2020年深圳市高三年级第一次调研考试文数试题

60 40 4654
0.996 1.323 没有 75% 以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．----------------------6 分
（2）由题意可知，男生数学的平均成绩为
x = 10 0.05 + 30 0.15 + 50 0.3 + 70 0.25 + 90 0.25 = 60 ，----------------8 分
及格 不及格 合计
男生
女生
合计
100
（2）估计这100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
附： K 2 =
n(ad − bc)2
.
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
P(K 2 k) 0.40 0.25 0.15 0.10
k
0.708 1.323 2.072 2.706
【命题意图】本题主要考查利用列联表计算 K 2 的值，独立性检验，利用频率分布直方
图计算平均值等知识，体现了数据分析、数学运算等核心素养．
19．（本小题满分 12 分） 已 知 三 棱 柱 ABC − A1B1C1 ， 侧 面 BCC1B1 为 正 方 形 ， 底 面 ABC 为 正 三 角 形 ，
− (3n −1) (5)n 6
= (5)n 6
16 − 3n 6
，………………9
分
若
bn+1
−
bn3
=
51 3
；……………………………………………10
分
若
bn+1
−
bn
0
，则
n
16 3
=
51 3
；……………………………………………11
分
因此 b1 …… b5 b6 >b7 …… bn−1 bn ，
女生数学成绩的平均成绩为
y = 10 0.1+ 30 0.2 + 50 0.3 + 70 0.25 + 90 0.15 = 53 ，-------------------10 分
样本中男女生人数之比为 3：2 ， 这100 名学生的平均成绩为 z = 60 0.6 + 53 0.4 = 57.2 ．---------------------------12 分
设 h 为点 C 到平面 A1B1C1 的距离，由VC1−A1B1C = VC−A1B1C1 可得
1S 3
A1B1C
|
C1O
|=
1 3
S
h A1B1C1
．
…………………………………………10 分
S A1B1C
= 12 2
2
2 = 2 ， | C1O |=
2，
S
A1B1C1
=
1 2 2
3=
3 ，………11 分
BC1 B1C = O ， A1B1 = A1C ． （1）求证： B1C ⊥ 平面 A1BC1 ； （2）若 BC = 2 ，求点 C 到平面 A1B1C1 的距离．
解：（1）证明：连接 A1O ，………1 分 侧面 BCC1B1 为正方形，
BC1 ⊥ B1C ， ……………………2 分
AB = A1B1， A1B1 = A1C ，
x3
=4
1 2
x3
1 2
x3 3 −
x3
4
3 3
3
=4
.
二、填空题
13. 5 ;
11
14.
;
2
15. 32 ;
16. 3 .
16.【解法一】，设 MFO = ,因为 OF = c, OM = a, 所以 MF = b, MN = 2b.
所以 cos
=
b ,sin c
=
a, c
x
N=
3b2 − c2 c
分
说明：求距离也可用求点 P 到直线 AB 的距离．
点 P(2 3 ,− 3
3 ) 到直线 AB : y = x + 3
3 的距离
2
d =
2 3+ 3
3+ 2
3 3
=3
6，
2
4
所以 SABP
=
1 2
AB
d =
123 6 24
=
36 4
．----------------------12 分
【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，借助向量表示三角形的重心为背景，利用方程
(2)设存在椭圆上的一点 P(x0, y0) ，满足 OA + OB + OP = 0 ，
设
A(x1,
y1),
B(x2
,
y2
)
，则
x0 y0
= =
−( x1 −( y1
+ +
x2 ), y2 ),
-------------5
分
联立 x2 + y2 = 1与 y = x + m(m 0) ，消去 y 并整理，得 2
解：（1）由 S3 =15 可得 a1 + d = 5 ，① ……………………………………1 分
又 a32 = a1 a11 ，(a1 + 2d )2 = a1(a1 + 10d )
…………………2 分
整理得 6a1d = 4d 2 (d 0) ，所以 3a1 = 2d ，②
……………………3 分
∴ B1C = BC2 + BB12 = 2 2 ，
∴ B1O = C1O = CO = 2 ，……………6 分
A1O = 2 ，
……………7 分
A1C12 = C1O2 + A1O2 ，
C1O ⊥ A1O ， …………………………8 分
C1O ⊥ B1C ， A1O B1C = O ，
C1O ⊥ 平面 A1B1C ． ………………………9 分
思想解决几何问题，主要考察直线与椭圆的位置关系、三角形面积等知识，考查学生的逻辑
推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.
21.（本小题满分 12 分） 已知函数 （f x）= cos x + a x2 − a ． 4
（1）当 a = 1 时，求曲线 y = （f x）在点 (π，f (π)) 处的切线方程；
所以 b6 最大，即最大项序号 n = 6 ．……………………………………12 分
【命题意图】本题主要考查以两个常见（等差、等比）的数列模型为载体，考查基本量
之间的关系，求数列的最大项，能够认清数列的本质就是特殊的函数，把研究函数单调性、
最值迁移到数列之中，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
h=2 6． 3
…………………………………………………12 分
解法二：通过证明或计算可得四棱锥 A1 − ABC 为正四面体，其高的公式 h = 6 a（ a 为 3
棱长）．
解法三：可利用 B1C
⊥ 平面 A1BC1 计算VC− A1B1C1
= 2VB1 − A1C1O
=
2
1 3
SA1C1O
|
B1O
所以 AB = 1+12
(x1 + x2 )2 − 4x1x2 =
48 −16m2 = 2 ，---------------------10 分 9
而原点 O 到 AB 距离 d = m = 6 ， 24
所以 SABO
=
1 2
AB
d
=
1 2 2
6= 4
6， 4
所以 SABP
= 3SABO
=
36 4
．-----------------------------------------------------------12
（2）已知直线 l : y = x + m(m 0) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，点 O 为坐标原点，在椭
圆 C 上是否存在一点 P ，满足 OP + OA + OB = 0 ，若存在，求 ABP 的面积；若不存在，
请说明理由． 解：(1)由题设可知， e = c = 2 ， b2 = 1 ，---------------2 分 a2 又 a2 = b2 + c2 ，解得 a2 = 2 ，--------------------------------3 分 所以椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1 ．--------------------------4 分 2
17．（本小题满分 12 分）
记等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知公差不为零，S3 =15 ，且 a1 、a3 、a11 成等比数 列．
（1）求{an} 的通项公式；
（2）设 bn
=
an
( 5)n 6
，试问数列{bn} 是否存在最大项？若存在，求出最大项序号 n
的值；
反之，请说明理由．
18．（本小题满分 12 分）
某校高一年级有学生1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人，为调查学生的数学成绩
是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100 名学生的成绩，其频率分布
直方图如下：
频率
频率
组距
组距
0．0150 0．0125 0．0100 0．0075 0．0050 0．0025
3x2 + 4mx + 2m2 − 2 = 0 ，---------6 分
令 = (4m)2 − 43(2m2 − 2) = 24 −8m2 0 ,
则 0 m 3 ．---------------------------------------------------------------7 分