2019-2020学年云南省玉溪一中高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年云南省玉溪一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若全集U=R，集合M={x|−x2−x+2<0}，N={x|x−1<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. (−∞,1]B. (1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−2,1)2.已知cos(α−π)=−513，且α是第四象限角，则sin(−2π+α)等于()A. −1213B. 1213C. ±1213D. 5123.下列函数是奇函数的是()A. y=x2+1B. y=sinx+cosxC. y=log2(x+5)D. y=3x−3−x4.已知角α的终边经过点P(2,−1)，则sina−cosasina+cosa=()A. 3B. 13C. −13D. −35.函数y=lg(1+32−x2)的值域为()A. (−∞,1)B. (0,1]C. [0,+∞)D. (1,+∞)6.方程log2x+x−2=0的解所在的区间为()A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)7.已知函数f(x)={lnx,x>0,e x,x≤0,则f[f(14)]的值为()A. 4B. 2C. 12D. 148.函数y=ln(1−x)+ln(1+x)的单调递增区间为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−1,0)D. (0,1)9.已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③10.将函数f(x)=2sin(3x+π3)的图象向右平移θ个单位(θ>0)后，所得图象关于y轴对称，则θ的最小值为()A. 5π6B. 5π18C. π6D. π1811.已知f(x)是偶函数，且对任意x1，x2∈(0,+∞)，f(x1)−f(x2)x1−x2>0.设a=f(32)，b=f(log37)，c=f(−0.83)，则()A. 2√17B. G,E,F,HC. PB,AB,CD,PCD. GEFH⊥12.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x∈R，f(−x)=−f(x)，f(3−x)=f(x)，则f(2019)=()A. −3B. 0C. 1D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若tanα=13，则sinαcosα=________．14.函数f(x)=√9−x+√x−4的定义域为______ ．15.若f(sinx)=2−cos2x，则f(cosx)=______ ．16.若方程|3x−1|=k有两个不同解，则实数k的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合U=R，A={x|2≤x<4}，B={x|−1≤x<3}.求：(1)A∩B，A∪B；(2)(∁U A)∩(∁U B)．18.(1)计算log28+ln√e+4log43；(2)设x=log23,求22x−2−2x2x−2−x的值．19. 已知关于x 的方程2x 2−(√3+1)x +2m =0的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0,π))，求：(1)m 的值． (2)sinθ1−cotθ+cosθ1−tanθ的值(其中cotθ=1tanθ).(3)方程的两根及此时θ的值．20. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元．已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)={−0.6x 2+10.4x(0≤x ≤10)44(x >10),(其中x 是该产品的月产量，单位：百台)，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题： (1)将利润表示为月产量x 的函数y =f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m ，使得f(x)图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．22.(1)已知f(3x)=xlg9，求f(2)+f(5)的值；(2)设a，b，c为正数，且满足a2+b2=c2，log4(1+b+ca )=1，log8(a+b−c)=23，求a，b，c的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算．属于基础题．先观察Venn 图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解． 【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素在集合M 中，但不在集合N 中．又M ={x|−x 2−x +2<0}={x|x <−2或x >1}，N ={x|x −1<0}={x|x <1}， ∴图中阴影部分表示的集合是：(∁R N)∩M ={x|x ≥1}∩{x|x <−2或x >1}={x|x >1}， 故选B ．2.答案：A解析： 【分析】本题考查三角函数的化简求值，利用诱导公式与同角三角函数关系求解，属于较易题． 由诱导公式求出cosα，再由同角三角函数关系求出sinα，把所求函数式化简代入即可． 【解答】解：cos(α−π)=−cosα=−513，cosα=513， 因为α是第四象限角，所以，所以，故选A ．3.答案：D解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的判定，注意先分析函数定义域，是基础题．利用奇函数的定义依次分析四个选项得答案． 【解答】解：对于A，函数的定义域为[0,+∞)，函数为二次函数，对称轴为y轴，是偶函数；)，为非奇非偶函数；对于B，函数y=sinx+cosx=√2sin(x+π4对于C，其定义域为x>−5，不是关于原点对称，为非奇非偶函数；对于D，f(−x)=3−x−3x=−(3x−3−x)=−f(x)，为奇函数．故选D．4.答案：D解析：【分析】先根据已知条件得到tanα，再化简代入即可得到结果．本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．【解答】解：因为角α的终边经过点P(2,−1)，所以，则，故选D．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数值域的求法，指数函数与对数函数的性质，属于基础题．求出2−x2的范围，进一步得到1+32−x2的范围，再由对数函数的性质得答案．【解答】解：∵2−x2≤2，∴0<32−x2≤32=9，则1<1+32−x2≤10．∴y=lg(1+32−x2)∈(0,1]．∴函数y=lg(1+32−x2)的值域为(0,1]．故选B．6.答案：C解析：解：设f(x)=log 2x +x −2，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x 0是连续函数f(x)的零点． 因为f(2)=log 22+2−2>0，f(1)=log 21+1−2=−1<0， 故x 0∈(1,2)， 故选：C ．设连续f(x)=log 2x +x −2，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x 0是f(x)的零点，由f(1)f(2)<0，可得结论．本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．7.答案：D解析： 【分析】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f(14)=−ln4，进而可得f[f(14)]=f(−ln4)，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={lnx,x >0,e x ,x ≤0, 则f(14)=ln 14=−ln4，则f[f(14)]=f(−ln4)=e −ln4=14． 故选D ．8.答案：C解析： 【分析】本题考查复合函数的单调性，注意先求定义域.属于基础题．先求出函数的定义域为(−1,1)，又根据复合函数的单调性， 转化为求出y =−x 2+1的增区间，再结合定义域，即可得到答案． 【解答】解：函数y =ln(1−x)+ln(1+x)的定义域为(−1,1)， 又y =ln(1−x)+ln(1+x)=ln (−x 2+1)， 根据复合函数同增异减，所以函数的单调递增区间为y =−x 2+1的增区间，又结合函数的定义域为(−1,1)， 故函数的增区间为(−1,0)， 故选C .9.答案：B解析：【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．10.答案：B解析：解：将函数f(x)=2sin(3x+π3)的图象向右平移θ个单位(θ>0)后，可得y=2sin(3x−3θ+π3)的图象，再根据所得图象关于y轴对称，则−3θ+π3=kπ+π2，k∈Z，即θ=−kπ3−π18，故θ的最小值为5π18，故选：B．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得θ的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的单调性，属于基础题．根据题意，结合函数单调性的定义可得f(x)在上为增函数，结合函数奇偶性分析可得c= f(−0.83)=f(0.83)，又由，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)满足对任意x1，，，则函数f(x)在上为增函数，又由f(x)是偶函数，则c=f(−0.83)=f(0.83)，又由，则；故选B．12.答案：B解析：【分析】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查求函数值，考查计算能力，属于基础题．利用代换求出函数的周期为6，根据函数奇偶性和周期性得f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(0)，易得出答案．【解答】解：定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，可知函数是奇函数，f(0)=0．∵f(3−x)=f(x)，可得f(3+x)=f(−x)=−f(x)，∴f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(3−3)=f(0)=0．故选：B．13.答案：310解析：【分析】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanα=13，∴sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=1319+1=310，故答案为310．14.答案：(4,9]解析： 【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0，联立不等式组即可解得答案． 【解答】解：由{9−x ≥0x −4>0，得4<x ≤9．所以函数f(x)=√9−x +√x−4的定义域为(4,9]． 故答案为(4,9]．15.答案：2+cos2x解析：解：∵f(sinx)=2−cos2x =2−(1−2sin 2x) =1+2sin 2x ，∴f(cosx)=1+2cos 2x =2+cos2x 故答案为：2+cos2x ．把已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于sin x 的函数关系式，把sin x 化为cos x ，并利用二倍角的余弦函数公式化简，即可得到f(cosx)的解析式．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及函数解析式的求解及常用的方法，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键．16.答案：(0,1)解析： 【分析】本题考查函数的图象以及图象变换和等价转化思想，属基础题．将方程|3x −1|=k 有两个不同解看作是y =|3x −1|与y =k 有两个不同的交点即得． 【解答】解：画出y =|3x −1|的图象，由图象可知k 的范围为(0,1)， 故答案为(0,1)．17.答案：解：(1)集合A ={x|2≤x <4}，B ={x|−1≤x <3}，∴A ∩B ={x|2≤x <3}，A ∪B═{x|−1≤x <4}；(2)集合U =R ，∴∁U A ={x|x <2或x ≥4}，∁U B ={x|x <−1或x ≥3}，∴(C U A)∩(C U B)={x|x <−1或x ≥4}．解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．(1)根据交集、并集的定义计算即可；(2)根据补集与交集的定义计算即可．18.答案：解：(1)原式=3+0.5+3=6.5．(2)因为x =log 23,所以2x =3,则22x −2−2x2x −2−x =(2x )2−(2x )−22x −(2x )−1=32−3−23−3−1=9−193−13=103．解析：(1)本题主要考查了对数的计算，属于基础题．化简即可求解．(2)本题考查了对数的性质，属于基础题．因为x =log 23,所以2x =3,化简即可．19.答案：解：(1)由根与系数的关系可知，sinθ+cosθ=√3+12，① sinθ⋅cosθ=m.②将①式平方得1+2sinθ⋅cosθ=2+√32，所以sinθ⋅cosθ=√34， 代入②得m =√34． (2)sinθ1−cotθ+cosθ1−tanθ=sin 2θsinθ−cosθ+cos 2θcosθ−sinθ=sin 2θ−cos 2θsinθ−cosθ=sinθ+cosθ=√3+12． (3)因为已求得m =√34， 所以原方程化为2x 2−(√3+1)x +√32=0， 解得x 1=√32，x 2=12． 所以{sinθ=√32cosθ=12或{sinθ=12cosθ=√32， 又因为θ∈(0,π)，所以θ=π3或π6．解析：(1)由根与系数的关系可知，sinθ+cosθ=√3+12，sinθ⋅cosθ=m.联立方程即可得解m 的值． (2)将所求切化弦，利用(1)即可计算得解．(3)由m =√34，可得一元二次方程，解得方程的两根，根据范围θ∈(0,π)，即可求得θ的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.答案：解：(1)由条件知f(x)={−0.6x 2+10.4x −0.8x −4,0≤x ≤1044−4−0.8x,x >10={−0.6x 2+9.6x −4,0≤x ≤1040−0.8x,x >10； (2)当0≤x ≤10时，f(x)=−0.6x 2+9.6x −4=−0.6(x −8)2+34.4，当x =8时，y =f(x)的最大值为34.4万元；当x >10时，y =f(x)=40−0.8x <40−8=32万元，综上所述，当月产量为8百台时，公司所获利润最大，最大利润为34.4万元．解析：本题考查函数的实际应用，考查分段函数的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件列出利润表示为月产量x 的函数y =f(x)的表达式；(2)通过分段函数，分段求解利润的最大值，然后求解即可．21.答案：解：(1)∵相邻两条对称轴之间的距离等于π3，∴T 2=π3，∴T =2π3=2π|ω|，解得：ω=±3，∵ω>0∴f(x)=sin(3x+π4)；(2)∵f(x)图象向左平移m个单位后所对应的函数是：g(x)=sin[3(x+m)+π4]=sin(3x+3m+π4)，∵g(x)是偶函数，当且仅当3m+π4=kπ+π2，k∈Z，∴m=kπ3+π12(k∈Z)，从而最小正实数m=π12．解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，以及函数图象的平移变换，求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．(1)由题意可得：T2=π3，利用周期公式可求ω的值，进而可得函数f(x)的解析式；(2)利用三角函数的图象关系，结合三角函数的奇偶性即可得到结论．22.答案：解：(1)令3x=t(t>0)，则x=log3t，∴f(t)=log3t⋅lg9=lgtlg3⋅lg9=lgtlg3⋅2lg3=2lgt(t>0)，∴f(2)+f(5)=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2．(2)由log4(1+b+ca)=1，可得−3a+b+c=0.①由log8(a+b−c)=23，可得a+b−c=4.②由①+②，得b−a=2.③由①得c=3a−b，代入a2+b2=c2得a(4a−3b)=0．因为a>0，所以4a−3b=0.④由③④得a=6，b=8，则c=10．解析：【分析】本题考查求函数解析式以及对数运算，属于基础题．(1)令3x=t(t>0)，则x=log3t，得到，即可求出f(2)+f(5)的值；(2)由log4(1+b+ca )=1，可得−3a+b+c=0.由log8(a+b−c)=23，可得a+b−c=4，联立即可。