2020年全国卷(3)文科数学

2020年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷（Ⅲ）文科数学

适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

2.复数(1)1z i i ⋅+=-，则z =

A ．1i -

B ．1i +

C ．i -

D ．i 3.设一座样本数据1x ，2x ，，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，，10n

x 的方差为

A ．0.01

B ．0.1

C ．1

D ．10 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型

0.23(53)

()1t K I t e --=

+，其中K 为最大确诊病例数，当()0.95I t K *=时，标志着已初

步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）

A ．60

B ．63

C ．66

D ．69 5.sin sin()13πθθ++=，则sin()6

π

θ+=

A ．12

B

C ．2

3

D

6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．直线

7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物C ：22y px =（0p >）交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为

A ．1(,0)4

B ．1

(,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0)

8.点(0,1)-到直线(1)y k x =+的距离的最大值为

A ．1 B

．2 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A

．6+

．4+ C

．6+ D

．4+

10.设3log 2a =，5log 3b =，2

3

c =

，则 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<

11.在ABC ∆中，2

cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =

A

B

．

．

． 12.设函数1

()sin sin f x x x

=+

，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2

x π

=轴对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪

-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为 .

14.设双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >

）的一条渐近线为y =，则双曲

线的离心率为 .

15.设函数()x e f x x a =+，若1

(1)4

f =，则a = .

16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为

.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721题

为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）

设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n S 为数列3{log }n a 的前n 项和n S ，若13m m m S S S +++=，求m . 18.（本小题满分12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园

（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（Ⅱ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（Ⅲ）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为一天中到公园锻炼的人次与该市当

附：其中22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，

19.（本小题满分12分）

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =

1ED ，12BF FB =.

（Ⅰ）当AB BC =时，EF AC ⊥. （Ⅱ）证明：点1C 在平面AEF 内；

20.（本小题满分12分）

已知函数32()f x x kx k =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）

已知椭圆C ：22

2125x y m

+=（05m <<）的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、

右顶点.

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.

A

B

C D

E

F

A 1

B 1

C 1

D 1