第三章 数字测图的数学基础

0 yi y0 r02
2 2
ˆ ˆ 设 y0 y0 y0， x0 x0 x0 ， r0 r 0 r0 ， xi＝xi v xi，yi yi v yi 。 ˆ ˆ ˆ
线性化处理得： （xi x0 )vxi （yi y0 )v yi （xi x0 ) x0 （yi y0 ) y0 2r0 r 0 w 0 2 2 2 2
• 在外业数据采集过程中，因棱镜所放位置、仪 器误差以及个别人为因素等，势必引起碎部点 的点位误差，从而使得许多规则图形，如矩形 房屋、平行铁路、圆曲线等测绘成图后的形状 有一定的变形。 • 用处理后的数据作为规则地物计算机制图数据 进行制图，以确保规则地物制图结果的美观和 制图精度。我们把这一过程称为规则图形的几 何纠正，或规则图形的正形化处理。
2.采用最小二乘法进行直角化处理
如图，测量已知角β，则：
ˆ jk
ˆ ˆ jk ji ˆ ˆ yi y j ˆ ˆ yk y j ˆ ji arctan arctan ˆ ˆ xi x j ˆ ˆ xk x j
则可得到条件方程如下：
a ji xi b ji yi (a jk a ji ) x j (b jk b ji ) y j a jk xk b jk yk w 0
（11）
（12） （13） （14）
下边界交点： x x1 ( x2 x1 )( y min y1 ) /( y 2 y1 )
y y min
x x max 右边界交点： y y1 ( y 2 y1 )(x max x1 ) /( x 2 x1 )
X K X (s y y) X 0 Y K Y x Y0
（2）
其中，KX=SX /sy和KY=SY /sx分别为X方向和Y方向的比例系数。
（二）图形缩放时的坐标变换
1.定倍数缩放显示
设所选点在原窗口中的坐标为(xm，ym)，其相应的测量 坐标为(XM，YM)，缩放倍数为k，则原窗口中任一点P的坐 标(x，y)与缩放后窗口中的坐标(x′，y′)之间存在如下关系 ：
（9）
多数绘图仪的单位是脉冲当量，一个脉冲当量等于 0.025mm，即1mm相当于40个绘图仪坐标单位，即1m=40000脉 冲当量。 图幅中任一点P的测量坐标与相应的绘图仪坐标存在如下关
系：
1 x 40000 Y Y0 ) ( M y 40000 X X ) 1 ( 0 M
分别为x方向和y方向上的放大倍数。
放大后窗口中的坐标(
x
， y )
与相应测量坐标之间的关系为：
sy X k K X ( y ) X M y 2 Y k K ( x s x ) Y x Y M 2
（7）
kx sx x k (Y YM ) 2 x y k y ( X X ) s y M k 2 y
2.空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换方法为
在采用上式进行转换时，大地纬度B需要用迭代的方 法求解。当两次迭代结果之差⊿Ｂ≦ε 时，就得到了B。 然后就可确定H 。
3、大地坐标系与高斯平面直角坐标系间的转换
xX N N sinBcosBl 2 + sinBcos 3 B (5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
对条件平差方程按最小二乘原理进行平差处理，然后按照平差后的 坐标值进行图形绘制，就可实现圆曲线的几何纠正。
§3.4
一、概述
曲线的光滑
曲线光滑也就是曲线拟合或内插，即将曲线看成是由一 系列的点列连接而成的，只要能根据已知点内插出这些点 列的位置，并确保在这些点处具有连续的一阶导数或连续 的二阶导数，就可保证得到的曲线是光滑的。 曲线的光滑处理方法有两种类型： 一种是光滑后的曲线不一定通过已知点称为曲线拟合； 另一种是光滑后的曲线一定通过已知节点称为曲线内插， 计算机地图制图中大都要求光滑后的曲线通过已知点。
5. 站心坐标系：坐标转换的过渡坐标系。工程上在小范围内有时也直接 采用站心坐标系。
（二）同一基准中几种常用坐标系
1.空间直角坐标系 2.大地坐标系 3.高斯平面直角坐标系 4、平面直角坐标系
x X 500km
Ⅳ A yA xA xB O
Ⅰ YA YB y O B XB XA Y A
yB B
Ⅲ
Ⅱ
(a)
左边界交点：
x xmin y y1 ( y 2 y1 )(x min x1 ) /( x 2 x1 )
线段与裁剪区域存在交点的判别准则为：
x min x x max y min y y max
（15）
二、多边形的裁剪
三、曲线的裁剪
§3.3 规则图形的正形化处理
a 2 b2 e cos B， e b2
2 2 2 2
l = L-Lo，
三、测量坐标系到屏幕坐标系和绘图坐标系的转换
（一）测量坐标与屏幕坐标之间的变换 如图所示，XOY是测量坐标系，xoy是屏幕坐标系。
屏幕坐标系的坐标单 位为像素，其取值一般
只能是0和正整数，具体 取值范围与屏幕分辨率 有关。
§3.1 常用坐标系及其转换
一、测量坐标系概述
坐标参 考系统

天球坐标系：研究天体和卫星的定位与运动 地球坐标系：研究地球上物体的定位与运动
地固坐标系
地心坐标系
参心坐标系
空间直角 坐标系
大地坐标系
空间直角 坐标系
大地坐标系
(一)不同基准的坐标系统(坐标原点，指向，椭球参数）
1．1954年北京坐标系 • ⑴克拉索夫斯基椭球
（8）
(三)测量坐标系到绘图仪坐标系的换算
如图所示，XOY为测量坐标系，xoy为绘图仪坐标系，A （X1，Y1）、B(X2，Y2)、C(X3，Y3)、和D(X4，Y4)是4个图
廓点的测量坐标，则图幅中心的测量坐标为：
1 4 X 0 4 X i i 1 1 4 Y Y 0 4 i 1 i
如图所示，线段相对于矩形裁剪区域的位置，存在四种可能的情况；
(1)线段两端点的四位编码均为0000，则该线段位于矩形裁剪窗口内。 (2)线段两端点的四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果不为0。此时该 线段位于矩形裁剪区域之外。 (3)线段一个端点的四位编码为0000，另一端点的四位编码不为0000。此 时2个端点位于裁剪区域内外，则需要计算与边界的交点。 (4)线段两端点的四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果为0，此时该线 段与裁剪区域边界无交点或有两个交点。
• ⑵椭球定向不准确，大地水准面差距西高东低。
• ⑶该坐标系统是经过局部分区平差得到的 2.1980年国家大地坐标系
• 采用参考椭球IAG-75国际椭球，
• 椭球的短轴平行于地球的自转轴, • 并将大地原点确定在我国中部——陕西省泾阳县永乐镇。
• 高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。
3. 中国地心坐标系统CGCS2000 4. WGS-84坐标系
(4)
kx sx X K (Y YM ) 2 Y k y ( X X ) s y M K 2
(5)
2.开窗放大显示
设所选点在原窗口中的坐标为(xm，ym)，其相应测量坐 标为(XM ，YM)，所选矩形区域在x方向和y方向上的长度分
别为 ，s 和 x
一、直角化处理方法
1.采用比较法进行直角化处理
（1）过C、D两点作垂直于AB直线垂足交点m、n。
（2）在B´b方向线上，过C、D两点与B´b直线的垂足交点为p、q。
（3）过C´可确定D´点的位置。 （4） 计算坐标改正数的平方和。 VV [VxVx ] [VyVy ] （5） 依次分别以CD、DC、DA为起始边进行直角化调整，取坐标改 正数平方和最小的坐标作为直角化处理的最优结果。
(b)
二、测量坐标的转换 （一）不同基准之间的坐标系转换：
• 三个坐标原点平移参数 • 三个坐标轴旋转参数 • 一个尺度变换参数统称为七参数。
相同基准之间转换。
（二）同一基准内坐标的相互转换
1.空间直角坐标系与大地坐标系间的转换 ⑴大地坐标系向空间直角坐标系的转换方法为：
卯酉圈的半径
a 2 b2 e2 2 a
运算相乘规则：0· 0=0, 0· 1=0, 1· 0=0, 1· 1=1.
设线段两端点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则线 段与裁剪区域边界的交点为： 上边界交点：
x x1 ( x 2 x1 )( y max y1 ) /( y 2 y1 ) y y max
w jk ji
• 当 / 2时，表示jk和ji边构成直角条件；当 时，表示jk和ji 为一条直线，即构成直线条件。
直角化处理
二、圆形的正形化处理
在测量圆形构筑物时，测量圆周上三个点可以唯一确定一个圆，当 测量点多于3个时，圆曲线上的测量点应满足圆曲线方程：
四位编码线段裁剪方法
， ， 设矩形区域的左下角坐标为( xmin ymin)，右上角坐标为（ xmax
y max ），P(x，y)为平面上任一点，则每一位编码的定义如下：
若y＞ymax,则C1=1,表示P点位于上边界上方；
若y＜ymin,则C2=1,表示P点位于下边界下方；
若x＞xmax则C3=1,表示P点位于右边界右方； 若x< xmin,则C4=1,表示P点位于左边界左方。 这里，C1、C2、C3、和C4分别 表示从左至右的第1位、第2位、 第3位和第4位编码。若某位为 0，则表示P点的位置与取值为 1相反。