七年级上数学上册 1.4.2 有理数的乘法(二)教案 人教新课标版
(最新)人教版七年级数学上册《有理数的乘法》(第2课时) 教案
有理数的乘法(第二课时) 教案[教学目标]知识目标：有理数乘法运算能力目标：能确定几个不是0的有理数乘积运算的符号，进行有理数运算；运用乘法的分配律进行有理数的乘法计算； 情感态度和价值观：体会用计算器给有理数运算带来的方便[教学重点与难点]重点： 有理数乘法运算有理数的乘法运算 你还记得有理数的乘法法则吗？（同号得正，异号得负，并把绝对值相乘）[知识讲解]活动一： 从有理数的乘法法则可以看出，有理数的乘法关键是符号的确定，那么三个以上的有理数相乘积的符号怎么确定呢？下面我们就来研究这个问题． 确定下列积的符号，你能从中发现什么？①()5432⨯⨯⨯- ②()()5432⨯⨯-⨯-③()()()()5432-⨯-⨯-⨯- ④()()()50432-⨯⨯⨯-⨯-学生归纳结论：结论1：有一个因数为0，则积为0；结论2：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正． 巩固练习：判断下列积的符号（口答）①()()1432-⨯⨯⨯- ②()()()6532-⨯-⨯⨯-③()()()222-⨯-⨯- ④()()()()3333-⨯-⨯-⨯-活动二：例3 计算：41)54(6)5()2();41()59(65)3()1(⨯-⨯⨯--⨯-⨯⨯- 几个数相乘，如果其中有因数0，积等于0 课堂练习计算：（1）（－85）×（－25）×（－4）；（2）（－87）×15×（－171）； （3）（151109-）×30；（4）2524×7. （5）－9×（－11）－12×（－8）；课后作业教科书第38页 习题1.4第7题（1）（2）（3）课后选作题1．计算：).8(161571)6(;04.0311843)5(;36187436597)4(;534.265)3();1.0()24.8()10)(2();8(25.12014)1(-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯⨯--⨯-⨯--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2．2003减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，依次类推，一直到减去余下的20031，求最后剩下的数。
有理数的乘法教案(精选多篇)
有理数的乘法教案(精选多篇)第一篇：有理数的乘法1教案1.4.1有理数的乘法一、教学内容人教版七年级数学〔上〕第一章第四节《有理数的乘除法》,见课本p28.二、学情分析^p在此之前，本班学生已有探究有理数加法法那么的经历，多数学生能在老师指导下探究问题。
由于学生已理解利用数轴表示加法运算过程，我们仍用数轴表示乘法运算过程。
三、教学目的1、知识与技能目的掌握有理数乘法法那么，能利用乘法法那么正确进展有理数乘法运算。
2、才能与过程目的经历探究、归纳有理数乘法法那么的过程，开展学生观察、归纳、猜测、验证等才能。
3、情感与态度目的通过学生自己探究出法那么，让学生获得成功的喜悦。
四、教学重点、难点重点：运用有理数乘法法那么正确进展计算。
难点：有理数乘法法那么的探究过程，符号法那么及对法那么的理解。
五、教学手段制作幻灯片，采用多媒体的现代课堂教学手段.六、教学方法注意创设问题情景，选择“情景---探究---发现”的教学形式，通过直观教学，借助多媒体吸引学生的注意力，激发学习兴趣。
在整个学习过程中，以“自主参与，勇于探究，合作交流”的探究式学法为主，从而到达进步学习才能的目的。
七、教学过程1、创设问题情景，激发学生的求知欲望，导入新课。
前面我们学习了有理数的加减法，接下来就应该学习有理数的乘除法．同学们先看下面的问题〔出示蜗牛爬的动画幻灯片〕老师：这涉及有理数乘法运算法那么，正是我们今天需要讨论的问题.2、学生探究、归纳法那么学生分为四个小组活动，进展乘法法那么的探究。
〔1〕老师出示蜗牛在数轴上运动的问题，让学生理解。
蜗牛如今的位置在点o，规定向右的方向为正，向左的方向为负;如今时间后为正,如今时间前为负.a.+ 2 ×〔+3〕+2看作向右运动的速度，×〔+3〕看作运动3分钟后。
结果：3分钟后的位置+2 ×〔+3〕=b. -2 ×〔+3〕-2看作向左运动的速度，×(+3)看作运动3分钟后。
新课标七年级数学上册有理数的乘法教学设计
新课标七年级数学上册有理数的乘法教学设计篇1：新课标七年级数学上册《有理数的乘法》教学设计新课标人教版七年级数学上册《有理数的乘法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标：经历有理数乘法法则探究的过程，学习两个有理数相乘的法则。
2、能力目标：通过推导两个有理数相乘法则的过程，培养归纳总结的能力，提高由特殊到一般的能力3、情感目标：通过小组合作，培养与他人合作的精神二、教学重点：经历由几组算式推导有理数乘法的法则的过程教学难点：如何观察给定的乘法算式，从哪几个角度概况算式的规律。
三、课前准备：1、复习小学的乘法法则2、出几道小学里已经做过的两数相乘的题目，并计算。
四、教学过程：（一）创设情境，引入新知问题：根据课前准备，小学我们计算的两个数相乘都是正数乘正数或者正数乘零，现在我们知道有理数包括正数、负数和零三类，根据这种分类，你能说出两个有理数相乘会出现哪几种情况？（根据学生回答板书各种类型）预设：学生可能会把正数乘负数、负数乘正数当作一种情况，教师可引导为两种。
(二)观察归纳，学习法则（设计说明:法则的得出分两部分）第一部分分类探究（说明：3组探究重点是探究1）探究1(师生共同活动）问题1、观察下面熟识的算式，你能发现什么规律？3×3=93×2=63×1=33×0=0预设：如果学生有困难，可以提示学生观察两个因数有什么变化规律，积有什么变化规律。
这样会得到规律：左边因数都是3，右边因数依次减1，而积依次减3。
问题2、根据这个规律，你能填写下面的结论吗？3×（－1）=3×（－2）=3×（－3）=问题3这组数据的规律，对其他组类似规律的数据也成立吗？自己根据这个规律构造一组数试一试。
问题4、以上两组数相乘属于正数乘正数、正数乘负数，你能类比加法法则，从符号与绝对值两方面再来观察他们存在什么规律吗？归纳可得:(板书）正数乘正数，结果为正，绝对值相乘；正数乘负数，结果为负，绝对值相乘。
人教版-数学-七年级上册-《1.4.1有理数的乘法(二)》教案
一、教学目标：1、巩固有理数的乘法法则，探索多个有理数相乘时，积的符号的确定方法并能运用计算器进行有理数的乘法运算．2、发展学生的观察、归纳、猜测、验证等能力．3、能让学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。
二、教学难点：正确进行多个有理数的乘法运算三、教学重点：多个有理数相乘时积的符号的确定方法四、教学过程：1、复习有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
（- 3）×（- 5），- 22×4，（- 2003）×0，114 327⨯2、新课讲解：2×3×4×（-5）=2×3×（-4）×（-5）=2×（-3）×（-4）×（-5）=（-2）×（-3）×（-4）×（-5）=几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系?几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。
3、新课练习：⑴、三道判断题对所学的新课加以巩固。
⑵、例题练习：591(3)()()654-⨯⨯-⨯-，41(5)6()54-⨯⨯-⨯⑶、小试牛刀：(1)(2)(4)(8)，(5)8(7)(0.25)，5812 ()() 121523，643(2)( 2.5)()557⑷、三思而后行：（-1999）×（-2000）×（-2001）×（-2002）×2003×（-2004）× 0 由此得出：几个数相乘，如果其中有一个因数为0，积就等于0。
⑸、乘胜追击：4832(1)()()0(1)51523134(10)3()()25153114()7634、本节课的总结和作业：P38-39习题1.4第7题（1）（2）（3）（6）小题第8题（2）小题。
人教版数学七年级上册1.4.1《有理数的乘法(2)》教学设计
人教版数学七年级上册1.4.1《有理数的乘法（2）》教学设计一. 教材分析《有理数的乘法（2）》是人教版数学七年级上册第1章第4节的一部分，本节课主要继续探讨有理数的乘法运算。
通过本节课的学习，学生将掌握有理数乘法的运算方法，并能够熟练运用有理数乘法解决实际问题。
教材内容安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的加法、减法、乘法运算，对有理数的基本概念和运算规则有一定的了解。
但部分学生对于有理数乘法运算的的理解和应用仍有困难，需要通过本节课的学习进一步巩固。
三. 教学目标1.理解有理数乘法的运算方法，掌握有理数乘法的运算规则。
2.能够熟练运用有理数乘法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：有理数乘法的运算方法和运算规则。
2.教学难点：有理数乘法在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索有理数乘法的运算方法。
2.运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固有理数乘法的应用。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示教材中的例题和练习题。
2.准备一些实际问题，用于课堂练习和巩固。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的主题，例如：“小明买了一本书，原价是25元，因为打折，他只需要支付20元。
请问小明节省了多少钱？”让学生思考并解答这个问题，引出有理数乘法的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示教材中的例题和练习题，让学生观察并总结有理数乘法的运算方法。
引导学生发现有理数乘法的运算规则，并板书。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一些教材中的练习题进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取一些学生解答正确的题目，进行讲解和分析，让学生进一步巩固有理数乘法的运算方法。
人教版数学七年级上册1.4.2《有理数的除法(2)》教学设计
人教版数学七年级上册1.4.2《有理数的除法（2）》教学设计一. 教材分析《有理数的除法（2）》是人教版数学七年级上册第1章第4节的一部分，主要介绍了有理数除法法则，以及如何运用这些法则进行计算。
在学习这部分内容之前，学生已经掌握了有理数的加法、减法和乘法，为本节课的学习打下了基础。
教材通过具体的例题和练习，帮助学生理解和掌握有理数除法的运算方法，提高他们的运算能力。
二. 学情分析七年级的学生在数学学习方面已经有了一定的基础，对有理数的加、减、乘法有一定的了解。
但是，对于有理数的除法，他们可能还存在一些困惑，例如除以一个负数该如何计算等问题。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解有理数除法的运算规则，并通过大量的练习，让他们熟练掌握。
三. 教学目标1.理解有理数除法的运算规则，掌握有理数除法的计算方法。
2.能够运用有理数除法法则，解决实际问题。
3.培养学生的运算能力，提高他们的数学思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：有理数除法的运算规则，有理数除法的计算方法。
2.教学难点：如何引导学生理解除以一个负数的运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题，理解有理数除法的运算规则。
2.使用示例教学法，通过具体的例题，讲解有理数除法的计算方法。
3.运用练习法，让学生在大量的练习中，熟练掌握有理数除法的运算方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示例题和练习题。
2.准备黑板，用于板书解题过程。
3.准备练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，回顾上节课所学的内容，引导学生复习有理数的加法、减法和乘法。
然后，引出本节课的主题——有理数的除法。
2.呈现（10分钟）展示PPT，呈现本节课的主要内容：有理数除法的运算规则和计算方法。
通过讲解和示例，让学生初步理解有理数除法的运算方法。
3.操练（15分钟）让学生在课堂上完成一些具有代表性的练习题，巩固所学的内容。
人教版新版教材初中七年级上册数学课本教学目标
新版教材初中七年级上册数学课本教学目标 教学目标 1．通过实际例子，感受引入负数的必要性．会用正 负数表示实际问题中的数量． 2．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理 数．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理 数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母)，会比 较有理数的大小．通过上述内容的学习，体会从数与 形两方面考虑问题的方法． 3．掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数 的运算律，并能运用运算律简化运算．能运用有理数 的运算解决简单的问题． 4．理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混 合运算(以三步为主)．通过实例进一步感受大数，并 能用科学记数法表示．了解近似数与有效数字的概 念．
1、理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。 2、在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，能正确地进行合并同类项。 3、掌握去括号法则，通过去括号对整式进行化简。
1.经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一 次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步． 2.通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法． 3.了解解方程的基本目标(使方程逐步转化为x＝a的形式)，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次 方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想． 4.能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量 关系”，体会建立数学模型的思想． 5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学 的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
人教版新版教材初中七年级上册数学课本教学目标 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 课程内容 第一章 有理数 1.1 正数和负数 1.2 有理数 1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值 1.3 有理数的加减法 1.3.1 有理数的加法 1.3.2 有理数的减法 1.4 有理数的乘除法 1.4.1 有理数的乘法 1.4.2 有理数的除法 1.5 有理数的乘方 1.5.1 乘方 1.5.2 科学记数法 1.5.3 近似数 第二章 整式的加减 2.1 整式 2.2 整式的加减 第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程 3.1.2 等式的性质 3.2～3.3 解一元一次方程 3.4 实际问题与一元一次方程 第四章 几何图形初步 4.1 几何图形 4.1.1 立体图形与平面图形 4.1.2 点、线、面、体 4.2 直线、射线、线段 4.3 角 4.3.1 角 4.3.2 角的比较与运算 4.3.3 余角和补角
人教版七年级上数学：1.4.1《有理数的乘法(2)》学案
数学：1.4.1《有理数的乘法（2）》学案（人教版七年级上）【学习目标】:1、经历探索多个有理数相乘的符号确定法则；2、会进行有理数的乘法运算；3、通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力；【学习重点】：多个有理数乘法运算符号的确定；【学习难点】：正确进行多个有理数的乘法运算；【导学指导】一、温故知新1、有理数乘法法则：二、自主探究1、观察：下列各式的积是正的还是负的？2×3×4×（－5），2×3×（-4）×（－5），2×（-3）× (-4)×（－5），（－2) ×(－3) ×(－4) ×（－5)；思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？分组讨论交流，再用自己的语言表达所发现的规律：几个不是0的数相乘，负因数的个数是时，积是正数；负因数的个数是时，积是负数。
2、新知应用1、例题3，（P31页）请你思考，多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？你能看出下列式子的结果吗？如果能，理由7.8×(－8.1)×O× (－19.6)师生小结：【课堂练习】计算：（课本P32练习）（1）、—5×8×（—7）×（—0.25）；（2）、5812 ()() 121523-⨯⨯⨯-；（3）5832(1)()()0(1)41523-⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-；【要点归纳】：1.几个不是0的数相乘，负因数的个数是时，积是正数；负因数的个数是时，积是负数。
2.几个数相乘,如果其中有一个因数为0，积等于0；【拓展训练】：一、选择1.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号( )A.由因数的个数决定B.由正因数的个数决定C.由负因数的个数决定D.由负因数和正因数个数的差为决定2.下列运算结果为负值的是( )A.(-7)×(-6)B.(-6)+(-4)C. 0×(-2)(-3)D.(-7)-(-15)3.下列运算错误的是( )A.(-2)×(-3)=6B.1(6)32⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭C.(-5)×(-2)×(-4)=-40D.(-3)×(-2)×(-4)=-24二、计算：1、111111111111234567⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯---⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;2、111111 111111 223344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【总结反思】：2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线．如果∠AOB ＝50°，∠COE ＝60°，则下列结论错误的是( )A.∠AOE ＝110°B.∠BOD ＝80°C.∠BOC ＝50°D.∠DOE ＝30°2．如图，快艇从P 处向正北航行到A 处时，向左转50°航行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）A ．北偏东30°B ．北偏东80°C ．北偏西30°D ．北偏西50°3．如图，甲从A 点出发向北偏东60°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则BAC ∠的度数是（ ）A.105°B.115°C.125°D.135°4．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x 人，依题意列方程得( ) A.()31001003x x +-= B.()31001003x x --= C.10031003x x -+= D.10031003x x --= 5．方程1﹣22x -＝13x +去分母得（ ） A.1﹣3（x ﹣2）＝2（x+1）B.6﹣2（x ﹣2）＝3（x+1）C.6﹣3（x ﹣2）＝2（x+1）D.6﹣3x ﹣6＝2x+26．若单项式2x 3y 2m 与﹣3x n y 2的差仍是单项式，则m+n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．有理数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则化简│n│-│m -n│的结果是（ ）A.mB.2n-mC.-mD.m-2n8．人类的遗传物质是DNA ，DNA 是一个很长的链，最短的22号染色体也长达30 000 000个核苷酸.30 000 000用科学记数法表示为( )A ．3×107B ．30×106C ．0.3×107D ．0.3×1089．运用等式性质的变形，正确的是（ ）A.如果 a=b ，那么 a+c=b ﹣cB.如果a b c c =，那么 a=bC.如果 a=b ，那么a b c c =D.如果 a=3，那么 a 2=3a 210．若8a =， 5b =，且 0a b +>，那么-a b 的值为（ ） A ．3或13 B ．13或-13 C ．3或-3 D ．-3或-1311．如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（ ）A ．+10℃B ．﹣10℃C ．+5℃D ．﹣5℃12．据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )A.73610⨯B.83.610⨯C.90.3610⨯D.93.610⨯二、填空题13．如图是正方体的一个表面展开图，在这个正方体中，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是_____．14．22.5°＝________°________′；12°24′＝________°.15．一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损8元，则a 的值为______．16．小明买了20本练习本，店主给他八折优惠，结果便宜1.6元，每本练习本的标价是________元 .17．﹣3xy ﹣x 3+xy 3是_____次多项式．18．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，则a+b ﹣c 的值是_____．193-的相反数是_____．20．对于有理数a ，()b a b ≠，我们规定：2*5a b a ab =--，下列结论中：()()3*22--=-①；**a a b b =②；**a b b a =③；()()**.a b a b -=-④正确的结论有______.(把所有正确答案的序号都填在横线上)三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中， //AD BC ，B D ∠=∠延长BA 至点E ，连接CE ，且CE 交AD 于点F ，EAD ∠和ECD ∠的角平分线相交于点P .（1）求证：①//AB CD ；②2EAD ECD APC ∠+∠=∠；（2）若70B ∠=︒，60E ∠=︒，求APC ∠的度数；（3）若APC m ∠=︒，EFD n ∠=︒请你探究m 和n 之间的数量关系.22．解下列方程(1)2x+5＝3（x ﹣1）(2).23．如图，点O 为原点，A ，B 为数轴上两点，AB=15，且OA ：OB=2（1）A ，B 对应的数分别为 ， ．（2）点A ，B 分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A ，B 相距1个单位长度？（3）点AB 以（2）中的速度同时向右运动，点P 从原点O 以4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m ，使得3AP+2PB ﹣mOP 为定值？若存在，请求出m 值以及这个定值；若不存在，请说明理由．24．一辆出租车从A 地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程(记向东为正)记录如下(x ＞6且x ＜14，单位：km)：(1)写出这辆出租车每次行驶的方向；(2)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置(结果可用x 表示)；(3)这辆出租车一共行驶了多少路程(结果用x 表示)？25．先化简，再求值：5（3a 2b-ab 2）-4（-ab 2+3a 2b ），其中a=12，b=-13． 26．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着格线运动，它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A 到B 记为：A→B（+1，+4），从D 到C 记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（______，_____），B→C（______，_____），D→_____（﹣4，﹣2）；（2）若这只甲虫从A 处去P 处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P 的位置；（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．27．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2x =，且x 在数轴上表示的数在原点的左边. 求式子32339()4c d x ab+-⨯-+的值 28．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC 与∠BOC 互余，OC 平分∠MOB ，（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=__________°，∠NOB=__________°．（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB 绕着点O 顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．【参考答案】***一、选择题1．A2．A3．D4．C5．C6．C7．C8．A9．B10．A11．D12．B二、填空题13．祠14．30 12.415．6016．417．四18．-12819．3﹣ SKIPIF 1 < 0 ．解析：320． SKIPIF 1 < 0解析：①②④三、解答题21．（1）①见解析，②见解析；（2）65°；（3）12m n=，见解析.22．(1)x=8;(2)x=423．﹣10 524．(1)第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西；(2)这辆出租车所在的位置是向东(7﹣12x)km；(3)这辆出租车一共行驶了(7172x-)km的路程．25．-11 3626．(1) （3，4）；（2，0）；A；（2）答案见解析；（3）10．27．6428．（1）50°，40°；（2）2α－β=40°；（3）不成立，2α+2β=40°.2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，快艇从P 处向正北航行到A 处时，向左转50°航行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）A ．北偏东30°B ．北偏东80°C ．北偏西30°D ．北偏西50°2．在直线l 上有A 、B 、C 三点，AB=5cm,BC=2cm,则线段AC 的长度为（ ）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．以上答案都不对3．∠A 的余角与∠A 的补角互为补角，那么 2∠A 是（ ）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．以上三种都有可能4．方程x ﹣4＝3x+5移项后正确的是( )A ．x+3x ＝5+4B ．x ﹣3x ＝﹣4+5C ．x ﹣3x ＝5﹣4D ．x ﹣3x ＝5+45．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是 ( )．A.3229x x -=+B.3(2)29x x -=+C.2932x x +=- D.3(2)2(9)x x -=+ 6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为30cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为x cm ，可列方程为（ ）A.2(30)1x x -=-+B.2(15)1x x -=-+C.2(30)1x x +=--D.2(15)1x x +=-- 7．若A 和B 都是五次多项式，则（ ）A.A+B 一定是多项式B.A ﹣B 一定是单项式C.A ﹣B 是次数不高于5的整式D.A+B 是次数不低于5的整式8．下列说法中正确的是（ ）A ．4xy x y -+-的项是xy ，x ，y ，4B ．单项式m 的系数为0，次数为0C ．单项式22a b 的系数是2，次数是2D ．1是单项式 9．下列结论正确的是（ ）A ．x ＝2是方程2x+1＝4的解B ．5不是单项式C ．﹣3ab 2和b 2a 是同类项D ．单项式3ab 的系数是3 10．已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A.a b -<B.0ab <C.0a b +>D.b-a ＞011．如果a 与－3的和是0，那么a 是（ ） A.13- B.13 C.－3 D.312．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A.3与13B.2与|-2|C.(-1) 2与1D.-4与(-2) 2二、填空题13．若90,90αββγ∠+∠=︒∠+∠=︒，则α∠与γ∠的关系是_______ ，理由是_____14．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+3y 的值为____．15．某小组几名同学准备到图书馆整理一批图书，若一名同学单独做要 40h 完成．现在该小组全体同学一起先做 8h 后，有 2 名同学因故离开，剩下的同学再做 4h ，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，问该小组共有多少名同学？若设该小组共有 x 名同学，根据题意可列方程为___________．16．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，p 的绝对值等于2，则关于x 的方程(a+b)x 2+3cd•x－p 2=0的解为________．17．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c ＋b|＋|b －a|＝________．18．若23a b =，则a b b +＝_____． 19．用“＞”“＜”或“＝”填空．(1)－56________－67；(2)－45________－35； (3)|－7|________0；(4)|－2.75|________|＋234| 20．计算（﹣0.25）2007×（﹣4）2008=______．三、解答题21．如图，已知O 为直线AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM 和ON 分别是∠AOC 和∠AOB 的平分线.(1) 试说明：∠AOB ＝∠COD ；(2) 若∠COD ＝36°，求∠MON 的度数.22．（1）如图，点C 、D 在线段AB 上，点C 为线段AB 的中点，若AC ＝5cm ，BD ＝2cm ，求线段CD 的长．（2）如图，已知∠COB ＝2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD ＝20°，求∠AOB 的度数．23．（12分）阅读：我们知道， 于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时： 34x -≤解这个不等式，得：由条件，有： （2）当< 0，即 x < 3时，解这个不等式，得：由条件x < 3，有： < 3∴ 如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为：根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）； （2）。
人教版七年级数学上册：1.4.1有理数的乘法(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《有理数的乘法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个负数相乘得到正数的情况？”（例如，温度连续下降两天，每次下降5摄氏度，总下降了多少摄氏度？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索有理数乘法的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解有理数乘法的基本概念。有理数乘法是指两个有理数相乘的运算，其结果遵循特定的法则。这些法则是我们解决实际问题的数学工具，帮助我们更好地理解和计算生活中的变化。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算温度连续下降两天，每次下降5摄氏度，总下降了多少摄氏度。通过有理数乘法，我们可以得出答案。
3.应用乘法法则解决实际问题，例如计算温度变化、距离变化等。
4.乘法运算的简便计算方法，如分配律、结合律等在有理数乘法中的应用。
5.练习不同类型的有理数乘法题目，提高运算速度和准确性。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言进行有效表达和交流的能力，通过有理数乘法法则的理解与运用，提高学生的数学思维能力。
在学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，鼓励学生发表自己的观点。从讨论成果来看，这种方法有助于培养学生的独立思考能力。然而，我也发现有的学生在讨论中较为内向，发言不够积极。针对这一问题，我将在今后的教学中关注这部分学生，鼓励他们大胆表达自己的看法。
人教版七年级数学上册：1.4.1有理数的乘法（教案）
一、教学内容
人教版七年级数学上册：1.4.1有理数的乘法。本节课将围绕以下内容展开：
新人教七年级上册第一单元《1.4 有理数的乘除法》说课稿
新人教七年级上册第一单元1.4 有理数的乘除法说课稿本次说课我共分成教材分析、教学方法与手段、教学过程分析和几点思考四部分，具体内容如下：一、教材分析：（一）教材的地位和作用：本节课的内容是《新人教版七年级数学》教材中的第一章第四节，“有理数的乘除法”是把“有理数乘法”和“有理数除法”的内容进行整合，在“有理数的加减混合运算”之后的一个学习内容。
在本章教材的编排中，“有理数的乘法”起着承上启下的作用，它既是有理数加减的深入学习，又是有理数除法、有理数乘方的基础，在有理数运算中有很重要的地位。
“有理数的乘法”从具体情境入手，把乘法看做连加，通过类比，让学生进行充分讨论、自主探索与合作交流的形式，自己归纳出有理数乘法法则。
通过这个探索的过程，发展了学生观察、归纳、猜测、验证的能力，使学生在学习的过程中获得成功的体验，增强了自信心。
所以本节课的学习具有一定的现实地位。
（二）学情分析：因为学生在小学的学习里已经接触过正数和0的乘除法，对于两个正数相乘、正数与0相乘、两个正数相除、0与正数相除的情况学生已经掌握。
同时由于前面学习了有理数的加减法运算，学生对负数参与运算有了一定的认识，但仍还有一定的困难。
另外，经过前一阶段的教学，学生对数学问题的研究方法有了一定的了解，课堂上合作交流也做得相对较好。
（三）教学目标分析：基于以上的学情分析，我确定本节课的教学目标如下1、知识目标：让学生经历学习过程，探索归纳得出有理数的乘除法法则，并能熟练运用。
2、能力目标：在课堂学习过程中，使学生经历探索有理数乘除法法则的过程，发展观察、猜想、归纳、验证、运算的能力，同时在探索法则的过程中培养学生分类和归纳的数学思想。
3、情感态度和价值观：在探索过程中尊重学生的学习态度，树立学生学习数学的自信心，培养学生严谨的数学思维习惯。
4、教学重点：会进行有理数的乘除法运算。
5、教学难点：有理数乘除法法则的探索与运用。
确定教学目标的理由依据是：新课标中指出课堂教学中应体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标，同时也基于本节内容的地位与作用。
人教版七年级数学上册1.4.1.2《有理数的乘法(2)》说课稿
人教版七年级数学上册1.4.1.2《有理数的乘法(2)》说课稿一. 教材分析人教版七年级数学上册1.4.1.2《有理数的乘法(2)》这一节内容，是在学生已经掌握了有理数乘法的基本法则的基础上进行进一步的拓展和深化。
本节课主要讲解有理数乘法的特殊情况，包括括号的去除，乘法的分配律，以及绝对值的运算等。
这些内容在学生的日常生活中应用广泛，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于有理数的乘法已经有了一定的了解。
但是，学生在之前的学习中，可能更多地关注于有理数的乘法法则，而对于乘法的特殊情况进行深入理解的可能不多。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从实际例子出发，去发现和总结乘法的特殊规律。
三. 说教学目标1.让学生掌握有理数乘法的特殊情况的运算方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：有理数乘法的特殊情况的运算方法。
2.教学难点：乘法分配律的理解和应用，绝对值的运算。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法，引导法，实践法，讨论法等多种教学方法。
通过生动的例子，引导学生去发现和总结乘法的特殊规律。
利用多媒体教学手段，帮助学生直观地理解乘法分配律和绝对值的运算。
六. 说教学过程1.导入：通过一些生活中的实际例子，引导学生复习有理数的乘法，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：讲解有理数乘法的特殊情况，包括括号的去除，乘法的分配律，以及绝对值的运算等。
3.实践：让学生通过实际操作，运用所学的知识解决实际问题。
4.讨论：引导学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法。
5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。
6.作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计将有理数乘法的特殊情况，包括括号的去除，乘法的分配律，以及绝对值的运算等，用清晰的图表和简洁的文字展现出来，帮助学生理解和记忆。
《有理数的乘除法》的教案
《有理数的乘除法》的教案有理数的乘除法一、教学目标知识与技能：①使学生在了解乘法的基础上，掌握有理数乘法法则并初步掌握有理数乘法法则的合理性。
②会进行有理数乘法运算。
③了解有理数的倒数定义，会求一个数的倒数。
过程与方法：①经历探索有理数乘法法则，发展，观察，归纳，猜想，验证的能力以及培养学生的语言表达能力。
②提高学生的运算能力情感与态度：通过合作学习调动学生学习的积极性，激发学生学习数学的兴趣，提高学生认识世界的水平。
二、教学重点和难点重点：依据有理数的乘法法则，熟练进行有理数的乘法运算;难点：有理数乘法中的符号法则.三、教学过程(一) 创设问题情景，激发学生的求知欲望，复习旧知，导入新课前面我们学习了有理数的加减法，接下来就应该学习有理数的乘除法.同学们先看下面的问题：甲水库的水位每天升高3㎝，乙水库的水位每天下降3㎝。
4天后，甲、乙水库各自水位的总变化量是多少?如果用正号表示水位的上升、用负号表示水位的下降。
那么，4天后，甲水库水位的总变化量是：3+3+3=34=12㎝乙水库水位的总变化量是：(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)4=-12㎝引出课题：有理数的乘法(二)学生探索新知，归纳法则学生分为四个小组活动，进行乘法法则的探索设蜗牛现在的位置为点O，若它一直都是沿直线爬行，而且每分钟爬行2cm，问：(1)向右爬行，3分钟后的位置?(2)向左爬行，3分钟后的位置?(3)向右爬行，3分钟前的位置?(4)向左爬行，3分钟前的位置?(学生思考后回答) 要确定蜗牛的位置需要知道：距离和方向。
为了区分方向：我们规定向右为正，向左为负;为区分时间：我们规定现在的时间前为负，现在的时间后为正。
(1) 情形一：蜗牛在现在位置的右边6㎝处。
式子表示为：(+2)(+3)=+6数轴表示如右：(2)情形二：蜗牛在现在位置的左边6㎝处。
式子表示为： (-2)3=-6数轴表示如右：(3)情形三：蜗牛在现在位置的左边6㎝处。
人教版数学七上1.4.2《有理数的乘法》教案3课时
人教版七年级第一章第四节 有理数的乘法(一) 教案【教学目标】（一）知识技能1.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算。
2.了解倒数的概念，理解零没有倒数，学会求一个数的倒数。
（二）过程方法关注学生学习的过程，多让学生经历知识发生、规律发现的过程，尽可能让学生活动。
发展观察、归纳、猜测、验证等能力。
（三）情感态度通过法则的推导，让学生亲身经历知识的发生过程，培养学生勇于探索新知的精神。
鼓励学生参与到数学学习活动中，自己动手，总结规律。
能够确定有理数相乘积的符号， 获得成功的体验。
教学重点有理数乘法的运算。
教学难点探索有理数的乘法法则及符号的确定。
【复习引入】1.回忆小学学过的乘法，计算下列各题：（1）213⨯= （1）2132⨯= （3）3727⨯= （4）227⨯= （5）0411⨯= （6）0×7.4×5.3= （7）0×0=问题：对有理数来说，乘法运算怎么进行？这节课我们就来学习。
【教学过程】 1．创设问题情境如图，一只蜗牛沿直线l 爬行，它现在的位置在直线l 的点O.问题1 ： （1）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？ （2）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？ （3）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？ （4）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？问题2 为区分方向，规定向左为负，向右为正；为区分时间，规定现在前为负，现在后为正.以上4个小问题的答案是什么？计算过程如何写？Ol（1）3分钟后它在l 上点O 右边6cm 位处，表示为（＋2）×（＋3）＝＋6；（2）3分钟后它在l 上点O 左边6cm 位处，表示为（－2）×（＋3）＝－6；（3））3分钟前它在l 上点O 左边6cm 位处，表示为（＋2）×（－3）＝－6；（4）3分钟前它在l 上点O 右边6cm 位处，表示为（－2）×（－3）＝＋6.问题3 怎样进行有理数的乘法运算？通过对上面问题的研究，发现有理数的运算有下面几个方面：（1）有理数的乘法分为：正数乘正数；负数乘正数；正数乘负数；负数乘负数；有理数与零相乘.（2）符号：正数乘正数为正数；负数乘正数为负数；正数乘负数为负数；负数乘负数为正数；即同号得正，异号得负.（3）绝对值：各乘数的绝对值相乘是积的绝对值. (4) 任何数与0相乘，积仍为0. 由此可得到：2.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
1.4.1有理数的乘法2 教案 2021—2022学年人教版数学七年级上册
1.4.1 有理数的乘法2 教案一、教学目标1.理解有理数相乘的概念和规律。
2.学会有理数的乘法运算。
3.能够解决有理数的乘法运算问题。
二、教学准备1.教科书：人教版数学七年级上册2.教具：黑板、粉笔、计算器三、教学过程1. 导入新知•引导学生回顾上节课学习的有理数的乘法规则，并请同学们口头总结规律。
2. 新知的学习a. 概念讲解•老师通过黑板和示例，向学生讲解有理数相乘的概念。
•用语言解释，有理数乘法是两个有理数相乘的运算，根据正负数相乘的规律，正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数，正数乘以负数得负数。
•引导学生通过思考，总结有理数乘法的规律。
b. 规则总结•老师通过例题，向学生总结有理数乘法的规则。
•正数× 正数 = 正数•负数× 负数 = 正数•正数× 负数 = 负数c. 示例演练•老师通过示例，与学生一起完成有理数的乘法计算，引导学生掌握有理数乘法的运算方法。
3. 巩固练习a. 个人练习•让学生打开课本第X页，完成相应的练习题，巩固乘法计算的各类情况。
b. 小组合作•将学生划分为小组，每个小组共同解决一道有理数乘法练习题，鼓励小组成员相互合作、讨论，完成练习题。
c. 全班分享•随机抽取几个小组，让他们依次展示他们的解题过程和答案。
•学生之间相互评价，提出宝贵意见和建议。
4. 拓展练习•出示一些稍微复杂的有理数乘法练习题，让学生自主解决。
•鼓励学生运用乘法运算的规律，灵活解决问题。
5. 总结和评价•老师小结本节课的重点内容和学生的表现，对学生的掌握程度进行评价。
•鼓励学生在课后继续巩固习题的练习。
四、课后作业1.完成课本上的习题，确保对有理数乘法的规则和运算方法掌握透彻。
2.对课本中的例题进行复习，并总结课上学习的要点。
注意：本文档仅为教学参考，请根据实际教学情况进行适当调整和补充。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4.2 有理数的乘法（二）
教学目的：
（一）知识点目标：
1.使学生在掌握多个有理数相乘的积的符号法则，
2.使学生会会用计算器进行有理数的乘法运算。
（二）能力训练要求：
1.培养学生观察、归纳、概括能力及运算能力。
2.利用好计算器。
（三）情感与价值观要求：在探索结论的过程中体验学习数学的快乐。
教学重点：乘法的符号法则。
教学难点：积的符号的确定。
教学方法：启发式教学。
教具准备：计算器。
创设问题情境，引入新课
[活动1]： [问题1]：若a、b互为相反数，m、n互为倒数，c是绝对值最小的数，求：⨯
+2005
)
-
(的值。
c
n
m
a⨯
b
[问题2]：口答：
（1）1×（一5），（2）（一1）×（一5），（3）1×a，（3）（一1）×a.
由此你可得出什么结论？
[问题3]：计算（看谁的速度快）：
（1） (一2)×3
（2）（一2）×（一3）
（3）4×（一1.5）
（4）（一5）×（一2.4）
（5）（一3）×3×（一4）
（6）97×0×（一6）
（7）1×2×3×4×（一5）
（8）1×2×3×（一4）×（一5）
（9）1×2×（一3）×（一4）×（一5）
（10）1×（一2）×（一3）×（一4）×（一5）
（11）（一1）×（一2）×（一3）×（一4）×（一5）
（由学生自己去完成，自己去得出规律：
板书：一个数同1相乘得它本身，一个数同一1相乘，得它的相反数。
）
[师] a一定是正数吗？一a一定是负数吗？
[生] 不一定。
a可以是正数，也可以是负数或零。
当a是正数时，一a是负数；当a是负数时，一a是正数；
当一a正数时，a是是负数；当一a是负数时，a是正数；
当a是0时，一a也是0；当一a是0时，a也是0.
[师]这节课我们就来一起看一下多个有理数相乘的规律。
讲授新课
（板书）几个有理数相乘的积的符号法则。
问题1：观察“活动1”中的问题3中各题的结果，找一找积的符号与什么有关？
[师生共析]
（1）（2）（3）（5）（7）（9）（11）等题积为负数，而负因数的个数是奇数个；
（4）（8）（10）等题积为正数，而负因数的个数是偶数个；
问题2：再做几个题试试，看上面的结论是否正确？
（1）3× (一5)；
（2）3× (一5) × (一2) ；
(3) 3× (一5) × (一2) × (一4)；
(4) 3× (一5) × (一2) × (一4) × (一3)；
(5) 3× (一5) × (一2) × (一4) × (一3) × (一6)；
[师生共析]
（1）（3）（5）等题负因数的个数是奇数个，积为负数；
（2）（4）等题负因数的个数是偶数个，积为正数；
问题3：再看两题：
（1）（一2）× (一3) ×0× (一4)；
（2）2×0 ×(一3) × (一4) .
[师生共析]
多个有理数相乘，如果有一个为零，积为零。
[师生共析] （引导学生探究多个有理数相乘的积的符号法则）
（板书）多个有理数相乘的积的符号法则：
几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为正数；负因数的个数是奇数个时，积为负数。
多个因数相乘，有一个为零，则积为0。
巩固提高：
[活动3]教科书第40页。
[例3] 计算：（1）（一3）×)41()59(6
5-⨯-⨯； （2）
41)54(6)5(⨯-⨯⨯-。
（3）7.8×（一8.1）×0×（一19.6）.
解略。
[活动4]
练习：教科书第40页练习题（1）（2）（3）。
学会用计算器进行有理数乘法
[活动5]
[例4] 用计算器计算（一51）×（一14）
解：用带有符号键 的计算器。
51 14
显示：一51×一14＝
＝ （一） × （一） （一）
用带有符号转换键
的计算器。
5114
显示：714.
[活动6] 教科书第41页练习
用计算器计算：（1）26×（一41）；（2）（一35）×（一17）.
课时小结：
这节课我们利用有理数乘法法则探究多个有理数的相乘的符号法则。
熟练利用计算器进行有理数乘法的运算。
课后作业：课本习题1.4 的第7题。
课后反思：——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
＝ 十/一 × 十/一 十/一。