八年级数学勾股定理(一)
人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理
下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
第1课时 勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？ 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
八年级数学上册 第一章 勾股定理专题课堂(一)课件
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD＝3，BD＝5.求AB 的长． 解：过D作DE⊥AB于E，根据(gēnjù)AAS可得△ACD≌△AED，所以CD＝DE，AC＝ AE，在Rt△DEB中，BD2＝DE2＋BE2，解得BE＝4.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2， 即(AE＋4)2＝AC2＋82，解得AC＝AE＝6，所以AB＝BE＋AE＝10
第一章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
专题课堂(kètáng)(一) 勾股定理
第一页，共十一页。
勾股定理与分类讨论(tǎolùn) 在涉及三角形的边和高等问题时需要分类讨论．
例1：已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的平方为_______．13或5 分析：此题已知直角三角形的两边长，但未明确这两边是直角边，还是斜边，因此较 长边3既可以是直角边，也可以是斜边．
第七页，共十一页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)与折叠问题
抓住折叠前后的对应线段，对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中，用 勾股定理来解决．
第八页，共十一页。
例3：如图，在△ABC中，∠A＝90°，沿CD折叠(zhédié)△ABC，点A恰好落在BC边上 的E处，AB＝4，AC＝3，求BD的长． 分析：由折叠知道AD＝DE，∠A＝∠CED＝90°，AC＝CE. 解：在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2，得BC＝5，所以BE＝BC－CE＝BC－AC＝2， 设BD＝x，则DE＝AD＝4－x，在Rt△BED中，BD2＝DE2＋BE2，即x2＝(4－x)2＋22， 解得x＝2.5，所以BD＝2.5
第四页，共十一页。
运用勾股定理列方程பைடு நூலகம்解决非直角三角形的求值问题时，一般作垂线构造(gòuzào)直角三角形，并运用勾股 定理列方程，体现数形结合思想．
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理(1)》公开课课件
理 的
（3）已知c=25，c=b1=315，求a.
解：由勾股定理
b
探
得
究
a2+152=252
a=20
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课件制作：徐志才
三、研读课文
知 识
1、赵爽弦图利用了__面__积___关系
点 进行勾股定理的证明.
二
勾 2、剪4个全等的直角三角形，拼
股 成如图图形，其中直角三角形的
形E的面积.
勾
B
股
A
C
定 理
D
的
证
E
明
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三、研读课文
知 解：如图所示
识 正方形A、B、C、D的边长分别是
点
,12,16,9,12 设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理
二知
B
勾 162+122=c2
c=20 ，即正方形F边长为20
股 同理可得， 正方形G的边长为15
三、研读课文
知 识 点 认真阅读课本第22至24页的内容， 一 完成下面练习并体验知识点的形成 勾 过程. 股 定 理 的 探 究
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三、研读课文
知
识 点 一
1、如图，邮票图案的三个 正方形小方格中间是一个直 角三角形，如果1个小方格 为1个单位面积，那么直角
AH
F
定 故直角三角形的两直角边分别为.20，15
C
D
G
设它的斜边长为k，由勾股定理知
理 152+202=k2 的 k=25
K
E
人教版八年级下册数学优质课件：17.1.1勾股定理
从而在数轴上画出表 示 3 ， 4 ， 5 …… 的点．
１１ １
12 13 11 10 １
9１
8
１
7
１
１2 １3
4
6１
5１
１１
5.以直角三角形三边为半径作半圆， 这3个半圆的面积之间有什么关系？
C
Sb Sa
A
B Sa+Sb=Sc
Sc
10.长为 3 的线段是直角边为 正整数___2___，___1___的直角三角 形的斜边．
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
1
1
美丽的勾股树
3.小明用火柴棒摆直角三角形，已知 他摆两条直角边分别用了6根和8根火 柴棒，他摆完这个直角三角形共用火 柴棒多少根?
4.小亮想知道学校旗杆的高度．他发现 旗杆上的绳子垂到地面还多2米；当他 把绳子的下端拉开4米后，下端刚好接 触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出 来吗？
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
x2 =81+144 x =15
①
y2 =169-144
y=5 ②
z2 =625-576 z=7 ③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
5
x
16
20
x 12 8
17
x
方法: 可用勾股定理建立方程.
3.在Rt△ABC中, ∠C=90°
C
8
BC
13
解：（1）在Rt△ABC中,由 （2）在Rt△ABC中,由
新人教部编版初中八年级数学17.1 第1课时 勾股定理
为( D )
A．2 B. 34
C．4 D．4 或 34 长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
Hale Waihona Puke 4．(教材 P29T11 变式)如图，在△ABC 中，∠C＝
90°，∠B＝30°，AB＝2，则 BC 等于( B )
A．1 B. 3 C. 3 D.1
2
2
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2 解：设直角三角形的两条直角边长分别为 a cm， b cm. ∵直角三角形的两条直角边的和为 6 cm， 面积为7 cm2，
2
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a＋b＝6， ∴ 12ab＝72. ∴ab＝7. ∴斜边长的平方为 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝36－14＝22. ∴斜边长为 22 cm.
长冲中学“四学一测”活力课堂
解析：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝ ∠COD＝90°.由勾股定理得 AB2＋CD2＝AO2＋BO2 ＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.∵AD＝2，BC＝4，∴AB2 ＋CD2＝22＋42＝20.
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【变式题】正方形→半圆、等腰直角三角形(本质不 变) (1)如图，以直角三角形的三边为直径的半圆面积之 间的等量关系是 S3＝S1＋S2 ；
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(2)如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰 直角三角形．若 AB＝a，则图中阴影部分的面积为
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证明：∵AE＝a，DE＝b，AD＝c， ∴S 正方形 EFGH＝EH2＝(a＋b)2. 又∵S 正方形 EFGH＝4S△AED＋S 正方形 ABCD＝4×12ab＋c2， ∴(a＋b)2＝2ab＋c2. ∴a2＋b2＝c2.
2022秋八年级数学上册 第一章 勾股定理1 探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用课件北师大版
*8.(中考·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地 面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m， 所以AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2 m， 所以BD2＋22＝6.25，即BD2＝2.25. 所以BD＝1.5 m. 所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)． 【答案】C
3．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之 一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为 “赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会选它作 为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( B )
4．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a， b，那么c2＝__a_2＋__b_2____；如果已知a，c，那么b2＝ __c_2_－__a_2___；如果已知b，c，那么a2＝__c_2_－__b_2 ___．当 不能直接运用勾股定理求线段长度时，则设所求线段的 长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股定理， 列出含___x_____的方程．
6．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：
今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将
竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第一课时勾股定理课件
圆的面积S2= 9 π,以BC为直径的半圆的面积S3=25 π,S△ABC=6,
8
8
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6,故选A.
13.(2023江苏南京中考,5,★☆☆)我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其 小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲 知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC =15里,则△ABC的面积是 ( C ) A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=90°=∠EDA+∠BDF, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
能力提升全练
11.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏苏州姑苏期中,5,★ ★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书 《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边 分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的 方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一 定能求出 ( C )
8.(2022江苏盐城校级期末)若一个直角三角形的两边长分别 为4和5,则第三条边长的平方为 9或41 . 解析 当5为直角边长时,第三条边长的平方为42+52=41;当5 为斜边长时,第三条边长的平方为52-42=9.故答案为9或41.
9.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C均 在格点上,求AB2-CA2的值.
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DECD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
北师大版八年级数学上勾股定理
初中数学试卷勾股定理一探索勾股定理（一）勾股定理知识链接（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2-b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．同步练习1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2014•乐山）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ．则BD 的长为（ ）A ．532B ．543C ．554D ．5533．（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）A ．5B ．7 C ．5 D ．5或74．（2013•六合区一模）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为3和4，则b 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．75．（2014•增城市一模）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=20，BC=15，（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．6．（2014•金华模拟）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．7．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm8．（2014•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO的长为．9．（2014•香坊区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（）A．16 B．18 C．24 D．3210．（2014•南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是．11．（2014•房山区一模）阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5、10、13，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为______；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．2、29的格点△DEF；①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为13、5②计算△DEF的面积为______．（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=22，PR=13，QR=17，则六边形AQRDEF的面积为______．（二）勾股定理证明知识链接（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．同步练习1．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=（a+b）2．2．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．3．（2014•满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．14．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．1215、（2011•温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是______．6．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3-333b3=______．7．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为____ __，该定理的结论其数学表达式是____ __．8．如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：（1）请你画出直角梯形EDBC绕EC中点O顺时针方向旋转180°的图案，你会得到一个美丽的图案．（阴影部分不要涂错）．（2）若网格中每个小正方形边长为单位1，旋转后A、B、D的对应点为A′、B′、D′，求四边形ACA′E的面积？（3）根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说出这个著名的结论吗？若能，请你写出这个结论．9．（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．10．.如图，已知正方形ABCD和CEFG，连接DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定理：CD2+CE2=DE2．（三）等腰直角三角形知识链接（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，两腰相等，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r ：R=1：2+1．同步练习1．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BD 是角平分线，DE ⊥BC ，垂足为点E ．若CD=25，则AD 的长是（ ）A ．225B ．22C ．25 D ．52．在△ABC 中，BC ：AC ：AB=1：1：2，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．如图，等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ＞3，点M 在AC 上，点N 在CB 的延长线上，MN 交AB 于点O ，且AM=BN=3，则S △AMO 与S △BNO 的差是（ ）A ．9B ．4.5C ．0D ．因为AC 、BC 的长度未知，所以无法确定4．（2011•万州区模拟）如图，△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD ；②EC ⊥BD ；③S 四边形EBCD = 21EC •BD ；④S △ADE =S △ABC ；⑤△EBF ∽△DCF ；其中正确的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤5．如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是____ __．6．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．有下列结论：①∠DEO=45°；②△AOD ≌△COE ；③S 四边形CDOE = 21S △ABC ；④OD 2=OP •OC ． 其中正确的结论序号为____ __．（把你认为正确的都写上）7．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°，AB=AC ，若∠1=20°，则∠2的度数为____ __．8．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE= ____ _cm．9．（2014•温州五校一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC 边上，且CE=CD，连结AE、BD、DE．①求证：△ACE≌△BCD；②若∠CAE=25°，求∠BDE的度数．二能得到直角三角形吗（一）勾股定理的逆定理知识链接（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．同步练习1．（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．②B．①②C．①③D．②③2．（2012•连云港一模）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2014•江西模拟）下列各三角形中，面积为无理数的是（）A．B．C．D．4．下列能构成直角三角形三边长的是（ ）A ．1，1，2B ．5，8，10C ．5，12，13D ．6，7，85．（2012•松北区二模）如图△ABC 中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC 长为____ _．6．在直角三角形中，满足条件的三边长可以是____ _（写出一组即可）．7．三角形的三边a ，b ，c 满足（a+b ）2=c 2+2ab ，则这个三角形是____ _三角形．8．（2014•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，∠BCD=135°，且AB=3cm ，BC=7cm ，CD=25cm ，点M 从点A 出发沿折线A-B-C-D 运动到点D ，且在AB 上运动的速度为21cm/s ，在BC 上运动的速度为1cm/s ，在CD 上运动的速度为2cm/s ，连接AM 、DM ，当点M 运动时间为____ _（s ）时，△ADM 是直角三角形．9．（2014•高安市模拟）如图，方格纸中的每个正方形的边长均为1，点A 、B 在小正方形的顶点上，在图中画△ABC （点C 在小正方形的顶点上），使△ABC 为直角三角形（要求画两个且不全等）10．（2014•顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为______三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为______三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？（二）勾股数三勾股定理应用（一）勾股定理的应用知识链接（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．同步练习1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A．100 B．180 C．220 D．2602．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC 长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）米．4A．25 B．12 C．13 D．33．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．5米B．3米C．（5+1）米D．3米4．（2014•和平区一模）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE=32m，则点B到地面的垂直距离BC为___ ．5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为___ ．6．（2014•西湖区一模）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，开始时B到墙C的距离为0.7米，若梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等，则下滑的距离是___ 米．7．（2014•三门县一模）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是__ _．8．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．9．（2014•广东一模）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．10．（2013•本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：2=1.41，3=1.73）（二）平面展开----最短路径问题 知识链接（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．同步练习1．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=32BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．(4+π6)cmB ．5cmC ．35cmD ．7cm2．如图，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ）A ．80cmB ．70cmC ．60cmD ．50cm3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）A ． 45mB ．3mC ．4mD ．5m4．如图，圆柱底面半径为π2cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为（ ） A ．12cm B ． 97cm C ．15cm D ． 21cm5．（2014•博山区模拟）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A．3 B．2+2C．10D．46．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___ 米．7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___ cm．8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___ cm．9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则L12=______．设路线2的长度为L2，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．。
新人教版八年级数学下册第17章《勾股定理第1课时》公开课课件
课件说明
• 学习目标： 1．经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理 的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究 勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪 感； 2．能用勾股定理解决一些简单问题.
• 学习重点： 探索并证明勾股定理．
创设情境 引入课题
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会的会徽的图案．
八年级 下册
17.1 勾股定理（1）
课件说明
• 本课从观察网格中的正方形面积关系出发，发现了 等腰直角三角形三边之间的数量关系，再通过观察 网格中以一般直角三角形的三边为边长的正方形面 积关系，发现网格中的一般直角三角形也具有这种 三边长的数量关系，从而提出猜想，直角三角形两 直角边的平方和等于斜边平方，介绍了赵爽的证明 方法．
追问 正方形A、B、C 所围成的直角Biblioteka 角形三条边 之间有怎样的特殊关系？
B
A C
探究勾股定理
问题4 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角 形三边之间应该有什么关系？
猜想： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2．
感受数学文化
这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
问题1 你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
创设情境 引入课题
问题2 三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
B
A
C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三 边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积 关系？
八年级数学《勾股定理(1)》课件
图1-2
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
案量铺达
，关成哥
看系的拉
看，地斯
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图2-1
A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
9
9 18
8
4
4
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
Bb c
C
a2+b2=c2
命题：
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦
c
股
2022年八年级数学上册第十七章特殊三角形17.3勾股定理1教案新版冀教版
17.3勾股定理（1）教学目标【知识与能力】1.经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想.2.会初步应用勾股定理解决实际问题.【过程与方法】1.经历“测量——猜想——总结——验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索的过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.【情感态度价值观】通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.教学重难点【教学重点】勾股定理的探索过程.【教学难点】勾股定理的应用.课前准备多媒体课件教学过程一：新课导入：导入一:【课件1】下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?教师引导学生思考,各抒己见,发表自己的见解.[设计意图]从现实生活中提出的“赵爽弦图”和“希腊邮票”,为学生能够积极主动地投入到探索活动中创设情境,激发学生学习热情,同时为探索勾股定理提供背景材料.导入二:【课件2】如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?师:在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边也随之确定了,事实上,古人发现,直角三角形三边长度的平方存在着一个特殊的数量关系.让我们一起去探索吧![设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入三:【课件3】相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.[设计意图]学生对故事中的问题很感兴趣,激发了学生探究知识的欲望,从而自然地引入本节课要探究的问题.二：新知构建：活动:探究勾股定理思路一探究1:测量计算——初步感知【课件4】学生活动:1.画一个直角三角形,使直角边分别为3cm和4cm,测量一下斜边是多少?2.画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?3.画一个直角边分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.思路二【课件5】任意画几个直角三角形,分别度量三条边,把长度标在图形中,计算三边的平方,师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒,有哪些数据符合a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13;1.2,1.6,2……师:哪些数据不符合a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?探究2:面积推理勾股定理活动1:探索边长为3,4,5的直角三角形的情况【课件6】如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的ΔABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?问题:(1)以AC为边的正方形的面积是;(2)以BC为边的正方形的面积是;(3)从AB为边的正方形的面积是;(4)三个正方形的面积之间关系是+=.活动2:探索直角边长为1的等腰直角三角形刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢? 思路一【课件7】如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?学生观察发现:以AC,BC为边的正方形的面积都是1.说明:对于以AB为边的正方形的面积,教师可让学生通过数格子的方法求出其面积,也可以将其分成四个等腰直角三角形的面积来求.思路二【课件8】如图所示,直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足猜想的数量关系吗?你是如何计算的?师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证明A+B=C.师:准确地说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流正方形C的面积的求法,教师巡视点评.)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算.)生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法.)师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到正方形C的面积,还有什么方法可以得到呢?活动3:类比发现,形成结论【课件9】如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的Rt ΔABC的边把这种关系表示出来.学生思考、交流,教师请学生口答,并板书.教师总结:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.探究3:推理验证勾股定理与小组同学交流、讨论,拿出设计方案,并给出合理的解释.组1:我们的设计方案是:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:我们发现外部是一个大正方形,边长为c,内部是一个小正方形,其边长是a-b,四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.1ab×4+(a-b)2=c2,2化简后为:a2+b2=c2.组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角边分别为a,b,斜边为c.我们是这样拼的,如图所示.外部是一个边长是a+b的正方形,内部是一边长为c的小正方形.四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.1ab×4+c2=(a+b)2,2化简后为:a2+b2=c2.师:两个组的设计都非常精彩,你们利用了我们比较熟悉的面积的有关知识,还有其他方案吗?组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.我们是这样拼的,如图所示.我们发现:两个直角三角形这样摆放,若连接A,B两点,就构成了一个直角梯形.直角梯形的上底为b ,下底为a ,高为a +b.直角梯形是由两个直角三角形和一个直角边为c 的等腰直角三角形构成的.直角梯形的面积=两个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积.12(a +b )(a +b )=12ab ×2+12c 2, 化简后为:a 2+b 2=c 2.师:以上三个小组的设计方案,实质上都渗透了数学的转化思想,将复杂问题转化、分解为简单问题,或将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决.方法都是“拼凑法”,先拼出一个图形,再利用两种不同的方法求出面积的表达式.由于一个图形的面积不变,因此将两种面积的表达式用等号连接起来,再化简,就可能得出我们要探究的结论.说明:我们古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.因此,直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2. 思考:(1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a 2+b 2=c 2有哪些变形公式?(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道 条边,就可以利用 求出 . 指导学生完成教材第151页“做一做”.[知识拓展] (1)由勾股定理的基本形式a 2+b 2=c 2可以得到一些变形关系式,如a 2=c 2-b 2=(c +b )(c-b );b 2=c 2-a 2=(c +a )(c-a ).(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a ,b ,c ,若c 为最大边长,则有a 2+b 2<c 2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a ,b ,c ,若c 为最大边长,则有a 2+b 2>c 2.[设计意图] 通过探索活动,调动学生的积极性,给学生充分的时间与空间讨论、交流,鼓励学生敢于发表自己的意见,感受合作的重要性. 让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情. 三：课堂小结： 1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的变形公式a =√c 2-b 2;b =√c 2-a 2;c =√a 2+b 2. 要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边的长度.。
八年级数学下册勾股定理[1]PPT公开课
![八年级数学下册勾股定理[1]PPT公开课](https://img.taocdn.com/s3/m/d8e705f6de80d4d8d05a4fae.png)
大正方形的面积可以表示为 c2
（；整体角度）
也可以表示为 4• +(b- a)2 （局部角度）
c a
∵ c2= 4• +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2 b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
大家学过从“面积到乘法公式”，主要从哪些角度思考 图形的面积？你能弦图中推出勾股定理吗？
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
A
解： ∵AB=AC ,AD为高，BC=16, ∴BD=8
∴AD2=AB2-BD2=172-82=225 ∴AD=15
17 ?
S△ABC
=
1× 2
AD× BC =
1 ×15×16=120 2
B
DC
请在数轴上表示出 2、3
-3 -2 -1 0 1 2 3 2 3
大正方形的面积可以表示为 c2
（；整体角度）
也可以表示为 4• +(b- a)2 （局部角度）
c a
∵ c2= 4• +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2 b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c， 那么
a2 +b2 =c2
20 A
60
80
B 35
3. 如图所示是某机械零件的平面图,尺寸如图 所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
20 A
60 C
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勾股定理
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
即： 222c b a =+。
常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。
这个一定要牢记于心。
考点一：勾股定理的直接应用
例1.正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）
A 、1
B 、2
C 例2．如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm
考点二：求第三条边的长
例1．若Rt ABC 中，90C ︒∠=且c=37,a=12，则b=（ ）
A 、50
B 、35
C 、34
D 、26
例2．已知两线段的长为6cm 和8cm ，当第三条线段取 时，这三条线段能组成一个直角三角形。
（提示：所给的两条变长不一定都为直角边。
） 例3．若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ）
A 、169
B 、119
C 、169或119
D 、13或25
考点三：与高、面积有关
例1．两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是 例2．等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是2_____cm ◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
判断步骤：（1）比较a 、b 、c 大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。
例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。
（填“合格”或“不合格” ）
例2．试判断：三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是不是直角三角
形？
一、选择题
1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？（ ）
A 、2
B 、4
C 、3
D 、5
2、等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ）
A ．10 B.12 C.15 D.20
3、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm ，则h 的取值范围是（ ）
A 、h ≤17cm
B 、h ≥8cm
C 、15cm ≤h ≤16cm
D 、7cm ≤h ≤16cm
二、填空题
1、如果梯子底端离建筑物5m ，那么13m 长的梯子可达到建筑物的高度是____________m 。
2、如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是 cm
（2题图） （3题图） （ 4题图）
3．、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 。
4．一个零件的形状如图，按规定这个零件的A ∠与BDC ∠都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。
这个零件符合要求吗？
A ∙B
∙D C B A
5.如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。
反走私艇A和走私船C的距离是13海里，A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里，若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？(精确到分) Array
一、填空题
1、如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形
水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是__________．
2、等腰三角形的底边长为6cm，腰长为5cm，则它的面积为__________．
3、如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、
F．若AE=1，CF=3，则AB的长度为__________．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，动点P从C点出发，以每秒2cm 的速度沿CA、AB运动到点B，则从点C出发__________秒时，可使．
5、已知△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，则BC的长为__________．
6、如图，已知AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，点C是MN上使AC＋BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC＋BC=__________．
7、在平面直角坐标系xOy中，已知点P（－2，1）关于y轴的对称点为P′，点T（t，0）是x轴上的一个动点，当△P′TO是等腰三角形时，t的值是__________．
8、如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是__________．
二、解答题
9、如图AM是△ABC的中线，∠C=90°，MN⊥AB于N．求证：AN2=BN2＋AC2．。