人教版新教材高一第一学期数学期末模拟试卷(四)
人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案
人教版高一数学必修1必修4期末测试卷附答案人教版高一数学必修1必修4期末测试卷姓名：__________ 班级：___________ 学号：____________ 分数：______________一、选择题（每题5分，共40分）1.集合A={x∈N*｜-1<x<3}的子集的个数是（。
）。
A。
4.B。
8.C。
16.D。
322.函数f(x)=1/(1-x)+lg(1+x)的定义域是（。
）。
A。
(-∞,-1)。
B。
(1,+∞)。
C。
(-1,1)U(1,+∞)。
D。
(-∞,+∞)3.设a=log2,c=5-1/3,b=ln22，则（。
）。
A。
a<b<c。
B。
b<c<a。
C。
c<a<b。
D。
c<b<a4.函数y=-x^2+4x+5的单调增区间是（。
）。
A。
(-∞,2]。
B。
[-1,2]。
C。
[2,+∞)。
D。
[2,5]5.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在区间(-2,2)上为增函数，则a的取值范围是（。
）。
A。
a≤2.B。
-2≤a≤2.C。
a≤-2.D。
a≥26.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（。
）。
A。
y=x-2.B。
y=x-1.C。
y=x^2.D。
y=x^37.若函数f(x)=x/(2x+1)(x-a)为奇函数，则a=（。
）。
A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
1/88.已知α是第四象限角，XXX(π-α)=5/12，则sinα=（。
）。
A。
1/5.B。
-1/5.C。
5.D。
-59.若tanα=3，则sinαcosα=（。
）。
A。
3.B。
3/2.C。
3/4.D。
9/410.sin600°的值为（。
）。
A。
3/2.B。
-3/2.C。
-1/2.D。
1/211.已知cosα=3/5，π/4<α<π，则XXX(α+π/4)=（。
）。
A。
1.B。
-1.C。
5/8.D。
-5/812.在△ABC中，sin(A+B)=sin(A-B)，则△ABC一定是（。
人教版高一数学上学期期末模拟考试题
人教版高中数学测试卷（考试题）2020学年第一学期共美联盟期末模拟考高一年级数学学科试题考试须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号即准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单行选择题（每题5分，共40分）1．已知集合{}20A x x =->∣，{}1,0,1,3,4B =-，则()=U C A B ⋂（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．命题“任意实数2,0x x ≥”的否定是（ ）A ．任意实数2,0x x <B ．存在实数2,0x x <C ．任意实数2,0x x ≤D ．存在实数2,0x x ≤3．设x R ∈，则“15x -<<”是“5x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()3ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()3,+∞5．角α的终边经过点()2,1-，则2sin 3cos αα+的值为（ ）A ．BCD ． 6．若1a >，同一坐标系，函数x y a -=与 log a y x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知0.20.5a =，0.6log 2b =，0.6log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于直线56x π= C ．()f x 的一个零点为6π D ．()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为1 二、多项选择题（每题5分，共20分）9．下列函数中，选出在定义域内单调递增的是（ ）A ．11y x -=-B ．3122x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．y =D ．lgx 10y =10．对任意两个实数a 、b ，定义{},min , ,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()23f x x =-，()21g x x =-．下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ）A ．函数()F x 是偶函数；B ．方程()0F x =有两个解；C ．方程()F x m =可能有三个根；D ．函数()F x 有最大值1，无最小值． 11．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若103x <<，则() 13x x -的最大值为112B ．函数()23311x x y x x ++=>-+的最小值为2 C ．已知1x y +=，0x >，0y >，则121x x y ++的最小值为54 D ．若整数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是3 12．已知函数()(),a f x x a R x=+∈，方程() 4f x =在[)0,+∞有两个解12,x x ，记()12g a x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域是[)0,+∞B ．若1a =-，()f x 的增区间为[)1,0-何[)1,+∞C ．若4a =，则()0g a =D ．函数()g a 的最大值为4非选择题部分三、填空题（每题5分，共30分）13．幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____________． 14．若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．15．一个扇形周长为8，则扇形面积最大时，圆心角的弧度数是__________．16．已知函数()lg ,01,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩∣，若函数()y f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是_______． 17．已知函数()()a f x x a R x =+∈满足下列四个条件中的三个：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在区间(),5-∞-上单调递增；③()()22f f <-；④在y 轴右侧函数()f x 的图象位于直线y x =上方，写出一个符合要求的函数________________________．18．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，a G b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2020G ∈；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有______________．四、解答题（每题12分，共60分）19．（本小题满分12分） 设不等式402x x ->-的解集为集合A ，关于x 的不等式()()120x m x m +-+-<的解集为集合B ． （1）若2m =-，求R A C B ⋂；（2）命题p :x A ∈,命题q :x B ∈,若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数()22cos 2x f x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6， （1）求常数m 的值；（2）若()145f α=，且433ππα<<，求 6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2log 3x f x x ax =-+-，其中()0,1a a >≠．（1）当4a =时，求()f x 的值域和单调区间；（2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围．22．（本小题满分12）附赠材料必须掌握的试题训练法题干分析法怎样从“做题”提升到“研究”题干分析法,是指做完题目后,通过读题干进行反思总结:这些题目都从哪几个角度考查知识点的?角度不同,容易出错的地方是不是变化了?只有这样,我们才能从单纯的“做题目”上升到“研究”,我们的思维能力和做题效率才能不断提高。
【人教版】高中数学必修一期末一模试卷附答案
一、选择题1．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．10093．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（ ）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年4．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．126．若1a b >>，P ，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a bR +=，则（ ） A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B．y =C ．2x y =D ．||y x x =-8．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)9．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）A ．有最大值4B ．有最小值-4C ．有最大值-3D ．有最小值-310．下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）A ．()()U U A B ⋂ B ．()()U UA BC ．()UA BD ．()UA B ⋂11．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q xx P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{1}P x x Q x y x =-≤-≤==-∣∣，则P Q =★（ ）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01xx ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 12．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =（ ）A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<二、填空题13．已知函数22122,0()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则212344x x x x x ++的取值范围是____________. 14．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.15．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 16．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.17．已知函数()31f x ax bx =-+，若()25f =，则()2f -=______．18．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，2 1.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是______．19．已知集合{|M m Z =∈关于x 的方程2420x mx +-=有整数解}，集合A 满足条件：①A 是非空集合且A M ⊆；②若a A ∈，则a A -∈．则所有这样的集合A 的个数为______．20．已知()2f x x ax b =++，集合(){}0A x f x =≤，集合(){}3B x f f x ⎡⎤=≤⎣⎦，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题21．某市近郊有一块大约400m 400m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）求S 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值，22．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）23．（1）解不等式()()22log 2log 36x x -≤+；（2）在（1）的条件下，求函数1114242x xy -=-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝⋅⎪⎝⎭+⎭的最大值和最小值及相应的x 的值.24．已知函数()(0,1)x f x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x=的图像相交于(2,)n .（1）求()f x 的表达式；（2）函数22()log ()5g x f x x =+-，求满足()g x x <的最大整数.25．已知二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <，()()213g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和最小值；26．已知全集U =R ，集合{|4A x x =<-或1}x >，{}312B x x =-≤-≤， （1）求AB 、()()U UA B ；（2）若集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20xy x e =≥ 交点个数即可．如图所示：当1x =时，201xe << 观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果2．A解析：A 【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019xf x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1． 方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．3．C【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案. 【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元， 由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>， 所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4， 所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元， 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.5．B解析：B根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx=时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.6．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此，P Q R <<故选：B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小7．D解析：D利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A 中，函数1y x =，由幂函数性质知1y x=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C 中，指数函数2xy =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；选项D 中，函数22,0,0x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-，当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，故22(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.8．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.9．B解析：B 【分析】根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.10．C解析：C 【分析】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集. 【详解】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用()UA B 表示. 【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．【详解】由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥， 则{|0}PQ x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．12．C解析：C 【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B ={}1|0x x <<.故选：C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题13．【分析】作出函数的图象及直线它们的交点的横坐标即为由图象可得出它们的性质：范围关系然后现求的范围【详解】解：作出函数的图象如图所示（1）由解得或（2）关于直线对称则综上由函数在上单调递增可得故答案为 解析：(3,3]-【分析】作出函数()f x 的图象及直线y a =，它们的交点的横坐标即为1234,,,x x x x ，由图象可得出它们的性质：范围，关系．然后现求212344x x x x x ++的范围． 【详解】解：作出函数22122,0()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩的图象如图所示（1）由2|log |2x =解得14x =或4x =，123410144x x x x ∴<≤<≤<<≤，3422|log ||log |x x =，2324log log x x ∴-=，341x x ∴=，（2）12,x x 关于直线2x =-对称，则124x x +=-，综上，2123444444(14)x x x x x x x x ++=-<≤.由函数4y x x-=+在(1,4]上单调递增，可得212344(3,3]x x x x x ++∈-. 故答案为：(3,3]-． 【点睛】方法点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是作出函数图象与直线，把方程的根转化为函数图象与直线交点横坐标，从图象易得它们的性质．从而求得结论．14．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：315．【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴= 10 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.16．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e-=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 17．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进 解析：3-【分析】根据题意，令()()31g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3g x ax bx g x -=-+=-，得到()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.【详解】设()()31g x f x ax bx =-=-，则()()3g x ax bx g x -=-+=-，即()g x 为奇函数，故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦， 即()()222523f f -=-+=-+=-. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下：（1）构造奇函数()()31g x f x ax bx =-=-；（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.18．【分析】由分段函数根据单调性求得在的最小值根据求出的最小值将问题转化为解不等式即可得出结果【详解】根据已知当时则当时在处取到最小值当时在处取到最小值所以在时在处取到最小值又因为可知当时在时取到最小值 解析：(,2](0,1]-∞-⋃【分析】由分段函数根据单调性求得()f x 在[0,2)x ∈的最小值，根据(2)2()f x f x +=求出[4,2)x ∈--，()f x 的最小值，将问题转化为min 1()42t f x t≥-解不等式即可得出结果． 【详解】 根据已知，当[0,2)x ∈时，2 1.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩， 则当[0,1)x ∈时，()f x 在0.5x =处取到最小值(0.5)0.25f =-， 当[1,2)x ∈时，()f x 在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 所以()f x 在[0,2)x ∈时在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 又因为(2)2()f x f x +=， 可知当[4,2)x ∈--时， ()f x 在 2.5x =-时取到最小值，且(1.5)2(0.5)4( 2.5)f f f =-=-， 则1( 2.5)(1.5)0.254f f -=⨯=-． 为使[4,2)x ∈--，1()42t f x t≥-恒成立， 需11424t t -≤-， 当0t >时，可整理为220t t +-≤， 解得(0,1)t ∈； 当0t <时，可整理为220t t +-≥， 解得(,2]t ∈-∞-． 故答案为(,2](0,1]-∞-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于中档题．19．15【分析】先依题意化简集合M 再根据条件确定集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合即得这样的集合的个数【详解】设为方程的两个根则当时；当时；当时；当时；由条件①知且又由条件②知A 是有一些成对的解析：15 【分析】先依题意化简集合M ，再根据条件确定集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即得这样的集合的个数. 【详解】设a ，b 为方程2420x mx +-=的两个根，则a b m +=-，42ab =-， 当1=a ，42b =时，41m =±； 当2=a ，21b =时，19m =±； 当3a =，14b =时，11m =±； 当6a =，7b =时，1m =±；{}{}{}{}{}1,111,1119,1941,411,1,11,11,19,19,41,41M =-⋃-⋃-⋃-=----，由条件①知A ≠∅且A M ⊆，又由条件②知A 是有一些成对的相反数组成的集合． 所以M 的4对相反数共能组成42115-=个不同的非空集合A ． 故答案为：15. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于明确题中条件要求集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即计算集合个数突破难点.20．【分析】根据设则设再根据则是的解集的子集求解【详解】因为设则设的解集为：所以是方程的两个根由韦达定理得：又因为所以所以即解得故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用还考查了转化求解的解析：⎡⎤⎣⎦【分析】根据A ≠∅，设{}01A x x x x =≤≤，则()204a b f x -≤≤，设 ()t f x =，再根据A B =，则2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()3f t ≤的解集的子集求解. 【详解】因为A ≠∅，设{}01A x x x x =≤≤，则()204a b f x -≤≤，设 ()t f x =， ()3f t ≤的解集为：()0|0t t t ≤≤ ， 所以0,0t t t ==是方程23t at b ++=的两个根， 由韦达定理得：0,3t a b =-=，又因为A B =，所以2004a tb ≤-≤，所以2304a a -≤-≤，即22124120a a a ⎧≥⎨--≤⎩， 解得6a ≤≤.故答案为：⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用，还考查了转化求解的能力，属于中档题三、解答题21．（1）1500030306S x x---，定义域为(4,400]；（2）50x =，max 2430S =． 【分析】（1）用x 求出矩形的长，然后减去道路宽后计算塑胶运动场地面积S ，注意中间三个小矩形存在，同时400可得定义域； （2）由基本不等式求得最值． 【详解】 （1）由题意30003000(4)(6)(6)(6)22x x x x S ----=+250030306x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 4060300060x x x⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪->⎩，又400x ≤，所以6400x <≤． 综上1500030306S x x---，定义域为(4,400]． （2）由（1）250030306()303062430S x x=-+≤-⨯=，当且仅当2500x x=，即50x =时，等号成立． 所以50x =，max 2430S =． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题关键是列出函数解析式，在定义域时，要注意变量的实际意义，本题中一是小矩形存在，二是场地长、宽不超过400米，这样才能得定义域．22．（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6.【分析】（1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解.（2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.【详解】（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p +=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥， 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【点睛】方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．23．（1）[)1,2-；（2）当1x =时，函数y 取最小值为1；当1x =-时，函数y 取最大值为10. 【分析】（1）由题意结合对数函数的性质可得20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解不等式组即可得解；（2）由题意令11,224x t ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则21412y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】 （1）()()22log 2log 36x x -≤+，∴20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解得12x -≤<， ∴不等式的解集为[)1,2-；（2）当[)1,2x ∈-时，设11,224xt ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 则函数222112411114244424241222x x x x t t t y -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+ ⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，∴当12t =即1x =时，函数y 取最小值为1； 当2t =即1x =-时，函数y 取最大值为21421102⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了对数函数单调性的应用及对数不等式的求解，考查了指数函数的性质、二次函数的性质及换元法的应用，属于中档题. 24．（1）()4x f x =；（2）1 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，代入计算即可；（2）由（1）可得2()25g x x x =+-，因为()g x x <即225x x x +-<，解一元二次不等式即可得解； 【详解】解：（1）依题意函数()(0,1)xf x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x=的图像相交于(2,)n .()()142322f f n n ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪=⎩ 所以2416a m a m +=⎧⎨+=⎩，解得40a m =⎧⎨=⎩或37a m =-⎧⎨=⎩（舍去）所以()4xf x =.（2）222222()log 45log 2525x x g x x x x x =+-=+-=+-，()g x x <，即225x x x +-<，即250x x +-<x <<，满足条件的最大整数为1. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一元二次不等式的解法，属于基础题.25．（1）()211f x x x =++；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线12x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值. 【详解】（1）因为二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，所以131b c =++，即12b c +=①； 又函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线12x =-对称；所以122b -=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()211f x x x =++； （2）由（1）()211f x x x =++，所以()()()22222,0111322,0x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()22g x x x =-在[],2t 上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-；当01t ≤<时，()22g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当10t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []0,2x ∈时，()22g x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当1t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以()(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-+；综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为()2min22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩. 【点睛】 方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 26．（1）{}13A B x x ⋂=<≤，()(){1U U A B x x ⋃=≤或3}x >；（2）52k <-或1k >.【分析】 （1）先求出B ，UA ，UB ，再求A B ，()()U UA B 即可；（2）先分类讨论①当M φ=时，k 不存在；②当M φ≠时，解得52k <-或1k >，最后写出实数k 的取值范围即可. 【详解】解：（1）因为全集U =R ，集合{|4A x x =<-或1}x >，{}312B x x =-≤-≤， 所以{}23B x x =-≤≤，{|41}Ux x A =-≤≤，{2UB x x =<-或3}x >，所以{}13A B x x ⋂=<≤，()(){1U U A B x x ⋃=≤或3}x >，（2）因为集合{}2121M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集， 所以①当M φ=时，2121k k ，k 不存在；②当M φ≠时，214k +<-或211k ->，解得：52k <-或1k >， 综上所述：实数k 的取值范围是52k <-或1k >. 【点睛】 本题考查集合的运算、根据集合的基本关系求参数范围，是基础题.。
人教版高一第一学期期末数学模拟试卷(附答案)
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -高中一年级第一学期人教版高一数学期末考试模拟试题第 Ⅰ 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.210sin 的值为（ ）A ．21 B. 23 C. 21- D. 23-2.18sin 27cos 18cos 27sin +的值为（ ）A ．22 B. 23 C. 21D. 13. 已知集合}821|{<<=xx A ，集合}1log 0|{2<<=x x B ，则A B =（ ）A ．}31|{<<x x B. }21|{<<x x C. }32|{<<x x D. }20|{<<x x 4. 已知80sin =a ，1)21(-=b ，3log 21=c ，则（ ）A ．c b a >> B. c a b >> C. b a c >> D. a c b >>5. 一扇形的圆心角为60，所在圆的半径为6 ，则它的面积是（ ）A ．π6B. π3C. π12D. π96. 若),0(,πβα∈且 31tan ,21tan ==βα，则=+βα（ ） A ．4πB. 43πC. 45πD. 47π7. )32sin(3π-=x y 的一条对称轴是（ ）A ．32π=x B. 2π=x C. 3π-=x D. 38π=x8. 要得到)32cos(3π-=x y 的图象，只需将x y 2cos 3=的图象（ ）A ．右移3π B. 左移3π C. 右移6π D. 左移6π9. 函数1)2sin(2--=x y π的定义域为（ ）A ．},65262|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ B.},656|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππC. },32232|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππD. },12512|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ10. 函数x x y cos sin +=的值域是（ ）A ．]2,2[- B. ]1,1[- C. ]2,2[- D. ]2,0[ 11. 下列函数中既是偶函数，最小正周期又是π的是（ ）A ．x y 2sin = B. x y cos = C. x y tan = D. |tan |x y = 12. 函数1ln )(2-++=a x x x f 有唯一的零点在区间),1(e 内，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)0,(2e - B. )1,(2e - C. ),1(e D. ),1(2e第 Ⅱ 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
人教A版新教材高一上学期期末考试数学试卷(共五套)
人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}210A x x =-<，{}01B x x =≤≤，那么A B 等于（ ） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x ≤C ．102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tan x 的值等于（ ） A ．125 B ．125-C ．512D ．512-3．若2log 0.5a =，0.52b =，20.5c =，则,,a b c 三个数的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b <<D ．c a b <<4．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于（ ）A ．14B ．14-C ．32D ．32-5．已知5()tan 3,(3)7f x a x bx cx f =-+--=，则(3)f 的值为（ ） A ．13-B ．13C ．7D ．7-6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且有(3)(1)f f >．则下列各式中一定成立的是（ ） A ．(1)(3)f f -< B ．(0)(5)f f < C ．(3)(2)f f >D ．(2)(0)f f >7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()5x f x m =+（m 为常数)，则5(log 7)f -的值为（ ） A ．4 B ．4-C ．6D ．6-8．函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，73ππ2α<<， 则cos sin αα+=（ ） ABC．D．10．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，且满足对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)11．已知ππ()sin(2019)cos(2019)63f x x x =++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．π2019B ．2π2019C ．4π2019D ．π403812．已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-+，则不等式[()]()f f x f x <的解集为（ ） A ．(3,0)(3,4]-B ．(4,3)(1,0)(1,3)---C ．(1,0)(1,2)(2,3)-D ．(4,3)(1,2)(2,3)--第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．5log 30.75333322log 2log log 825169-+-+=_______． 14．已知()1423x x f x +=--，则()0f x <的解集为_______．15．方程22210x mx m -+-=的一根在(0,1)内，另一根在(2,3)内，则实数m 的取值范围是______．16．若实数a ，b 满足0a ≥，0b ≥，且0ab =，则称a 与b 互补．记(,)a b a b ϕ=-，那么“(,)0a b ϕ=”是“a 与b 互补”的 条件．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合{}123A x m x m =-≤≤+，函数2()lg(28)f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B 、()A B R ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）当1a >时，求使()0f x >的x 的解集．19．（12分）已知函数()2πcos sin()1()3f x x x x x =+∈R ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值．20．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求(0)f 及((1))f f 的值；（2）求函数()f x 在(,0)-∞上的解析式；（3）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围．21．（12分）设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且()21f =，当0x >时，()0f x >． （1）求(0)f 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围．22．（12分）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1[,3]2x ∈时，2()(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．【答案解析】 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】因为12A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =≤≤，所以102A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭．2．【答案】D【解析】因为x 为第四象限的角，所以5sin 13x =-，于是5tan 12x =-，故选D ． 3．【答案】C【解析】2log 0.50a =<，0.521b =>，200.51c <=<，则a c b <<，故选C ． 4．【答案】B【解析】因为1(1)232f x x -=+，设112x t -=，则22x t =+，所以()47f t t =+，因为()6f m =，所以476m +=，解得14m =-，故选B ．5．【答案】A 【解析】5()tan 3f x a x bx cx =-+-，()()6f x f x ∴+-=-，(3)7f -=，(3)6713f ∴=--=-．故选A ． 6．【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴(1)(1)f f =-， 又(3)(1)f f >，∴(3)(1)f f >-，故选A ． 7．【答案】D【解析】由奇函数的定义可得(0)10f m =+=，即1m =-，则5log 755(log 7)(log 7)51716f f -=-=-+=-+=-．故选D ．8．【答案】A 【解析】函数111y x=-，22sin π(24)y x x =-≤≤的图象有公共的对称中心(1,0)， 如图在直角坐标系中作出两个函数的图象，当14x <≤时，10y <，而函数2y 在(1,4)上出现1.5个周期的图象，且在3(1,)2和57(,)22上是减函数，在35(,)22和7(,4)2上是增函数．∴函数1y 在(1,4)上函数值为负数，且与2y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H ， 相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，且与2y 的图象有四个交点A 、B 、C 、D ， 且2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=， 故所求的横坐标之和为8，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， ∴1tan tan k αα+=，21tan 31tan k αα⋅=-=， ∵73ππ2α<<，∴0k >， ∵24k =，∴2k =，∴tan 1α=，∴π3π4α=+，则cos α=，sin α=，则cos sin αα+=C ． 10．【答案】D【解析】∵对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立， ∴函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递增， 1114021(4)122a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴->⎨⎪⎪≥-⨯+⎪⎩，解得[4,8)a ∈，故选D ． 11．【答案】B【解析】ππ()sin(2019)cos(2019)63f x x x =++-，112019cos 2019cos 201920192222x x x x =+++2019cos 2019x x =+π2sin(2019)6x =+，∴()f x 的最大值为2A =， 由题意得，12x x -的最小值为π22019T =， ∴12A x x -的最小值为2π2019，故选B ． 12．【答案】B【解析】∵()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，∴当0x =时，(0)0f =，先求出当[4,0)x ∈-时()f x 的表达式， 当[4,0)x ∈-时，则(0,4]x -∈，又∵当0x >时，2()4f x x x =-+，∴22()()4()4f x x x x x -=--+-=--， 又()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，∴2()()4f x f x x x =--=-+，∴224,[4,0]()4,(0,4]x x x f x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩，令()0f x =，解得4x =-或0或4，当[4,0]x ∈-时，不等式[()]()f f x f x <，即2222(4)4(4)4x x x x x x +++<+， 化简得222(4)3(4)0x x x x +++<，解得(4,3)(1,0)x ∈---；当(0,4]x ∈时，不等式[()]()f f x f x <，即2222(4)4(4)4x x x x x x --++-+<-+， 化简得222(4)3(4)0x x x x --++-+<，解得(1,3)x ∈， 综上所述，(4,3)(1,0)(1,3)x ∈---，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】原式=253log 94433332log 4log log 825(2)9-+-+ 339log (48)98log 91132=⨯⨯-+=-=．14．【答案】2{|log 3}x x <【解析】当()0f x <，即14230,023x x x +--<<<，解得2log 3x <． 15．【答案】(1,2)【解析】设22()21f x x mx m =-+-，则由题意知：函数()f x 的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，则有222210(0)0(1)020(2)0430(3)0680m f f m m f m m f m m ⎧->>⎧⎪⎪<-<⎪⎪∴⇒⎨⎨<-+<⎪⎪⎪⎪>⎩-+>⎩，解得12m <<，m 的取值范围是(1,2)．16．【答案】充要条件【解析】若(,)0a b ϕ=，a b =+，两边平方整理，得0ab =，且0a ≥，0b ≥，所以a 与b 互补；若a 与b 互补，则0a ≥，0b ≥，且0ab =，所以0a b +≥，此时有(,)()()()0a b a b a b a b ϕ=+=+-+=， 所以“(,)0a b ϕ=”是“a 与b 互补”的充要条件．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）{}27A B x x =-<≤，{}()21A B x x =-<<R ；（2）1(,4)(1,)2-∞--．【解析】根据题意，当2m =时，{}17A x x =≤≤，{}24B x x =-<<， 则{}27A B x x =-<≤， 又{1A x x =<R或}7x >，则{}()21A B x x =-<<R ．（2）根据题意，若A B A =，则A B ⊆， 分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-； ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是1(,4)(1,)2-∞--．18．【答案】（1）{}11x x -<<；（2）奇函数，证明见解析；（3）(0,1)x ∈． 【解析】()log (1)log (1)a a f x x x =+--，若要式子有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<，所以定义域为{}11x x -<<．（2）()f x 的定义域为(1,1)-，且()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-， 所以()f x 是奇函数．（3）又()0f x >，即log (1)log (1)0a a x x +-->， 有log (1)log (1)a a x x +>-．当1a >时，上述不等式101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得(0,1)x ∈．19．【答案】（1）πT =；（2）π4x =时，max 3()4f x =-；π12x =-时，min 3()2f x =-． 【解析】（1）2π()cos sin()13f x x x x=+-+21cos (sin )12x x x x =+-2111cos2sin cos 1sin21242x x x x x +==+-11πsin2cos21sin(2)14423x x x =--=--， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）∵[,]4ππ4x ∈-，∴5π2[,]6ππ36x -∈-， 当ππ236x -=，即π4x =时，max 113()1224f x =⨯-=-， 当ππ232x -=-，π12x =-时，()min 13()1122f x =⨯--=-． 20．【答案】（1）0(0)f =，((1))1f f =-；（2）()22f x x x =+；（3）10m -<<． 【解析】（1）0(0)f =，((1))(1)(1)1f f f f =-==-． （2）设0x <，则0x ->，22()()2()2f x x x x x -=---=+，∵()f x 偶函数，2()()2f x f x x x -==+，∴当0x <时，()22f x x x =+．（3）设函数1()y f x =及2y m =，方程()0f x m -=的解的个数，就是函数1()y f x =与2y m =图象交点的个数． 作出简图利用数形结合思想可得10m -<<．21．【答案】（1）(0)0f =；（2）奇函数；（3）{|1}x x <． 【解析】（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-，∴(0)0f =． （2）∵()()()f x y f x f y -=-，∴()()()00f x f f x -=-，由（1）知(0)0f =，()()f x f x -=-， ∴函数()f x 是奇函数．（3）设12,x x ∀∈R ，且12x x >，则120x x ->，()()()1212f x x f x f x -=-，∵当0x >时，()0f x >，∴()120f x x ->，即()()120f x f x ->， ∴()()12f x f x >，∴函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()()f x y f x f y -=-， ∴()()()f x f x y f y =-+，211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f =+=+=+-=， ∵()(2)2f x f x ++<，∴()(2)(4)f x f x f ++<， ∴()()()(2)44f x f f x f x +<-=-，∵函数()f x 是定义在R 上的增函数，∴24x x +<-，∴1x <， ∴不等式()(2)2f x f x ++<的解集为{|1}x x <．22．【答案】（1）1b =；（2）单调递减，证明见解析；（3）(,1)-∞-． 【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，即1022b-+=+，则1b =， 经检验，当1b =时，12()22x x bf x +-+=+是奇函数，所以1b =．（2）11211()22221x x x f x +-==-+++，()f x 在R 上是减函数，证明如下：在R 上任取12,x x ，且12x x <，则122121211122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++，因为2x y =在R 上单调递增，且12x x <，则12220x x -<， 又因为12(21)(21)0x x ++>，所以21()()0f x f x -<， 即21()()f x f x <，所以()f x 在R 上是减函数．（3）因为2()(21)0f kx f x +->，所以2()(21)f kx f x >--， 而()f x 是奇函数，则2()(12)f kx f x >-， 又()f x 在R 上是减函数，所以212kx x <-， 即221212()x k x x x -<=-在1[,3]2上恒成立， 令1t x =，1[,2]3t ∈，2()2g t t t =-，1[,2]3t ∈， 因为min ()(1)1g t g ==-，则1k <-． 所以k 的取值范围为(,1)-∞-．人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
高一数学期末模拟试卷四
高一数学期末模拟试卷四一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案直接填写在答题．．纸相应位置上．．．．．．． 1． 如果122)22(++-=m x m m y 是一个幂函数，则=m ▲ ．2．△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为3. 若3sin()25πθ+=，θ为锐角，则θsin = ▲ ． 4. 若角α的始边在x 轴的正半轴，顶点在坐标原点，角α终边与单位圆交点的横坐标为21-，则=αsin ▲ ． 5．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 6．要得到函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 2f x x =的图象向右平移()02ρρπ<<个单位，则ρ= ▲ ．7. 用二分法求函数()43--=x x f x的一个零点，其参考数据如下： 根据此数据，可得方程043=--x的一个近似解（精确到0.01）为▲ .820,一个扇形的周长为若使其面积最大,则它的圆心角应取 ▲ ．9．已知：sin ()6x π+=41，则7sin()6x π+25()6cos x π+-= ▲ ． 10. 若53sin +-=m m x ，524cos +-=m m x ，),2(ππ∈x ，则x tan 的值为 ▲ ．11．已知(21)4,(1)()log ,(1)x aa x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ▲ ．12. 已知集合{}0232=+-=x ax x A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13. 下列几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；②函数y =是偶函数，但不是奇函数；③曲线2|3|y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1.其中正确的有 ▲ ．(填序号)14． y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题；共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知()sin cos f x x x =-．（1）求()3f π； （2）若(0,)x π∈，且17()13f x =，求tan x 的值．16．（本小题满分14分）函数()f x =的定义域为集合A ，关于x 的不等式()212(2x a x a -->∈R)的解集为B ，求使A B B =的实数a 取值范围．17（本小题满分15分）已知A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin ,αα(1)若α2sin ,1求-=⋅的值；(2)若. ),,0(,13||的夹角与求且πα∈=+18.（本小题满分15分）函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈．（1）求()g a ； （2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值．19、（本小题满分16分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，即v (x )＝kx ＋b （k ，b 为常数）．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时) f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)20．（本小题满分16分） 已知函数3()lg()3x f x x-=+，其中 (3,3)x ∈-．（1）判别函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(3,3)-上单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由．。
高一第一学期数学期末试卷(四)
：Y高一第一学期数学期末试卷（四）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）2．（5分）将函数y=sin（x ﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A ．B．C ．D ．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC于点F，若，，则=（）A．B．C．D ．4．（5分）函数的递增区间是（）A．B．C． D ．5．（5分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C ．D ．6．（5分）sin210°的值为（）A ．B．﹣C ．D ．﹣7．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]8．（5分）下列命题中，正确的是（）A ．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C ．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行9．（5分）函数f（x）=lg （+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在10．（5分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a11．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B ．C ．D ．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f （）+…+f （）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）若tan （）=2，则=．15．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（5分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y 轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x ﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0（2）sin+cos+tan （）18．（12分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．（12分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的每间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？20．（12分）已知函数f（x）=sin2x sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a，（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．22．（12分）对于函数f（x）=a ﹣（a∈R）（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若f（x ）≥，当x∈[2.3]恒成立，求m的最大值．。
人教新课标数学高一上学期期末考试试卷(4)
人教新课标数学高一上学期期末考试试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,2,1{=A ，U {4,5,6}B =ð，则集合=B A （ ） A ．}2,1{B ．}5{C ．}3,2,1{D ．}6,4,3{2． 将389化成四进位制数的末位是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为150，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ） A ．抽签法 B ．分层抽样法C ．随机数表法D ．系统抽样法4．若32x=，则x 等于（ ）A ．lg 2lg3-B ．lg3lg 2-C ．lg3lg 2 D ．lg 2lg35．条件语句的一般格式是（ ）6．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示)，则（ ）A ．甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为26B ．甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为27C ．乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为31D ．乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为367．从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论中正确的是（ ） A.A 与C 互斥 B.B 与C 互斥C. A 、B 、C 中任何两个均互斥D. A 、B 、C 中任何两个均不互斥 8． 已知点)8,2(在幂函数()y f x =的图象上，则下列结论正确的为（ ）A ．)(x f 在R 上为减函数 B ．)(x f 在(0,)x ∈+∞上的图象恒在x y =图象的上方 C ．)(x f 为偶函数 D ． )(x f 的图象与x y 1=的图象有两个交点9．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为（ ）A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)10．若函数()11x mf x e =+-是奇函数,则m 的值是（ ）A ．2B ．1C ．21D ．011．函数()x bf x a -=的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．01 0a b <<<，B ．01 0a b <<>，C ．1 0a b ><，D ．10a b >>， 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是（ ）A ．5|02x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎭⎩ B ． 3|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎭⎩C ．35|0,22x x x ⎧⎫-<<>⎨⎬⎭⎩或 D ． 35|,022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎭⎩或 第Ⅱ卷（非选择题；共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2018-2019学年人教版上期高一期末模拟考试数学试题卷(四)含解析
2018-2019学年人教版上期高一期末模拟考试数学试题卷（四）数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,4U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.运行如图所示程序，若输入,,a b c 的值依次为1,2,3--，则输出的S 的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．23.若幂函数()f x 的图象经过点⎛ ⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ）A ．RB ．()(),00,-∞⋃+∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞4.某校为了解高一新生数学科学习情况，用系统抽样方法从编号为001，002，003，…，700的学生中抽取14人，若抽到的学生中编号最大的为654，则被抽到的学生中编号最小的为（ ） A ．002 B ．003 C ．004 D ．0055.由表格中的数据，可以断定方程320x e x --=的一个根所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46.2017年9月29日，第七届宁德世界地质公园文化旅游节暨第十届太姥山文化旅游节在福鼎开幕.如图所示是本届旅游节的会标，其外围直径为6，为了测量其中山水图案的面积，向会标内随机投掷100粒芝麻，恰有30粒落在该图案上，据此估计山水图案的面积大约是（ ）A ．95π B ．2710π C ．185π D ．545π7.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：万元）对年销售量y (单位：t )的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,6i y i =进行整理，得数据如下表所示：根据上表数据，下列函数中，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的拟合函数的是（ ）A ．()0.51y x =+B ．3log 1.5y x =+C ．21x y =-D ．y =8.甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射箭9次，三人测试成绩的条形图如下所示：则下列关于这三名运动员射击情况的描述正确的是（ ） A.丙的平均水平最高B.甲的射击成绩最稳定C.甲、乙、丙的平均水平相间D.丙的射击成绩最不稳定9.已知245log 6,log 12,log 15a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 10.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．13D ．3211.若()f x 为2x y -=的反函数，则()1f x -的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，满足()()x f x g x e +=，给出下列结论: ①()()()22f x f x g x =；②对于定义域内的任意实数12,x x 且12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x ->-；③对于定义域内的任意实数12,x x 且12x x ≠，()()121222g x g x x x g ++⎛⎫< ⎪⎝⎭； ④()()2f x g x <其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，不是豆沙馅的概率为 ．14.奇函数()y f x =的图象关于直线3x =对称，若()52f =，则()1f -等于 ． 15.为了解某社区居民的家庭年收入与市支出的关系.随机调查了该社区5户家庭，得到如图统计数据表:据上表得回归直线方程y bx a =+，其中0.76,b a y bx ==-，据此估计该社区一户收入为15万元家庭的年支出为 万元.16.已知函数()11,0,2ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在四个不同的实数,,,a b c d ，使得()()()()f a f b f c f d ===， 记S 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （112lg5236410log 3log 449-⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭；（2）)已知全集U R=，集合{{}2,log 1A x y B x x ===<.求()U C A B ⋂. 18.执行如图所示的程序框图，其中0a >且1a ≠，当输入实数x 的值为2-时，输出函数()f x 的值为3.（1）求函数()f x 的解析式，并画出图象；（2）)若()f x 在区间(),1m m +上是单调函数，求实数m 的取值范围.19.中国科学院亚热带农业生态研究所2017年10月16日正式发布一种水稻新种质，株高可达2.2米以上，具有高产、抗倒伏、抗病虫害、酎淹涝等特点，被认为开启了水稻研制的一扇新门.以下是,A B 两组实验田中分别抽取的6株巨型稻的株高，数据如下（单位：米）.A ： 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 2.5B ： 1.8 1.9 2.0 2.0 2.4 2.5（1）绘制,A B 两组数据的茎叶图，并求出A 组数据的中位数和B 组数据的方差；（2）从A 组样本中随机抽取2株，请列出所有的基本事件，并求至少有一株超过B 组株高平均值的概率.20.已知函数()2212xxa a f x -+⋅=+.（1）当1a =时，判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2）讨论()f x 的零点个数.21.宁德被誉为“中国大黄鱼之乡”，海域面积4.46万平方公里，水产资源极为丰富.“宁德大黄鱼”作为福建宁德地理标志产品，同时也是宁德最具区域特色的海水养殖品种，全国80%以上的大黄鱼产自宁德，年产值超过60亿元.现有一养殖户为了解大黄鱼的生长状况，对其渔场中100万尾鱼的净重（单位：克）进行抽样检测，将抽样所得数据绘制成频率分布直方图如图.其中产品净重的范围是[]96,106，已知样本中产 品净重小于100克的有360尾.（1）计算样本中大黄鱼的数量；（2）假设样本平均值不低于101.3克的渔场为A 级渔场，否则为B 级渔场.那么要使得该渔场为A 级渔场，则样本中净重在[)96,98的大黄鱼最多有几尾？（3）为提升养殖效果，该养殖户进行低沉性配合饲料养殖，净重小于98克的每4万尾合用一个网箱，大于等于98克的每3万尾合用一个网箱.根据（2）中所求的最大值，估计该养殖户需要准备多少个网箱？22.设函数()()23f x x k x =-+在区间()0,+∞上的最小值为()g k . （1）求()g k ；（2）若()21g x mx ≥-+在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当0t ≤ 时，求满足()23log 20g x x tx t +++-≤的x 的取值范围.宁德市2017—2018学年度第一学期高一期末考试数学试题（A ）参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．A 10．D 11．C 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2314．2- 15．11.8 16．[0,4) 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）原式78528=-+-+…………………………………………………4分158=-…………………………………………………………5分 （注：“4分”处四个考点，错1个扣1分）（Ⅱ）由1030x x -≥⎧⎨-≥⎩得：13x x ≥⎧⎨≤⎩………………………………………………………6分{}13A x x ∴=≤≤……………………………………………………………………7分{}13U A x x x =<>或ð………………………………………………………………8分 由2log 1x <得：02x <<，{}02B x x ∴=<<……………………………………9分(){}01U A B x <x <=ðI…………………………………………………………10分18．(本题满分12分)（Ⅰ）由已知当2x =-时，()213f x a -=-=，……………………………………1分即24a -=， 12a ∴=……………………………………………………2分 ∴函数()f x 的解析式为()24,011,02xx x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，……………………3分 其图象如下：………………………………6分（注：形状同上图，且能准确描出（-1,1），（0,0），（2,4），（4,0）四点得3分，形状同上图，上述四点跑偏一点扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）所作图像，要使得函数()f x 在区间(),1m m +上是单调函数，须且只须10m +≤或012m m ≥⎧⎨+≤⎩或2m ≥，…………………………………………………9分所以1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥所以所求m 的取值范围是(,1][0,1][2,)-∞-+∞.……………………………12分 （注：由（Ⅰ）所作图像直接写出正确答案没有过程扣2分） 19．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）5 4 29 8 720 0 4 58 9 1 BA …………………………………………….2分A 组的中位数为1.92.22.052+=（m ）………………………………………………………3分 B 组数据的平均数为1(1.8 1.9 2.0 2.0 2.4 2.5) 2.16+++++=……………………………….4分22222221[(1.8 2.1)(1.9 2.1)(2.0 2.1)(2.0 2.1)(2.4 2.1)(2.5 2.1)]6=-+-+-+-+-+-s …….5分115=………………………………………………………..……………………………….6分 （Ⅱ）从A 组样本中随机抽取两株的基本事件是:(1.7,1.8),(1.7,1.9),(1.7,2.2),(1.7,2.4),(1.7,2.5),(1.8,1.9),(1.8,2.2),(1.8,2.4),(1.8,2.5),(1,9,2.2) (1.9,2.4),(1.9,2.5),(2.2,2.4),(2.2,2.5),(2.4,2.5)，共有15个…………………………….8分至少有一株超过2.1的事件有:(1.7,2.2),(1.7,2.4),(1.7,2.5),(1.8,2.2),(1.8,2.4),(1.8,2.5),(1,9,2.2),(1.9,2.4),(1.9,2.5),(2.2,2.4), (2.2,2.5),(2.4,2.5)，共有12种…………………………………………………………10分设P 为事件“从A 组样本中随机抽取两株, 至少有一株超过B 组株高的平均值”的概率则124P 155==………………………………………………………………………..……….12分 注：所列基本事件不全但正确的个数过半给1分. 解法二：（Ⅰ）同法一； （Ⅱ）从A 组样本中随机抽取两株的基本事件是:(1.7,1.8),(1.7,1.9),(1.7,2.2),(1.7,2.4),(1.7,2.5),(1.8,1.9),(1.8,2.2),(1.8,2.4),(1.8,2.5),(1,9,2.2) (1.9,2.4),(1.9,2.5),(2.2,2.4),(2.2,2.5),(2.4,2.5)，共有15个…………………………….8分两株都没有超过2.1的事件有:(1.7,1.8),(1.7,1.9),(1.8,1.9)，共有3种, ………………10分 设1P 为事件“从A 组样本中随机抽取两株, 均未超过B 组株高的平均值”的概率131P 155==…………………………………………………………………………..……….11分P为事件“从A组样本中随机抽取两株, 至少有一株超过B组株高的平均值”的概率则14P1P5=-=…………………………………………………………………..………….12分20．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）当1a=时，函数12()12xxf x-+=+，该函数为奇函数.……………1分证明如下:依题意得函数()f x的定义域为R，…………………………………………………2分又12()12xxf x---+-=+…………………………………………………………………3分2121xx-+=+…………………………………………………………………4分1212xx-+=-+()f x=-……………………………………………………………………5分所以，函数()f x为奇函数。
新人教A版高一上学期数学摸底试卷(四)A卷
新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （四）A 卷考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 已知集合{}42<<-=x x A ,集合()(){}016<+-=x x x B ,则=B A 【 】（A ）{}41<<x x （B ）{}64><x x x 或（C ）{}12<<-x x （D ）{}41<<-x x2. 已知全集=U R ,集合{}5,4,3,2,1,0=A ,{}2-==x y x B ,则图中阴影部分所表示的集合为 【 】（A ）{}1 （B ）{}1,0 （C ）{}2,1 （D ）{}2,1,03. 如果甲是乙的充要条件,丙是乙的充分不必要条件,那么 【 】（A ）丙是甲的充分不必要条件 （B ）丙是乙的必要不充分条件（C ）丙是甲的充要条件 （D ）丙是甲的既不充分也不必要条件4. 命题“[]3,1-∈∀x ,232+-x x ≤0”的否定为 【 】（A ）[]3,1-∈∃x ,0232>+-x x （B ）[]3,1-∉∀x ,0232>+-x x（C ）[]3,1-∈∀x ,0232>+-x x （D ）[]3,1-∉∃x ,0232>+-x x5. 若c b a ,,为实数,则下列命题错误的是 【 】（A ）若22bc ac >,则b a > （B ）若0<<b a ,则22b a <（C ）若0>>b a ,则b a 11< （D ）若0,0>><<d c b a ,则bd ac < 6. 设0,0>>b a ,且12=+b a ,则b a a a ++21 【 】 （A ）有最小值为4 （B ）有最小值为122+（C ）有最小值为314 （D ）无最小值 7. 若关于x 的不等式012<+-mx x 的解集为空集,则实数m 的取值范围为 【 】（A ）(][)+∞-∞-,22, （B ）()()+∞-∞-,22,（C ）[]2,2- （D ）()2,2-8. 我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h （单位: 米）与时间t （单位: 秒）之间的关系为()177.149.42++-=t t t h ,那么烟花冲出后再爆裂的最佳时刻距地面的高度约为 【 】（A ）26米 （B ）28米 （C ）30米 （D ）32米二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 若集合N M ⊆,则下列结论正确的是 【 】（A ）M N M = （B ）N N M =（C ）()N M N ⊆ （D ）()N N M ⊆10. 下列结论中,正确的有 【 】（A ）“92=x ”是“273-=x ”的必要不充分条件（B ）在△ABC 中,“222BC AC AB =+”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件（C ）若∈b a ,R ,则“022≠+b a ”是“b a ,不全为0”的充要条件（D ）一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件11. 若正实数b a ,满足1=+b a ,则下列说法正确的是 【 】（A ）ab 有最大值41 （B ）b a +有最大值2 （C ）b a 11+有最小值2 （D ）22b a +有最大值21 12. 已知关于x 的不等式a ≤43432+-x x ≤b ,下列结论正确的是 【 】 （A ）当1<<b a 时,不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集为∅ （B ）当4,1==b a 时,不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集为{}40≤≤x x （C ）不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集恰好为{}b x a x ≤≤,那么34=b （D ）不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集恰好为{}b x a x ≤≤,那么4=-a b 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 满足关系式{}{}4,3,2,13,2⊆⊆A 的集合A 的个数是__________.14. “2-≠+y x ”是“y x ,不都为1-”的_____________条件.15. 设1,0>>b a ,若2=+b a ,则119-+b a 的最小值为__________. 16. 若一元二次不等式02<+-b ax ax 的解集为()1,+m m ,则实数=b __________.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在“①∅=A ,②A 恰有两个子集,③∅≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21 A ”这三个条件中任选一个,补充在下列横线上,求解下列问题. 已知集合{}0122=+-=x mx x A .（1）若A ∉1,求实数m 的取值范围;（2）若集合A 满足__________,求实数m 的取值范围.已知221:>-+x x p ,05:2>+-ax x q . （1）若p ⌝为真,求x 的取值范围;（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知∈x R ,0>y ,xy y x 2=+.（1）若0>x ,求证:xy ≥1;（2）若0≠x ,求xy x 2+的最小值.某企业采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为80000200212+-=x x y ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?（2）该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?21.（本题满分12分）已知关于x 的不等式22a a x x -+-≤0.（1）求不等式的解集A ;（2）若21>a ,()1,1-⊆A ,求实数a 的取值范围.已知函数()42++=mx x x f .（1）求函数在区间[]2,1上的最大值;（2）当∈x []2,1时,0<y 恒成立,求实数m 的取值范围.。
2020-2021高一数学上期末模拟试卷(含答案)(4)
2020-2021高一数学上期末模拟试卷(含答案)(4)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称4．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011 D ．20227．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,29．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+10．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.14．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15．若函数cos ()2||x f x x x =++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 16．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．17．对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____． 18．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 19．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________．20．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.三、解答题21．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .22．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在(0,45)单调递减,在(45,)+∞单调递增. 23．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．24．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．25．已知．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围．26．已知函数2()1f x x x m =-+.（1）若()f x 在x 轴正半轴上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围； （2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 4．D解析：D 【解析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数,1 ()42,12xa xf x axx⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.5．B解析：B【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x∈Q时，()=(1)f x x x-，(+1)=()f x2f x，()2(1)f x f x∴=-，即()f x右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x<≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x---，令84(2)(3)9x x--=-，整理得：2945560x x-+=，1278(37)(38)0,,33x x x x∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．8．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.10．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2．故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B二、填空题13．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,， 当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.14．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析：10 【解析】 【分析】 由cos ()2||xf x x x=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案.【详解】 由cos ()2||xf x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--，所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+，所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.16．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．17．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知：由于函数在R 上封闭故有解得：所以解析：6 【解析】 【分析】利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】44()()11x xf x f x x x--=-==-+-+，则函数()f x 在R 上为奇函数设120x x ≤<，4()1xf x x=-+ ()()()2112121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-+=>++++，即12()()f x f x >结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数，并且(0)0f = 由题意可知：0,0a b <>由于函数()f x 在R 上封闭，故有4141()()a bab f a b f b aa b-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ，解得：3,3a b =-=所以6b a -= 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.18．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考解析：4 【解析】 【分析】 设()2sin 1xg x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数， 设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -， 又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-， ∴max min 224y y M M +=++-=， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.19．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意 解析：【解析】由题意得或，解得实数的取值范围为点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.20．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 三、解答题21．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,2221,228t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.22．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天.【解析】 【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ；（2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案. 【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+,当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈.设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x+==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少. 【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.23．（1）()3,1.-（2）1-±3）2【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值． 【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.- （2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x ,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得13x =-±,∵13(-3,1)-±∈,∴函数()f x 的零点是13-±（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦,∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦,∴()min log 44a f x ==-, ∴14242a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键． 24．（1）（2）【解析】 试题分析：（1）当时，利用分式不等式的解法，求得；（2）根据一元二次不等式的求解方法，解得，由于，故.，则.试题解析：（1）当时， 原不等式为：集合（2）易知：，；由，则，∴的取值范围为25．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得.试题解析：（1）由函数的定义域为可得:不等式的解集为，∴解得，∴所求的取值范围是（2）由函数在区间上是递增的得： 区间上是递减的， 且在区间上恒成立；则，解得26．（1）2m >；（2）22m < 【解析】 【分析】（1）首先>0∆，保证有两个不等实根，又121=x x ，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；（2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，转化为2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 ,只要求得2x x +在[1,2]上的最小值即可． 【详解】（1）由题知210x mx -+=有两个不等正根，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，∴2m >；（2）211x mx -+>-恒成立即22mx x <+恒成立， 又[1,2]x ∈，故2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 , 又2y x x=+在[1,2]x ∈上的值域为[22,3] , 故22m < 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．。
2020-2021高一数学上期末第一次模拟试题(带答案)(4)
2020-2021高一数学上期末第一次模拟试题(带答案)(4)一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．若x 0＝cosx 0，则（ ）A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 4．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．22，2 C ．14，2 D ．14，4 5．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．66．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}8．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,211．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．14．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________15．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.16．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．17．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.18．已知函数222y x x -=+，[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10，则m =________.19．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.20．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.23．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .24．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 25．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.26．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，0.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，0.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．5．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.6．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．7．D解析：D 【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.12．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 14．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】 【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=≠，则11x t =-，所以()1131f t t =--，所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.15．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f （x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可解析：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．16．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】 【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．17．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】 【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解. 【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦， 当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞， 此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+ 当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同， 故a 的取值范围为(]0,1. 故答案为:(]0,1. 【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.18．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：4【点睛】此题考查二次解析：4 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解. 【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =， 函数在(),1x ∈-∞递减，在[)1,x ∈+∞递增， 且当1x =时，函数()f x 取得最小值1，又因为当1x =-时，5y =，所以当x m =时，10y =，且1m >-， 解得4m =或2-（舍），故4m =. 故答案为：4 【点睛】此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】 【分析】将已知等式8(9)aaa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解. 【详解】8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.20．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析：【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得：,求解函数的值域可得，则，结合新定义的运算可知：，表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21xx kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x gx f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++成立，所以()()22log 21log 212xxkx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22xkx -=，所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-.22．（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化． 【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去；若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根，由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==；（3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==，设2lg 1lg my x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21my t t=+-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421mt t≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，所以[2,)m ∈+∞．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．23．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论. 【详解】 (1)()32f =-Q ,()12log 1032a ∴-=-,即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,()g x Q 在[]3,4上为增函数,()31min2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭,178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.24．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-，所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．25．（1）4,2a b ==（2）21log 2x +=（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】 【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可 （2）令()0f x =得421x x -=，即()22210xx --=，然后解出即可（3）()42xxg x =-，令2x t =，转化为二次函数 【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42xxf x =-，令()0f x =得421xx -=，即()22210x x --=，解得122x =，又120,22x x >∴=，解得21log 2x =； （3）由（1）知()42xxg x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈， 26．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式； （2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论. 【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++-=28012000t t -++ =()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600． 当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+=213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =， 所以 当020t ≤≤时，()h t 是增函数， 所以 当20t =时，()h t 有最大值为13200. 因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟． 【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．。
2020-2021高一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)(4)
2020-2021高一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)(4)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．设23a log =，b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．78．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．202210．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝x11．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．通过研究函数()4221021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()221f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.(1)求a 的值； (2)若不等式()24x xf m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 22．已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. （1）求该函数的定义域；（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 23．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 24．义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <； （2）若不等式()()()222221240f aa x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 25．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,3b =,23c e = 令()2f x log x =,()g x x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.5．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行6．B解析：B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．D解析：D【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误； 本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．3【解析】【分析】令（为奇数）作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示：由图象可知与的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的解析：3 【解析】 【分析】令()2n s x x =（n 为奇数，3n >），()21021h x x x =-++，作出()s x 、()h x 两个函数的图象后可判断()g x 零点的个数. 【详解】由题意，令()*2,,5n s x x n N n =∈≥，()21021h x x x =-++，则()()()g x s x h x =-，()g x 零点的个数就是()(),s x h x 图象交点的个数，如图所示：由图象可知，()s x 与()h x 的图象在第一象限有一个交点，在第三象限有一个交点， 因为当n 为正奇数时()2ns x x =的变化速度远大于()h x 的变化速度，故在第三象限内，()s x 、()h x 的图象还有一个交点，故()(),s x h x 图象交点的个数为3，所以()g x 零点的个数为3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．16．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论． 【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤， 由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤． 故答案为：[2015,2019]． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．17．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题4 ⎥⎝⎦【解析】 【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.4⎥⎝⎦【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.18．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx xt e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t -≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-．综上，256a ≥-．故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．19．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<<【解析】 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】 【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．(1)1；(2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(3)1k >-.【解析】 【分析】（1）由题得()f x 的图像关于1x =对称，所以1a =；（2）令2x t =，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立，再求函数的最值得解；（3）令2log (0)t x t =≥，可得11t =或21t k =+，分析即得解.【详解】(1)∵()()2f x f x =-，∴()f x 的图像关于1x =对称，∴1a =.(2)令2(2)xt t =≥，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立.∴2min 1114m t ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭，∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3)令2log (0)t x t =≥，则()y g x =可化为()()()22111y t k t k t t k =-+++=---，由()()110t t k ---=可得11t =或21t k =+，∵()y g x =有4个零点，121=|log |t x =有两个解， ∴221=|log |t k x =+有两个零点，∴10,1k k +>∴>-. 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性的应用，考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．（1）(1,3)- （2）12x x m +> 【解析】 【分析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.【详解】（1）依题意可知301310x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故该函数的定义域为(1,3)-；（2）2222()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=， ∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>． 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题. 23．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-. 【解析】 【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=，所以设1a = 所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.24．(1)答案见解析；(2)0a <或1a >. 【解析】 试题分析：(1)利用赋值法计算可得()()02,14f f =--=-，设1x <，则21x ->， 利用()22f =拆项：()()22f f x x =-+即可证得：当1x <时，()0f x <； (2)结合(1)的结论可证得()f x 是增函数，据此脱去f 符号，原问题转化为()()2222122a a x a x ----+<-在[]1,3上恒成立，分离参数有：222234x x a a x x+-->-恒成立，结合基本不等式的结论可得实数a 的取值范围是0a <或1a >. 试题解析： (1)令，得，令， 得，令，得，设，则，因为,所以;(2)设，,因为所以，所以为增函数,所以,即,上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或. 25．（1）（2）【解析】 试题分析：（1）当时，利用分式不等式的解法，求得；（2）根据一元二次不等式的求解方法，解得，由于，故.，则.试题解析：（1）当时， 原不等式为：集合（2）易知：，；由，则，∴的取值范围为26．（1）12k =-（2）(]9,log 2-∞ 【解析】 【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91xa x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈ 是偶函数.∴()()f x f x -=, ∴()()99log 91log 91xx kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x xxx kx x --+-=+-+==+,∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912xf x x =+-, 不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91xg x x =+-,(],0x ∈-∞,则()()()99991log 91log log 199x xx xx g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==, ∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞. 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。
2020-2021高一数学上期末模拟试卷(及答案)(4)
2020-2021高一数学上期末模拟试卷(及答案)(4)一、选择题1．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞3．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>5．若函数()2log ,?0,?0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．eC ．21eD ．2e6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >8．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根9．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x =C ．||2x y =D ．cos y x =11．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 12．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.15．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 16．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．17．已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑nin i xx x x L ，则1ni i x ==∑__________．18．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()f x -=________19．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.20．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数； （2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„其中01m <„.（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；（Ⅱ）当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围.23．已知集合，，.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.24．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 25．已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ） （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.26．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.10x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩， 因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.6．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.8．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()loga g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A11．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．12．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．二、填空题13．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或解析：12或32 【解析】 【分析】 【详解】若01a <<，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又01a <<，故12a =．若1a >，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又1a >，故32a =． 答案：12或3214．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．15．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论． 【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤， 由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤． 故答案为：[2015,2019]． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．16．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本 解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故填：[]0,1.点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.17．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.18．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】 【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.20．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数 解析：()()9,00,3-⋃【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，对参数a 分类讨论. 【详解】()()22f x x x a x a =+--，转化为分段函数： ()222232,2,x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题，不妨设：()2232h x x ax a =-+，其对称轴为3a x =； ()222g x x ax a =+-，其对称轴为x a =-.①当0a >时， 因为()h x 的对称轴3ax =显然不在[]3,0-，则 只需()g x 的对称轴位于该区间，即()3,0a -∈-，解得：()0,3a ∈，满足题意. ②当0a =时，()223,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，此时函数在区间[]3,0-是单调函数，不满足题意. ③当0a <时，因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0- 只需()h x 的对称轴位于该区间即可，即()3,03a∈- 解得：()9,0a ∈-，满足题意. 综上所述：()()9,00,3a ∈-⋃. 故答案为：()()9,00,3-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论.三、解答题21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=-⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<. 所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩… 令()20y f x =-=，得()2f x =， 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=，得10x =或110， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）.所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，110，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.由题易知()0f x >恒成立.所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根.②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =， 要使得两根都满足题意，则有1100m <. 又01m <„，所以10100m <„. 所以实数m 的取值范围为10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.23．(1) 或；(2) .【解析】 试题分析：(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：的值为或. (2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得 .试题解析： （1）若，则，∴. 若，则，，∴.综上，的值为或. （2）∵，∴∴. 24．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值. 【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭.()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+，()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题. 25．（1）1k =（2）30a -≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案. 【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =.当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数.（2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*）在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减；所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立， 即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立. 令()24g x x ax =+-，因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.26．（1）()3,1.-（2）1-±3）2【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值． 【详解】 （1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.-（2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得1x =-±∵1(-3,1)-,∴函数()f x 的零点是1-（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦,∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦,∴()min log 44a f x ==-,∴1442a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．。
高一上册数学期末模拟卷(四)原卷
高一上册数学期末模拟卷Ⅱ本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合{}25A x x =<≤，{}04B x x =<≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}05x x <≤B ．{}24x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}25x x <≤2．已知sin 2cos αα=，则sin 2α=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．453．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．3log y x =B ．32y x x =+C ．x y e =D ．3y x -=4．已知220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），则k m +的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．25．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距θ（0180θ︒≤≤︒）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的天顶距分别为α和β，若第一次“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 5αβ-=，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍 A ．73 B ．74 C ．43 D ．346．命题“[]1,2x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．3a ≤D ．4a ≤7．已知函数2()3f x ax x =+-，若对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且()()121212,3f x f x x x x x -≠<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞ 8．已知函数，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1mB ．m ≥1C ．1m <D ．m ≤1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新人教A版高一上学期数学摸底试卷(四)A卷解析版
新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （四）A 卷 解 析 版考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 已知集合{}42<<-=x x A ,集合()(){}016<+-=x x x B ,则=B A 【 】（A ）{}41<<x x （B ）{}64><x x x 或（C ）{}12<<-x x （D ）{}41<<-x x答案 【 D 】解析 本题考查集合的基本运算——交集.解不等式()()016<+-x x 得:61<<-x . ∴{}61<<-=x x B . ∴{}41<<-=x x B A .∴选择答案【 D 】.2. 已知全集=U R ,集合{}5,4,3,2,1,0=A ,{}2-==x y x B ,则图中阴影部分所表示的集合为 【 】（A ）{}1 （B ）{}1,0 （C ）{}2,1 （D ）{}2,1,0答案 【 B 】解析 本题考查集合的基本运算——交集和补集.图中阴影部分表示的集合为 A （C U B ）.集合B 表示的是函数2-=x y 的定义域,∴{}2≥=x x B . ∴C U B {}2<=x x .∴ A （C U B ）{}1,0=,即图中阴影部分表示的集合为{}1,0.∴选择答案【 B 】.3. 如果甲是乙的充要条件,丙是乙的充分不必要条件,那么 【 】（A ）丙是甲的充分不必要条件 （B ）丙是乙的必要不充分条件（C ）丙是甲的充要条件 （D ）丙是甲的既不充分也不必要条件答案 【 A 】解析 本题考查充分必要条件的判断.4. 命题“[]3,1-∈∀x ,232+-x x ≤0”的否定为 【 】（A ）[]3,1-∈∃x ,0232>+-x x （B ）[]3,1-∉∀x ,0232>+-x x（C ）[]3,1-∈∀x ,0232>+-x x （D ）[]3,1-∉∃x ,0232>+-x x答案 【 A 】解析 本题考查含有一个量词的命题的否定.对含有一个量词的命题进行否定的方法是:改变量词,否定结论.命题: []3,1-∈∀x ,232+-x x ≤0.该命题的否定: []3,1-∈∃x ,0232>+-x x .∴选择答案【 A 】.5. 若c b a ,,为实数,则下列命题错误的是 【 】（A ）若22bc ac >,则b a > （B ）若0<<b a ,则22b a <（C ）若0>>b a ,则ba 11< （D ）若0,0>><<d cb a ,则bd ac < 答案 【 B 】解析 本题考查不等式的基本性质.对于（A ）,正确;对于（B ）,∵0<<b a ,∴()()022>-+=-b a b a b a ,∴22b a >.故（B ）错误;对于（C ）,根据不等式性质的倒数法则, 若0>>b a ,则ba 11<.故（C ）正确; 不等式性质的拓展 倒数法则 （1）ba b a 110<⇒>>; （2）ba b a 110<⇒>>. 即b a ab b a 110,<⇒>>. 对于（D ）,∵0<<b a ,∴0>->-b a ,∵0>>d c ,根据不等式性质的同向同正可乘性,∴有0>->-bd ac ,∴bd ac <.故（D ）正确.∴选择答案【 B 】.6. 设0,0>>b a ,且12=+b a ,则ba a a ++21 【 】 （A ）有最小值为4 （B ）有最小值为122+（C ）有最小值为314 （D ）无最小值 答案 【 B 】解析 本题考查利用基本不等式求最值.∵12=+b a ,∴a b 21-=. ∵0,0>>b a ,∴210<<a . ∴()212112121121212121--+=-+--+=-+=-++=++a a a a a a a a a a a a b a a a ()[]111221211+-+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=a a a a a a a a ≥12211122+=+-⋅-a a a a . 当且仅当aa a a -=-112,即223,12-=-=b a 时,等号成立. ∴b a a a ++21有最小值,最小值为122+. ∴选择答案【 B 】.7. 若关于x 的不等式012<+-mx x 的解集为空集,则实数m 的取值范围为 【 】（A ）(][)+∞-∞-,22, （B ）()()+∞-∞-,22,（C ）[]2,2- （D ）()2,2-答案 【 C 】解析 本题考查与一元二次不等式有关的恒成立问题.由题意可知:()4422-=--=∆m m ≤0.解之得:2-≤m ≤2.∴实数m 的取值范围为[]2,2-.∴选择答案【 C 】.8. 我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h （单位: 米）与时间t （单位: 秒）之间的关系为()177.149.42++-=t t t h ,那么烟花冲出后再爆裂的最佳时刻距地面的高度约为 【 】（A ）26米 （B ）28米 （C ）30米 （D ）32米答案 【 B 】解析 本题考查二次函数的应用.∵()025.28239.4177.149.422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=t t t t h ∴当23=t s 时,()28025.28max ≈=t h （米）. ∴选择答案【 B 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 若集合N M ⊆,则下列结论正确的是 【 】（A ）M N M = （B ）N N M =（C ）()N M N ⊆ （D ）()N N M ⊆答案 【 ABD 】解析 本题考查交集、并集的性质.∵N M ⊆∴M N M = ,N N M = ,()N N M ⊆ （任何一个集合都是它本身的子集）.∴选择答案【 ABD 】.10. 下列结论中,正确的有 【 】（A ）“92=x ”是“273-=x ”的必要不充分条件（B ）在△ABC 中,“222BC AC AB =+”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件（C ）若∈b a ,R ,则“022≠+b a ”是“b a ,不全为0”的充要条件（D ）一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件答案 【 AC 】解析 本题考查充分必要条件的判断.对于（A ）,由“92=x ”不可以推出“92=x ”,但是由“92=x ”可以推出“92=x ”,所以“92=x ”是“273-=x ”的必要不充分条件.故（A ）正确;对于（B ）,在△ABC 中,由“222BC AC AB =+”可以推出“△ABC 为直角三角形”,但是由“△ABC 为直角三角形”不能推出“222BC AC AB =+”,所以“222BC AC AB =+”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件.故（B ）错误;对于（C ）,正确;对于（D ）,一个四边形是正方形,则它一定是菱形,但是一个四边形是菱形,它不一定是正方形,所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分条件.故（D ）错误.∴选择答案【 AC 】.11. 若正实数b a ,满足1=+b a ,则下列说法正确的是 【 】（A ）ab 有最大值41 （B ）b a +有最大值2 （C ）b a 11+有最小值2 （D ）22b a +有最大值21 答案 【 AB 】解析 本题考查基本不等式的应用.对于（A ）,∵b a ,为正实数,1=+b a ,∴ab ≤4122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当21==b a 时,等号成立.∴ab 有最大值41.故（A ）正确; 对于（B ）,∵()ab ab b a b a 2122+=++=+≤24121=+,∴b a +<0≤2.当且仅当21==b a 时,等号成立.∴b a +有最大值2,故（B ）正确;对于（C ）,∵ab ab b a b a 111=+=+≥4411=,当且仅当21==b a 时,等号成立.∴ba 11+有最小值4.故（C ）错误;对于（D ）,∵222b a +≥4122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,∴22b a +≥21,当且仅当21==b a 时,等号成立.∴22b a +有最小值21.故（D ）错误. ∴选择答案【 AB 】. 12. 已知关于x 的不等式a ≤43432+-x x ≤b ,下列结论正确的是 【 】 （A ）当1<<b a 时,不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集为∅ （B ）当4,1==b a 时,不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集为{}40≤≤x x （C ）不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集恰好为{}b x a x ≤≤,那么34=b （D ）不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集恰好为{}b x a x ≤≤,那么4=-a b 答案 【 ABD 】解析 本题考查三个“二次”之间的关系,注意数形结合思想方法的应用.设()43432+-=x x x f ,则()()12432+-=x x f . ∴当2=x 时,()1min =x f ,()[)+∞∈,1x f .对于（A ）,由上面可知,不等式a ≤43432+-x x 的解集为R ,不等式43432+-x x ≤b 的解集为∅,所以不等式a ≤43432+-x x ≤b 的解集为∅.故（A ）正确; 对于（B ）,当4,1==b a 时,1≤43432+-x x ≤4,解之得:0≤x ≤4.故（B ）正确; 对于（C ）,错误;对于（D ）,正确.∴选择答案【 ABD 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 满足关系式{}{}4,3,2,13,2⊆⊆A 的集合A 的个数是__________.解析 本题考查集合之间的基本关系.重要结论:对于有限集A , B , C ,设集合A 中含有n 个元素,集合B 中含有m 个元素()n m N m n <∈且*,,.①若A C B ⊆⊆,则C 的个数为m n -2;②若A C B ≠⊂⊆,则C 的个数为12--m n ;③若A C B ⊆≠⊂,则C 的个数为12--m n ;④若C B ≠⊂A ≠⊂,则C 的个数为22--m n .集合A 的个数为422224==-.14. “2-≠+y x ”是“y x ,不都为1-”的_____________条件.答案 充分不必要解析 本题考查充分必要条件的判断.方法总结 判断充分必要条件的基本思路（1）先确定条件是什么,结论是什么;（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件;（必要时举出反例）（3）指出条件是结论的什么条件.显然,由“2-≠+y x ”可以推出“y x ,不都为1-”.当3,1-==y x 时,2-=+y x ,所以由“y x ,不都为1-”不能推出“2-≠+y x ”.因此, “2-≠+y x ”是“y x ,不都为1-”充分不必要条件. 另解 设命题2:-≠+y x p ,:q y x ,不都为1-,则:2:-=+⌝y x p ,1,1:-=-=⌝y x q .显然,由p ⌝可以推出q ⌝,但由q ⌝不能推出p ⌝（如3,1-==y x ）.∴q ⌝是p ⌝的充分不必要条件.∴p 是q 的充分不必要条件.即“2-≠+y x ”是“y x ,不都为1-”的充分不必要条件.15. 设1,0>>b a ,若2=+b a ,则119-+b a 的最小值为__________.解析 本题考查利用基本不等式求最值.∵1,0>>b a ,2=+b a∴a b -=2,10<<a . ∴()[]()a a a a a a a a a a a a b a -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=--+=-+1191011911191219119 ≥()16119210=-⋅-+a a a a . 当且仅当()a a a a -=-119,即45,43==b a 时,等号成立. ∴119-+b a 的最小值为16. 16. 若一元二次不等式02<+-b ax ax 的解集为()1,+m m ,则实数=b __________. 答案 0解析 本题考查一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的关系.一元二次不等式解集的结构（形式）与二次项系数的符号有关,解集的端点值是对应一元二次方程的实数根. ∵不等式02<+-b ax ax 的解集为()1,+m m∴0>a ,方程02=+-b ax ax 的两个实数根分别为1,+m m .由根与系数的关系定理可得:11=--=++a a m m ,解之得:0=m . ∴010=⨯=ab ,解之得:0=b . 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在“①∅=A ,②A 恰有两个子集,③∅≠⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 A ”这三个条件中任选一个,补充在下列横线上,求解下列问题.已知集合{}0122=+-=x mx x A .（1）若A ∉1,求实数m 的取值范围;（2）若集合A 满足__________,求实数m 的取值范围.解:（1）若A ∈1,则012=+-m ,解之得:1=m .∵A ∉1∴实数m 的取值范围是{}1≠m m ;（2）若选①:∅=A .当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,不符合题意; 当0≠m 时,则有:()0422<--=∆m ,解之得:1>m .综上所述,实数m 的取值范围是()+∞,1.若选②: A 恰有两个子集.∵A 恰有两个子集∴集合A 中只有一个元素.当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,符合题意; 当0≠m 时,则有:()0422=--=∆m ,解之得:1=m .综上所述,实数m 的取值集合为{}1,0.若选③:∅≠⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 A . ∵∅≠⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 A ∴关于x 的方程0122=+-x mx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内有解,显然,0≠m . （当0=m 时,∅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2,2121 A ,不符合题意） 问题等价于当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,21x 时,求函数1111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=x x x m 的值域. ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,21x ,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,211x . ∴(]1,0∈m .∴实数m 的取值范围为(]1,0.另解分析 我们也可以采用“正难则反”的解题策略,来求解选择③时实数m 的取值范围. 若∅=⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 A : 当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,符合题意; 当0≠m 时,若∅=A ,则044<-=∆m ,解之得:1>m ;若∅≠A ,则方程0122=+-x mx 的两个实数根均小于21或大于2.设()122+-=x mx x f ,其图象的对称轴为直线m m x 122=--=,方程0122=+-x mx 的两个实数根分别为21,x x .当方程0122=+-x mx 的两个实数根均小于21,则有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-=∆02121021210442121x x x x m ,即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=++-<-=-+≤04111412101211212121m m x x x x m x x m ,解之得:0<m ; 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=∆211041210442m m mf m ,解之得: 0<m ;当方程0122=+-x mx 的两个实数根均大于2时,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥-=∆0220220442121x x x x m ,即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=++->-=-+≤04414204241212121mm x x x x m x x m ,解之得:无解. 或()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-=≥-=∆210342044mm m mf m ,解之得:无解.综上所述,当∅=⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 A 时,实数m 的取值范围为(]()+∞∞-,10, . ∵∅≠⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 A ∴实数m 的取值范围为(]1,0.重要结论 若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根21,x x 均小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0002121k x k x k x k x , 或()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆k ab k af 200. 若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根21,x x 均小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0002121k x k x k x k x , 或()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆k ab k af 200. 另解分析 我们也可以从一元二次方程的跟的分布的角度理解问题.∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A 说明方程0122=+-x mx 的两个根都在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内,或只有一个根在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内.需要用到下面重要的结论.（1）若一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根均在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆2121200k ab k k f k f . （2）若一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f ,或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k abk . 注意:要验证端点值:()01=k f ,()02=k f .另解 设()122+-=x mx x f ,其图象的对称轴为直线mm x 122=--=. 当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,不符合题意; 当0≠m 时,若方程0122=+-x mx 的两个根都在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>-=>=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=∆21210342041210442mm m mf m mf m ,解之得:m <43≤1. 若方程0122=+-x mx 只有一个根在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内,则有:()()03441221<-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛m m f f 或⎪⎩⎪⎨⎧<<=∆21210m . 解之得:430<<m 或1=m .令04121==⎪⎭⎫ ⎝⎛m f ,解之得0=m （舍去）;令()0342=-=m f ,解之得:43=m ,把43=m 代入方程可得:04832=+-x x ,解之得:⎪⎭⎫ ⎝⎛∉=2,2121x ,⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,21322x ,符合题意.综上所述,实数m 的取值范围为(]1,0. 巩固练已知方程()0112=+-+x m x .（1）若方程在区间[]2,0上有两个解,求实数m 的取值范围; （2）若方程在区间[]2,0上只有一个解,求实数m 的取值范围; （3）若方程在区间[]2,0上有解,求实数m 的取值范围. 解:（1） ∵方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有两个解∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--<≥-+=>=>--=∆2210012420100412m m f f m ,解之得:23-≤1-<m .∴实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23;（2）∵方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上只有一个解∴()()()[]0124120<-+⨯=⋅m f f 或()⎪⎩⎪⎨⎧<--<=--=∆22100412m m 解之得:23-<m 或1-=m . 令()()01242=-+=m f ,解之得:23-=m ,此时方程在区间[]2,0上有两个解,不符合题意. 综上所述,实数m 的取值范围为{}123,-⎪⎭⎫⎝⎛-∞- ;（3）由（1）、（2）可知,若方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有解则实数m 的取值范围为{}(]1,123,1,23-∞-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-⎪⎭⎫⎢⎣⎡-- . 另解 方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有解 即方程12-+-=x x mx 在区间[]2,0上有解当0=x 时,01=-,显然不成立,舍去（即不存在实数m ,使方程的解为0）. 当0≠x 时,问题等价于当(]2,0∈x 时,求函数11+--=xx m 的值域. ∵1111+⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=x x x x m ≤112112-=+-=+⋅-x x当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴m 的最大值为1-,无最小值.∴m ≤1-,即实数m 的取值范围为(]1,-∞-. 18.（本题满分12分） 已知221:>-+x x p ,05:2>+-ax x q . （1）若p ⌝为真,求x 的取值范围;（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解:（1）若p ⌝为真,则21-+x x ≤2成立,即25--x x ≥0. 解之得:x ≥5或x ≤2.∴x 的取值范围为(][)+∞∞-,52, ;（2）解不等式221:>-+x x p 得:52<<x . ∵q ⌝是p ⌝的充分不必要条件 ∴p 是q 的充分不必要条件.∴()5,2∈∀x ,052>+-ax x 恒成立,即x x a 5+<恒成立,只需min5⎪⎭⎫⎝⎛+<x x a 即可. ∵x x 5+≥5252=⋅x x ,当且仅当xx 5=,即5=x 时,等号成立.∴525min =⎪⎭⎫⎝⎛+x x .∴52<a ,即实数a 的取值范围是()52,∞-. 另解 解不等式221:>-+x x p 得:52<<x . ∵q ⌝是p ⌝的充分不必要条件 ∴p 是q 的充分不必要条件.设{}52<<=x x A ,{}052>+-=ax x x B ,则B A ≠⊂. 当0202<-=∆a ,即5252<<-a 时,=B R ,符合题意;当0202=-=∆a ,即52-=a 时,{}5≠=x x B ,符合题意（52=a 不符合题意,舍去）;当0202>-=∆a 时,解不等式052>+-ax x 得:2202-+>a a x 或2202--<a a x .则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>-222002022a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-522002022a a a , 即Ⅰ:()⎪⎩⎪⎨⎧-≤->->2224200420a a a a 或Ⅱ:()⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->201001020222a a a a解Ⅰ得:52-<a ; 解Ⅱ得:无解.综上所述,实数a 的取值范围是()52,∞-. 19.（本题满分12分） 已知∈x R ,0>y ,xy y x 2=+.（1）若0>x ,求证:xy ≥1; （2）若0≠x ,求xyx 2+的最小值. （1）证明:∵0>x ,0>y ,xy y x 2=+ ∴xy 2≥xy 2∴xy ≥1,当且仅当1==y x 时,等号成立; （2）解:∵xy y x 2=+,∴211=+yx . ∴x y y x x x x y x y x x y x 222211212++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥222222+=⋅+x x x y y x x x ≥23. 当且仅当x y y x 22=,0<x ,即41,21=-=y x 时,两个同时等号成立. ∴x y x 2+的最小值为23. 20.（本题满分12分）某企业采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为80000200212+-=x x y ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?（2）该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解:（1）设每吨的平均处理成本为P 元,则有:20080000280000200212-+=+-==xx x x x x y P ,[]600,400∈x .∴P ≥2002004002008000022=-=-⋅x x （元）. 当且仅当xx 800002=,即400=x 时,等号成立.∴当400=x 时,才能使每吨的平均处理成本最低.答:该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低;分析 若设该单位每月的利润为Q （元）,则当[]600,400∈x ,0>Q 有解时,该单位每月能获利.（2）设该单位每月的利润为Q （元）,则有:8000030021800002002110022-+-=-+-=x x x x x Q . ∴()35000300212---=x Q .∵[]600,400∈x ,且函数()x Q 在[]600,400上单调递减 ∴当400=x 时,()40000max -=x Q .∴该单位每月不能获利,国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 21.（本题满分12分）已知关于x 的不等式22a a x x -+-≤0. （1）求不等式的解集A ; （2）若21>a ,()1,1-⊆A ,求实数a 的取值范围. 解:（1）令022=-+-a a x x ,则有()()22112211241122a a a a x -±=-±=--±=.∴a ax a a x =+-=-=-+=2211,1221121. ∴不等式22a a x x -+-≤0可化为()()[]a x a x ---1≤0. 当a a ->1,即21>a 时,原不等式的解集{}a x a x A ≤≤-=1; 当a a -=1,即21=a 时,221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≤0,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ; 当a a -<1,即21<a 时,原不等式的解集为{}a x a x A -≤≤=1. 综上所述,当21>a 时,[]a a A ,1-=;当21=a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ;当21<a 时,[]a a A -=1,. （2）∵21>a ,∴[]a a A ,1-=.∵()1,1-⊆A ,∴⎩⎨⎧<->-111a a ,解之得:1<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,21.22.（本题满分12分） 已知函数()42++=mx x x f . （1）求函数在区间[]2,1上的最大值;（2）当∈x []2,1时,0<y 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:（1）∵()42++=mx x x f∴函数()x f 图象的开口向上,对称轴为直线2m x -=. 当2m -≥23221=+,即m ≤3-时,()()51max +==m f x f ; 当2m -23221=+<,即3->m 时,()()822max +==m f x f .∴()(]()⎩⎨⎧+∞-∈+-∞-∈+=,3,823,,5max m m m m x f ;（2）∵∈x []2,1时,0<y 恒成立 ∴∈x []2,1时,xx m 4--<恒成立. 设()xx x g 4--=,只需<m ()min x g 即可. ∵函数()x g 在[]2,1上单调递增 ∴()()51411min -=--==g x g . ∴5-<m .∴实数m 的取值范围为()5,-∞-.另解 由（1）可知:()(]()⎩⎨⎧+∞-∈+-∞-∈+=,3,823,,5max m m m m x f ∵当∈x []2,1时,0<y 恒成立 ∴只需()0max <=x f y 即可.当m ≤3-时,()05max <+=m x f ,解之得:5-<m ;当3->m 时,()082max <+=m x f ,解之得:4-<m ,显然不符合题意.综上所述,实数m 的取值范围为()5,-∞-.另解 ∈x []2,1时,0<y 恒成立,只需在区间[]2,1上的最大值()0max <=x f y 即可.∴()()⎩⎨⎧<+=<+=0822051m f m f ,解之得: 5-<m .∴实数m 的取值范围为()5,-∞-. 重要结论 设()()02≠++=a c bx ax x f .当0>a 时,()0<x f 在区间[]βα,上恒成立,则有()()⎩⎨⎧<<00βαf f .（说明 当0>a 时,()0<x f 在区间[]βα,上恒成立,只需()0max <x f 即可.而()max x f 在闭区间[]βα,的端点处取得）。
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高2008第一学期期末数学模拟试卷（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、由实数)1,0(log ,,,2≠>-a a a x x x x a 所组成的集合中，元素的个数为（ ）
A 、1个或2个
B 、1个或3个
C 、2个或3个
D 、1个，2个或3个
2、设全集}7,5{|},6|,1{},7,5,3,1{=-==A C a A U U ，则a 的值为（ ）
A 、3
B 、9
C 、3-
D 、3或9
3、"1log "2<x 是"2"<x 的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
4、已知33,22,++x x x 是一个等比数列的前三项，则第四项是（ ）
A 、 27-
B 、5.13-
C 、13.5
D 、12
5、数列 ,924,715,58,1-
-的一个通项公式是（ ） A 、12)1(2++-=n n n a n n B 、1
2)1(2-+-=n n n a n n C 、122)1(2-+-=n n n a n
n D 、122)1(2++-=n n n a n n 6、设)(1x f
-是函数x x f =)(的反函数，则以下不等式中恒成立的是（ ） A 、12)(1-≤-x x f
B 、)1(4)(1-≥-x x f
C 、12)(1
+≤-x x f D 、)1(4)(1+≥-x x f 7、已知⎩
⎨⎧≥-<+=)6(1)6()2()(x x x x f x f ，则)5(f =（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7
8、在等比数列}{n a 中，)(),0(2019109b a b a a a a a a ≠=+≠=+，则=+10099a a （ ）
A 、9⎪⎭
⎫ ⎝⎛a b B 、 10⎪⎭⎫ ⎝⎛a b C 、810a b D 、910a b 9、4:2≥x p ，命题Z x q ∈:，若“q ”是真命题且“p 且q ”是假命题，则满足条件的x 是（ ）
A 、22-≤≥x x 或
B 、22≤≤-x
C 、x=-2，-1-0，1，2。
D 、x=-1，0，1
10、不等式)3(log )82(log 44->---x x x x 的解集是（ ）
A 、{}4>x x
B 、{}5>x x
C 、{}54<<x x
D 、{}54≠>x x x 且
11、已知函数)(x f 是R 上的增函数，A （0，-1）、B （3，1）是其图象上的两点，则1|)1(|<+x f 的解集是（ ）
A 、)2,1(-
B 、)4,1(-
C 、(]()+∞⋃-∞-,41,
D 、(]()+∞⋃-∞-,21,
12、和是()*∈-=N n n n S n 223，则当n>2时，下列不等式中的是( )
A 、n n na na S >>1
B 、n n S na na >>1
C 、n n na S na >>1
D 、n n S na na >>1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、函数54)(2++-=x x x f 的单调递减区间是 。
14、 已知数列}{n a 中，1,273==a a 又是数列}11{
+n a 等比数列则=n a 。
15、要使函数)(232a x x x y <++=有反函数，则a 的最大值是 。
16、 给出下列函数：
① 函数x
y 2=与函数x 2log 的定义域相同;
② 函数3x y =与函数x y 3=值域相同;
③ 函数()21-=x y 与函数12-=x y 在()+∞,0上都是增函数; ④ 函数x x y --=312log 2的定义域是⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,21。
其中错误的序号是 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题12分）已知全集U=R ，集合A={}122|2<--x x x ，集合B={}
11|≥-x x ，
求B A 和B A C U )(。
18、 本小题12分）已知函数()0)(>+
=a x a x x f 。
（1）若不等式b x f <)(的解集是 （1，3），求不等式012<+-bx ax 的解集；（2）若)2()1(f f =，证明)(x f 在（0，
]2上是单调递减函数。
19、（本小题12分）等比数列}{n a 同时满足下列三个条件：①3361=+a a ；②3252=a a ；
③三个数43,,242
32+a a a 依次成等差数列，求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S 。
20、（本小题12分）已知函数b a x f x =)(的图象过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,4A 和()1,5B ， ① 求函数)(x f 的解析式；② 函数)(x f 的反函数；③设n n f a n ),(log 2=是正整数，是数列的前项和n S ，解关于的不等式n n S a ≤。
21、（本小题满分12分）某市2003年共有1万两燃油型公交车，有关部门计划于2004年投
入128辆电力公交车，随后电力公交车每年的投入比上年增加，试问：
（1）该市在2010年应该投入多少辆电力公交车；（2）哪一年底，电力公交车的数量开始超过该市公交车总量的
3
1？ （参考数据：48.03lg ,30.02lg ,82.2675lg ===）
22、（本小题满分14分）已知函数⎩⎨⎧∈+-∈-=])
2,1[(2))1,0[(2)(2x x x x x x f 。
（1）在所给坐标系中，画
出)(x f y -=的图象；（2）设)(x f y =，]2,1[∈x 的反函数为)(x g y =，设 ),(2
1,),(21,11121-===n n a g a a g a a ，求数列}{n a 的通项公式；（3）若)(2
31,1)(),1,0[10100x f x x x f x -=-=∈，求0x 和1x 的值。
参考答案
一、1.A ;2.D;3.A;4.B;5.D;6.B;7.C;8.C;9.D;10.D;11.A;12.C 二、13. ]5,2[;14.31;15.2
3-;16.①②③. 三、17.}3201|{<≤≤<-=x x x B A 或 ;}20|{)(≥≤=x x x B A C U 或
18.(1)}13
1|{<<x x ;(2)略
19.(1) 12-=n n a ;12-=n n S
20.(1)52)(-=x x f ;(2) )0(log 5)(21>+=-x x x f
;(3) }1010|{≥=∈+n n N n 或
21.(1)1458辆;(2)2011 22.(1)略;(2)⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n a 21132；（3）914,3110==x x。