02-基本统计概念

例1：抛一枚硬币、掷一颗筛子、从
一副纸牌中抽取一张等，都是随机试 验的例子。
1.2
样本空间（或总体）：随机试验所 有可能结果的集合称为总体或样本空间。
朝上，T代表正面朝下。结果有四种：
例2：抛两枚同样的硬币。H代表正面
HH、HT、TH、TT。
1.3
样本点：样本空间的每一元素，即
每一种结果称为样本点。
3.2
概率的频率定义：
如果在n次试验（或n个观察值）中，m
次有利于事件A，假定试验的次数n足够 多，那么，事件A的概率P（A）就简单 的等于m/n（频率）。
注意：频率定义不要求试验结果互斥，
也不要求每种结果等可能发生。
3.3 概率的性质：

1、0<P（A）<1 2、若事件A,B,C,…为互斥事件,则: P(A+B+C+…)=P(A)+P(B)+P(C)+… 3、若事件A,B,C,…为互斥事件,且为一完 备事件组,则: P(A+B+C+…)=P(A)+P(B)+P(C)+…=1
计算公式为：
P( AB) P( A B) P( B)
其中，P(AB)为事件A、B的联合概率， P(B)为事件B的边缘概率。
例如：会计入门班有500个学生，其中男生300人，女 生200人。在这些学生中，100个男生和60个女生计划 主修会计学。现随机抽取一人，发现该学生主修会计 学，问这位学生是男生的概率是多少？


4、当P(ABC…)=P(A)P(B)P(C)…时,称事件 A,B,C,…为相互独立的事件
例：同时抛两枚硬币。那么两枚均正面向 上的概率是多少？ 令事件A表示第一枚正面向上，事件B表示 第二枚正面向上，因此，现在要求概率P （AB）。一般地认为第一枚正面向上的概 率独立于第二枚正面向上的概率，所以： P（AB）=P（A）P（B）=（1/2）（1/2） =1/4
基本统计概念的回顾
求和符号：
X
i 1
i n
i
X1 X 2 X n
指把变量X从第一个值（i=1）加到第n个值（i=n）， Xi代表变量X的第i个值。 完整求和符号 表示为：
X（或 X
i 1 i i 1
i n
n
i
)
简记为：
X
i
求和符号的性质

①若k为常数，则有：
基本统计概念的回顾
§1、试验、样本空间、样本点和事
件 §2、随机变量 §3、概率 §4、随机变量和概率密度函数 §5、多元随机变量的概率密度函数 §6、数字特征 §7、从总体到样本
§1、试验、样本空间、样本点和事件
1.1、随机试验：指至少有两个可能
结果，但不确定哪一个结果会出现的 过程。
其中，P(X=xi)表示离散型随机变量X取xi时 的概率值。 上例中，P(X=2)表示随机变量“正面朝上 的次数”为2时的概率。
几何形式：
f(X)
1/2
1/4

0 1 2 “抛两枚硬币正面朝上”的次数的概率密度函数
X
4.2、连续型随机变量的概率密度函数

连续型随机变量的概率密度函数的概念与 离散型随机变量的概念相类似，不同的是， 度量的是随机变量在某一特定范围或区间 内的概率。 连续型随机变量取某一特定值的概率为0。

双变量的频数分布：债券等级（X）与债券收益（Y）
1 2 3 等级（X） 收益(Y)(%) （Bbb） （Bb） （B）
总计
8.5
11.5 17.5 合计
13
2 0 15
5
14 1 20
0
2 13 15
18
18 14 50
假设样本空间由50种债券组成，将每一个数值都除 以50，得到相对频率，即概率。见下表。



5、若事件A,B,不是互斥事件,则:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
例如：从一副扑克中抽取一张，则是红心
或是皇后的概率是多少？
很显然，抽红心和和抽皇后不是互斥事件，
因为四张皇后中有一张是红心。请看下图：

图1:从一副 扑克中任意 抽取一张,求 是红心或是 Q的概率是 多少?

例如：X代表身高，求人的身高在 170cm~180cm区间的概率。
连续性随机变量的几何图形：
f(X)
身高在170-180cm的概率
0
X
170 180
连续型随机变量的概率密度函数
身高（cm）
4.3、累积分布函数
与随机变量X的概率密度函数相对应，F （X）称为累积分布函数（cumulative distribution function,CDF），定义如下： F（X）=P（X≦x） 其中， P（X≦x）表示随机变量X取值小于 或等于x的概率。 例：P（X ≦ 2）表示X取值小于或等于2的 概率。
5.1、边缘概率密度函数
5.2、条件概率密度函数
5.3、统计独立性

含义：用不止一个的随机变量来描述一个试验的 结果，在此情况下，求得的概率密度称为多元 （多维）概率密度。最简单的多元概率密度函数 是双变量概率密度函数。
例如：下表给出了50支债券的债券等级（X）及 收益率（Y）的数据，其中X有三个不同水平： X=1（Bbb），X=2（Bb），X=3（B）。根据标 准普尔债券等级评定，Bbb，Bb，B都是中等信 用的债券；Bb的信用略高于B，而Bbb的信用又 略高于Bb，即字母越少，股票的风险越大。
§4、随机变量和概率密度函数
4.1 4.2
离散型随机变量的概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数
4.3
累积分布函数
引言：根据随机变量X的概率分布函数
或概率密度函数（probability distribution function, PDF），可以知道 随机变量的取值及与之相对应的概率。 为了便于理解，我们首先看离散型随 机变量的概率密度函数，然后再考虑 连续型随机变量的概率密度函数。
k nk
i 1
i n
即常数的n次求和等于该常数的n倍。 ②若k为常数，
kX
i
k X i
即可将常数放在求和符号前。
③对两个变量求和等于对两个变量分别求和的和
(X
i
Yi ) X i Yi
④若a，b为常数，则有
(a bX ) na b X
i
i
例如：HH、TH等。
1.4
事件：随机试验的可能结果组成的集 合称为事件，它是样本空间的一个子集。 （HT、TH）
事件B：两上（HH）
例如：事件A：一上一下

互斥事件：不能同时发生的两个事件。
等可能性事件：确信一个事件的发生与另
一个事件的发生可能性相同。
例如：HH与TT。
§2、随机变量
通常用f(X，Y)表示联合概率密度函数。
令X、Y是两个离散型随机变量，则离散型概率密 度函数为：
f ( X , Y ) P ( X x，Y y ) 0 当X x，Y y时
两个连续型随机变量的联合概率可边缘概率密度函数

f(X,Y)称为X和Y的联合概率密度函数；
2）连续型随机变量：身高、体重、降
雨量、温度等。
§3、概率
3.1
3.2 3.3 3.4
事件的概率（古典或先验）
概率的频率定义： 概率的性质 条件概率

3.1 事件的概率（古典或先验）：
如果一个随机试验的n个结果互斥且每个结果等 可能发生，并且事件A含有m个基本结果，则事 件A发生的概率为：
Y的边缘概率 密度
f(y) 0.36 0.36 0.28 1.00
X的边缘概率密度
X与Y的联合概率密度
5.2、条件概率密度函数

现在假设我们想知道在债券等级为1的条件下， 收益为8.5%的概率是多少？这就是所谓的条件 概率（conditional probolity)

条件概率密度函数（conditional probolity density function)的定义如下：
分析：事件A代表男生；事件B代表主修会计学的学 生；求条件概率：P(A/B) 根据公式计算：
P( AB) 100 500 P( A B) 0.625 P( B) 160 500
非条件概率P(A)=300/500=0.6，即抽取一人是男生的 非条件概率为0.6。由此可见，一般条件概率不等于非 条件概率。
4.1、离散型随机变量的概率密度函数

例如：随机变量X代表抛两枚硬币正面向 上的次数，则X可取3个不同的数值0，1， 2。其概率如下表：
正面向上的次数（X） 0 1 2 概率f(X) ¼ ½ ¼ 1.00
离散型概率密度函数的表现形式：
函数形式：
P( X xi ) 当i 1,2,3,, n f ( x) 当X xi 0

与此相对应，f(X)和 f(Y)称为边缘概率密 度函数（又称单变量或非条件概率密度函 数）。即当X取一给定值（如取2），无论 Y取值如何时的概率。见下表。 一旦计算出概率边缘概率，可根据随机变 量的概率密度函数，直接列出边缘概率密 度函数。

表 双变量的概率密度
1 2 3 等级（X） 收益(Y)(%) （Bbb） （Bb） （B） 8.5 11.5 17.5 f(x) 0.26 0.04 0.00 0.30 0.10 0.28 0.02 0.40 0.00 0.04 0.26 0.30

正面向上的次数（X）
0 1 2
概率f(X)
¼ ½ ¼