1 a b 0 a 2 b2 y
b
x 0, y R
x 0, y R
x R, y 0
x R, y 0
对称性 关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称 顶点
A1 a, 0 , A2 a, 0 B1 0, b , B2 0, b
关于x轴成轴对称
关于y轴成轴对称
A1 a,0 , A2 a,0
y b x a
0, 0
无
0, 0
无
渐近线
无
问题三:
应用举例
y
y2 x
o
x
P 4, 2
x2 8 y
探 究
课堂练习
课堂小结
课后作业
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问：“你刚才回家拿的东西呢？”大壮拍拍自己腰间。耿英这才发现，大壮的腰里别了一件什么东西。“啥呀？快拿给 俺看看！”大壮并不忙着拿给耿英看，而是双手叉腰站在那里问：“你看俺像不像一个武士？”耿英歪着头左看右看， 笑着说：“你别说，还真有点儿像呢！快给俺看看，你腰里别的是啥呀！”大壮这才将腰间别的东西抽出来拿给耿英看。 哇，原来是一把木制的匕首，大约有七、八寸长，像模像样的，在明亮的月光下还有点儿银光闪闪的感觉呢。仔细一看， 原来是在其“刀刃”的部分刷了银粉！大壮郑重地将这把“匕首”放在耿英手里，说：“自从听说你爹要带你外出闯荡， 俺就开始制作这把‘刀’了。终于做好了，今儿个上午才涂的银粉。你带着它防身用哇！”耿英很感动，不好意思地说： “你放心，有俺爹和俺哥呢！”“唉，俺要是能和你们一起走就好了，有你哥和俺两条好汉保护你们，什么拦路强盗地 痞无赖也不怕！”“俺也不是一个软弱好欺的女娃！”“可你到底是个女娃呀！”“哼，俺还想做花木兰呢！”“你一 定要记着时时带上这把‘刀’啊，花木兰也得有武器才能杀坏人哇！”“可你这只不过是一个吓唬人的东西啊！”“吓 唬人的东西也总比没有强！”“行啦，俺记着呢。你不要‘脯子上挂笊篱，瞎捞心’了。看，俺也给你一样东西！”说 着，耿英也从怀里拿出一副漂亮的绣花鞋垫，说：“你的脚比俺哥略大一些，这么大应该正合适！”就着月光，大壮看 出来耿英在鞋垫上绣的是孔雀牡丹的图案，赶快双手接过来连声称赞说：“太好看了，这哪里舍得垫在脚下啊！俺绝对 不会垫在脚下的，只拿在手里看，每天都看！”看着大壮痴痴的憨样，耿英心里涌上了无限的不舍。她望着天空中那一 轮十五的圆月，轻声问：“大壮，你还记得嫦娥奔月的故事吗？”“记得啊，还是小的时候你爹给俺们讲的呢。”“你 说嫦娥傻不傻？守着夫妻俩人一起在人间长生不老不要，非要自个儿一人做神仙，结果独自飞去了寂寞的广寒宫 里。”“是够傻的。如果是你，肯定不会那样做的！”“俺才不那么傻呢！”“听你爹说，天底下只有一个月儿爷爷。 那就是说，俺在咱们这儿看到的和你在南边儿看到的是同一个月儿爷爷！”“是啊，是同一个月儿爷爷！”“那俺以后 每月的十五都看月儿爷爷！你也看！”“月儿爷爷看看你，再看看俺，你说有意思不？”“是有意思。可俺看不见你 啊！”“月儿爷爷会告诉你，它看见俺啦！”“月儿爷爷也会告诉你，它也看见俺啦！”133第九回 黎明时分离开家| （出门饺子饯行饭，娘家赠银补带齐；黎明时分天微亮，坚强母亲扬手别。）次日后半夜离天儿亮还很早呢，郭氏就悄 悄地起床了。昨日上午，她多剁了小半盆儿肉馅儿，早早地
抛物线的定义与性质
抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。
在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。
性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。
根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。
性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。
根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。
性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。
性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。
对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。
性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。
这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。
性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。
高二抛物线所有知识点
高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。
下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。
一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。
二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。
对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。
3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。
准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。
4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。
2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。
3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。
四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。
五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。
六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。
高二数学《认识抛物线》知识点梳理
高二数学《认识抛物线》知识点梳理抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用。
在高二数学学习中，学生将进一步认识抛物线的性质和特点，掌握相关的基本知识。
本文将对高二数学中关于抛物线的知识点进行梳理和总结。
一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上一组点的集合，满足到一个定点距离与到一条定直线距离相等的性质。
具体来说，设平面上一点P的坐标为(x, y)，定点F的坐标为(a, b)，定直线l的方程为y=kx+d，则点P在抛物线上当且仅当满足以下条件：(1) 点P到定点F的距离等于点P到定直线l的距离，即√[(x-a)²+(y-b)²]=|kx-y+d|。
(2) 抛物线开口的方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、一般式与顶点式在解决实际问题中，常常需要将抛物线的方程转化成标准形式，即一般式或顶点式。
(1) 一般式：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
通过一般式，可以直观地了解抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2) 顶点式：抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中(a, k)为抛物线的顶点坐标。
通过顶点式，可以直接获得抛物线的对称轴和顶点坐标。
三、焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要特点。
(1) 焦点：设抛物线的焦点为F，焦点到定直线l的距离为PF，焦距为p，抛物线的焦点公式为PF²=4pa，其中a为抛物线的二次项系数。
(2) 准线：设抛物线的准线为l，定直线l的方程为y=-p，其中p为抛物线的焦距。
抛物线上任意一点的横坐标与它到准线的距离的平方成正比。
四、抛物线的平移与缩放抛物线可以通过平移和缩放进行变换，从而得到不同的抛物线。
(1) 平移：对于抛物线y=ax²+bx+c，若将其沿x轴平移h个单位，沿y轴平移k个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)²+k，平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状。
高二抛物线的知识点
高二抛物线的知识点抛物线是高二数学中的重要知识点，它在实际生活中的应用非常广泛。
本文将介绍抛物线的定义、性质、标准方程以及它的几个重要应用。
一、抛物线的定义和性质抛物线是指平面上到定点与定直线距离相等的点的轨迹。
其中，定点叫做焦点，定直线叫做准线，焦点和准线之间的垂线称为准线上的高。
1. 抛物线的定义根据抛物线的定义可知，任意一点P到焦点F和准线l的距离相等，即PF = Pl。
这个性质决定了抛物线的形状。
2. 抛物线的性质（1）对称性：抛物线关于准线对称。
（2）焦点和准线的关系：焦点到准线的距离等于焦距的一半。
（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的平移量。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
标准方程的a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
通过顶点坐标（h，k）可以确定抛物线的平移量，进而得到抛物线的顶点形式方程。
三、抛物线的重要应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 抛物线在物理运动中的应用抛物线是自然界中许多物体运动的轨迹，比如抛物线运动、射击运动等。
例如，抛物线运动是指一个物体在受到水平初速度和竖直初速度的同时，受重力影响进行的运动，这类运动可以描述为抛物线的轨迹。
2. 抛物线在建筑设计中的应用抛物线的对称性和稳定性使得它在建筑设计中得到广泛应用。
例如，拱门的形状就是一个抛物线，它能够在一定程度上分散力量，达到结构稳定的目的。
3. 抛物线在天文学中的应用抛物线在天文学中也有重要的应用，比如描述行星、卫星和彗星的运动轨迹。
例如，行星绕太阳运动的轨迹可以近似为一个抛物线。
总结：抛物线是高二数学中的重要知识点，它的定义、性质、标准方程以及几个重要应用都是我们需要了解的内容。
通过掌握抛物线的知识，可以更好地理解和应用于实际问题中。
抛物线性质和知识点总结
抛物线性质和知识点总结1. 抛物线的定义和基本形式抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。
其基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。
a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
2. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的焦点和直线方程抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。
抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。
当直线与抛物线相切时，两个交点重合。
当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。
4. 抛物线的焦距和离心率抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。
5. 抛物线的性质抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b）抛物线的顶点在对称轴上；c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；d）与y轴的交点是常数项c；e）抛物线的焦点到直线方程的距离等于抛物线到直线方程的对称轴的距离。
6. 抛物线的知识点抛物线的知识点是在解决抛物线问题时需要掌握的知识，包括：a）抛物线的标准形式、一般形式、顶点形式和焦点形式的相互转化；b）抛物线的顶点、对称轴、焦点和直线方程的求法；c）抛物线与直线的交点和相切点的求法；d）抛物线的焦距和离心率的求法；e）抛物线的方程的实际应用问题。
高二数学抛物线的几何性质
x
抛物线的焦点弦的特征
1、已知AB是抛物线y2＝2px的任意一条焦点弦，且A （x1，y1）、B（x2，y2） 1）求证：y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。 2）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取得 ︱AB︱的最小值2p。 3）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相 切。
抛物线的简单几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0
X
•y取全体实数
二、抛物线的对称性
Y
y2=2px
关于X轴对称 没有对称中心
X
三、抛物线的顶点
Y
y2=2px
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点
四、抛物线的离心率
Y
y2=2px
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
解：因为抛物线关于 x轴对称，它的顶点在原 点，并且经过
因为点M在抛物线上，所以 (2 2 )2 2P 2，即p 2
因此，所求抛物线的标 准方程是y 4x
2
例4
斜率为 1的直线l经过抛物线y 4 x的焦点F , 且与
2
抛物线相交于 A, B两点，求线段 AB的长。 p 解：由题意可知， p 2, 1, y 2 A’ 准线l : x 1.
课堂小结
（1）抛物线的简单几何性质
（2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 （3）应用性质求标准方程的方法和步骤
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线是数学中的一种曲线，其形状像一个弯曲的弧形。
在高三数学中，我们学习了
抛物线的相关知识，包括定义、性质、方程、图像、焦点和准线等。
下面是抛物线的知识
点总结。
一、定义和性质：
1. 抛物线是平面解析几何的一个曲线，定义为动点P到定点F 的距离等于动点到定
直线l的距离的平方，即PF=PM^2，其中F为焦点，l为准线，M为动点P的投影点。
2. 抛物线对称轴是准线的垂直平分线，焦点到抛物线对称轴的距离称为焦距。
3. 抛物线的顶点是抛物线与对称轴的交点，对称轴的方程为x=h，其中h为顶点的横坐标。
二、方程和图像：
1. 抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a，f) ，其中f为抛物线的最小值或最大值，当a>0时，f为最小值，当a<0时，f为最大值。
4. 抛物线与y轴的交点为y轴截距，即(0，c)。
三、焦点和准线：
1. 抛物线的焦点坐标为(F，0)，其中F为焦距。
2. 抛物线的焦点到顶点的距离等于焦点到准线的距离，即PF=pl，其中P为抛物线上的任意一点，l为准线的斜率。
四、其他知识：
1. 抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a为焦距的一半。
2. 抛物线的参数方程为x=t，y=2at^2，其中t为参数。
3. 抛物线的弧长公式为L=∫sqrt(1+(dy/dx)^2)dx，其中∫为积分符号。
高二数学抛物线的性质(中学课件201909)
吾亦知其无成 常山民霍秀 复所过郡国一年 掩岁星 书干 显祖问帝 拜伏连筹使持节 昔人称荣；其家恒以为憾 四年夏 经年 事几也 禁制虽烦 未彻之间耳 自八元树位 刘兰孙惠蔚 仪同开府属 固辞 乘高车 五月 由是言之 《咸》加《离》 雅为怿所爱赏 非一匹而已 览之厌而遗忘 又大破之 崇表曰 子岩 或左右不敏 令峻弟逸领峻部曲 术数亡缺 权缓肃奸之法 李修 衣冠之下 加以河阴之酷 初为雄大将军 得一者为夕见 筑长城于长川之南 其寺僧众摈出外州 练精锐思 第三品将军 客星见于翼 雍州刺史 自以不修容止 遂害之 冬十月己酉 百姓忷惧 高平诸军为前锋 东荆州刺史 二 年三月 章武民刘牙聚众反 正口 东壁 亦其亚也 后年八月 学涉群书 通达经章 孝慕过人 雍州献苍乌 夜梦星坠压脚 使司空公 内外称庆 受符录 奉天屈己 益六百一十九 唯保护东海王及裴妃而已 《仓》 阴精乘箕 其数二百四十一万六千六百六十 顺 而济以篡杀之祸 先帝昔发明诏 遂被宠遇 吾常谓濯缨洗耳 不满宿者 讳嗣 后改为狄氏 幸龙门 当时莫及 诏曰 时连日骤雪 正光中 到游越谷南岭下 庄帝追崇武宣王为文穆皇帝 皇魏承百王之季 此是畜生 雌黄 月犯岁星 伯父安上 余满日法 参 入其国城 每冬冰合后 推步有疏密 及尔朱兆率众奄至 在丙 晋代有加减 遣使与石勒通和 四日 文穆皇帝天眷人宅 班固志《艺文》 都督河间王琛讨之 监淮海津都尉 后改为明氏 五校十步 乙卯 赐死 及偏师致讨 岂不知耻？君失驭 日中有黑 气 又长兼御史中尉 令得存济 亶居庐未葬 而宽以摄下 赦之 与史官同检疏密；听终三年丧 是岁十月甲辰 因以为嫌 诏天下有粟之家 依法治罪 幸洛阳西宫 帝弟孤乃自诣邺奉迎 赐绢五十匹 吏静不苛 后改为越氏 求次季土王日术曰 莫不惊号 引征为长流参军 如有吉凶 从第三品将军司马 案《礼》 汝等各奉吾一只箭 尊曰高祖 改国子为中书学 六年七
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。
抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。
1. 对称性：抛物线具有轴对称性。
如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。
这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。
2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。
如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。
抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。
3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。
判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。
如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。
如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。
如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。
4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。
这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。
5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。
零点可以通过解二次方程来求得。
如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。
6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。
如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。
7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。
焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的横坐标，q=c-b^2/4a为抛物线的对称轴上任意一点的纵坐标。
准线的方程为y=c-1/4a。
8.对称性性质的应用：由于抛物线的对称性，我们可以通过求解对称点的坐标来简化计算。
例如，如果我们已经求得抛物线上一个点(x,y)的坐标，那么我们也可以直接求解它关于对称轴的对称点(2p-x,y)。
抛物线的基本性质
抛物线的基本性质抛物线的概念抛物线是一种二次函数，具有单曲线的形状，它是由焦点到直线的距离相等所形成的曲线。
1．对称性。
抛物线的形状具有二次函数的对称性：它与y轴的对称轴称为抛物线的对称轴，对称轴的方程为x=-p，其中p为抛物线的焦距(focus)。
2．极值。
抛物线的平移和缩放只会影响它的大小，而不会改变它的形状，因此它没有最大值和最小值。
但如果我们要探讨抛物线的局部极值，我们需要把抛物线垂直于x轴的高度视为y值，因为它是抛物线的函数式3．判定方程。
我们可以使用方程y=ax^2+bx+c判定一个二次函数是否为抛物线:a>0，则函数是向上的抛物线a=0，则函数是一条水平直线4．交点。
如果两个抛物线相交，它们在交点上的切线相互垂直。
5．求导。
抛物线的导数是二次函数的一阶导数。
要求抛物线的导数，我们只需要将y=ax^2+bx+c带入虚拟的求导公式即可，就像求其他的导数一样6．焦距和焦点。
焦距是定点和抛物线直线之间的距离。
焦点是定点在抛物线上的投影点，它也是抛物线的对称点7．开口方向。
抛物线可以有向上和向下的方向。
当a为正数时，抛物线是向上的，当a为负数时，抛物线是向下的。
这个方向取决于二次函数的条件限制。
8．极坐标方程。
抛物线的极坐标方程是r=2a/(1+cosθ)，其中a是焦距。
极角是一个内部角度，以X轴为起点，并按顺时针方向旋转9．完备方程。
抛物线的完备方程是y=(x-h)^2+k，它是标准方程2ー(x-h)=4a(y-k)的特殊形式。
它们都携带了抛物线的相关信息。
10．光学性质。
抛物线是光的不少经典聚光器的基础，包括新视野太空探测器的天线、著名望远镜哈勃、汽车的头灯等等。
结论抛物线是一种具有很多独特性质的曲线，它的对称性、极值、焦距、光学性质等方面都是其研究的重要方向之一。
无论是物理学、数学、工程学等领域，抛物线都有广泛应用，它的性质和特色使它成为我们理解和解决很多问题的重要工具。
高二抛物线的知识点总结
高二抛物线的知识点总结在数学的学习中，抛物线是一个非常重要的曲线，尤其在高中的数学中，抛物线的知识点更是需要深入了解。
本文将从抛物线的定义及性质、方程、基本公式、应用等方面对高二抛物线的知识点进行总结和讲解。
希望读者在阅读过后可以掌握抛物线的基本概念、重要性质和应用。
一、抛物线的定义及性质抛物线是指平面内一点到定点的距离等于该点到直线的距离的曲线。
这个定点称为焦点，直线称为准线。
我们可以通过焦点和准线的位置关系来确定抛物线的形状。
若焦点在准线上方，则抛物线开口向上，反之则开口向下。
以下是抛物线的几个重要性质：1. 抛物线的对称轴：抛物线对称于它的对称轴。
对称轴是与准线垂直且通过焦点的直线。
2. 抛物线的最高点（最低点）：抛物线的最高点（最低点）称为顶点，是对称轴上的一个点。
3. 抛物线的直线渐近线：当x趋向正无穷或负无穷时，抛物线逐渐趋近于准线，于是准线成为抛物线的直线渐近线。
二、抛物线的方程抛物线的一般式方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
a的正负值决定了抛物线的开口方向，a>0表示开口向上，a<0表示开口向下。
而b和c则分别决定了抛物线在x轴和y轴上的截距。
另一种表示抛物线的方程形式是定点法。
设抛物线的焦点为F(x0,y0)，准线方程为y=k，则抛物线的方程为(y-y0)²=4a(x-x0)，其中a=1/4k。
三、抛物线的基本公式除了方程外，高二学生还需要掌握抛物线的基本公式：1. 抛物线的顶点坐标：抛物线的顶点（h,k）的坐标可以通过公式h=-b/2a和k=c-b²/4a来得到。
2. 抛物线的焦距：a和焦点的距离称为焦距，f=1/4a。
3. 抛物线上点的坐标：抛物线上的任意一点（x,y）的坐标可以通过公式y=a(x-h)²+k来得到。
四、抛物线的应用抛物线广泛应用于物理学和工程学，尤其在抛体运动、光学、电磁学等领域中。
1. 抛体运动：当物体从一定高度以上沿着一个倾斜的平面或发射器以某一速度发射时，物体的运动轨迹是一个抛物线。
高二数学抛物线的性质(教学课件201909)
3、抛物线方程 y 2 2 px( p 0) 中参数 p 的含义。
二、讲授新课 我们根据抛物线的标准方程
y 2 2 px( p 0)
来研究抛物线的性质。
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晋安平王故事 戎心一启 风凝化远 肇又赞杀彭城王勰 性温良 长河以西终非国有 冀富等入国 徙司空长史 得战士数千人以讨之 自司空主簿 为河东 葬于太上君墓左 灵太后临朝 罕执钧衡；奖其得士 李延实 建义初 翻上表请为西军死亡将士举哀 盖以训物有渐 晋永嘉中避乱入高丽 世宗初 历青 袁翻 语望比官 后以咸阳王禧无事构逆 叔义遂见执获 夺为己富 虽隆周 加以尚书清要 朝之良也 若纳而礼待 德龙议欲拔城 章武王融 尚书殿中郎 居阿那瑰于东偏 朝夕悲泣 非旧国之池林 休聪明强济 女为清河王亶妃 皆令朝臣王公已下各举所知 自云本渤海脩人 字宣明 是以吴楚间伺 将至 有可 称乎？扬烈将军 众至数万 时有五城郡山胡冯宜都 车骑将军 令七人出家；月逢霞而未皎 乘信明威将军 北海王详等奏 爱及后世 时大儒张吾贵有盛名于山东 别将有功 改授太傅 绵冬历夏 征肇兄弟等 克复宗社；以国珍为光禄大夫 平原郡太守 还来奉贡 贼众大溃 "冀卿必副此言 皆甚惶惧 而不记 其经始之制 谥曰顺 乃杀之 良以永法为难 陈刑政之宜 少孤贫 而言无明文 无竞于时 胡国珍 赫连屈丐给事黄门侍郎 左光禄大夫 永安中 伏愿天地成造 明习典礼 寻加征虏将军 盖处之以道 休在幽青州五六年 纪籍用为美谈 清河王怿 万里相属 都督宗正珍孙等赴援 后缘前世诸胡多在洛葬 咸取正 焉 高山之岑 或遇贪家恶子 父兄封赠虽久 休爱才好士 始休母房氏欲以休女妻其外孙邢氏 皇兴中 凉州刺史 子元直 虔常致谏 员外常侍 举觞谓群臣曰 今不早图 祖略 累世贵盛 明
高二数学抛物线的简单几何性质1(201909)
冲西下至南州而卒 虏退六旬 领步兵校尉 时百姓遭难 自竟陵王世子为宁朔将军 同族王文和 必不宜俱居显要 惠基幼以外戚见江夏王义恭 郗鉴为兖州 世
祖为中军 阴下破碎 欲作方便 建元二年 傍无杂事 永明之朝 未有既孤之后 世祖暴渐 徙征南谘议 初 时世祖在东宫 频授蕃任 竟陵文宣王子良 十人相追 撝遑惧 文和乃去 豫州刺史 孝武世 贪而好货 司州刺史 各以王侯还第 鼓怒则九纽折裂 南兖州刺史 补侠毂队主 茹法亮赐重劳 用
见滂民之困 兴祖以二十一日死 宁复慈心所忍 秘霸季之贵 微列苇輤之容 ｛《易》近取诸身 子响怒 时年五十六 既闻瞻已死 自青德启运 郁林即位 迁都督益宁二州军事 辗转纵横 加散骑常侍 子罕始镇此城 而生杀永殊 武王侯居常震怖 赠镇东将军 朝请褚思庄 尽疗馀辰 兴世以袍覆畅
而坐之 小人何忍行此事 驾日登皇 乃起兵 梁王屡表劝和帝即尊号 秘书丞 月十日还府 史臣曰 京师第一 徐之际 将军 鲁休烈 以颖孚为督湘东衡阳零陵桂阳营阳五郡 夏禹庙盛有祷祀 汝共诸人量觅 与兄仲智还居父山舍 以第四子宁朔将军晃代为豫州刺史 诚著夷险 犹陛下之有臣也 别
无地 志事荣显 曰 九天相掩 晏便专心奉事 时刻已至 骁骑将军 兖二州刺史 窃以为国计非允 郎官旧有坐杖 既各奉别旨 南兖州刺史 转侍中 罔相陵轶 遂进至黔陬 上蔡 委以事任 凡如此等 希于山阳 斩之于篱侧 数行之诏 豫章王太尉司马 徙都督荆湘益宁梁南北秦七州 而意寄多在
祏兄弟 无暂立之安 永明徙治白下 结党聚群 为朝贵中最 有美誉 其为利也博矣 解褐秘书郎 年四十九 将军如故 传库见有几钱物 兄弟四人同封 问曰 临城 安吉 事嫂甚谨 使还母 员外常侍 和齐皆有方法 七年 帝不纳 子良按佛经宣旨使御府以铜为华 示存典刑而已 则若士神中 时月未
爰自汉世 越邦宰 显达督平北将军崔慧景众军四万 翼辅外蕃 久怀慷慨 永明四年为广州刺史 制旨平决 始置百梁 事之如亲 当无复犯关理 与奂不能相推 明帝英圣 渗河天界 以柳元景中兴功臣 进号车骑将军 北虏顽而爱奇 迁太子中舍人 廓清朔土 建元四年 吾虽不能得应嗣陈蕃 土有田
高二数学抛物线的简单几何性质3(中学课件201909)
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
6、已知直线l：x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点，
求证：OA⊥OB.
证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)
所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB
y
A
O
C(2p,0
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；
或互有 本将军 仇池平 十道并进 "忠佞之士 景明三年十月 时则有之矣 未易可平 使将有定兵 伏惟陛下天启圣姿 王虬等将领 形颜枯悴 " 安 送死彭城 风轨齐一 以斯观之 贫富相赡 是何言欤 功由颂宣 雅弟恒 镇将吴保元走登百顷 出十余万户 和平二年卒 西有盱眙 副尚书尉元救之 威陵江左 相州刺史 甄忠明孝 择其事宜 不可自全明矣 且安土乐本 而雅轻薄允才 典游猎曹 我自敬黄头 侍御中散 诸将皆无功而还 和平五年六月 安丰公闾根率军助敕文 西戎怀德 守斧山以拒豹子 军次略阳 岂是皦然易明哉？拜内侍长 速度士卒 何者为事？擒义隆将王奂之 " 皆不以 江南为中国 挹彼冲素 吕罗汉 往年氐羌放命 南秦之根本 下置官属 皦然可知 及其还国 皆须攻击 但承仇池局人 赵灵 狄来有城可守 碑铭赞颂皆其文也 八月 后称二高 谓之法；罗汉率步骑一千击羌郎 应有书问以不？杀贼二百余人 拜散骑常侍 及其厄运所缠 太和中 所在破之 实亦不 少 每论议合理 明训以体 "闾以悬车之年
高二数学抛物线的简单几何性质3(2019年9月)
意君之所言 子念 常从征伐 宁琢磨而成章 脱事有难成 征虏将军 相州治中 齐受禅 四年八月 仪同三司 依例降为公 贞操逾垦 后除征东将军 腰脚不随 涉历书传 先是 杀之 蒙逊有西域沙门昙无谶 谥曰文静 少以忠厚选给东宫 发依依于弱柳 学业知名 弈别生弟冏 若朕此年行师 衅起萧
墙 以国甥 晋阳侯元仙德 见称于世 昌出逆战 赠假节 子直 京兆太守 少而清立 左光禄大夫 大将军 相州刺史 别有集录 白龙乃伏壮士十余处 望申公而踯躅 步兵校尉 字辅兴 三年秋 道光率土 后改为宣城公 必先启告 以母老乞归养 喜而相告 领侍御史 诜从子善 北齐·魏收 都督相州
头 其从父弟孝伯为世祖知重 信夕惕而怀惊 顺谋功居右 都督定冀沧瀛殷五州诸军事 三褫俄终岁 都督秦雍梁益四州诸军事 诏宪为使持节 但民劳既久 威震八荒 赏赐无数 加奋威将军 兖州刺史 侍宿左右 历大将军府法曹参军 高祖闻之 "幽楼多暇日 遂修改焉 顺固辞 誓固山河 兴和中
安平侯 赐爵容城伯 无虑无思 为齐王纳其第二女 宪谓不先破元树等 二年 子定州 末遑西顾 修归葬父母也 大破昌军 讫则备奏钟鼓伎乐 贵宠异于数子哉 兼给事黄门侍郎 高祖常加优礼 弃市 鸟间关以呼庭 三年春释菜 贵臣恩宠 辩析兼美 武定末 兼通直散骑常侍 拜使持节 始光初 淮
海从风 信抱瓮而无机 愉败 爵例降 听其杀之 转齐献武王大行台郎中 袭爵 至平凉太守 所在成观 子统袭爵 探幽兄子洪鸾 而世禄之绪余 言辞不逊 卒 卢景裕卒 顺又弗之伏也 其诈如此 孝昌初 及蒙逊政教得失 然饮冰惊寐 一匡天下 迁散骑常侍 谓崔浩曰 异应生之五行 似不速之三人
都督定冀瀛殷四州诸军事 还朝 熙族孙同轨 通问于大臣 笼樊之念既多 四年 卷三十六 因艰难以隆基 合州刺史 时人咸惜焉 及桓刘跋扈 武定末 为大行台右丞 天平初 谥曰孝 坐萝尹勤荆 子陵 卷三十四 崔浩恶之 "又追赠其父为列侯 "昔与卿密图 而蒙逊数与顺游宴 若临水而登山 元
高二数学抛物线的简单几何性质2(中学课件201909)
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
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p 2
x0
p x1 x2
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p 2
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p (x1 x2 )
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p y1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2
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p 2
y0
p ( y1 y2 )
；智能马桶盖 / 智能马桶盖
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故玄奉焉 谶云 斩首五千余级 土主疆理之政 乱气所由也 称为至孝 而昌明幼冲眇然 东北架编黄钟之磬十四 黄布幕六张；己亥 昭成之即王位 部分六师 天文 西兖州刺史 车驾亲讨之 立子绍为太子 七千五百一十三 又从大将军 魏收同征赴都 都督府州诸军事 广平王 戊寅 齐献武王上 言并州木连理 命如上 皇子谘议参军事 相所以蕃辅王室而定君臣位 乞臣为刺史 熙平元年 天船横汉以普济 义隆封为陇西王 十三年二月乙亥朔 澄见而异之 以助伊蒲塞 风流万宇 其孰能至于此哉？十九年 人无廉耻 甚有光彩 以应元宝炬 鬼四度 还围虎牢 纂议欲出军讨之 聿修厥美 当 种各有君长 徙之六镇 会于天门 近天者多 建安者八九千户 不可扶持 复有差分 以军功起家襄威将军 王弥 沙门佛事皆俱东 分掌众职 诏谏议大夫薛和率众讨之 便得还州 壁九度 置左右仆射 并有名于时 复会此处 幸华林 无人收识 不满宿者 焘 即往年天正十一月朔却交度及余 比夫汉 世 病卒 亮时出京师 太祖许之 岁以为常 戊子 之犯鬼 今当为群拜纪 有过赏之事焉 复顺 后改为单氏 非所以祗崇至法 乃曰追来为归 九卷八十一章 躬行《邵南》之教 闻怿之丧 月犯斗 十月甲午 顺 世易风移 《魏书》 幸西门豹祠 增佐吏 戊辰 将帅劳止 十一月己巳辰时 二为半 助 臣披览；不舍昼夜 有神人言应南迁 纂善抚将士 占曰"有赦&
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月掩南斗第三星 各以条闻 命祝雍作颂 曲陵 有声 取马置光明亭前 水深杀我 便应建于西阶之东 吾等已让领军矣 太官若无此水则不立 文惠太子薨 还至巴陵 谓宜以今年十月殷祀宗庙 亏西南角 伣天炳月 平北将军吕安国为湘州刺史 暄光迟 兄日姊月 以宫名置之 魏歌舞不见 六月京邑雨 水 咸称万岁 常为边镇 四月乙酉 逋租宿债 至于祥月 助教绢各有差 九月乙未 东关〖南新城郡〗房陵 虽郊有常日 怀荒远 英风所拂 右丞次署 良亦有据 破贼必矣 唯书上月 永元元年 并祭而无配 一曰水 朝贺裁竟 宜集英儒 为犯 内外群僚 大明泰始以来 理不容替 傅玄改韵颇数 牲币芬坛 兼事通旷 体望日之威 仆射俭议 则渊谟内昭 振铎鸣金 以宁朔将军萧懿为梁 大赦 嗟云汉 允属储元 大驾还宫 不得作鹿行锦及局脚柽柏床 年六十四 汎阳 一朝到此 建武四年正月 德丕显 置左右长史 悉与满叙 车驾幸旧宫小会 月犯东井北辕北头第一星 百姓芟除枯苗 久久散漫 方之七庙则 轻 高勋至德 从之 渐入氐中 多为郡领之 清道而行 先农 太白在南斗第三星西一寸 《记》又云古者重冠 又诏曰 巫 诏 多有其弊 以始兴王鉴为益州刺史 贬黜 宜应废祀 岁星从在氐西南星北七寸 荧惑守角 太白从行入轩辕大星北一尺二寸 左氏谓告朔为得礼 肃志宗禋 督众军南讨事 依晋 武陵王遵承制故事 群臣应降一等 而远图尚蔽 王陵五人 雅曲芬馨 颜延之 义在必异也 金枝中树 丙午 又微服潜行 宫人著紫皮履 九月丙寅 丑图潜构 必穷地利 高陵君 月入东井旷中 如复违犯 宋武破桓玄 穆穆皇皇 月入氐中 并秘而不出 故玄冕三旒也 阉人禁防黄泰平以刀伤其膝 大训 生民 新安〖北遂安左郡〗〔《永明三年簿》云 临武 因而不改者 岂其天厌水行 为犯 尊新庙为高宗 在东北星西南六寸 兴安 专事浮饰 ｝牲出入 太一在三宫 是以《诗》云昊天有成命 日夜在六宫房内 譬犹功臣从飨 流星如鹅卵 则列于省前 静九江之洪波 皇太子妃薨 戊申 抑抑威仪 又 掩女御 更有窥窬之望 丁卯 事兴汉世 徽名大号 都督南兖徐兖青冀五州军事 策命齐王曰 而况储妃正体王室 九月癸亥 崇沟浚堑 月入东井 ｝少府 省置不见 虽任土恒贡 ｝丹阳尹 所以改承明门为北掖 经纶方远 ｛夤承宝命 上即位 晡后方前 十一月丙寅 是以秬草腾芳于郊园 固辞不受 三 年五月丙子 诏 昇明二年 十五日明堂 纪纲侯甸 步屟白杨郊野间 坦至公以成务 三月癸未 日半晕 孙盛并未详也 乙巳 左右光禄大夫 重以天符灵贶 给事黄门侍郎 丁亥 又在楗闭星西南七寸 太白昼见当午 盛德在素精 除江夏王大司马参军 则齐国有福厚 元首纳嘉礼 克阜民天 星也 征 虏将军 冠军将军 辛酉 又用次辛 国子助教桑惠度议 六舞充庭 思来婴 皆分赋戍逻将士 帝室既以卒哭除丧 一仍本封 加黄钺 劳哉望岁 《周官·匠人职》称明堂有五室 不遣使 占曰天子失土 南徐二州今年户租 遣辅国将军刘山阳率军东讨 四年十二月辛巳 王子侯旧乘缠帷车 武卫将军 从 之 乘胜席卷 诏曰 夏四月戊辰 曲赦荆 以司空褚渊为司徒 氛祲时荡 汉又袭周成规 使牢饩备礼 必有神主 诏 诏槊仗瞻履 道茂渊柔 三年正月七日 仆射掌朝轨 永元三年夜 便可式遵前准 而其礼则一 洛庙未成 布政司炎凉 言有所当 玈矢千 入临毕 义清〖高安郡〗高安 自是法珍 计十一月 之限 征虏将军王茂先击破之 〔巴 甲申 诸侯先时祭后祫 曲赦交州部内李叔献一人即抚南土 越绋之旨 太中大夫 建元四年正月 月在太白东五寸 悬磬比室 昼蚀既尽 月在胃宿蚀 今正殿即亦朝会行礼之庭也 姑洗洁之也 豫 ｛皇帝敬问相国齐王 辛卯 庚寅 则社稷三座 可法于五味 悉系东宫 宗祀文皇帝于明堂以配上帝 日晕 不可兼建 诏曰 建元以来战亡 假还过江陵 则用己亥 常日乃可屈曲相从 都督 推此而言 ｝诏 库部 甲辰 尚书令徐孝嗣议曰 持节 每思惩革 匹准四百 高宗留心正嫡 周奉叔 诏 卿云发采 兴自炎昊 保章审其度 造物资始之泽 众水所出为百原 其月八日立春 昌魏 谓之五供 ｛报惟事天 假冠军 钱二百万 或枯骸不收 更立别篇 颇不喜游宴 明帝太和元年正月 事深睿范 正书及弟子 顾曰 〔此下除二句 二后受之 旒驾旋 答 宜于郊坛之东 三月乙未 广兴相 丙寅 便设殷事耶 宋寿 壬子 《诗》云翟茀以朝 殷殷升奏 甲戌 德表徽章 明帝至于章 ｛鬯嘉礼 南康王宝融即皇帝位于江陵 中外都督太傅太尉印绶 三年二月己未 以司徒褚渊为司空 至是又上表禁民间华伪杂物 牲入奏《引牲》 以征北大将军晋安王宝玄为南徐 白气又见东南长二丈 今得用汝未 邑五千户 臣所未详也 戎翟思韪 庐江四郡 罗 特以丧礼奉新亡者主于寝 事有变革 庶物盛长咸殷阜 为受庆之符 四年六月戊子 则位宜向南 虏救兵至 辛酉 辛丑 齐国建 新化 繁嘉庆 因定和神 新城 历四年 益阳 无所犯 实为侵官 新巴 己巳 焘已潜过淮 自九日至是日 军人从朱雀观上自投及赴淮死者无数 韩 可祀先农 二月辛卯 至是于阅武堂设牙门军顿 秋分之夕 斩敬则 传首 皇基永树 上廉 领郡如左 三署见徒五岁以下 以交宁道远 杯槃翻覆 攸之指裲裆角示之 昔岁水旱 猜似外入 须臾有物绛色如小瓮 比部四曹 浮酌清流 随王公卿士 陆机云 ｝荐豆呈毛血 东西南北 庚戌 雍州刺史朱序始督秦州 古则张幕 中军 南顿君已上四世 东至卯 罔顾大典 开元首 正 二十二日壬辰 并青绛色 暠为安成王 魏秘书监薛循请论云 皇太子长懋薨 汉初北部都尉〖越巂獠郡〗〖沈黎獠郡〗蚕陵令 曾不崇朝 诗四章 甲子 相拒四十馀日 复除有差 丙午 封十郡为齐公 礼无倦 车骑将军建安王宝寅为荆州刺史 肃若有希 宣化〖汝南郡〗〔寄州治〕平舆 念勤简能 汉章帝造《鼙舞歌》 安定〖扶风郡〗〔见《永元三年志》〕武江 诏 秏下土 详量附定 诏 闻外有变 如汉之永昌 辄复置 建昌〖犍为郡〗僰道 案《周礼》朝日无常日 载洁牷牲 诏曰 教曰 ｝《白纻辞》 功曹 江州刺史 新兴〖南朱提郡〗朱提 并注同 对越休庆 江 旧要害也 蜒 为南郡王时 谯 前军长史刘绘议 絷役工匠 遣中书舍人 义无所法 废置之宜 粲又不受 所以教尊尊也 二十一年 五月甲午 王公以下可悉往观礼 太宰 太祖高皇帝肇基骏命 能担白虎幢 依汉旧事 壬子 永言敬思 若应祭者 兵由义立 征北将军竟陵王子良为护军将军兼司徒 骠骑将军临川王映 先会后交 闰月 乙丑 玄象垂文 散骑侍郎各二人 卿烟玉露 汉文用此日耕藉祠先农 文皇帝配上帝 缔修东序 由是所在塘渎 部领蛮左 限节两分 玉夫与其党陈奉伯等二十五人同谋 既不复存 平帝元始五年 有流星大如鸭卵 宿卫身普转一阶 妍步恂恂 迎地神 昭序溢 未知瑕衅 爰集天禄于朕躬 群臣出入 魏 乃命百县雩祀百辟卿士有益于民者 月若掩日 高城 九江作难 九年闰七月戊寅 九月辛丑 在弹违诸曹缘常及外详谳事 丙戌 西崖缺而光已复 罢紫鹿 礼充玉帛 上寿一章 人百其心 昭业少美容止 新除右卫将军崔惠景为护军将军 又在荧惑东北六尺五寸 吉阳〖晋寿郡〗晋寿 荧惑犯太微西蕃上 将 不相害也 诸州别驾治中等 千畛咸事 西安乐 ｝诸开府仪同三司 隆昌元年五月甲戌合朔 太白从行在轩辕大星东八寸 右泰始六年 庚子 祝辞曰 王两说 至秋擢颖大熟 济 未必同源 言常恨之 汉中太守 字与 ｛龙精初见大火中 于是恣情肆意 日东北生一背 以新除骠骑司马陈伯之为豫州刺 史 湘乡 西通芮芮河南 乃未知失在何时 案礼 容得无感乎 雍 孟春郊祀祈嘉谷 丙午 花药杂草 八年六月戊寅 尸在南冈下 进位侍中 为位不奠 蚀从东北始 张衡赋云 奸宄实繁 为犯 惠帝元康七年复置 有流星如三升器 兵革世动 秦二州刺史赵温先据州城 九日出商飙馆登高宴群臣 祭一帝 虽 郊祀参差 中朝以来 故位向不同 给事中领国子助教谢昙济议 鄳 辰星依历应夕见西方亢宿一度 在右执法北二寸 于例益明 亦如汉武威张掖 有过王侯 癸卯 虽欲勿用 定方旨于必甘 在泣星西一尺五寸 绥之以文化 岁月鳞萃 近代讳之也 知礼天圆丘用玄犊 辛卯 宝源为庐陵王 八月戊子 严加 禁绝 方斯蔑如也 《毛诗·周颂》篇曰 尚书右仆射王俭奏 荧惑犯南斗第五星 青赤色 ｝《圣主曲》辞 己亥 二月乙丑 上所立 十二月壬戌 望昊天 俄顷 已旅上帝 魏北郊 此永明之钜失也 贩食人担火误烧牛鼻 金部 寝庙成 扫地而祭于郊 卷海沂之氛沴 可量增赐禄 以频诛大臣 位从公 参 议明堂 ｝《独禄辞》 丙辰 以毡为床于幄中 犹天不可阶 急装 为犯 极祯瑞 昨饮酒无偶 定郊祀兆于洛阳 诏 王道四达 古墟曩隧 缑氏 城门已闭 月入东井旷中 式敷帝踪 未及成功 十二月辛巳 滕弘谓府吏宜有小君之服 癸巳 新丰 汝阴王薨 宣汉 功隐于当年 至相敺击 今南北两郊同用玄 牲 行路之人 征虏将军沈陵为越州刺史 为齐公世子 白虹贯日 ｛伫灵敬享 徐州刺史申令孙又降 怀宁 先儒难 官长局吏应共偿备外 诏 评一人 ｛凡诸将军加 国子祭酒一人 而人情久习 不以先郊后春为嫌 每见钱 而源由甚远 太祖欲分其功 宣皇神主乘金辂 ──右一曲 未能顿遣 京邑酒租 以氐王杨国为北秦州刺史 立我蒸民 以虏伪茄芦镇主阴平公杨广香为沙州刺史 若出其中 俄顷化为白云 祠部郎中蔡履议 犹为暗气所蚀 从 储妃之重 五月丁酉 以命于道成 今不得也 永宁四海 月犯南斗第四星 亦复皆然 后稷之类也 则天下之理尽矣 昭明见而霸者出 岁月亟流 岁功行欲宁 无户数 实缘在远 〔高功者称之 下二学八座丞郎 尝以邪谄自进 诏付外详 领石头戍军事 奏登歌辞 宋帝禅位 驻景开云 六月辛丑 三失履 皆处旧齿老年 慎勿坏去 竟无成典 九月壬子 泠道 南秦二州刺史 卒开鼎祚 天子自竹宫望拜 形制宏壮 咸共遵用 以骁骑将军刘灵哲为兖州刺史 二年十 月辛酉 主簿 封阳 自今悉断 灵祇乃眷 司徒袁粲 有司又奏 则泛配文 至北极第五星西北四尺没 立皇太子妃裴氏 无所犯 宋文帝元嘉中 在奎度 龙德在田 孝宁 未审周明堂以何月 临八宫 元戎无主 悉原除 弘五虑而乂宁 题列坐位 旧物惟新 都督南徐 九功既歌 辛日为允 实兴民蠹 昔汉成 立学 存为盛德 夕见西方 而饑馑代有 五年减为三岁 沔北诸郡为虏所侵 闰月癸巳 十月己未 涪陵二郡 三称中兴 备尝之矣 皇帝出前殿 南为上 趋桥敬老 无令 太孙詹事沈文季为护军将军 民鲜劳役 遣中书舍人 盛服待晨 轻重有异 后宫器物栏槛以铜为饰者 犹无烦黩之疑 月掩心前星 子来 告毕 华泰尤甚 是月 因作乱据郢城 魏文黄初二年 老人星见南方丙上 尾长四尺 已阝 嗣膺宝政 奉贡职 兖州刺史张稷入卫京师 光定天保 政是兴长疾源 奏《云门》而升圆丘 高宗以支庶纂历 同在尾度 火光照天 珍之互执权柄 张永溃于白下 致还本乡 未亡人不幸 岂惟肃慎献楛 南郡 故贼 不得逼城 未有刺史 今明堂祀五精 成帝初即位 郢 帝与天亦言不殊 又掩东星 月行在西建星东南一寸 皇帝黑瓒阶东西向 注称嫡子冠于阼 以安众心 日东南晕外有一直 右丞次署 不列官 惧亏盛则 天开黄色明照 〔永明三年省 此又公之功也 重构闽 诏曰 广牧〖永宁郡〗长宁 刘秉携贰 绛领 袖中衣 因蚀三分之一 月入太微 适所乐 自兹厥后 新丰 刺史郭安明启置 东昏慢道 近代相承 善于绥抚 下堂咏宴享 星纬乖序 三年 户曹 乙未 案为前准 宅德瑞中王 辞都督 侨立州于汝南县瓠 〕宜 祭酒 故醮辞有三 〔此下除八句〕礼献物 戊寅 从数百人 以太子左卫率萧景先为司州刺 史 赞拜不名 阴〖京兆郡〗邓 人迹罕至者 乐安 为犯 撰治五礼 祈农之说 晋世则见傅玄《元正篇》 扬州之吴郡 乞阉人徐龙驹为斋 拟于天朝 黄赤色 魏遣使冠诸王 《书》不云乎 追尊为齐和帝 《朝会赋》 并皆谒庙 荧惑犯进贤 开府仪同三司 简文代兴于晋氏 扬州牧 及军主张宗之千馀 人助之 赫矣君临 从丹阳郡载妇女入石头 稍增华重 金粟缯纩 官民皆洁濯于东流水上 大官令一人 今学斅兴立 江三州府州见囚 孝建元年至永光元年 上巳又生一女 及即位 仍值薄蚀 以宁朔将军张稷为南兖州刺史 太祖召问嗣祖 七月甲戌 雍州频岁戎役 解严 今日见作天王 有司奏给班剑 二十人 月犯轩辕女主星 月犯心大星北一寸 宜顿新亭 其夕月文不分明 命不于常 东迈西屏 白色 置旄头云罕 六月壬子 元正肇始 在建元四年三月已前 朝议以《凯容舞》为《韶舞》 月入东井旷中 〕｝皇帝还东壁 王广之 有流星如三升器