高考数学专题闯关教学概率随机变量及其分布列共张-PPT精品

称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布， 记为 ξ～B(n，p)．
3．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数 学期望，简称期望．
D(ξ)＝[x1－E(ξ)]2·p1＋[x2－E(ξ)]2·p2＋…＋[xn －E(ξ)]2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差．
(2)所有可能的申请方式有 34 种，而“每个片区的
房源都有人申请”的申请方式有 C24A33种．
记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B，从
而有 P(B)＝C324A4 33＝49.
【归纳拓展】 (1)求复杂事件的概率，要正确 分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几 个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个 相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率 公式求解．
P(AB)＝P(A)P(B)．
(6)独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为
Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
2．常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 分布列为(其中0＜p＜1)
ξ
0
1
P 1－p
解析：(1)圆心 C 到 l 的距离为 |－25| ＝5. 42＋32
(2)如图 l′∥l，且 O 到 l′的距离为 3，sin∠ODE
＝3＝ 23
23，所以∠ODE＝60°，从而∠BOD＝60°，
点 A 应在劣弧 BD 上，所以满足条件的概率为16.
答案：(1)5
1 (2)6
古典概型
例2 一个袋中装有大小相同的10个球，其中 红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球， 每次随机取1个． (1)求连续取两次都是红球的概率； (2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球， 直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．
甲两场皆胜的概率为 P(ξ＝6)＝23×14＝16.
∴ξ 的分布列为
ξ0 3 6
P
1 4
7 12
1 6
∴E(ξ)＝0×14＋3×172＋6×16＝141.
考题解答技法
例 (本题满分12分)某产品按行业生产标准分 成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中 X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执 行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件， 假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如 下所示：
例3
区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求 该市的任4位申请人中： (1) 没有人申请A片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率．
【解】 (1)法一：所有可能的申请方式有 34 种，
而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24 种． 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A，则
事件的概率公式去计算所求事件的概率．
变式训练2 有两枚大小相同、质地均匀的正四 面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字 1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个 朝下的面上的数字之和．
(1)求事件“m不小于6”的概率； (2)“m为奇数”的概率与“m为偶数”的概率 是否相等？并给出说明．
即 X 的分布列为
X －2 P 0.04
2
4
0.54 0.42
X 的 数 学 期 望 E(X) ＝ － 2×0.04 ＋ 2×0.54 ＋ 4×0.42＝2.68.
【归纳拓展】 (1)求离散型随机变量的分布列 的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示 的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式， 求出概率．
解：因为玩具的质地是均匀的，所以玩具各面朝 下的可能性相等，出现的可能情况有：(1,1)，(1,2)， (1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 16 种． (1)事件“m 不小于 6”包含(1,5)，(2,5)，(3,5)， (3,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 8 个基本事件，
P(A)＝P2＋P3＝0.49＋0.24＝0.73， P(B)＝0.8×0.8×0.2×3＋0.8×0.8×0.8＝ 0.896. 故P(B)>P(A)，即该人选择每次在乙袋中取球得 分超过1分的概率大于该人选择先在甲袋中取一 球，以后均在乙袋中取球得分超过1分的概率．
离散型随机变量及分布列
例4 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质 量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品．现用两种新配方
和数学期望．
解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙． ∴甲获第一的概率为23×14＝16. 丙获第二，则丙胜乙，其概率为 1－15＝45. ∴甲获第一名且丙获第二名的概率为16×45＝125.
(2)ξ 可能取的值为 0、3、6. 甲两场比赛皆输的概率为 P(ξ＝0)＝(1－23)(1－14) ＝14. 甲两场只胜一场的概率为 P(ξ＝3)＝23×(1－14)＋14 ×(1－23)＝172.
(2)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出 随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布( 或两点分布)，则可直接使用公式求解．
变式训练 4 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两 人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得 3 分， 负者得 0 分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜 乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率 为15. (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率； (2)设在该次比赛中，甲得分为 ξ，求 ξ 的分布列
频率为321＋0010＝0.42，所以用 B 配方生产的产品
的优质品率的估计值为 0.42.
(2)用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值
落入区间[90，94)，[94，102)，[102，110]的频 率分别为 0.04，0.54，0.42，因此 P(X＝－2)＝0.04， P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
4，t≥102.
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望．(以试 验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产
品的质量指标值落入相应组的概率)
【解】 (1)由试验结果知，用 A 配方生产的产品
中优质品的频率为2120＋08＝0.3，所以用 A 配方生 产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的
所以 P(m≥6)＝186＝12.
(2)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不 相等． 因为 m 为奇数的概率为 P(m＝3)＋P(m＝5)＋P(m ＝7)＝126＋126＋126＝38.
m 为偶数的概率为 1－38＝58，这两个概率值不相
等．
相互独立事件、独立重复试 验的概率
某市公租房的房源位于A、B、C三个片
(1)求q的值； (2)试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超 过1分与选择上述方式取球得分超过1分的概率 的大小．
解 ： (1) 依 题 意 ， 得 (1 － q)×0.8×0.2 ＋ (1 － q)×0.2×0.8＝0.24，解之，得q＝0.25.
(2)设此人按题中方式取球结束后得n分的概率为
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几何概型
例1 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中
点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点
Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A.14
B.13
C.12
D.23
【解析】 这是一道几何概型的概率问题，点 Q
1
取自△ABE
内部的概率为 S△ABE ＝2·|AB|·|AD|＝ S矩形ABCD |AB|·|AD|
p
(2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 ξ 是一 个随机变量，其所有可能取的值为 0,1,2,3，…，n， 并且 P(ξ＝k)＝Cknpkqn－k(其中 k＝0,1,2，…，n，q＝1 －p)．
n
显然 P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)， Cknpkqn－k＝1. k＝0
(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况 较少，则一般利用对立事件进行求解，对于“ 至少”，“至多”等问题往往用这种方法求 解．
变式训练3 甲袋中装有若干质地、大小相同的黑 球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相同的黑
球、红球．某人有放回地从两袋中每次取一球，甲 袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1 分，取得其他球得零分，规定他最多取3次，如果 前两次得分之和超过2分即停止取球，否则取第三 次．取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋 中取球，此人在甲袋中取到一个黑球的概率为q， 在乙袋中取到一个黑球的概率为0.8，用ξ表示他取 球结束后的总分，已知P(ξ＝1)＝0.24.
P(A)＝2344＝8116.
法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验．
记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)＝13.
由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计
算公式知，没有人申请 A 片区房源的概率为 P4(0) ＝C04310·324＝8116.
【解】 (1)由于是有放回地取球，故连续两次取 球是相互独立的，因此连续取两次都是红球的概 率 P＝CC11180·CC11180＝1265. (2)取到黑球时取球次数为 1 次，2 次，3 次的事件， 分别记为 A、B、C.
则 P(A)＝15，P(B)＝45×15＝245，
P(C)＝(45)2×15＝11265. 所以，取球次数不超过 3 次的概率是 P(A＋B＋C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝15＋245＋11265＝16215. 即取球次数不超过 3 次的概率是16215.