北京中考数学真题及答案
2022年北京市中考数学真题及答案
2022北京中考真题数学第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学计数法表示应为（）A.1026.288310⨯B.112.6288310⨯C.122.6288310⨯ D.120.26288310⨯3.如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°4.实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 2a -＜B.1b ＜C.a b ＞D.a b-＞5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A.14 B.13C.12D.346.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A.4- B.14-C.14D.47.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A.1B.2C.3D.58.下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．10.分解因式：2xy x -=______．11.方程215x x=+的解为___________．12.在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．14.如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．15.如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．16.甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下：包裹编号I 号产品重量/吨II 号产品重量/吨包裹的重量/吨A 516B 325C 235D 437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：0(1)4sin 45 3.π-+--18.解不等式组：274,4.2x x xx +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩19.已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC ∆,求证：180.A B C ∠+∠+∠=方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥21.如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．（1）求证：四边形EBFD 是平行四边形；（2）若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)-，且与y 轴交于点A ．（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；（2）当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b ．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c ．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m 的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．24.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD （1）求证：2;BOD A ∠=∠（2）连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a =-+<（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =（1）当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围．27.在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM =（2）O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P 为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）答案1、【答案】B解：A 选项为圆柱，不合题意；B 选项为圆锥，符合题意；C 选项为三棱柱，不合题意；D 选项为球，不合题意；2、【答案】B解：将262883000000保留1位整数是2.62883，小数点向左移动了11位，∴262883000000112.6288310=⨯，3、【答案】A解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．4、【答案】D解：点a 在-2的右边，故a >-2，故A 选项错误；点b 在1的右边，故b >1，故B 选项错误；b 在a 的右边，故b >a ，故C 选项错误；由数轴得：-2<a <-1.5，则1.5<-a <2，1<b <1.5，则a b -＞，故D 选项正确，5、【答案】A 解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，6、【答案】C∵一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，∴∆=0，∴2140m -=，解得14m =，故C 正确．解∶如图，一共有5条对称轴．8、【答案】A解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+⎪⎝⎭，故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，9、【答案】x ≥8解：由题意得：x -8≥0，解得：x ≥8．10、【答案】()()11x y y +-2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．11、【答案】x =5解：215x x=+方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5,解得：x =5,经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0.故原方程的解为：x =5解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25 ＜，∴1y >2y ．故答案为：>．13、【答案】120解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040⨯=双．故答案为：12014、【答案】1解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．15、【答案】1解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC ===，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．16、【答案】（1）：ABC（或ABE 或AD 或ACD 或BCD）（2）：ABE 或BCD解：（1）根据题意，选择ABC 时，装运的I 号产品重量为：53210++=（吨），总重6551619.5++=<（吨），符合要求；选择ABE 时，装运的I 号产品重量为：53311++=（吨），总重6581919.5++=<（吨），符合要求；选择AD 时，装运的I 号产品重量为：549+=（吨），总重671319.5+=<（吨），符合要求；选择ACD 时，装运的I 号产品重量为：52411++=（吨），总重6571819.5++=<（吨），符合要求；选择BCD 时，装运的I 号产品重量为：3249++=（吨），总重5571719.5++=<（吨），符合要求；选择DCE 时，装运的I 号产品重量为：4239++=（吨），总重7582019.5++=>（吨），不符合要求；选择BDE 时，装运的I 号产品重量为：34310++=（吨），总重5782019.5++=>（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD．故答案为：ABC（或ABE 或AD 或ACD 或BCD）．（2）选择ABC 时，装运的II 号产品重量为：1236++=（吨）；选择ABE 时，装运的II 号产品重量为：1258++=（吨）；选择AD 时，装运的II 号产品重量为：134+=（吨）；选择ACD 时，装运的II 号产品重量为：1337++=（吨）；选择BCD 时，装运的II 号产品重量为：2338++=（吨）；故答案为：ABE 或BCD．17、【答案】4解：0(1)4sin 45 3.π-+--2=1432+⨯-+=4．18、【答案】14x <<解：274 4 2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解不等式①得1x >，解不等式②得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．19、【答案】５解：∵2220x x +-=，∴222x x +=，∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=20、【答案】答案见解析选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180︒．证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠．(两直线平行，内错角相等）点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ∴∠+∠+∠=︒．（平角的定义）180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒．21、【答案】（1）见解析（2）见解析（1）：证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO CO =，BO DO =，∵AE CF =，∴AO AE CO CF -=-，即EO FO =，∴四边形EBFD 是平行四边形．（2）：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ，∴DCA BAC ∠=∠，∵,BAC DAC ∠=∠∴DCA DAC ∠=∠，∴DA DC =，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，即EF BD ⊥，∵四边形EBFD 是平行四边形，∴四边形EBFD 是菱形．22、【答案】（1）112y x =+，(0,1)（2）1n ≥（1）：解：将(4,3)，(2,0)-代入函数解析式得，3=402k b k b +⎧⎨=-+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数的解析式为：112y x =+，当0x =时，得1y =，∴点A 的坐标为(0,1)．（2）：由题意得，112x n x +>+，即22x n >-，又由0x >，得220n -≤，解得1n ≥，∴n 的取值范围为1n ≥．23、【答案】（1）8.6（2）甲（3）乙（1）：解：丙的平均数：101010998398108.610+++++++++=，则8.6m =．（2）：2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦甲，222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦乙，22S S < 甲乙，∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．（3）：由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：甲：889799910=8.6258+++++++，乙：77799101010=9.758+++++++，丙：10109989810=9.1258+++++++，∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．24、【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（1）：证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，OC OD∴=，90OHC OHD∠=∠=︒，OH OH=，()Rt COH Rt DOH HL∴∆≅∆，COH DOH∴∠=∠，BC BD∴=，COB BOD∴∠=∠，2COB A∠=∠，2BOD A∴∠=∠；（2）：证明：连接AD ，OA OD = ，OAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，∵点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒，AB Q 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，//OC DE ∴，CE BE ⊥Q ，CE OC ∴⊥，∴直线CE 为O 的切线．25、【答案】（1）23.20m；()20.05823.20y x =--+（2）＜（1）：解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：()8,23.20，∴8h =，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入()2823.20y a x =-+得：()220.000823.20a =-+，解得：0.05a =-，∴函数关系关系式为：()20.05823.20y x =--+．（2）：设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，()20.05823.20t x =--+，解得：8x =+或8x =-，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =+，第二次训练时，()20.04923.24t x =--+，解得：9x =+9x =∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =，∵()()2023.202523.24t t --＜，，∴12d d ＜．故答案为：＜．26、【答案】（1）（0，2）；t=2（2）t 的取值范围为322t <<；0x 的取值范围为023x <<（1）：解：当2c =时，22y ax bx =++，∴当x =0时，y =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；∵m n =，∴点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称，∴1322t +==；（2）：解：当x =0时，y =c ，∴抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），∴抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），∵0a >，∴当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，1t <，∵,m n c <<1＜3，∴2t ＞3，即32t >（不合题意，舍去），当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t <<，此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离，∴13t t -<-，解得：2t <，∵,m n c <<1＜3，∴2t ＞3，即32t >，∴322t <<，∵0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t =，∴012x t +=，∴013222x +<<，解得：023x <<，∴t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<．27、【答案】（1）见解析（2）CD CH =；证明见解析（1）：证明：在FCE 和BCD 中，CE CD FCE BCD CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FCE BCD ≅ ，∴∠CFE=∠CBD∴EF BD ∥，∵AF EF ⊥，∴BD AF ⊥．（2）：解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ∠= ，CM ＝CB ，∴AC 垂直平分BM ，∴AB AM =，在MEC 和BDC 中，CM CB MCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MEC BDC ≅ ，∴ME=BD,∠CME=∠CBD∵222AB AE BD =+，∴222AM AE ME =+，∴90AEM ∠=︒，∵∠CME=∠CBD∴BH EM ∥，∴∠BHE=∠AEM=90°即∠DHE=90°∵12CE CD DE ==，∴12CH DE =，∴CD CH =．28、【答案】（1）见解析（2）42t -（1）：解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，∴()'1,1P -，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，∴点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，∴点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，∵//AQ OP ，∴AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔAQT OPT AAS ≅，∴12TA TO OA ==，∵()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴223332OA =+=，22112OM +=22222ON =+=，∴13222TO OA ==，∴322222NT ON OT =-==，∴12NT OM =；（2）：解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ==，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ =，又∵OP OS =，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ，∵1NM OM ON t =-=-，∴222TQ NM t ==-，∴()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，∴()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．。
【中考真题】2022年北京市中考数学试卷(附答案)
2022年北京市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下面几何体中，是圆锥的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学计数法表示应为（ ） A ．1026.288310⨯B ．112.6288310⨯C ．122.6288310⨯D ．120.26288310⨯3．如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ． 2a -＜B ．1b ＜C ．a b ＞D ．a b -＞5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．346．若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．4-B ．14-C ．14D ．47．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ； ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；①用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2xy x -=______． 11．方程215x x=+的解为___________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）13．某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 14．如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．15．如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．16．甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下：甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II 号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）． 三、解答题17．计算：0(1)4sin 458 3.π-+-+- 18．解不等式组：274,4.2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩19．已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．20．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC∆, 求证：180.A B C ∠+∠+∠= 方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥21．如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)-，且与y 轴交于点A ．(1)求该函数的解析式及点A 的坐标；(2)当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b ．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c ．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m 的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．24．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1)求证：2;BOD A ∠=∠(2)连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．25．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a =-+<(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围． 27．在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为ABC ∆内一点，连接BD ，DC 延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF 若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”． (1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；①连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM =(2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）参考答案：1．B 【解析】 【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案． 【详解】解：A 选项为圆柱，不合题意； B 选项为圆锥，符合题意； C 选项为三棱柱，不合题意； D 选项为球，不合题意； 故选B ． 【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥． 2．B 【解析】 【分析】将262 883 000 000写成()11100≤⨯<na a ，n 为正整数的形式即可．【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是2.62883，小数点向左移动了11位， ①262 883 000 000112.6288310=⨯， 故选B ． 【点睛】本题考查用科学计数法表示绝对值大于1的数，掌握()11100≤⨯<na a 中n 的取值方法是解题的关键． 3．A 【解析】 【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，∠=︒．由对顶角相等可得，130故选A．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．【详解】解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项错误；点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；b在a的右边，故b>a，故C选项错误；-＞，故D选项正确，由数轴得：-2<a<-1.5，则1.5<-a<2，1<b<1.5，则a b故选：D．【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．5．A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：①共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6．C【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．【详解】①一元二次方程20x x m++=有两个相等的实数根，①∆=0，①2140m-=，解得14m=，故C正确．故选：C．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解①如图，一共有5条对称轴．故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．8．A【解析】【分析】由图象可知：当y 最大时，x 为0，当x 最大时，y 为零，即y 随x 的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；①设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -， 则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⎝⎭， 故①不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①①，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．9．x ≥8##8x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x -8≥0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：x -8≥0，解得：x ≥8．故答案为：x ≥8．【点睛】0)a ≥是解题的关键． 10．()()11x y y +-【解析】【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 11．x =5【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．【详解】 解：215x x=+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故原方程的解为：x =5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，12．＞【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：①k >0，①在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，①1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．13．120【解析】【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，①该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040⨯=双． 故答案为：120【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键．14．1【解析】【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，①AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，①1DF DE ==， ①1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=． 故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 15．1【解析】【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，①14AE AF BC FC ==，4BC =， ①144AE =， ①1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16． ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ） ABE 或BCD【解析】【分析】（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选出2个或3个，同时满足I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II 号产品最多的方案即可．【详解】解：（1）根据题意，选择ABC 时，装运的I 号产品重量为：53210++=（吨），总重6551619.5++=<（吨），符合要求；选择ABE 时，装运的I 号产品重量为：53311++=（吨），总重6581919.5++=<（吨），符合要求；选择AD 时，装运的I 号产品重量为：549+=（吨），总重671319.5+=<（吨），符合要求；选择ACD 时，装运的I 号产品重量为：52411++=（吨），总重6571819.5++=<（吨），符合要求；选择BCD 时，装运的I 号产品重量为：3249++=（吨），总重5571719.5++=<（吨），符合要求；选择DCE 时，装运的I 号产品重量为：4239++=（吨），总重7582019.5++=>（吨），不符合要求；选择BDE 时，装运的I 号产品重量为：34310++=（吨），总重5782019.5++=>（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD ．故答案为：ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）．（2）选择ABC 时，装运的II 号产品重量为：1236++=（吨）；选择ABE 时，装运的II 号产品重量为：1258++=（吨）；选择AD 时，装运的II 号产品重量为：134+=（吨）；选择ACD 时，装运的II 号产品重量为：1337++=（吨）；选择BCD 时，装运的II 号产品重量为：2338++=（吨）；故答案为：ABE 或BCD ．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．17．4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】 解：0(1)4sin 458 3.π-+-+-=143+ =4．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．18．14x <<【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．【详解】解：274? 4 2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式①得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．19．５【解析】【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：①2220x x +-=，①222x x +=，①2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．20．答案见解析【解析】【分析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180︒．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠．( 两直线平行，内错角相等）点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ∴∠+∠+∠=︒．（平角的定义）180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形，得出AO CO =，BO DO =，再根据AE CF =，得出EO FO =，即可证明结论；（2）先证明DCA DAC ∠=∠，得出DA DC =，证明四边形ABCD 为菱形，得出AC BD ⊥，即可证明结论．(1)证明：①四边形ABCD 为平行四边形，①AO CO =，BO DO =，①AE CF =，①AO AE CO CF -=-，即EO FO =，①四边形EBFD 是平行四边形．(2)①四边形ABCD 为平行四边形，①AB CD ，①DCA BAC ∠=∠，①,BAC DAC ∠=∠①DCA DAC ∠=∠，①DA DC =，①四边形ABCD 为菱形，①AC BD ⊥，即EF BD ⊥，①四边形EBFD 是平行四边形，①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．22．(1)112y x =+，(0,1) (2)1n ≥【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x +>+结合0x >解出不等式即可求解． (1)解：将(4,3)，(2,0)-代入函数解析式得， 3=402k b k b +⎧⎨=-+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①函数的解析式为：112y x =+， 当0x =时，得1y =，①点A 的坐标为(0,1)．(2)由题意得，112x n x +>+，即22x n >-， 又由0x >，得220n -≤，解得1n ≥，①n 的取值范围为1n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关系．23．(1)8.6(2)甲(3)乙【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．（2）根据方差的计算方法先算出甲乙的方差，再进行比较即可求解．（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分，再进行比较即可求解．(1)解：丙的平均数：101010998398108.610+++++++++=， 则8.6m =．(2)2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦甲， 222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦乙， 22S S <甲乙，①甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．(3)由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为： 甲：889799910=8.6258+++++++， 乙：77799101010=9.758+++++++， 丙：10109989810=9.1258+++++++， ①去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键． 24．(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ∆≅∆ ，故可得COH DOH ∠=∠ ，于是BC BD = ，即可得到2BOD A ∠=∠；（2）连接，解出60COB ∠=︒，根据AB 为直径得到90ADB ∠=︒，进而得到60ABD ∠=︒，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．(1)证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，∴=，90OC OD∠=∠=︒，OHC OHD=，OH OH()∴∆≅∆，Rt COH Rt DOH HLCOH DOH∴∠=∠，∴=，BC BDCOB BOD∴∠=∠，∠=∠，2COB A∴∠=∠；BOD A2(2)证明：连接AD，=，OA ODOAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，①点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒， AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，//OC DE ∴，CE BE ⊥，CE OC ∴⊥，∴直线CE 为O 的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 25．(1)23.20m ；()20.05823.20y x =--+(2)＜【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：()8,23.20，①8h =，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入()2823.20y a x =-+得： ()220.000823.20a =-+，解得：0.05a =-，①函数关系关系式为：()20.05823.20y x =--+．(2)设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，()20.05823.20t x =--+，解得：8x =8x =①根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =第二次训练时，()20.04923.24t x =--+，解得：9x =9x =①根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =①()()2023.202523.24t t --＜，，①12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d ，是解题的关键．26．(1)（0，2）；2(2)t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x << 【解析】【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．(1)解：当2c =时，22y ax bx =++，①当x =0时，y =2，①抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；①m n =，①点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称， ①1322t +==； (2)解：当x =0时，y =c ，①抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），①抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），①0a >，①当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时， 1t <，①,m n c <<1＜3，①2t ＞3，即32t >（不合题意，舍去）， 当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t <<，此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离，①13t t -<-，解得：2t <，①,m n c <<1＜3，①2t ＞3，即32t >， ①322t <<， ①0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t =，①012x t +=， ①013222x +<<，解得：023x <<， ①t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．(1)见解析(2)CD CH =；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明SAS FCE BCD ∆∆，得出CFE CBD ，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证SAS MEC BDC ∆∆，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．(1)证明：在FCE ∆和BCD ∆中， CE CD FCE BCD CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，① SAS FCEBCD ∆∆， ① CFE CBD ，① EF BD ∥，①AF EF ⊥，①BD AF ⊥．(2)解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，①90ACB ∠=，CM ＝CB ，① AC 垂直平分BM ，①AB AM =，在MEC ∆和BDC ∆中，CM CB MCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，① SAS MEC BDC ∆∆，① ME BD =，CME CBD ， ①222AB AE BD =+，① 222AM AE ME =+，① 90AEM ∠=︒，①CME CBD ，① BH EM ∥，① 90BHE AEM ，即90DHE ∠=︒， ①12CECD DE ， ① 12CH DE ， ① CD CH =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE ∠=︒是解题的关键．28．(1)见解析(2)42t -【解析】【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；①延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==； （2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．①点(1,1)M ，①点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，①()'1,1P -，①点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，①点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，①点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；①证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，① //AQ OP ，①AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ①12TA TO OA ==， ① ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，①OA =OM =ON =①12TO OA ==①NT ON OT =-= ①12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，①(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，①'1PP OM ==，①点P'关于点N 的对称点为Q ，①'NP NQ =，又①OP OS =，①OM ①ST ，①NM 为Δ'P QT 的中位线，①//NM QT ，1=2NM QT ， ①1NM OM ON t =-=-，①222TQ NM t ==-，①()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，①()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q 和点P'的轨迹是解题的关键．。
2022年北京市中考数学试卷-含答案详解
2022年北京市中考数学真题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下面几何体中，是圆锥的为( )A. B.C. D.2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为( )A. 26.2883×1010B. 2.62883×1011C. 2.62883×1012D. 0.262883×10123. 如图，利用工具测量角，则∠1的大小为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )A. a<−2B. b<1C. a>bD. −a>b5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )A. 14B. 13C. 12D. 346. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )A. −4B. −14C. 14D. 47. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 58. 下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若√x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10. 分解因式：xy2−x=．11. 方程2x+5=1x的解为．12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1y2(填“>”“=”或“<”)．13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14. 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则SΔACD =．15. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC =14，则AE的长为．16. 甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．(1)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)；(2)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.18. 解不等式组：{2+x>7−4x, x<4+x2.四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
北京中考数学试题及答案
北京中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B3. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第6项是多少？A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A4. 一个长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm，它的体积是多少？A. 72cm³B. 64cm³C. 48cm³D. 36cm³答案：A5. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A6. 下列哪个是二次方程的解？A. x=1B. x=-1C. x=2D. x=-2解：x² - 1 = 0答案：A, B7. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 8D. -8答案：A8. 一个分数的分子是5，分母是2，它的倒数是多少？A. 2/5B. 5/2C. 1/5D. 1/2答案：B9. 一个多项式f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6，它的根是什么？A. x=1, 2, 3B. x=2, 3, 4C. x=1, 3, 5D. x=2, 3, 5答案：C10. 一个圆的周长是31.4cm，它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的立方根是2，这个数是____。
答案：812. 一个直角三角形的斜边长是13cm，一条直角边是5cm，另一条直角边是____。
答案：12cm13. 一个数的绝对值是5，这个数可以是____或____。
答案：5 或 -514. 如果一个数的平方是25，那么这个数是____或____。
答案：5 或 -515. 一个数除以2等于3，这个数是____。
2023年北京市中考数学真题(含答案解析)
2023年北京市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．如图，90AOC ∠=∠=︒，126AOD ∠=，则BOC ∠的大小为（A ．36︒B ．44︒54︒4．已知10a ->，则下列结论正确的是（A ．11a a -<-<<11a a -<-<<C ．11a a -<-<<11a a-<-<<5．若关于x 的一元二次方程23x x m -+=有两个相等的实数根，A ．9-B ．94-946．十二边形的外角和．．．为（）A ．30︒B ．150︒360︒7．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A ．14B ．138．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点上述结论中，所有正确结论的序号是（A ．①②B ．①③二、填空题9．若代数式52x -有意义，则实数10．分解因式：23x y y -=11．方程31512x x=+的解为12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数则m 的值为．13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时）使用寿命1000x <1000x ≤<灯泡只数510根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于只．14．如图，直线AD ，BC 交于点O 的值为．15．如图，OA 是O 的半径，BC 是 交OC 的延长线于点E ．若45AOC ∠=︒16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E 所需时间/分钟99797在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要三、解答题17．计算：114sin602123-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭18．解不等式组：23535x x x x+⎧>⎪⎨⎪-<+⎩．19．已知210x y +-=，求代数式x(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)AE BE =，2AB =，1tan 2ACB ∠=21．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是的宽相等，均为天头长与地头长的和的宽为27cm ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的自《启功法书》）22．在平面直角坐标系xOy 中，函数y kx =+与过点()0,4且平行于x 轴的线交于点C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当3x <时，对于x 的每一个值，函数23y =小于4，直接写出n 的值．23．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：如下：a .16名学生的身高：(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为围．参考答案：【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由a =，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，特征，利用数形结合的思想是解题的关键．23．(1)166m =，165n =；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：165，166，166，167，168，168，170出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、26．(1)32t =(2)12t ≤【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得()11,x y 离对称轴更近，1x 右侧，根据对称性求得1213222x x +<<，进而根据【详解】（1）解：∵对于11x =，22x =有1y =∴抛物线的对称轴为直线12322x x x +==，∵抛物线的对称轴为x t =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，题的关键．28．(1)1C ，2C ；2OC =(2)2313t ≤≤或2633t ≤≤．a、若12C B与O相切，AC经过点O，①当S 位于点()0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ⊥∵()0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ⊥，。
2022年北京市中考数学真题(解析版)
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10.分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
北京市中考数学试卷及答案(完整版)
北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
2024年北京市中考数学试卷真题及其答案
2024年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞04．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．165．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×10187．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C ′O ′D ′≌△COD 得到∠A ′O ′B ′＝∠AOB ，其中判定△C ′O ′D ′≌△COD 的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．（2分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，O 为对角线的交点．将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A ′B ′C ′D ′，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形BFB ′GDHD ′E 给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2分）分解因式：x 3﹣25x ＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝°．15．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，AF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G ．若AD ＝5，CG ＝4，则△AEF 的面积为．第14题第15题16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm （结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点是弦AB 的“α可及点”，其中α＝°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：B．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故选：B．3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞0【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故选：C．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．16【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．5．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×1018【解答】解：由题意可得：4×1017×5＝2×1018．故选：D．7．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥9．【解答】解：根据题意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．11．（2分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：x +（2x +3）＝03x +3＝0x ＝﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），∴y 1＝，y 2＝﹣，∴y 1+y 2＝0．故答案为：0．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是160．【解答】解：∵满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数是200×＝160，故答案为：160．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝55°．【解答】解：设AB 与CD 相交于点E ，∵⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径），∴AB ⊥CD ，∴∠DEB ＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，＝AE•EF＝．∴S△AEF故答案为：．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按B﹣D﹣C﹣A的先后顺序彩排．【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：B﹣D﹣C﹣A顺序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案为：60；B﹣D﹣C﹣A．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范围是m≥1．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为91，n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＜91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k（k为整数）的值为92．【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；故答案为：91；4；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案为：＜；（2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）＝92，乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，乙选手的方差S2乙5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，∴乙选手的方差小于丙选手的方差，∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k为整数，∴k（k为整数）的值为92，故答案为：92．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴设OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x ＝或x ＝0（不合题意舍去），∴OE ＝，∴⊙O 半径的长为．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 1.2cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm （结果保留小数点后一位）．【解答】解：（1）设h 1＝kV ，将（100，2.5）代入得：2.5＝100k ，解得k ＝，∴h 1＝V ，∵V ＝40，∴h 1＝1.0，故答案为：1.0．（2）如图所示，（3）①当V ＝320ml 时，h 1＝8.0cm ，由图象可知相差约为1.2cm ．故答案为：1.2．②在①的条件下两杯相差1.2cm ，此时h 1大约是7.9，加上0.6约为8.5cm ．故答案为：8.5．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．【解答】解：（1）将a ＝1代入得y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）由题得，y 1＝a •（3a ）2﹣2a 2•3a ＝3a 3，y 2＝﹣2a 2x 2，∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝a （﹣2ax 2﹣3a 2）＝a （x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，①当a ＞0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，∴或，解得x 2＞3a 或x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴3a ＜3或﹣a ＞4，∴a ＜1或a ＜﹣4，∵a ＞0，∴0＜a ＜1；②当a ＜0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＜0，∴或，解得3a ＜x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴，解得a ＜﹣4，综上，0＜a ＜1或a ＜﹣4．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：连接CD，由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF＝2AC，在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，∴∠ABC＝∠HBD，∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，∵G 是AE 的中点，∴GF ＝GD ，EF ＝2GD ，∴∠GFD ＝∠GDF ＝α，∴∠HGD ＝2α，∴∠HGD ＝∠FHD ，∴DG ＝DH ，∵AC ＝DH ，∴DG ＝AC ，∴EF ＝2AC ．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点C 2是弦AB 的“α可及点”，其中α＝45°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O 关于AB 的对称圆⊙O ，∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”，∴点C 应在⊙O '的圆内或圆上，∵点A （0，1），B （1，0），∴OA ＝OB ＝1，∵∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，由对称得：∠O 'BA ＝O 'AB ＝45°，∴△O ′BA 为等腰直角三角形，∴O '（1，1），设⊙O 半径为R ，则，故C 1在⊙O '外，不符合题意；C 2O '＝2﹣1＝1＝R ，故C 2在⊙O '上，符合题意；，故C 3在⊙O '外，不符合题意，∴点C 2是弦AB 的“α可及点”，可知B ，O ′，C 2三点共线，∵，∴，故答案为：C 2，45；②取AB 中点为H ，连接DH ，∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴，∴，∵点A（0，1），B（1，0），∴，∴，∴点D的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N，∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N），∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O″，∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q，∴，∴，随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，，连接O″P，OP，∵OP≤OO″+O″P，∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，由上述过程知，∴，∴当r＝1，OP的最大值为2，设，则，解得：，记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，当x＝0，，当y＝0时，，解得x＝1，∴与x轴交于点T（1，0），∴，∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，∴∠TOS＝60°，∴，∴，∴t的取值范围是．。
2023年北京昌平中考数学真题及答案
2023年北京昌平中考数学真题及答案考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A．723.910⨯B．82.3910⨯C．92.3910⨯D．90.23910⨯2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（）A．36︒B．44︒4．已知10a ->，则下列结论正确的是（A．11a a -<-<<C．11a a -<-<<5．若关于x 的一元二次方程23x x m -+（）A．9-B．94-6．十二边形的外角和．．．为（）A．30︒B．150︒7．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A．14B．138．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接三个结论：①a b c +<；②2a b a +>+上述结论中，所有正确结论的序号是（的半径，BC是 15．如图，OA是O交OC的延长线于点E．若45∠=︒AOC16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E所需时间/分钟99797在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第24题6分，第25解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：114sin6023-⎛⎫︒++--⎪⎝⎭(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)AE BE=，2AB=，1 tan2ACB∠=21．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是的宽相等，均为天头长与地头长的和的宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的自《启功法书》）22．在平面直角坐标系xOy中，函数y kx=+与过点()0,4且平行于x轴的线交于点C．(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当3x<时，对于x的每一个值，函数y=且小于4，直接写出n的值．23．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm）(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为1x 个单位质量，第二次用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为1x 11.09.09.07.02x 0.8 1.0 1.3 1.912x x +11.810.010.38.9C0.9900.9890.9900.990（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量1x 和总用水量12x x +之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C ______0.990（填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()20y ax bx c a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为x t =．(1)若对于11x =，22x =有12y y =，求t 的值；(2)若对于101x <<，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．27．在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；(2)如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足直接写出AEF ∠的大小，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点(1)如图，点()1,0A -，122,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，222,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭①在点()11,1C -，20()2,C -，()30,2C 中，弦1AB 的“关联点”是______．②若点C 是弦2AB 的“关联点”，直接写出OC 的长；【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；23．(1)166m =，165n =；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；28．(1)1C，2C；2OC=(2)2313t≤≤或2633t≤≤．a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O，①当S 位于点()0,3M 时，MP 为 ∵()0,3M ，O 的半径为1，且MP ∴OP MP ⊥，。
2023年北京市中考数学真题答案
参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：8239000000 2.3910=⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值． 2. 【答案】A【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．3. 【答案】C【分析】由90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠︒=，可求出COD ∠的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵=90AOC ∠︒，126AOD ∠︒=，∴36COD AOD AOC ∠=∠−∠=︒，∵90BOD ∠=︒，∴903654BOC BOD COD ∠=∠−∠=︒−︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和AOD ∠相比，多加了BOC ∠．4. 【答案】B【分析】由10a −>可得1a >，则0a >，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：10a −>得1a >，则0a >，∴1a −<−，∴11a a −<−<<，故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 5. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴24940b ac m ∆=−=−=． 解得：94m =． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．6. 【答案】C【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴十二边形的外角和是360°．故选：C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．7. 【答案】A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为14. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．8. 【答案】D【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+，由DF DE <，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由EAB BCD ≌△△，可得BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE ==，由AB AE BE +>，可得a b +>，进而可判断②的正误；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b=+，则)c a b =<+，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，90EBD ∠=︒，∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE ==， ∵AB AE BE +>，∴a b +>，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b=+，∴)c a b =<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】2x ≠【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式52x −有意义，则20x −≠， 解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．10. 【答案】()()y x y x y +−【详解】试题分析：原式提公因式得：y （x 2-y 2）=()()y x y x y +−考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 11. 【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12. 【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数()0k y k x=≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m − ∴把点()3,2A −代入得326k =−⨯=−， ∴反比例函数解析式为6y x−=， 把点(),2B m −代入得：62m −−=， 解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．13. 【答案】460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为176100046050+⨯=（只），故答案为：460．【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．14. 【答案】32【分析】由平行线分线段成比例可得，21BO AO OE OF ==，12OE OF EC FD ==，得出2BO OE =，2EC OE =，从而2322BE OE OE EC OE +==. 【详解】AB EF CD ， 2AO =，1OF =， 21BO AO OE OF ∴==， 2BO OE ∴=，12OE OF EC FD ==， 2EC OE ∴=，2322BE OE OE EC OE +∴==； 故答案为：32. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.15.【分析】根据OA BC ⊥，得出90ODC ∠=︒，112DC BC ==，根据等腰直角三角形的性质得出OC ==，即OA OC ==，根据90OAE ∠=︒，45AOC ∠=︒，得出AOE △为等腰直角三角形，即可得出AE OA ==【详解】解：∵OA BC ⊥，∴90ODC ∠=︒，112DC BC ==． ∵45AOC ∠=︒，∴ODC 为等腰直角三角形，∴OC ==∴OA OC == ∵AE 是O 的切线，∴90OAE ∠=︒，∵45AOC ∠=︒，∴AOE △为等腰直角三角形，∴AE OA ==．【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出112DC BC ==． 16. 【答案】 ①. 53 ②. 28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案．【详解】解：由题意得：9979710253++++++=（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028++=（分钟），故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 【答案】5【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式432=+−32=++−5=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．18. 【答案】12x <<【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】23535x x x x +⎧>⎪⎨⎪−<+⎩①②解不等式①得：1x >解不等式②得：2x <∴不等式的解集为：12x <<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 19. 【答案】2【分析】先将分式进行化简，再将210x y +−=变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式()()222222x y x yx y =+++=， 由210x y +−=可得21x y +=，将21x y +=代入原式可得，原式221==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20. 【答案】（1）见解析 （2）【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AF EC =，证明四边形AECF 是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明ABE 是等腰直角三角形，可得AE BE ==，然后再解直角三角形求出EC 即可． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵BE DF =，∴AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF =，∴平行四边形AECF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知四边形AECF 是矩形，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AE BE =，2AB =，∴ABE 是等腰直角三角形，∴2AE BE AB === 又∵1tan 2AE ACB EC ∠==，∴12EC =，∴EC =∴BC BE EC =+=+=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】边的宽为4cm ，天头长为24cm【分析】设天头长为cm x ，则地头长为2cm 3x ，边的宽为121cm cm 1036x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为cm x ，由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为2cm 3x ， 边的宽为121cm cm 1036x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 装裱后的长为cm cm 2510010033x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎪， 装裱后的宽为cm cm 1112727663x x x =⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意可得：5110027433x x ⎛⎫+=+⨯ ⎪⎝⎭ 解得24x =， ∴146x =， 答：边的宽为4cm ，天头长为24cm ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．22. 【答案】（1）1y x =+，()3,4C ；（2）2n =．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C 的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C 的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当23y x n =+过点()3,4时满足题意，代入()3,4求出n 的值即可． 【小问1详解】 解：把点()0,1A ，()1,2B 代入()0y kx b k =+≠得：12b k b =⎧⎨+=⎩，解得：11k b =⎧⎨=⎩， ∴该函数的解析式为1y x =+，由题意知点C 的纵坐标为4，当14y x =+=时，解得：3x =，∴()3,4C ；【小问2详解】解：由（1）知：当3x =时，14y x =+=，因为当3x <时，函数23y x n =+的值大于函数1y x =+的值且小于4， 所以如图所示，当23y x n =+过点()3,4时满足题意， 代入()3,4得：2433n =⨯+， 解得：2n =．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．23. 【答案】（1）166m =，165n =；（2）甲组 （3）170， 172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于329，结合其余学生的身高即可做出选择． 【小问1详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数165n =，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数1661661662m +==， ∴166m =，165n =；【小问2详解】 解：甲组身高的平均数为()1162165165166166164.85++++=， 甲组身高的方差为()()()()()222221162164.8165164.8165164.8166164.8166164.8 2.165⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦ 乙组身高的平均数为()1161162164165175165.45++++=， 乙组身高的方差为()()()()()222221161165.4162165.4164165.4165165.4175165.425.045⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦， ∵25.04 2.16>∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；【小问3详解】解：168，168，172的平均数为)1116933168168172=++ ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329， ∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170， 172，且选择170， 172时，平均数会增大，故答案为：170， 172． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析，90BAD ∠=︒（2）4【分析】（1）根据已知得出AB BC =，则ADB CDB ∠=∠，即可证明DB 平分ADC ∠，进而根据BD 平分ABC ∠，得出AD CD =，推出BAD BCD =，得出BD 是直径，进而可得90BAD ∠=︒；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F ∠=︒，ADC △是等边三角形，进而得出1302CDB ADC ∠=∠=︒，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BC BD =，在Rt BFC △中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC 的长，进而即可求解．【小问1详解】解：∵BAC ADB ∠=∠∴AB BC =，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，∴AB AD BC CD +=+，即BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；【小问2详解】解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵AD CD =，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．∵BD 平分ADC ∠， ∴1302CDB ADC ∠=∠=︒． ∵BD 是直径， ∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =． ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒−︒=︒， ∴12FB BC =． ∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径， ∴此圆半径的长为142BD =． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度0.990C <，故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26. 【答案】（1）32t =（2）12t ≤ 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得()11,x y 离对称轴更近，12x x <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得1213222x x +<<，进而根据122x x t +>，即可求解． 【小问1详解】解：∵对于11x =，22x =有12y y =， ∴抛物线的对称轴为直线12322x x x +==， ∵抛物线的对称轴为x t =． ∴32t =； 【小问2详解】解：∵当101x <<，212x <<， ∴1213222x x +<<，12x x <， ∵12y y <，0a >，∴()11,x y 离对称轴更近，12x x <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧， ∴122x x t +>， 即12t ≤． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．27. 【答案】（1）见解析 （2）90AEF ∠=︒，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DM DE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【小问1详解】证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∵C α∠=，∴D DEC M E C α∠−∠∠==，∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点；【小问2详解】90AEF ∠=︒；证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是FCH 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∴2FCH α∠=，∵B C α∠=∠=，∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形，∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，∴DF CD n ==，∴FM DF DM n m =−=−，∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF ACH ≅，∴AF AH =，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）1C ，2C ；OC=（2）13t ≤≤或3t ≤≤ 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据()0,3M ，,05N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点来求最值情况，S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【小问1详解】解：①由关联点的定义可知，若直线CA CB ，中一经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点()1,0A −，1,22B ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，()11,1C −，20()C ，(3C ， ∴直线2AC 经过点O ，且2BC 与O 相切，∴2C 是弦1AB 的“关联点”，又∵()11,1C −和()1,0A −横坐标相等，与122B ⎛− ⎝⎭都位于直线y x =−上， ∴1AC 与O 相切，11B C 经过点O ，∴1C 是弦1AB 的“关联点”．②∵()1,0A −，222B ⎛− ⎝⎭，设()C a b ，，如下图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O ，则12C B 、1AC 所在直线为： 0y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：)1C 0，∴1OC =，b 、若2AC 与O 相切，22C B 经过点O ， 则22C B 、2AC 所在直线为：1x y x =−⎧⎨=−⎩， 解得：()211C −，，∴2OC =，综上，OC =【小问2详解】解：∵线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，又∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且()0,3M ，N ⎫⎪⎪⎝⎭，OM ON >， ∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点()0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ⊥，∵()0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ⊥，∵PJ OM ⊥，∴MPO POJ ∽， ∴OP OM OJ OP =，即13OJ=， 解得13OJ =，∴根据勾股定理得，3PJ ==，123Q J =根据勾股定理，13PQ ==，同理，23PQ ==，∴当S 位于点()0,3M 时，1PQ 的临界值为3和3． ②当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，∵点()0,3M ，5N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴5MN ==， ∴2OK OM ON MN =⨯÷=，又∵O 的半径为1，∴30OKZ ∠=︒，∴三角形OPQ 为等边三角形，∴在此情况下，1PQ =，PQ =∴当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，1PQ 的临界值为1∴在两种情况下，PQ 的最小值在13t ≤≤内，最大值在3t ≤≤综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤或3t ≤≤ 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．。
2022年北京市中考数学试卷(含答案)
2022年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．2．（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（）A．26.2883×1010B．2.62883×1011C．2.62883×1012D．0.262883×10123．（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（2分）（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b5．（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．47．（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．58．（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）（2022•北京）分解因式：xy2﹣x＝．11．（2分）（2022•北京）方程＝的解为．12．（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．13．（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14．（2分）（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．15．（2分）（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．16．（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x （x+2）+（x+1）2的值．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE ＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．27．（7分）（2022•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．28．（7分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．2022年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【分析】简单几何体的识别．【解答】解：A是圆柱；B是圆锥；C是三棱锥，也叫四面体；D是球体，简称球；故选：B．【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．2．（2分）（2022•北京）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（）A．26.2883×1010B．2.62883×1011C．2.62883×1012D．0.262883×1012【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：262883000000＝2.62883×1011．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（2分）（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】根据对顶角的性质解答即可．【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，故选：A．【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键．4．（2分）（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5．（2分）（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．【解答】解：列表如下：红绿红（红，红）（绿，红）绿（红，绿）（绿，绿）所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，故选：A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（2分）（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2分）（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．5【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，故选：D．【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．8．（2分）（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；（2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；（3）根据矩形的面积公式判断即可．【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．故选：A．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2022•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥8．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．10．（2分）（2022•北京）分解因式：xy2﹣x＝x（y﹣1）（y+1）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，＝x（y2﹣1），＝x（y﹣1）（y+1）．故答案为：x（y﹣1）（y+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（2分）（2022•北京）方程＝的解为x＝5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝x+5，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x（x+5）≠0，∴分式方程的解为x＝5．故答案为：x＝5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．（2分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y ＝（k＞0）的图象上，则y 1＞y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．13．（2分）（2022•北京）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243 2455126321销售量/双根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为120双．【分析】应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．【解答】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为（双）．故答案为：120．【点评】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．14．（2分）（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．15．（2分）（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为1．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC＝4，利用相似三角形的性质，即可求出AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC ＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∴＝，∴，∴，∴AE＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．（2分）（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案ABE或BCD（写出要装运包裹的编号）．【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．【解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求；选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求；选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求；选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求；选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求；选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）；（2）选择ABC时，装运的I号产品重量为：1+2+3＝6（吨）；选择ABE时，装运的I号产品重量为：1+2+5＝8（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3＝4 （吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）；故答案为：ABE或BCD．【点评】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，由x＜，得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝4+1＝5．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∵∠B+∠ACB+∠A＝180°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE ＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∵OA＝OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得，解得，∴函数解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A点坐标为（0，1）；（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k ≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙（填“甲”“乙”或“丙”）．【分析】（1）根据平均数的定义即可求解；（2）计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．【解答】证明：（1）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），∴h＝8，k＝23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：20.00＝a（0﹣8）2+23.20，解得：a＝﹣0.05，∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，解得：x＝8+或x＝8﹣，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+，第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，解得：x＝9+或x＝9﹣，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+，∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），∴＜，∴d1＜d2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，∴，∵m＝n，。
2024年北京市中考真题数学试卷含答案解析
2024年北京市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒，再由平角180AOB ∠=︒即可求解．【详解】解：∵OE OC ⊥，∴90COE ∠=︒，∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒，故选：B ．3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）A ．34B ．12C ．13D ．14共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有∴两次都取到白色小球的概率为故选：D ．6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】17184105210m =⨯⨯=⨯，故选D ．7．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是边边边原理是解题的关键.【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
2023年北京市中考数学试题和答案解析
2023年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×1091．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）解：239000000=2.39×108，故选：B．【解答】A．B．C．D．2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【解答】A．36°B．44°C．54°D．63°3．（2分）如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）解：∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-36°=54°．故选：C．【解答】A．-1<-a<a<1B．-a<-1<1<a C．-a<-1<a<1D．-1<-a<1<a 4．（2分）已知a-1>0，则下列结论正确的是（ ）解：∵a-1>0，∴a>1，∴-a<-1，∴-a<-1<1<a,故选：B．【解答】A．-9B．−94C．94D．9 5．（2分）若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）解：∵关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0有两个相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =（-3）2-4m =0，解得m =94．故选：C ．【解答】A ．30°B ．150°C ．360°D ．1800°6．（2分）正十二边形的外角和为（ ）解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C ．【解答】A ．14B ．13C ．12D ．347．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是14，故选：A ．【解答】A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．（2分）如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB <BC ，∠A =∠C =90°，△EAB ≌△BCD ，连接DE ．设AB =a ,BC =b ,DE =c ,给出下面三个结论：①a +b <c ；②a +b >a 2+b 2；③2（a +b ）>c .上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）√√解：①过点D 作DF ∥AC ，交AE 于点F ；过点B 作BG ⊥FD ，交FD 于点G ．∵DF ∥AC ，AC ⊥AE ，∴DF ⊥AE ．又∵BG ⊥FD ，∴BG ∥AE ，∴四边形ABGF 为矩形．同理可得，四边形BCDG 也为矩形．∴FD =FG +GD =a +b .∴在Rt △EFD 中，斜边c >直角边a +b .故①正确．②∵△EAB ≌△BCD ，∴AE =BC =b ,∴在Rt △EAB 中，BE =AB 2+AE 2=a 2+b 2．∵AB +AE >BE ，∴a +b >a 2+b 2．故②正确．③∵△EAB ≌△BCD ，∴∠AEB =∠CBD ，又∵∠AEB +∠ABE =90°，∴∠CBD +∠ABE =90°，∴∠EBD =90°．∵BE =BD ，∴∠BED =∠BDE =45°，∴BE =a 2+b 2=c •sin 45°=22c .∴c =2a 2+b 2．∵[2(a +b )]2=2（a 2+2ab +b 2）=2（a 2+b 2）+4ab >2（a 2+b 2），【解答】√√√√√√√√二、填空题（共16分，每题2分）∴2(a +b )>2(a 2+b 2)，∴2(a +b )>c .故③正确．故选：D ．√√√9．（2分）若代数式5x −2有意义，则实数x 的取值范围是 ．解：由题意得：x -2≠0，解得：x ≠2，故答案为：x ≠2．【解答】10．（2分）分解因式：x 2y -y 3= ．解：x 2y -y 3=y （x 2-y 2）=y （x +y ）（x -y ）．故答案为：y （x +y ）（x -y ）．【解答】11．（2分）方程35x +1=12x的解为 ．解：方程两边同时乘以2x （5x +1）得，3×2x =5x +1，∴x =1．检验：把x =1代入2x （5x +1）=12≠0，且方程左边=右边．∴原分式方程的解为x =1．【解答】12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数y =kx（k ≠0）的图象经过点A （-3，2）和B （m ,-2），则m 的值为．解：∵函数y =k x（k ≠0）的图象经过点A （-3，2），∴k =-3×2=-6，∴反比例函数的关系式为y =-6x ，又∵B （m ,-2）在反比例函数的关系式为y =-6x的图象上，∴m =−6−2=3，故答案为：3．【解答】13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x <10001000≤x <16001600≤x <22002200≤x <2800x ≥2800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只．解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×17+650=460（只）．故答案为：460．【解答】三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）14．（2分）如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD ，若AO =2，OF =1，FD =2，则BE EC的值为 ．解：∵AO =2，OF =1，∴AF =AO +OF =2+1=3，∵AB ∥EF ∥CD ，∴BE EC=AF FD=32，故答案为：32．【解答】15．（2分）如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为．解：∵OA 是⊙O 的半径，AE 是⊙O 的切线，∴∠A =90°，∵∠AOC =45°，OA ⊥BC ，∴△CDO 和△EAO 是等腰直角三角形，∴OD =CD ，OA =AE ，∵OA ⊥BC ，∴CD =12BC =1，∴OD =CD =1，∴OC =2OD =2，∴AE =OA =OC =2，故答案为：2．【解答】√√√√16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B 、C ，D 、E ，F 、G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟，最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28（分钟），故答案为：53，28．【解答】17．（5分）计算：4sin 60°+（13）-1+|-2|-12．√解：原式=4×32+3+2-23=23+3+2-23=5．【解答】√√√√18．（5分）解不等式组：V Y W Y X x >x +235x −3<5+x．解：VY W Y X x >x +23①5x −3<5+x ②，解不等式①得：x >1，解不等式②得：x <2，∴原不等式组的解集为：1<x <2．【解答】19．（5分）已知x +2y -1=0，求代数式2x +4yx 2+4xy +4y2的值．解：∵x +2y -1=0，∴x +2y =1，∴2x +4yx 2+4xy +4y 2=2(x +2y )(x +2y )2=2x +2y =21=2，∴2x +4yx 2+4xy +4y2的值为2．【解答】20．（6分）如图，在⏥ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE =DF ，AC =EF ．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）若AE =BE ，AB =2，tan ∠ACB =12，求BC 的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∵BE =DF ，∴AD -DF =BC -BE ，即AF =EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC =EF ，∴平行四边形AECF 是矩形；（2）解：∵四边形AECF 是矩形，∴∠AEC =∠AEB =90°，∵AE =BE ，AB =2，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =BE =22AB =2，∵tan ∠ACB =AE EC=12，∴EC =2AE =22，∴BC =BE +EC =2+22=32，即BC 的长为32．【解答】√√√√√√√21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm ,宽为27cm .若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【解答】解：设天头长为6x cm,地头长为4x cm,则左、右边的宽为x cm,根据题意得，100+（6x+4x）=4×[27+（6x-4x）]，解得x=4，答：边的宽为4cm,天头长为24cm.22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x 轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；x+n的值大于函数y=kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．（2）当x<3时，对于x的每一个值，函数y=23解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y=kx+b（k≠0）得：b=1，k+b=2，【解答】解得：k=1，b=1，∴该函数的解析式为y=x+1，由题意知点C的纵坐标为4，当y=x+1=4时，解得：x=3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：当x=3时，y=x+1=4，因为当x<3时，函数y=2x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4，3所以当y=2x+n过点（3，4）时满足题意，3代入（3，4）得：4=2×3+n,3解得：n=2．23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m,n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175．在选另（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于32，其次要求所选的两名学生9与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生身高的中位数为m =166+1662=166（cm ），众数为n =165（cm ），故答案为：166，165；（2）甲组学生身高的平均值是：162+165+165+166+1665=164.8（cm ），甲组学生身高的方差是：15×[（164.8-162）2+（164.8-165）2+（164.8-165）2+（164.8-166）2+（164.8-166）2]=2.16，乙组学生身高的平均值是：161+162+164+165+1755=165.4（cm ），乙组学生身高的方差是：15×[（165.4-161）2+（165.4-162）2+（165.4-164）2+（165.4-165）2+（165.4-175）2]=25.04，∵25.04>2.6，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）∵168，168，172的平均数为13（168+168+172）=16913（cm ），且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，∴数据的差别较小，可供选择的有170cm ,172cm ,平均数为：15（168+168+170+172+172）=170（cm ），方差为：15[（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（172-170）2+（172-170）2]=3.2<329，∴选出的另外两名学生的身高分别为170cm 和172cm .故答案为：170cm ,172cm .【解答】24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分∠ABC ，∠B AC =∠ADB ．（1）求证DB 平分∠ADC ，并求∠BAD 的大小；（2）过点C 作CF ∥AD 交AB 的延长线于点F ，若AC =AD ，BF =2，求此圆半径的长．（1）证明：∵∠BAC =∠ADB ，∠BAC =∠CDB ，∴∠ADB =∠CDB ，∴BD 平分∠ADC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ABC +∠ADC =180°，∴∠ABD +∠CBD +∠ADB +∠CDB =180°，∴2（∠ABD +∠ADB ）=180°，∴∠ABD +∠ADB =90°，∴∠BAD =180°-90°=90°；（2）解：∵∠BAE +∠DAE =90°，∠BAE =∠ADE ，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠AED =90°，∵∠BAD =90°，∴BD 是圆的直径，∴BD 垂直平分AC ，∴AD =CD ，∵AC =AD ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ADC =60°∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =12∠ADC =30°，∵CF ∥AD ，【解答】∴∠F+∠BAD=180°，∴∠F=90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠FBC+∠ABC=180°，∴∠FBC=∠ADC=60°，∴BC=2BF=4，∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，∴BC=12BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990．方案一：采用一次清洗的方式：结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为（x1+x 2）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C 0.990.9890.990.990.990.990.990.9880.990.990.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C 0.990（填“>”“=”或”<”）．解：（Ⅰ）表格如下：x 111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x 20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5x 1+x 211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C 0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．故答案为：4；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量．故答案为：11.3；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到C <0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：<．【解答】26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x =t .（1）若对于x 1=1，x 2=2，有y 1=y 2，求t 的值；（2）若对于0<x 1<1，1<x 2<2，都有y 1<y 2，求t 的取值范围．解：（1）∵对于x 1=1，x 2=2，有y 1=y 2，∴a +b +c =4a +2b +c ,∴3a +b =0，∴ba =-3．∵对称轴为x =-b 2a=32，∴t =32．（2）∵0<x 1<1，1<x 2<2，∴12<x 1+x 22<32，x 1<x 2，∵y 1<y 2，a >0，∴（x 1，y 1）离对称轴更近，x 1<x 2，则（x 1，y 1）与（x 2，y 2）的中点在对称轴的右侧，【解答】∴x 1+x 22>t ,即t ≤12．27．（7分）在△ABC 中，∠B =∠C =α（0°<α<45°），AM ⊥BC 于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段D M 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF =DC ，连接AE ，EF ，直接写出∠AEF 的大小，并证明．（1）证明：由旋转的性质得：DM =DE ，∠MDE =2α，∵∠C =α，∴∠DEC =∠MDE -∠C =α，∴∠C =∠DEC ，∴DE =DC ，∴DM =DC ，即D 是MC 的中点；（2）∠AEF =90°，证明：如图，延长FE 到H 使FE =EH ，连接CH ，AH ，∵DF =DC ，∴DE 是△FCH 的中位线，∴DE ∥CH ，CH =2DE ，由旋转的性质得：DM =DE ，∠MDE =2α，∴∠FCH =2α，∵∠B =∠C =α，∴∠ACH =α，△ABC 是等腰三角形，∴∠B =∠ACH ，AB =AC设DM =DE =m ,CD =n ,则CH =2m ,CM =m +n ,.DF =CD =n ,∴FM =DF -DM =n -m ,∵AM ⊥BC ，∴BM =CM =m +n ,∴BF =BM -FM =m +n -（n -m ）=2m ,∴CH =BF ，在△ABF 和△ACH 中，V Y YW Y Y X AB =AC ∠B =∠ACH BF =CH ，∴△ABF ≌△ACH （SAS ），∴AF =AH ，∵FE =EH ，∴AE ⊥FH ，即∠AEF =90°，【解答】28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点A （-1，0），B 1（−22，22），B 2（22，−22）．①在点C 1（-1，1），C 2（−2，0），C 3（0，2）中，弦AB 1的“关联点”是 ；②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；√√√√√√（2）已知点M （0，3），N （655，0），对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ,当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．√解：（1）①由关联定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点A （-1，0），B 1（−22，22），点C 1（-1，1），C 2（−2，0），C 3（0，2），∴直线AC 2经过点O ，且B 1C 2与⊙O 相切，∴C 2是弦AB 1的“关联点”，∵C 1（-1，1），A （-1，0）的横坐标相同，与B 1（−22，22）都位于直线y =-x 上，∴AC 1与⊙O 相切，B 1C 1经过点O ，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；故答案为：C 1，C 2；②∵A （-1，0），B 2（22，−22），设C （a ,b ），如图所示，共有两种情况，a 、若C 1B 2与⊙O 相切，AC 经过点O ，则C 1B 2，AC 1所在直线为V W X y =x −2y =0，解得V W X x =2y =0，∴C 1（2，0），∴OC 1=2，b 、若AC 2与⊙O 相切，C 2B 2经过点O ，则直线C 2B 2，AC 2所在直线为V W X x =−1y =−x ，解得V W X x =−1y =1，∴C 2（-1，1），∴OC 2=2，综上所述，OC =2；（2）∵线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且M （0，3），N （655，0），OM >ON ，∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点M （0，3）时，MP 为⊙O 的切线，作PJ ⊥OM ，∵M （0，3），⊙O 的半径为1，且MP 是⊙O 的切线，∴OP ⊥MP ，∵PJ ⊥OM ，∴△MPO ∽△POJ ，【解答】√√√√√√√√√√√√√√√∴OP OJ =OMOP，即1OJ=3，解得OJ=13，∴PJ=Q1P 2+Q1J2=223，Q1J=23，∴PQ1=PJ2+Q1J 2=233，同理PQ2=PJ2+Q2J 2=263，∴当S位于M（0，3）时，PQ1的临界值为233和263；②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时，，∵M（0，3），N（655，0），∴MN=OM2+ON2=955，∴OK=OM•ONMN=2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ=30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ=1或3，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和3，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤233内，最大值在263≤t≤3，综上所述，t的取值范围为1≤t≤233，263≤t≤3．√√√√√√√√√√√√√√√√√√√。
2022年北京市中考数学试卷 - 答案
2022年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．B．2．B．3．A．4．D．5．A．6．C．7．D．8．A．二、填空题（共16分，每题2分）x．9．810．(1)(1)-+．x y y11．5x=．12．>．13．120．14．1．15．1．16．解：（1）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD或)ACE；（2）ACE．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【解答】解：原式143=+-=+13=．418．【解答】解：由274x>，x x+>-，得：1由42x x +<，得：4x <， 则不等式组的解集为14x <<．19．【解答】解：2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++，2220x x +-=，222x x ∴+=，∴当222x x +=时，原式22(2)1x x =++221=⨯+41=+5=．20．【解答】证明：方法一：//DE BC ，B BAD ∴∠=∠，C CAE ∠=∠，180BAD BAC CAE ∠+∠+∠=︒，180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒；方法二：//CD AB ，A ACD ∴∠=∠，180B BCD ∠+∠=︒，180B ACB A ∴∠+∠+∠=︒．21．【解答】证明：（1）在ABCD 中，OA OC =，OB OD =，AE CF =．OE OF ∴=，∴四边形EBFD 是平行四边形；（2）四边形ABCD 是平行四边形，//AB DC ∴，BAC DCA ∴∠=∠，BAC DAC ∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，DA DC ∴=，∴平行四边形ABCD 为菱形，DB EF ∴⊥，∴平行四边形EBFD 是菱形．22．【解答】解：（1）把(4,3)，(2,0)-分别代入y kx b =+得4320k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数解析式为112y x =+， 当0x =时，1112y x =+=， A ∴点坐标为(0,1)；（2）当1n 时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．23． 【解答】解：（1）1(10101099839810)8.610m =⨯+++++++++=；（2）甲同学的方差2_S 甲，乙同学的方差2_S 乙， 2_S 甲，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为1(7829410)8.6258⨯+⨯+⨯+=； 乙同学的最后得分为1(3792103)8.6258⨯⨯+⨯+⨯=； 丙同学的最后得分为1(8293103)9.1258⨯⨯+⨯+⨯=， ∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．24．【解答】证明：（1）如图，连接AD ，AB是O的直径，AB CD⊥，=，∴BC BD∴∠=∠，CAB BAD∠=∠，BOD BAD2BOD A∴∠=∠；2（2）如图，连接OC，F为AC的中点，∴⊥，DF AC∴=，AD CD∴∠=∠，ADF CDF=，BC BD∴∠=∠，CAB DAB=，OA OD∴∠=∠，OAD ODA∴∠=∠，CDF CAB=，OC OD∴∠=∠，CDF OCDOCD CAB ∴∠=∠，BC BC =，CAB CDE ∴∠=∠，CDE OCD ∴∠=∠，90E ∠=︒，90CDE DCE ∴∠+∠=︒，90OCD DCE ∴∠+∠=︒，即OC CE ⊥， OC 为半径，∴直线CE 为O 的切线．25． 【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)， 8h ∴=，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入2(8)23.20y a x =-+得： 220.00(08)23.20a =-+，解得：0.05a =-，∴函数关系式为：20.05(8)23.20y x =--+；（2）设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，20.05(8)23.20t x =--+，解得：8x =或8x =，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =+ 第二次训练时，20.04(9)23.24t x =--+，解得：9x =+或9x =，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =， 20(23.20)25(23.24)t t -<-，∴<12d d ∴<，故答案为：<．26． 【解答】解：（1）将点(1,)m ，(3,)n 代入抛物线解析式， ∴93m a b c n a b c =++⎧⎨=++⎩， m n =，93a b c a b c ∴++=++，整理得，4b a =-，∴抛物线的对称轴为直线4222b a x a a-=-=-=； 2t ∴=，2c =，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0,2)．（2）m n c <<，93a b c a b c c ∴++<++<，解得43a b a -<<-，34a b a ∴<-<， ∴34222a b a a a a <-<，即322t <<． 当32t =时，02x =； 当2t =时，03x =．0x ∴的取值范围023x <<．27．【解答】（1）证明：在BCD ∆和FCE ∆中，BC CF BCD FCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCD FCE SAS ∴∆≅∆，DBC EFC ∴∠=∠，//BD EF ∴，AF EF ⊥，BD AF ∴⊥；（2）解：由题意补全图形如下：=．CD CH证明：延长BC到F，使CF BC=，连接AF，EF，⊥，BC CFAC BF=，∴=，AB AF由（1）可知//=，BD EF，BD EF222=+，AB AE BD222∴=+，AF AE EF∴∠=︒，AEF90∴⊥，AE EF∴⊥，BD AE∴∠=︒，DHE90又CD CE=，∴==．CH CD CE28．【解答】解：（1）①由题意知，(21,01)P'-++，∴-，(1,1)P'如图，点Q即为所求；②连接PP'，45P PO MOx '∠=∠=︒，//PP ON '∴，P N QN '=，PT QT ∴=， 12NT PP '∴=， PP OM '=，12NT OM ∴=； （2）如图，连接PO ，并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 到T ，使ST OM =，由题意知，//PP OM '，PP OM '=，P N NQ '=，2TQ MN ∴=，1MN OM ON t =-=-，22TQ t ∴=-，1(22)21SQ ST TQ t t ∴=-=--=-，在PQS ∆中，PS QS PS QS -<+，PQ ∴的最小值为PS QS -，PQ 的最大值为PS QS +，PQ ∴长的最大值与最小值的差为()()242PS QS PS QS QS t +--==-．。
北京市中考数学试卷(含答案解析)
2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何体中，是圆柱的为A．B．C．D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．||4a>B．0c b->C．0ac>D．0a c+>3．方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m，则FAST的反射面积总面积约为A．327.1410m⨯B．427.1410m⨯C．522.510m⨯D．622.510m⨯5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒6．如果23a b-=，那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A．3B．23C．33D．437．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6-）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12-，6-）时，表示左安门的点的坐标为（10，12-）； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为（11，11-）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5-，7.5-）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．下图所示的网格是正方形网格，BAC∠．（填“>”，“=”或“<”）∠________DAE10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a b<，则ac bc<”是错误的，这组值可以是a=_____，b=______，c=_______．12．如图，点A，B，C，D在O上，CB CD∠==，30∠=︒，则ADB∠=︒，50CADACD________．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4AB=，AD=，则CF的长为________．314．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t≤≤3540t<≤4045t<≤4550t<≤合计A59151166124500 B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．求作：PQ，使得PQ l∥．作法：如图，①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，CB=_______，∴PQ l∥（____________）（填推理的依据）．18．计算：04sin45(π2)18|1|︒+--+-．19．解不等式组：3(1)1922x xxx+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．20．关于x的一元二次方程210ax bx++=．（1）当2b a=+时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．22．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP CD ⊥；（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值； /cm x0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.624.673.762.653.184.372/cm y5.62 5.59 5.53 5.425.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APC△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050≤，x<x<≤，5060≤，90100xx<≤≤）；x<6070≤，7080x<≤，8090≤这一组是：x<b．A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．在平面直角坐标系xOy中，直线44=+与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y x23=+-经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．y ax bx a（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作⊥交DG的延长线于点H，连接BH．EH DE（1）求证：GF GC=；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（2-）．-），C（6，2-，6），B（2-，2（1）求d（点O，ABC△）；（2）记函数y kx=，=（11xk≠）的图象为图形G，若d（G，ABC-≤≤，0△）1直接写出k的取值范围；（3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，ABC=，直接写出的取值△）1范围．2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱，D 选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．||4a >B ．0c b ->C ．0ac >D ．0a c +>【答案】B【解析】∵43a -<<-，∴34a <<，故A 选项错误；数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，故B 选项正确； ∵0a <，0c >，∴0ac <，故Ｃ选项错误；∵0a <，0c >，a c >，∴0a c +<，故D 选项错误．【考点】实数与数轴3．方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩【答案】D【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．【考点】二元一次方程组的解4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m，则FAST的反射面积总面积约为A．327.1410m⨯B．427.1410m⨯C．522.510m⨯D．622.510m⨯【答案】C【解析】5714035249900 2.510⨯=≈⨯（2m），故选C．【考点】科学记数法5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【解析】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．【考点】正多边形，多边形的内外角和．6．如果23a b-=，那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A ．3B ．23C ．33D ．43【答案】A【解析】原式()2222222a b a b ab aa ab a a b a a b -+--=⋅=⋅=--，∵23a b -=，∴原式3=． 【考点】分式化简求值，整体代入．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m【答案】B【解析】设对称轴为x h =，由（0，54.0）和（40，46.2）可知，040202h +<=， 由（0，54.0）和（20，57.9）可知，020102h +>=， ∴1020h <<，故选B ．【考点】抛物线的对称轴．8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6-）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12-，6-）时，表示左安门的点的坐标为（10，12-）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为（11，11-）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5-）-，7.5时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【答案】D【解析】显然①②正确；③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；-，④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18-）”的基础上，将所有点向右平9-）时，表示左安门的点的坐标为（15，18移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．下图所示的网格是正方形网格，BAC∠．（填“>”，“=”或“<”）∠________DAE【答案】>【解析】如下图所示，△是等腰直角三角形，∴45AFG∠=∠=︒，∴BAC DAE∠>∠．FAG BAC另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】0x≥【解析】被开方数为非负数，故0x≥．【考点】二次根式有意义的条件．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a b<，则ac bc<”是错误的，这组值可以是a=_____，b=______，c=_______．【答案】答案不唯一，满足a b<，0c≤即可，例如：，2，1-【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【考点】不等式的基本性质12．如图，点A，B，C，D在O上，CB CD=，30CAD∠=︒，50ACD∠=︒，则ADB∠= ________．【答案】70【解析】∵CB CD=，∴30CAB CAD∠=∠=︒，∴60BAD∠=︒，∵50ABD ACD∠=∠=︒，∴18070ADB BAD ABD∠=︒-∠-∠=︒．【考点】圆周角定理，三角形内角和定理13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4AB=，3AD=，则CF的长为________．【答案】10 3【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴4AB CD==，AB CD∥，90ADC∠=︒，在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴225AC AD CD =+=， ∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD ==， ∵AB CD ∥，∴12AF AE CF CD ==，∴21033CF AC ==． 【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数 线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 【答案】C【解析】样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C ．【考点】用频率估计概率15．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船四人船六人船八人船（限乘两人）（限乘四人）（限乘六人）（限乘八人）每船租金90100130150（元/小时）某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．【答案】380【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380++=（元）【考点】统筹规划16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．【答案】【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从下图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．【考点】函数图象获取信息三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．求作：PQ，使得PQ l∥．作法：如图，①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，CB=_______，∴PQ l∥（____________）（填推理的依据）．【解析】（1）尺规作图如下图所示：（2）PA，CQ，三角形中位线平行于三角形的第三边．【考点】尺规作图，三角形中位线定理18．计算：04sin45(π2)18|1|︒+--+-．【解析】解：原式241321222=⨯+-+=-．【考点】实数的运算19．解不等式组：3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．【解析】解：由①得，2x >-，由②得，3x <，∴不等式的解集为23x -<<．【考点】一元一次不等式组的解法20．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=．（1）当2b a =+时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【解析】（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b a a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b a -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．【考点】一元二次方程21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥∴CAB ACD ∠=∠ ∵AC 平分BAD ∠ ∴CAB CAD ∠=∠ ∴CAD ACD ∠=∠ ∴AD CD = 又∵AD AB = ∴AB CD = 又∵AB CD ∥∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB AD = ∴ABCD 是菱形（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112OB BD ==． 在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒． ∴222OA AB OB =-=． ∵CE AB ⊥，在Rt AEC △中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122OE AC OA ===． 【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线22．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP CD ⊥；（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．【解析】（1）证明：∵PC 、PD 与O ⊙相切于C 、D ．∴PC PD =，OP 平分CPD ∠．在等腰PCD △中，PC PD =，PQ 平分CPD ∠． ∴PQ CD ⊥于Q ，即OP CD ⊥． （2）解：连接OC 、OD ．∵OA OD =∴50OAD ODA ∠=∠=︒∴18080AOD OAD ODA ∠=︒-∠-∠=︒∴18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒． 在等腰COD △中，OC OD =．OQ CD ⊥ ∴1302DOQ COD ∠=∠=︒．∵PD 与O ⊙相切于D ． ∴OD DP ⊥． ∴90ODP ∠=︒．在Rt ODP △中，90ODP ∠=︒，30POD ∠=︒ ∴243cos cos30332OD OA OP POD ====∠︒．【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数23．在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围． 【解析】（1）解：∵点A （4，1）在ky x=（0x >）的图象上． ∴14k=，∴4k =．（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．② a ．当直线过（4，0）时：1404b ⨯+=，解得1b =-b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得54b =-c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得74b =d ．当直线过（1，3）时：1134b ⨯+=，解得114b =∴综上所述：514b -<-≤或71144b <≤．【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值； /cm x0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.624.673.762.653.184.372/cm y5.62 5.59 5.53 5.425.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APC△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【解析】（1）3.00（2）如下图所示：（3）3.00或4.83或5.88．如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050≤，x<≤，5060x<x<≤，90100≤，8090≤≤）；x6070x<≤，7080x<≤这一组是：x<b．A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．【解析】（1）78.75（2）B ．该学生A 课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B 课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A 课程成绩超过75.8的人数为36人． ∴3630018060⨯=（人） 答：该年级学生都参加测试．估计A 课程分数超过75.8的人数为180人．【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体26．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解析】（1）解：∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．∴A （1-，0），B （0，4）∴C （5，4）（2）解：抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0）∴30a b a --=．2b a =-∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212a x a -=-=． （3）解：①当抛物线过点C 时．251034a a a--=，解得13a=．②当抛物线过点B时．34a-=，解得43a=-．③当抛物线顶点在BC上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a--=，解得1a=-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-． 【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A ，B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．【解析】（1）证明：连接DF ．∵A ，F 关于DE 对称．∴AD FD =．AE FE =．在ADE △和FDE △中．AD FD AE FE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ADE FDE △≌△∴DAE DFE ∠=∠．∵四边形ABCD 是正方形∴90A C ∠=∠=︒．AD CD =∴90DFE A ∠=∠=︒∴18090DFG DFE ∠=︒-∠=︒∴DFG C ∠=∠∵AD DF =．AD CD =∴DF CD =在Rt DCG △和Rt DFG △．DC DF DG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DCG △≌Rt DFG △∴CG FG =．（2）2BH AE =．证明：在AD 上取点M 使得AM AE =，连接ME ．∵四这形ABCD 是正方形．∴AD AB =．90A ADC ∠=∠=︒．∵DAE △≌DFE △∴ADE FDE ∠=∠同理：CDG FDG ∠=∠∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠1122ADF CDF =∠+∠ 1452ADC =∠=︒ ∵DE EH ⊥∴90DEH ∠=︒∴18045EHD DEH EDH ∠=︒-∠-∠=︒∴EHD EDH ∠=∠∴DE EH =．∵90A ∠=︒∴90ADE AED ∠+∠=︒∵90DEH ∠=︒∴90AED BEH ∠+∠=︒∴ADE BEH ∠=∠∵AD AB =．AM AE =∴DM EB =在DME △和EBH △中DM EB MDE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=∠⎩∴DME △≌EBH △∴ME BH =在Rt AME △中，90A ∠=︒，AE AM =． ∴222ME AE AM AE =+= ∴2BH AE =．【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（2-）．-），C（6，2-，6），B（2-，2（1）求d（点O，ABC△）；（2）记函数y kx=，=（11k≠）的图象为图形G，若d（G，ABC-≤≤，0x△）1直接写出k的取值范围；（3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，ABC=，直接写出的取值△）1范围．【解析】（1）如下图所示：∵B（2-）-，2-），C（6，2∴D（0，2-）∴d（O，ABC△）2==OD（2）10<≤kk-<≤或01（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【考点】点到直线的距离，圆的切线。
【中考真题】2024年北京通州中考数学试题及答案
2024年北京通州中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）A ．34B ．12C ．13D ．146．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
2022北京中考数学答案
2022北京中考数学题参考答案第一部分选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案B B A D A C D A第二部分非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x≥810．x（y+1）（y-1）11．x=512．＞13．12014．115．116．（1）不唯一，例如ABC（2）ACE三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：原式=418．（本题满分5分）解：1＜x＜419．（本题满分5分）解：原式=520．（本题满分5分）21．（本题满分6分）（1）平行四边形判定，例如对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）角平分线+平行西→出等腰，先证明DA=DC ，再证平行四边形ABCD 是菱形，然后利用菱形对角线互相垂直证明平行四边形EBFD 是菱形22．（本题满分5分）（1）A(0,1),y=0.5x+1(2)n ≥123．（本题满分6分）（1）m=8.6（2）甲（3）丙24．（本题满分6分）（1）利用同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半证明（2）可以通过证明△ACD 是等边三角形，再证明切线。
25．（本题满分5分）（1）竖直高度最大值为23.2,y=-0.05()2.238-x 2+(2)＜26．（本题满分6分）27．（本题满分7分）（1）8字全等，再证平行（2）延续第一问思路，构造8字全等，利用等量代换和勾股逆定理证明△AEF是直角三角形，再反推BH⊥AE，△DEH是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出结论。
28．（本题满分7分）（1）Q（5,3）（2）利用中位线定理或全等三角形证明（3）4t-2。
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2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑. 1. －3的倒数是（ ） A.13- B.13C. －3D.3 2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为 （ ） A. 0.26×106 B. 26×104 C. 2.6×106 D. 2.6×1053. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90O ，DE 过点C 且平行于AB ，若∠BCE=35 O ， 则∠A 的度数为 （ ） A. 35O B. 45º C. 55º D. 65º4. 若2|2|(1)0m n ++-=，则2m n +的值为 （ ）A. －4B. －1C. 0D. 4 5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为。
（ ） A. 28ºC B. 29ºC C. 30ºC D. 31ºC 6. 把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是。
（ ） A. 2(2)a x - B. 2(2)a x +C. 2(4)a x -D. (2)(2)a x x +-7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 （ ） A.19 B. 13 C. 12 D. 238. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个．．．．是这个纸盒的 展开图，那么这个展开图是 （ ）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. 若分式241x x -+的值为0，则x 的值为 . 10. 若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 .11. 在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图： ，其中a b ，c 是三个连续偶数()a b <，d ，e 是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例如： ，. 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：12. 2007年北京市统招右图是对种中心为点O 的正六边形，如果用一个含30º角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面 积n 等分，那么n 的所有可能的值是 .三、解答题（共5个小题，共25分） 13.（本小题满分5分）2007年北京市统招计算：1118(1)2cos 45()4π---︒-︒+14.（本小题满分5分） 解方程：2410x x +-=15.（本小题满分5分） 计算：22111x x x ---16.（本小题满分5分）已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA =OC ，OB =OD . 求证：AB =CD17.（本小题满分5分）已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值.四、解答题（共2个小题，共10分） 18.（本小题满分5分） 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC = AD ，∠C=60º，AE ⊥BD 于点E ，AE=1，求梯形ABCD 的高.19.（本小题满分5分）2007北京统考已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC = BC，AC =12 OB（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.五、解答题（本题满分6分）20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿m3）；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m3，请你选计算环境用水量（单位：亿m3），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿m3）；（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿m3）；（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法.六、解答题（共2个小题，共9分）21.（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1），将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上，（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），22.（本小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图像与3y x=的图像关于x 轴对称，又与直线2y ax =+交于点(,3)A m ，试确定a 的值.七、解答题（本题满分7分）23. 如图，已知ABC ∆（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面 积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的 三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件， 证明AB AC AD AE +>+.八、解答题（本题满分7分）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，(0,2)A 两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标.九、解答题（本题满分8分）25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC ∆中，如果A ∠是不等于60º的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数 学 试 卷·参 考 答 案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名。
2．第Ⅰ卷是基础题，机读阅读。
3．第Ⅱ卷包括填空题；为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细。
考生只要写明主要过程即可。
若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。
解答右端所注分数。
表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共5个小题，共25分）13．（本小题满分5分）11(π1)2cos 454-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°．解：原式124=-+ 3=+14．（本小题满分5分） 解方程：2410x x +-=． 解：224441(1)200b ac ∴-=-⨯⨯-=>代入公式，得2x ===-15．（本小题满分5分） 计算： 。
解：21(1)(1)1x x x x =-+--14,1a b c ===-Q ，22111x x x ---2(1)(1)(1)x x x x -+=+-B ACODPB C16．（本小题满分5分）已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，． 求证：AB CD =．证明：因为OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线 所以∠AOP = ∠COP ，∠BOP =∠DOP所以∠AOB =∠COD 在△AOB 和△COD 中， OA=OC∠AOB=∠COD OB=OD所以 △AOB ≌△COD 所以AB=CD17．（本小题满分5分）已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值． 解：原式当 时，原式=3-。
四、解答题（共2个小题，共10分）18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．解：作DF ⊥BC 于点F ，因为 AD//BC，AB=CD所以∠1=∠2，∠2=∠3323227x x x x x x =++----27x =-24x =1(1)(1)x x x -=+-11x =+45 6 7 8水资源2005年北京市水资源统计图（单位：亿3m ）所以∠1=∠3又因为 AB=DC ，所以∠C=60° 所以011133022ABC C ∠=∠=∠=∠=又AE BD ⊥Q 于点E ，AE=1，在Rt CDF V中，由正弦定义，可得所以 梯形ABCD。
19．（本小题满分5分）解：（1）证明：如图，连接OA 。
因为OC=BC ，AC=12OB 所以OC=BC=AC=OA； 所以△ACO 是等边三角形，故 ∠O = 60°又可得∠B=30°，所以∠OAB=90° 所以AB 是⊙O 的切线；（2）作AE ⊥CD 于点E ，因为∠O=60°，所以∠D=30°，又∠ACD=45°，AC=OC=2，所以在Rt △ACE CE=AE=在Rt △ADE 中，因为，所以AD= ，由勾股定理，可得DE= ， 所以五、解答题（本题满分6分）2AB DC ∴==OABCDE解：（1）补全2005年北京市水资源统计图，如右图：水资源总量为23.18亿m 3。
（2）设2005年环境用水量为x 亿m 3 , 依题意，得 60.2 6.8x += 解得： 1.1x =所以2005年环境用水量为1.1亿m 3， 因为13.38+1.1+6.413.22=34.5，所以2005年北京市用水总量为34.5亿m 3。