【最新】2018届高三上学期期中考试数学(理)试题
山东省烟台市2018届高三数学上学期期中试卷理科含答案
山东省烟台市2018届高三数学上学期期中试卷（理科含答案）2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3]B．[﹣4，3]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0] 2．等差数列中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．643．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cbB．C．bac＞abcD．logac＞logbc4．设函数f（x）=，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则实数a的值为（）A．﹣1或﹣B．﹣C．﹣D．1或﹣5．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．图象关于点（﹣，0）中心对称D．图象关于x=﹣轴对称6．两个非零向量，b满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣夹角为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知正数x，y满足，则z=（）x（）y的最小值为（）A．1B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=（）A．1或B．﹣1或﹣C．D．﹣10．设函数f（x）=3cosx，若存在f（x）的非零极值点x0满足x02+f（x0）＜4m，则实数m的取值范围为（）A．（1，3）B．（2﹣，2+）C．（3，+∞）D．（2+，+∞）11．已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y=﹣f（x）有四个零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（）A．2B．3C．4D．512．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f （e2）D．ef（e2）＞f（e3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知=（1，﹣1），=（t，1），若（+）∥（﹣），则实数t=．14．已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若+＞m恒成立，则实数m的取值范围是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣m，则f（2107）=．16．在△ABC中，=2，其面积为，则sin2A+sin2B的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知=（sinx，cos2x），=（cosx，1），x∈R，设f（x）=．（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，满足an+1=，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若对一切正整数n都有++…+＜，求实数a的最小值．19．（12分）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y=﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）20．（12分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（1）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．21．（12分）已知a为实常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（a≠0）．（1）若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；（2）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m 的最大值．2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．D；2．A；3．D；4．B；5．C；6．D；7．A；8．D；9．D；10．A；11．C；12．C；二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.解：(1)-----------------------1分---------------3分令------------------4分得的单调递增区间为------------------6分（2）由,得------------------7分又----------------8分所以所以------------------9分------------------11分∴面积的最大值为.------------------12分18.解：（1）当时，满足，且∴，----------------------1分∴，∵，∴，------------------2分∴当时，是公差为的等差数列．-----------------3分∵，，构成等比数列，∴，，解得，------------------4分又由已知，当时，，∴-----------------5分∵，∴是首项，公差的等差数列．∴数列的通项公式．------------------6分（2）由（1）可得式-------------8分∴----------------10分解得的最小值为---------------12分19.解：（1）由题意：时，∴，又∵时，∴,可得,----------------2分∴-----------------4分（2）由题意：------------5分当时，，，由得或由得所以在上是增函数，在上是减函数------------------7分因为所以时，的最大值为------------------9分当1时，------------------10分当且仅当，即时取等号，∴时有最大值．------------------11分∵，∴当时有最大值，即当销售价格为元的值，使店铺所获利润最大．-----------------12分20.解：（1），定义域为．------------------1分因为------------------3分因为在处取得极小值所以即解得-----------------4分经检验时，在处取得极小值------------------5分（2）解法一:因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.------------------6分即有的解------------------7分即有的解------------------8分问题等价于------------------9分当且仅当取等号------------------11分------------------12分解法二：因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.------------------6分即有的解------------------7分当时，明显成立.------------------8分②当时，开口向下的抛物线，总有的解；------------------9分③当时，开口向上的抛物线，只要方程有正根即可.因为，所以方程有两正根.，解得．------------------11分综合①②③知：．-------------12分21.解：（1）=．-----------------1分当时，＞0，函数在单调递增；------------3分当时，=，令，解得；令，解得．∴函数的单调递增区间为，单调递减为．--------5分综上可得：当时，函数在单调递增；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．--------------6分（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点，------------------7分当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．此时为函数的最小值，令令，得，∴函数的单调递增区间为，且∴当时，-----------------9分令在上单调递减即当时，------------------10分由于----------------11分当时，函数有两个零点----------------12分22.解：（1）不等式等价于或或-----------------3分解得------------------5分（2）解法一：--------------8分∵∴，的最大值为1----------------10分解法二：------------------8分∵∴，的最大值为1------------------10分。
山东省菏泽市2018届高三上学期期中考试数学(理)试题
山东省菏泽市2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.设会合.若，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由得，即是方程的根，因此，，应选 C．点睛 :会合中元素的三个特征中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的会合，在求出字母的值后，要注意查验会合中的元素能否知足互异性．两个防备：①不要忽略元素的互异性；②保证运算的正确性．2. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由题意可得：，解得：∴定义域为：应选： A3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】，应选 D4. 以下函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】对于 A ，为非奇非偶函数，在区间上为增函数，错误；对于 B，为偶函数，在区间上为减函数，错误；对于 C，为奇函数，在区间上为增函数，错误；对于 D，偶函数，在区间上为增函数，正确；应选 ;D5.将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数分析式是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】的图象向左平移单位获得的图象，即将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数分析式是，应选 C.6.函数的一个零点落在区间（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】试题剖析：不难知，当x＞ 0时 f （ x）为增函数，且f（ 1）＝－ 1＜ 0， f（2）＝－＋1＝＞0因此零点必定在（1，2）内 .选 B考点：函数的零点7. 在中，则“”是“”的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件【答案】C【分析】由题意等价于,依据正弦定理可得,即,则中，“” 是“”的充要条件, 应选 C.8. 命题“且”的否认形式是（）A.且B.且C.或D.或【答案】 C【分析】命题“且”的否认形式是或应选： C9. 若，且，则的值为（）A. 2B.C.1D.【答案】 A【分析】易得：∵∴，即应选： A10. 若函数A.或，∴的图象与B. 或，轴没有交点，则实数C.或的取值范围是（D.或）【答案】A【分析】∵函数的图象与轴没有交点∴无解，即，又，∴，解得：或应选： A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；(2)分别参数法：先将参数分别，转变成求函数值域问题加以解决；(3)数形联合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形联合求解．11. 已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线少垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】函数 f （ x） =e x-mx+1 的导数为 f （′ x）=e x-m ，若曲线 C 存在与直线y=ex 垂直的切线，即有有解，即由e x＞0，则m＞则实数m的范围为应选 B12. 已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】∵ f（ x） =，∴ f（-x）=- x+ sinx =-f（x），即函数f（ x）为奇函数，函数的导数 f ′（ x）= 1- cosx0，则函数 f（ x）是增函数，则不等式 f （ x+1） +f （ 2-2x ）＞ 0 等价为 f（ x+1）＞ -f （ 2-2x ） =f （2x-2 ），即 x+1>2x-2 ，解得 x<3 ，故不等式的解集为．应选： C．点睛：此题观察不等式的解集的求法，解题时要认真审题，注意函数奇偶性、增减性的合理运用，推导出函数f（x）为奇函数，且函数f（x）是增函数，从而不等式f（ x+1 ）+f（ 2-2x ）＞0 等价为 f（ x+1）＞ f（ 2x-2），从而 x+1>2x-2 ，由此能求出不等式的解集．第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知是锐角，且，则__________ ．【答案】【分析】，故答案为：14. 已知函数是定义在上的周期为 2 的奇函数，当时，，则__________．【答案】【分析】∵函数是定义在上的周期为 2 的奇函数，∴，又当时，，∴，又∴故答案为： -315. 已知函数是函数的导函数，，对随意实数都有，设则不等式的解集为 __________ ．【答案】点睛：此题观察利用导数研究函数的单一性，利用单一性，特值是解答该题的重点，由已知 f （ x） -f' （ x）＞ 0，利用导数得单一性，把要求解的不等式转变为F（ x）＜F（ 1）得答案．16. 已知函数，则以下命题正确的选项是__________( 填上你以为正确的全部命题的序号） .①函数的最大值为2；②函数的图象对于点对称；③函数的图像对于直线对称；④函数在上单一递减【答案】①③④【分析】∵∴函数的最大值为2，①正确；当时，，②错误；当时，，③正确；当时，，④正确，∴以下命题正确的选项是①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题. 命题，使得. 若为真，为假，务实数的取值范围.【答案】的取值范围为或【分析】试题剖析：先求得真，；若真，或，再依据为真，为假，即可求解实数的取值范围．试题分析：提示：若真，；若真，或，真，则真且真．．．．12分考点：复合命题的真假判断与应用．18. 在中，内角的对边长分别为，且.（1）求角（2）若【答案】 (1)的大小；，求(2)的面积..【分析】试题剖析：（Ⅰ），因此由和联合余弦定理可解得由正弦定理可化为，从而可得，，从而可得，；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）得∵，∴∴，又（Ⅱ）∵，由，∴，，∴．得∴，解得，∴，，考点： 1．正余弦定理的应用； 2．三角函数的和差角公式；3．正弦定理求面积．19. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值 .【答案】 (1)f (x) 的最小正周期为＝π;(2)f( ) 最大值为＋ 1，最小值为 0.T x【分析】试题剖析：（1）利用平方和公式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式即可化简为 f （x）=Asin（ωx+φ）+k 的形式，利用周期公式即可得解f （ x）最小正周期；（ 2）由已知可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x ）在区间上的最大值和最小值．试题分析：(1)∵，∴ f（x ）的最小正周期为；(2)由 (1) 的计算结果知， f(x)＝ sin＋ 1.，∴，∴ sin（2x+）∈[ ﹣，1] ，∴．点睛：三角函数式的化简要按照“三看”原则: 一看角，这是重要一环，经过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差别，从而确立使用的公式，常有的有切化弦；三看结构特色，剖析结构特色，能够帮助我们找到变形的方向，如碰到分式要通分等.20. 已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.【答案】 (1);(2)当时，在区间上恰有两个零点 .【分析】试题剖析：（1）求出，利用导数的几何意义求切线斜率为，依据点斜式可得切线方程；（ 2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用在区间上恰有两个零点列不等式组，求解不等式组即可求的取值范围.试题分析：（ 1）由已知得,若时，有，,∴在处的切线方程为：，化简得.（2）由（ 1）知，由于且，令，得因此当时，有，则是函数的单一递减区间；、当时，有，则是函数的单一递加区间． 9分若在区间上恰有两个零点，只要，即,因此当时，在区间上恰有两个零点 .【方法点晴】此题主要观察利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题 .求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（ 2）由点斜式求得切线方程.21. 已知函数( 此中为自然对数的底数).（1）当时，求函数的单一递加区间；（2）若函数在区间上单一递减，求的取值范围 .【答案】 (1)函数 f ( x)的单一递加区间是(－∞，－] 和[，＋∞ );(2)m 的取值范围是.【分析】试题剖析：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单一增区间即可．（2）利用函数的导数，导函数小于0，分别变量，结构函数利用导数求解最值即可获得结果．试题分析：(1)当 m＝－2时， f ( x)＝( x2－2x)e x，f′(x)＝(2 x－2)e x＋( x2－2x)e x＝( x2－2)e x，令 f ′(x)≥0，即 x2－2≥0，解得x≤－或x≥.因此函数 f ( x)的单一递加区间是( －∞，－] 和 [，＋∞)(2)依题意， f ′(x)＝(2 x＋ m)e x＋( x2＋ mx)e x＝[ x2＋( m＋2) x＋m]e x，由于 f ′(x)≤0对于 x∈[1,3]恒建立，因此 x2＋( m＋2) x＋ m≤0，即 m≤－＝－(x＋1)＋令 g( x)＝－( x＋1)＋，则g′(x)＝－1－<0 恒建立，因此 g( x)在区间[1,3]上单一递减， g( x)min＝ g(3)＝－，故m的取值范围是.22. 在某次水下科研观察活动中，需要潜水员潜入水深为60 米的水底进行作业，依据过去经验，潜水员下潜的均匀速度为( 米/ 单位时间 ) ，每单位时间的用氧量为（升)，在水底作业10 个单位时间，每单位时间用氧量为0.9 （升），返回水面的均匀速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为 1.5（升），记潜水员在此次观察活动中的总用氧量为( 升）.（1）求对于的函数关系式；（2）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.【答案】 (1)总用氧量;(2)时，总用氧量最少.【分析】试题剖析：（ 1）由题意，下潜用时用氧量为，返回水面用时用氧量为，两者乞降即可；（ 2）由（ 1）知，利用导数研究函数的单一性可得时总用氧量最少 .试题分析：（ 1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），∴总用氧量.（2），令得，在时，，函数单一递减，在时，，函数单一递加，∴当时，函数在上递减，在上递加，∴此时，时总用氧量最少，当时，在上递加，∴此时时，总用氧量最少.考点： 1、阅读能力、建模能力及函数的分析式；2、解决实质问题的能力及利用导数求函数的最值 .【方法点睛】此题主要观察阅读能力、建模能力及函数的分析式、解决实质问题的能力及利用导数求函数的最值，属于难题.与实质应用相联合的题型也是高考命题的动向，这种问题的特色是经过现实生活的案例观察书籍知识，解决这种问题的重点是耐心读题、认真理解题，只有吃透题意，才能将实质问题转变为数学模型进行解答. 建立函数模型时必定要考虑变量的实质意义，以确立函数分析式的定义域，以便正确解答.此题的解答重点是将实质问题转化为函数问题求最值.。
高三第一学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
2017-2018年第一学期期中考试卷数学（理）第Ⅰ卷一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合|l 3M {}x x <<=，2N {|20}x x x =-<，则错误！未找到引用源。
= （ ）A ．{|12x x <<}B ．{|13x x <<}C ．{|03x x <<}D ．{|02x x <<} 2．已知复数i z i z +=-=1,121，则iz z 21⋅ 等于 （ ） A.i 2 B. i 2- C. i +2 D. i +-23．设n m ,是两条不同直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ）A.βα//,//n m 且,//βα则n m //B. βα⊥⊥n m ,且 βα⊥，则 n m ⊥C.,,,n m n m ⊥⊂⊥βα 则βα⊥D.,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂则βα//4. 若312cos =θ，则θθ44c o ss i n +的值为 （ ）A.1813 B.1811 C.95D.1 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为 （ ）A.3242π-B.243π-C.24π-D.242π-6．421dx x ⎰等于 （ ）A.2ln2- B ．2ln2 C ．ln2- D ．ln 27．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()1(x f x f -=+，则“)(x f 在[0，]1上是增函数”是“)(x f 在[3，]4上是减函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知某算法的流程图如图所示，输入的数x 和y 为自然数，若已知输出的有序数对为)14,13(，则开始输入的有序数对),(y x 可能为 （ ） A. )7,6(B. )6,7(C. ()5,4D. )4,5(9．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设)2.0(),3(log ),7(log 6.0214-===f c f b f a ，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围为 （ ）A ．1[-，]2B ．0[，]2C ．1[，+)∞D ．0[，+)∞11．设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有0)()(2>'+x f x x f ，则不等式0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为 （ ） A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，12．设x 、y R ∈，1>a ，1>b ，若3==yx b a ，32=+b a ，则yx 11+的最大值是 （ ） 学校 班级 姓名 座号 …………………………………密………………………………封……………………………线…………………………………………………A ．2B ．23C ．1D ．21第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每题5分）13．已知()x f 是R 上的奇函数，且满足()()x f x f =+4，当()2,0∈x 时，()22x x f =，则()=7f ；14．ABC ∆的周长为20，面积为,60,310 =A 则BC 边的长等于 ；15．已知函数)(x f 是偶函数，当0>x 时，x x f 2log )(=，则=41((f f ；16．由曲线,x y =直线2-=x y 及y 轴所围成的图形的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2018届高三数学上学期期中试题理(含解析)
数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以因为，所以，，选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.3. 下列说法中正确的个数是（）①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；②命题“，”的否命题是“，”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①，若“” 为真命题，则都为真命题，“” 为真命题，若为真命题，只需为真命题或为真命题，“”不一定为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故①错误；对于②，命题“，”的否定是“”，故②错误；对于③，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以③正确，即正确命题的个数为，故选B.4. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，当时，，图象就是把的图象向右平移1个单位，可见选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为，底面积为，所以表面积为，故选D.6. 等比数列中，，，函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数，，则．故选C．考点：导数的运算.7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当时，的取值分别为，，的取值不可能是，故选B.8. 向量，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选A.9. 已知数列的首项，，则（）A. 99B. 101C. 399D. 401【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，，故选C.10. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象如图：注意，设,当时，有4个实根，若方程在上有两个不等实根时，方程有8个不等实根，则：.....................解得：，选C.【点睛】方程的根的个数控制问题是近几年高考和模拟考试常见考题，一般先画出函数的图象，设t=f(x),化方程的根的个数问题为直线y=t与曲线y=f(x)的交点的个数问题去解决，然后观察t的范围，利用利用一元二次方程的根的分布控制t的个数t的范围，从而得出参数的范围.12. 用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，（），若，则的所有可能值的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】对两边取倒数，得，累加得，由为单调递增数列，，其中，整数部分为，，整数部分为，，整数部分为，由于，时，的整数部分都是，的所有可能值得个数为，故选B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量、满足约束条件：则的最大值是__________．【答案】8。
2018届高三数学上学期期中试题理(含解析)
2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2. 下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围判断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断②；利用正弦函数的奇偶性判断③；利用对数的性质和二次函数的图象判断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、 CC1 的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则直接表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用，属于基础题.6. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7. 在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题．8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移个单位长B. 向右平移个单位长C. 向左平移个单位长D. 向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.9. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11. 在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相似三角形的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.12. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量夹角为,,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 14. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，根据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18. 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）证明：；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，，可得平面，由此能证明平面平面；（2）先证明，可得平面，再由线面平行的性质可得；（3）过作直线，分别以FA，FE， l，为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用夹角公式可得结果.【详解】（1）因为平面为正方形，所以，又因为，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）证明：∵，面，面平面平面，平面平面；（3）过作直线，∵平面平面，∴面，所以l，FA，FE两两垂直，分别以FA，FE， l为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.，，，设面的法向量，，取，求得，，，∴FA与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直、线线平行的证明，线面角的向量法，是中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 已知数列的前项和为，，，.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；；（2）.【解析】【分析】(1)由知，当时：，两式作差化简，可证明数列是等差数列；利用等差数列的通项公式可求得；(2)由(1)求出，利用裂项相消法求和可得结果．【详解】(1)证明：由知，当时：，即，∴，对成立.又，∴是首项为1，公差为1的等差数列.∴(2)∴=【点睛】本题考查定义法证明等差数列，考查数列求和，考查数列递推关系式，属于中档题．20. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与垂直，求函数的解析式；（2）如果对于任意的，都有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导，由已知得，求出得解（2）求导得到在上的最大值为转化得到在恒成立.构造函数求得的最大值为，得解【详解】（1），∵曲线在点处的切线与垂直，∴，.（2），∴，，，，∴在上递减，在上递增，∴在上的最大值为较大者，即，∵对于任意的，都有成立，∴即对任意的成立.令，，∴，，，，∴在上递增，在上递减，的最大值为，∴，.【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.21. 如图，在多面体中，平面平面，平面，，∥，且.（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得，再由，得到四边形为平行四边形，从而∥，然后结合平面得证.（2）连接，根据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得∥，再由∥，且，得到四边形为平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明.（3）根据两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，然后由求解.【详解】（1）平面∥平面，平面平面，平面平面，∴又，四边形为平行四边形，∥面，平面（2）连接，平面∥平面，平面平面，平面平面，∴∥，∥，∴∥，，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴∥平面.（3）由已知，两两垂直，建立如图的空间坐标系，设，则∴设平面的一个法向量为，则，令，则，而平面的一个法向量，∴，由图形可知，二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.22. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.【详解】（1）若，，在上单调递减；若，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增.（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意.若，由（1）可知，的最小值为令，，所以在上单调递增，又，当时，，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以当时，结合单调性可知有一个零点综上所述，若有两个零点，的范围是【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2. 下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围判断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断②；利用正弦函数的奇偶性判断③；利用对数的性质和二次函数的图象判断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、 CC1 的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则直接表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用，属于基础题.6. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7. 在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题．8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移个单位长B. 向右平移个单位长C. 向左平移个单位长D. 向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况. 9. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11. 在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相似三角形的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.12. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量夹角为,,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，根据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余。
山东省潍坊市2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷
理 科 数 学2017．11本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分。
考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}21x x -<<，B={}23x x x -<0，那么A ∪B= A ．{}2x x -<<3 B ．{}1x x 0<<C ．{}2x x -<<0D ．{}x x 1<<32．已知x >y >0，则A ．11x y->0B ．cos cos 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y ->3．函数()4x f x e x=-的零点所在区间为 A ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1，2D ．()2e ，4．下列函数为奇函数且在()0+∞，上为减函数的是A ．)ln y x = B ．122x x y =-C ．1y x x=+D ．y =5．在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边关于x 轴对称，已知3sin 5α=，则cos β=A．35B ．45-C．35±D．45±6．已知,x y R∈，且41010yx yx y≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y=+的最小值为A．4-B．2-C．2D．47．某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是A．2πB．3πC．3πD．2π8．已知函数()2sin3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，以下结论错误的是A．函数()y f x=的图象关于直线6xπ=对称B．函数()y f x=的图象关于点23π⎛⎫⎪⎝⎭，对称C．函数()y f xπ=+在区间566ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，上单调递增D．在直线1y=与曲线()y f x=的交点中，两交点间距离的最小值为2π9．函数y x a=+与()01xxay a ax=>≠且在同一坐标系中的图象可能为10．()f x是定义在R上的奇函数，对x R∀∈，均有()()2f x f x+=，已知当[)0,1x∈时，()=21xf x-，则下列结论正确的是A．()f x的图象关于1x=对称B．()f x有最大值1C．()f x在[]13-，上有5个零点D．当[]2,3x∈时，()1=21xf x--11．在三棱锥P —ABC 中，AP=AC=2，PB=1，BP ⊥BC ，∠BPC=3π，则该三棱锥外接球的表面积是 A ．2π B ．3π C ．4πD ．92π12．锐角三角形ABC 中，∠A=30°，BC=1，则∆ABC 面积的取值范围为 A. 3132⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦， B. 3132⎛⎤+ ⎥⎝⎦， C. 33⎛⎤⎥⎝⎦， D. 3134⎛⎤+ ⎥⎝⎦，第II 卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()()cos ,042,0x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则()2017f =_______. 14．已知单位向量(),a x y =，向量()1,3b =，且0,60a b =，则y =___________.15．已知3πα0<<，25sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=__________．16．右图所示，直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上任意一点，F 为底面A 1C 1(除C 1外)上一点，已知，在底面AC 上的射影为H ，若再增加一个条件，就能得到CH ⊥AD ，现给出以下条件：①EF ⊥B 1C 1；②F 在B 1D 1上；③EF ⊥平面AB 1C 1D ；④直线FH 和EF 在平面AB 1C 1D 的射影为同一条直线．其中一定能成为增加条件的是____________(把你认为正确的都填上)。
河北省唐山一中2018届高三上学期期中数学试卷理科 含解析
2018-2018学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}2．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．若直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a=（）A．a=﹣1 B．a=3 C．a=3或a=﹣1 D．a=3且a=﹣14．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤15．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）6．设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为7．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．28．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈10．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+311．如图所示是三棱锥D﹣ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若﹣1＜x＜1，则y=+x的最大值为．14．数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30=．15．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1，S2，则的最大值为．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，n=1，2，3…，求和：．（2）若b n=log4a2n+118．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．已知圆C：x2+y2=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2018-2018学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，由N中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，∵全集U=R，∴∁U N={x|x≤﹣1或x≥3}则M∩（∁U N）={x|x＜﹣2或x≥3}．故选：B．2．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．3．若直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a=（）A．a=﹣1 B．a=3 C．a=3或a=﹣1 D．a=3且a=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线平行可得1×3﹣a（a﹣2）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，∴1×3﹣a（a﹣2）=0，解得a=3或a=﹣1，经验证当a=3时，两直线重合，应舍去故选：A．4．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由p是q的必要不充分条件得到q能推出p，p 推不出q，即q是p的真子集，根据两解集列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可求出m的范围．【解答】解：由命题p中的不等式（x﹣m）2＞3（x﹣m），因式分解得：（x﹣m）（x﹣m﹣3）＞0，解得：x＞m+3或x＜m；由命题q中的不等式x2+3x﹣4＜0，因式分解得：（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以q⊊p，即m+3≤﹣4或m≥1，解得：m≤﹣7或m≥1．所以m的取值范围为：m≥1或m≤﹣7故选B5．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．6．设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为【考点】简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by﹣1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的取值范围．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d=，那么a2+b2的最小值为：d2=．故选A．7．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由向量满足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥，即．当且仅当||=|﹣|即时，．即可得出．【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．8．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM ，由此能求出结果．【解答】解：过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积：V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM=+S △EPQ •NQ +=++=5（立方丈）． 故选：B ．10．已知函数f （x ）=满足条件，对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a +b=（ ）A ．B ．﹣C ．+3 D ．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a ，b 的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）=f （x 2）． ∴f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调， 则b=3，且a ＜0，由f （2a ）=f （3b ）得f （2a ）=f （9），即2a 2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．11．如图所示是三棱锥D﹣ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图还原实物图；异面直线及其所成的角．【分析】由题意还原出实物图形的直观图，如图从A出发的三个线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是中点，在此图形中根据所给的数据求异面直线DO和AB所成角的余弦值【解答】解：由题意得如图的直观图，从A出发的三个线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是中点，取AC中点E，连接OE，则OE=1，又可知AE=1，由于OE∥AB，，故角DOE即所求两异面直线所成的角在直角三角形DAE中，求得DE=由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO=在直角三角形DAO中可以求得DO=在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE==故选A12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若﹣1＜x＜1，则y=+x的最大值为0．【考点】基本不等式．【分析】利用分离常数法化简解析式，并凑出积为定值，由x的范围化为正数后，利用基本不等式求出函数的最大值．【解答】解：由题意得，y=+x===，∵﹣1＜x＜1，∴﹣2＜x﹣1＜0，则0＜﹣（x﹣1）＜2，∴=2，则，当且仅当时，此时x=0，取等号，∴函数的最大值是0，故答案为：0．14．数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30=．【考点】数列的求和．【分析】由a n=n（cos2）=ncosπ可得数列是以3为周期的数列，且，代入可求【解答】解：∵a n=n（cos2）=ncosπS30=[]=故答案为1515．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1，S2，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】根据条件画出图象，由图求出底边上的高和sinA的值，由正弦定理求出sinC，设CE=x，CF=y，利用三角形的面积公式求出S1和S2=S﹣S1，由条件列出方程化简后，三角形ABC根据基本不等式求出xy的范围，代入化简后求出的最大值．【解答】解：设E、F分别在AC和BC上，如图所示：取AB的中点D，连接CD，∵AB=4，AC=BC=3，∴CD==，则sinA==，由得，sinC===，设CE=x，CF=y，所以S1=xysinC=，﹣S1=2﹣S1=，则S2=S三角形ABC由条件得x+y=3﹣x+4﹣y+3，化简得x+y=5，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，所以===≤=，当且仅当x=y=时取等号，则的最大值是，故答案为：．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为 ①②③④ ．（写出所有正确命题的序号） 【考点】分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0， ∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1， 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；③若x 是有理数，则x +T 也是有理数； 若x 是无理数，则x +T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3=7，且a 1，a 2，a 3﹣1成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =log 4a 2n +1，n=1，2，3…，求和：．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质． 【分析】（1）由已知得：，设数列{a n }的公比为q ，把等比数列的通项公式代入，求出q=2，a 1=1，由此得到数列 {a n }的通项公式．（2）先求出 b n =log 4 4n =n ，要求的式子即，用裂项法求出它的值．【解答】解：（1）由已知得：，解得 a 2=2．设数列{a n }的公比为q ，由 a 2=2，可得 a 1=，a 3=2q ，又S 3=7，可知+2+2q=7，即 2q 2﹣5q +2=0，解得 q=2，或q=．由题意得q＞1，∴q=2，a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）得a2n+1=22n=4n，由于b n=log4 a2n+1，∴b n=log4 4n=n．=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．18．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC 的形状；（2）记∠ACM=θ，表示出f（θ）=，利用辅助角公式化简，即可求f（θ）的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理可得：结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A∵a＞b，∴A＞B∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=，即C=∴△ABC是直角三角形；（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=∴AC=，BC=∴f（θ）==cosθ+=cos（θ﹣），∴θ=时，f（θ）的最大值为．19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用三角恒等变换，可化简f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由已知=4，化简整理可得bc=8，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA 结合不等式即可求得a的最小值．【解答】解：（1）因此，最小正周期为T=π…，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…（2）由题知：=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∴bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为2…20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD ⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．21．已知圆C：x2+y2=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）先求出|PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，由此能求出结果．（2）设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，从而求出x A，x B，由此能求出直线AB与直线PM垂直．【解答】解：（1）因为点P（2，0），M（0，2），所以|PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以=．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值h=d+r=，最大面积，此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．（2）直线AB与直线PM垂直，理由如下：因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以x A=，同理，===1，又k PM=，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．22．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）﹣x和G（x）=，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2018年12月15日。
2018年高三上学期期中考试数学(理)试题
数学（理科）
2017.11
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。
（B） 为 f x的一个周期 （D） f x在区间 (0, ) 上单调递减
2
（ⅰ） A B 1, 2,3, 4,5, 6， A B ；
（ⅱ） A 的元素个数不是 A 中的元素， B 的元素个数不是 B 中的元素，
则有序集合对 A, B的个数为
（
）
（A）10
（B） 12
（C）14
（D）16
（17）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) x (a 1) ln x a ，其中 a 0 ． x
（Ⅰ）当 a 2 时，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[1, e] 上的最小值．（其中 e 是自然对数的底数）
（18）（本小题 13 分）
（20）（本小题 14 分）
若数列 A ： a1 ， a2 ，…， an （ n 3 ）中 ai N* （1 i n ）且对任意的 2 k n 1 ak1 ak1 2ak 恒成立，则称数列 A 为“U 数列”． （Ⅰ）若数列1， x ， y ， 7 为“U 数列”，写出所有可能的 x ， y ； （Ⅱ）若“U 数列” A ： a1 ， a2 ，…， an 中， a1 1， an 2017 ，求 n 的最大值； （Ⅲ）设 n0 为给定的偶数，对所有可能的“U 数列” A ： a1 ， a2 ，…， an0 ， 记 M max{a1, a2 ,..., an0 } ，其中 max{x1, x2 ,..., xs}表示 x1 ， x2 ，…， xs 这 s 个数中最大 的数，求 M 的最小值．
2018届高三数学上学期期中试题理word版本
2018届高三上学期数学（理科）期中考试（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟）注意事项：非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（每小题5分，总50分）1．已知集合，，则（）．．．．2．已知命题P是：“对任意的，”，那么是（）A．不存在，B．存在，C．存在， D．对任意的，3.是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数4．设则“且”是“”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5若，则的定义域为( )A. B. C. D.6.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0,)的部分图象如图所示，则f(0)的值是（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（）．A．B． C．D．8.已知，则的值等于( )A ．B ．C ．D ．9. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A 在函数的图象上，其中，则的最小值为A．1 B．4 C． D．210. ,若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)二、填空题（每小题5分，总20分,其中14、15题为选做题）11.已知函数, 则= _____________.12. 的值等于________.13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为__．15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为．PABO C三、解答题（共80分）16.（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求的最大值和最小值；（3）若，求的值17．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；（2）若第一次随机抽1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率．18.（14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；19．(本小题满分14分)已知函数f(x) =x2—lnx.(1)求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递减区间：(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x∈ (O，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a的值. (e是为自然对数的底数）20．(本小题满分14分)在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月生产台某种产品的收入为元，成本为元，且，，现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入－成本）（1）求利润函数以及它的边际利润函数；（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。
2018届高三数学上学期期中试题理
2017-2018学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意：选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不记分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题1.实数集，设集合}034|{2≤+-=x x x P ，}04|{2<-=x x Q ，则P(Q C R )=.]3,2[ .（1，3） . （2，3] . (-,-2][1,+)2.指数函数y=b 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6.则值为.2 . -3 .2或-3 .21 3.“函数f （x ）=a +lnx （x ≥e ）存在零点”是“a ＜-1”的（ ）. 充分不必要条件 . 必要不充分条件. 充要条件 . 既不充分不用必要条件4.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边， cosA=54，c =2，△ABC 的面积S=6，则a 的值为（ ）. 234 .4 . 6 . 725.已知函数f （x ）=)2sin(φ-x -)2cos(φ-x （||<2π）的图象关于y 轴对称，则f （x ）在区间 [-6π,3π]上的最大值为（ ） . 1 . . . 2 6若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m．与a 有关，且与b 有关．与a 有关，但与b 无关 ．与a 无关，且与b 无关 ．与a 无关，但与b 有关7.已知,是单位向量，,的夹角为90°，若向量满足：|--|=2，则||的最大值为（ ）.2- . . 2 .2+8.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|,则ABC 一定是.等边三角形 .等腰三角形 .直角三角形 . 等腰直角三角形9.函数f （x ）的定义域为R ，若f （x +1）与f （x -1）都是奇函数，则f （5）=（ ） . -1 . 0 . 1 . 510.设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,06262y x y x y x 则max{2x+3y-1,x+2y+2}的取值范围是.[2,9] .[-1,9] .[-1,8] .[2,8]11.已知数列{}满足：1+n a +=(n+1)cos 2πn (n2,nN *),是数列{}的前n 项和，若2017S +m=1010,m>0,则ma 111+的最小值为（ ）.2 . .2 .2+12. 定义R 上的减函数f （x ），其导函数f /(x)满足:)()(/x f x f <x -1，则下列结论正确的是 . 当且仅当x(-,1)，f （x ）<0. 当且仅当x ∈（1，+∞），f （x ）>0. 对于∀x ∈R，f （x ）<0. 对于x ∈R，f （x ）>0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.计算：dx x x ⎰---112)sin 12(=____14.已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域均为[﹣3，3]，且它们在x ∈[0，3]上的图象 如图所示，则不等式)()(x g x f <0的解集是_____15.方程： =1的实数解的个数为_____个16.有下列命题：。
河北省武邑中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
武邑中学2018届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设R x ∈，i 为虚数单位，且i x i -++111，则=x （ ） A ．－1 B ．1 C ．－2D ．22.设集合}7|{2x x x A <=，}1725|{<<=x x B ，则B A I 中整数元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63.已知向量),1(x a =，)4,(x b =，则2-=x 是“a 与b 反向”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且750=a B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且750=c C.a ，b ，c 依次成公比为21的等比数列，且750=a D ．a ，b ，c 依次成公比为21的等比数列，且750=a 5.若函数1)1()(2+--=x a e x f x 在（0，1）上递减，则a 取值范围是（ ）A ．),12(2+∞+eB ．),12[2+∞+e C.),1(2+∞+e D ．),1[2+∞+e6.某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为212，则该几何体的表面积为（ ）A ．36B ．42 C. 48D ．647.定义在R 上的奇函数x a x f x x sin 422)(--⋅=-的一个零点所在区间为（ ）A ．)0,(a -B ．),0(a C.)3,(a D ．)3,3(+a8.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤-≥-≥+2303010y x x x y x ，则y x z -=的取值范围为（ ） A ．[2，6] B ．（－∞，10] C.[2，10] D ．（－∞，6]9.在四棱锥ABCD P -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为︒60，给出下面三个命题，1p :若2=AB ，则此四棱锥的侧面积为344+；2p :若E ，F 分别为PC ，AD 的中点，则EF //平面PAB ；3p ：若P ，A ，B ，C ，D 都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.在下列明天中，为真命题的是（ ）A ．32p p ∧B ．)(21p p ⌝∨ C. 31p p ∧ D ．)(32p p ⌝∧10.设a ，),1()1,0(+∞∈Y b ，定义运算：⎩⎨⎧>≤=Θb a a b a b b a b a ,log ,log ，则（ ） A ．2)84(4)82(8)42(ΘΘ>ΘΘ>ΘΘB ．4)82(2)84()42(8ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ C.)42(84)82(2)84(ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ D ．4)82(8)42(2)84(ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ11.设n S 为数列{}n a 的前项n 和，)2(23211≥⋅=---n a a n n n ，且2123a a =.记n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n S a 1的前n 项和，若*∈∀N n ，m T n <，则m 的最小值为（ ）A ．31B ．21 C.32D ．1 12.当0≥x 时，)1ln(1+≥+x a x xe x恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．]1,(-∞B ．],(e -∞ C.]1,(e -∞D ．]0,(-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量a ，b 满足2||=+b a ，5||||22=+b a 则=⋅b a ．14.函数x x f 44)(-=的值域为 ．15.若函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的图象相邻的两个对称中心为)0,65(-，)0,61(，将)(x f 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21，得到)(x g 的图象，则=)(x g ． 16.如图，在四棱锥ABCD E -中，⊥EC 底面ABCD ，EC EF //，底面ABCD 为矩形，G 为线段AB 的中点，DG CG ⊥，2=CD ，CE DF =，BE 与底面ABCD 所成角为︒45，则四棱锥ABCD E -与三棱锥CDG F -的公共部分的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A c a cos 2=，1sin 5=A .（1）求C sin ；（2）求cb . 18. 设n S 为数列{}n a 的前项n 和，2n S n =，数列{}n b 满足32a b =，21+=+n n b b .（1）求n a 及n b ；（2）记><n 表示n 的个位数字，如<6174>=4，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧><⋅><n n b a 1的前20项和. 19. 已知向量)1,sin 2(x a =，)1),6cos(2(π+=x b ，函数R x b a x f ∈⋅=，)(. （1）若2=a ，)0,(π-∈x ，求x ；（2）求)(x f 在)2,0[π上的值域；（3）将)(x f 的图象向左平移6π个单位得到)(x g 的图象，设x x x g x h 2)1()(2-+-=，判断)(x h 的图象是否关于直线1=x 对称，请说明理由.20. 如图,在三棱锥ACD P -中,BD AB 3=,⊥PB 底面ACD ，AD BC ⊥，10=AC ，5=PC ，且102cos =∠ACP . （1）若E 为AC 上一点，且AC EF ⊥，证明：平面⊥PBE 平面PAC .（2）求二面角D PC A --的余弦值.21. 已知函数a x x x f +-=3)(3的图象与x 轴相切，且切点在x 轴的正半轴上.（1）求曲线)(x f y =与y 轴，直线1=x 及x 轴围成图形的面积S ； （2）若函数mx x f x g +=)()(在),3(a -上的极小值不大于1-m ，求m 的取值范围.22. 已知函数x x f ln )(=，)1()1()(--+=x f x f x F .（1）当*∈N x 时，比较∑=n i i F 1)2(3与31)12(313-+n 的大小； （2）设)1)(()()(21e a a ex x g x f ax -≤-=+-，若函数)(x g 在),0(+∞上的最小值为21ae-，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5:BBCDB 6-10:CCDAB 11、12：AA二、填空题 13. 21- 14. )2,0[ 15. )62sin(ππ-x 16.92 三、解答题17.解：（1）A c a cos 2=Θ，A C A cos sin 2sin =∴，0sin 2tan >=∴C A . 1sin 5=A Θ，A C A cos sin 2sin =∴，21tan =∴A ，从而41sin =C . （2）A C sin 5141sin =<=Θ，C ∴为锐角，415cos =C ， 203552415241551sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C A C A C A B ， 53552sin sin +==∴C B c b . 18. 解：（1）当2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，由于111==S a 也满足12-=n a n ，则12-=n a n .532==a b Θ，21=-+n n b b ，31=∴b ，是首项为3，公差为2的等差数列，12+=∴n b n .（2）12-=n a n Θ，{n a ∴的前5项依次为1，3,5,7,9. 12+=n b n Θ，{}n ∴的前5项依次为3,5,7,9，1. 易知，数列{n a 与{nb 的周期均为5， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><⋅><∴n n b a 1的前20项和为)191971751531311(4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 920)919821(4]91)917171515131311(21[4=+⨯⨯=+-+-+-+-⨯⨯=. 19. 解：（1）21sin 42=+=x a Θ，41sin 2=∴x ，21sin ±=x . 又)0,(π-∈x ， 6π-=∴x 或65π-. （2）1)sin 21cos 23(sin 41)6cos(sin 4)(+-=++=x x x x x x f π )62sin(21)2cos 1(2sin 31sin 22sin 32π+=+--=+-=x x x x x . )2,0[π∈x Θ,]67,6[62πππ∈+∴x ,]1,21()62sin(-∈+∴πx , 故)(x f 在)2,0[π上的值域为]2,1(-.（3）x x x f x 2cos 2)22sin(2)6()(g =+=+=ππΘ，1)1()22cos()(2--+-=∴x x x h . )(1)1()22cos(1)1()22cos()2(22x h x x x x x h =--+-=--+-=-Θ，)(x h ∴的图象关于直线1=x 对称.20. （1）证明：由⊥PB 底面ACD ，得AC PB ⊥.又AC BE ⊥，B PB BE =I ，故⊥AC 平面PBE .⊂∴AC 平面PAC ，平面⊥PBE 平面PAC .（2）解：1310225215cos 2222=⨯⨯-=∠⋅⋅-+=ACP PC AC PC AC AP Θ， 13=∴AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+21313510222222PB BC AB PB AB PB BC BC AB ，，， 以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -，则），（0,3-0A ，)0,0,1(C ，)2,0,0(P ，)0,1,0(D ，)2,0,1(-=PC ，)031(，，=AC ，)011(，，-=CD . 设),,(111z y x =是平面PCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎩⎨⎧=+=-03021111y x z x 令61=x ，得)3,2,6(-=n 设),,(222z y x m =是平面PCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即，⎩⎨⎧=+-=-0022222y x z x 令22=x ，得)1,2,2(=m.21117311=⨯==∴ 由图可知，二面角D PC A --为钝角，故二面角D PC A --的余弦值为2111-.21. 解：（1）33)(2-=x x f ＇Θ，0)(=∴x f ＇得1±=x ， 由题意可得02)1(=-=a f ，解得2=a .故23)(3+-=x x x f ，4322341)22341()(102410=+-=+-==⎰x x x dx x f S . （2）2)3(23)(33+-+=++-=x m x mx x x x f ，33)(2-+=m x x g ＇当03≥-m 时，)(x g 无极值；当03<-m ，即3<m 时，令0)(<x g ＇得3333m x m -<<--； 令0)(>x g ＇得33m x --<或.33m x -> )(x g ∴在33m x -=处取得极小值， 当233≥-m ，即9-≤m ，)(x g 在（-3,2）上无极小值， 故当39<<-m 时，)(x g 在（-3,2）上有极小值 且极小值为12)333(33)33(-≤+-+--=-m m m m m g ， 即3333)3(2-≤--m m m .3<m Θ，2333≥-∴m ，415-≤∴m . 又39<<-m ，故]415,9(--∈m . 22. 解：（1）)12ln()1212573513ln()2()6()4()2()2(31+=-+⨯⨯⨯⨯=++++=∑=n n n n F F F F i F ni ΛΛ， 构造函数)3)(1(31ln 3)(3≥--=x x x x h ，x x x x x h 3233)('-=-=， 当3≥x 时，0)('<x h ，)(x h ∴在),3[+∞上单调递减. 03193ln 3)3()(<+-=≤∴h x h ， 故当)(12*∈+=N n n x 时，0]1)12[(31)12ln(33<-+-+n n ， 即]1)12[(31)12ln(33-+<+n n ，即31)12(31)2(331-+<∑=n i F ni . （2）由题得x ax xe x g ax ln )(1--=-，则)1)(1(1)('111x e ax x a axe e x g ax ax ax -+=--+=---， 由011=--x e ax 得到x x a ln 1-=，设x x x p ln 1)(-=，22ln )('x x x p -=. 当2e x >时，0)('>x p ；当20e x <<时，0)('<x p . 从而)(x p 在),0(2e 上递减，在),(2+∞e 上递增.22min 1)()(e e p x p -==∴. 当21ea -≤时，x x a ln 1-≤，即011≤--x e ax （或x xe x e ax ax 1111-=---，设1)(1-=-ax xe x p ，证明0)(≤x p 亦可得到011≤--xe ax ）. 在)1,0(a-上，01>+ax ，0)('≤x g ，)(x g 递减； 在),1(+∞-a上，01<+ax ，0)('≥x g ，)(x g 递增. 22min 1)1ln(11)1()(aea ae a g x g -=--+-=-=∴， 1)1ln(=-∴a ，解得ea 1-=.。
【高三数学试题精选】2018届高三数学【理】上学期期中考试题含答案
2018届高三数学【理】上学期期中考试题含答案
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注意事项
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将答题卡收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
湖南省怀化市中小学程改革教育质量监测
7，1) D．(1，5)
10已知定义域为的单调函数，若对任意的，都有
，则方程的解的个数是
A．0 B．1 c．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡上的相应横线上
11已知数列满足，（），则的值为
12已知＿＿＿＿
13已知函数 ,则的定义域为_______________
14已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________ 15已知集合，若，则实数的取值范围是_______________
三、解答题本大题共6小题, 共75分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤
16（本小题满分12分）
函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；。
河北省衡水市安平中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
安平中学2017-2018学年第一学期高三期中考试数学（理科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1。
已知集合{}()(){}1,2,3,|120A B x Z x x ==∈+-<，则A B =（ ） A ． {}1 B ． {}1,2 C ． {}0,1,2,3 D ．{}1,0,1,2,3- 2. 若复数|43|34i z i +=-，则z 的虚部为（）A ．-4B ．45-C ．4D ．453. 若x ,y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．32D ．2 4。
已知函数113)(22+++=x x x x f ，若32)(=a f ，则=-)(a f （ ）A ．32 B ．32-C ．34 D ．34-5. 已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC=120°,AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ． B ． C ． D ．6. 曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103B ．4C ．163D ．67. 已知点O是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+等于（ ）A ．19B ．19-C ．3-D ．16-8. 在等比数列{}na 中,5461,422a a a =+=，若,m n a a 14m n a a a =，则14m n+的最小值是（ ）A ．32B ．2C ．73D ．2569。
如图是一个由两个半圆锥和一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( ） A ． 263π+B ．83π+C ．243π+D ．43π+10。
已知1,,AB AC AB AC tt ⊥==,若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．2111。
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第一学期期中测试高三数学试题（理科）满分（150分）考试时间：120分钟注意：所有题目均在答题卷相应栏目中作答，否则不予计分。
一：选择题（60分）1.已知集合1()12x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则R A C B = ( )A ．{}0x x ≤B ．{}24x x ≤≤C ．{}024x x x ≤<>或D ．{}024x x x <≤≥或 2.命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（） A 、若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1- B 、若11<<-x ，则12<x C 、若1>x 或1-<x ，则12>xD 、若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥13.已知向量=（sinA ，）与向量=（3，sinA+cosA ）共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4.若函数y=f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）=的定义域是（ ）A ．[0，1）∪（1，2]B ．[0，1）∪（1，4]C ．[0，1）D ．（1，4] 5.在△ABC 中,c b a ,,为角C B A ,,的对边,若CcB b A a sin cos cos ==,则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6.将函数y=sin （2x +φ）（φ＞0）的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的 图象，则φ的最小值为( ) A ．43π B ．83πC ．4πD ．8π7.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞8.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是（）A. 12-=x yB.x y =C.23-=x yD.32+-=x y9.函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是（） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1O.设32()log (f x x x =++，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的（）A ．充分必要条件B 充分不必要条件C ．必要不充分条件D 。
既不充分也不必要条件11.定义在R 上的函数320f x ax bx cx a =++≠()()的单调增区间为11-(,)，若方程2320a f x bf x c ++=(())()恰有4个不同的实根，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．1 D. －112.已知R λ∈，函数1,0,()lg ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为 （ ）A ．2(0,)3B ．12(,)23C ．21(,)52D ．2(0,)5二：填空题（20分）13．已知不共线向量，，||=||=|﹣|，则+与的夹角是_________14.在△ABC 中，若AB ，120C ∠=,则AC =_________15.设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16.已知函数()f x 满足(6)()0f x f x ++=，函数(1)y f x =-关于点(1,0)对称，(1)2f =-，则(2015)f =_________.三：解答题17.(10分) 已知函数πππ()cos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （I ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程．（II ）求函数()f x 在区间ππ122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域．18（12分）. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，已知045A =，4cos 5B =. （1）求cosC 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长.19(12分)在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin3A =， （1）求22tansin 22B C A++的值；（2）若2a=，ABC S =△，求b 的值．20．(12分)设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．21. (12分)设函数()e e x xf x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围22．(12分)已知函数2()2ln f x x x ax =-+(a 为实数)（1）若()f x 的图象在2x =处切线的斜率为1-，且不等式()2f x x m ≥+在1[e]e,上有解，求实数m 的取值范围；（2）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x ，且0＜x 1＜x 2，求证：12()02x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．高三数学理参考答案一选择题(60分，每题5分)CDCCC CAAAA BD二填空题（20分）：13 .14. 1 15.5-16. 2 三解答题：17 （10分）（Ⅰ）πππ()cos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴周期2ππ2T ==． 由ππ2π()62x k k -=+∈Z ，得ππ23k x =+（k ∈Z ） ∴函数图象的对称轴方程为ππ23k x =+（k ∈Z ）． （Ⅱ）ππ122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，，ππ5π2636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，，因为π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间ππ32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减， 所以当π3x =时，()f x 取得最大值1．又ππ11222f f ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴当π12x =-时，()f x 取得最小值2-．∴函数()f x 在ππ122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18.（12分）（1）4cos ,5B = 且(0,180)B ∈ ，∴3sin 5B ==．cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-43cos135cos sin135sin 55B B =+==．（2）由（1）可得sin C ===由正弦定理得sin sin BC ABA C =AB =，解得14AB =．在BCD ∆中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =19（12分）.（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝13，则 22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC 11S S bcsin A bc 22 因为＝＝bc ＝3。
将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222ab c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝解得b20（12分）.2()321,f x x x '=--令121()0,,13f x x x '==-=，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表所示x1(,)3-∞-13-1(,1)3- 1(1,)+∞()f x ' +—+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值=15()327f a -=+，极小值(1)1f a =-。
（2）1()(1)3f f - ，所以当50,1027a a +-或时曲线()f x 与x轴仅有一个交点。
5(,)(1,)27a ∈-∞-⋃+∞21（12分）.()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x-x+≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．22（12分）解：，得切线的斜率(2)31,2,k f a a '==-=-∴=，故2()2ln 2f x x x x =-+，由()2f x x m ≥+得22ln m x x ≤-∵不等式()2f x x m ≥+在1[e]e,上有解，所以2max (2ln )m x x ≤-令2()2ln g x x x =-，故()0g x '=时，1x =．当()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =-，所以1m ≤-（Ⅱ）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x 所以方程22ln 0x xax -+=的两个根为12,x x ，则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得 ()()1212122ln ln x x a x x x x -=+--，又()()222ln ,2f x x x ax f x x a x'=-+=-+，则()()1212121212122ln ln 442x x x x f x x a x x x x x x -+⎛⎫'=-++=- ⎪++-⎝⎭ 下证()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-（*），即证明()211112222ln 0,x x x x t x x x x -+<=+ 120,01,x x t <<∴<< 即证明()()21ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立因为()()()()222221211114(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++又01t <<，所以()0u t '> 所以，()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知()2111222ln 0x x xx x x -+<+故()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-，即1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭成立。