高三数学下学期入学考试试题 文1
重庆八中入学考试试卷答案
重庆八中高2023级高三（下）入学考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【解答】解：{|110}U x x =，{1A =，2，3}，{1B =，2，3，4，5，6}，(){4U A B ∴=，5，6}．故选：D ． 2．【解答】解：根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.因1i z =+，则222(1i)2(1i)2i 22i 2z z −=+−+=−−=−，所以所求共轭复数为2−，其虚部为0.故选：C ． 3．【解答】解：因为875%6⨯=，由题意得81092a +==，故小于a 的数有6个，概率26281528C P C ==．故选：C ．4．【解答】解：因为当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，又函数()f x 是偶函数，所以当自变量取值的绝对值越小时，函数值越大，故22()()0()()f x x f x f x x f x −−>⇔−>， 故2432||||2020x x x x x x x −<⇔−<⇔−<，解得02x <<．故选：B ．5．【解答】解：绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，2252h r ππ∴⨯=⨯，∴52h r =，∴524h r =，∴该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比为5:4．故选：B ． 6．【解答】解：等差数列{}n a 的首项10a ≠，而90a =，设公差为d ，181116114324(8)0a a a a a d a d ∴+++=+=+=，∴18111678140a a a a a a a +++=++．故选：A ． 7．【解答】解：根据三角恒等变换化简()f x ，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.因为()4cos cos 12226x x f x πωωπ⎛⎫⎛⎫=−⋅−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14sincos sin 12222x x x ωωω⎛⎫=⨯− ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2sin 1cos 2sin 2226x x x x x x ωωωπωωω⎛⎫=+−=−=− ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间3,34ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，由x ∈3,34ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，则3,63646x πππππωωω⎡⎤−∈−−−⎢⎥⎣⎦，则3 362462ππππππωω−−≥−−≤，，解得81,9ωω≤≤，即809ω<≤；当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦，要使得该函数取得一次最大值，故只需5262ππωππ≤−<，解得28,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；综上所述，ω的取值范围为28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C ．8．【解答】解：2322866ln ln lne a b −−−==，因为222.727.48e <<<①，故280ln lne −>，故0a b −>，故a b >，令()lnxf x x=，21()lnx f x x −'=，易知x e >时，()0f x '<，()f x 在(,)e +∞上是减函数，又44ln a g ==（4），2222()22e lne c g e ==，结合①式可知242e >，故g （4）2()2e g <，即a c <，综上可知：b a c <<．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【解答】解：对于A ：数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，故A 错误；对于B ：根据图可知，中位数靠右大于平均数，故B 正确；对于C ：样本相关系数r 是指样本数据之间的线性相关程度，而决定系数2R 是比较不同模型的拟合效果，故C 正确；对于D ：分层随机抽样所得各层的样本量不一定与各层的大小成比例，等比例分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例，故D 错误．故选：BC ．10．【解答】解：对于选项A ，由椭圆的定义可得12||||8AF AF +=，则21212||||||||()162AF AF AF AF +=，当且仅当12||||AF AF =时取等号，即12||||AF AF 的最大值为16，即选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得△12AF F 的周长为8412+=，又△12AF F 的面积的取值范围为(0，，则112(0,2r ⨯⨯∈，则r ∈，即选项B 错误；对于选项C ，由椭圆的定义可得12||||8AF AF +=，则12||||8||||AM AF AM AF +=+−，又22||||||||1AM AF MF −=，当且仅当A 、M 、2F 三点共线时取等号，即21||||1AM AF −−，即17||||9AM AF +，即1||||AM AF +的最小值为7，即选项C 正确；对于选项D ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221111612x y +=，222211612x y +=，又由题意有124x x +=，122y y +=，则两式相减可得211221123342AB y y x x k x x y y −+==−⨯=−−+，即M 为AB 的中点时，直线l 的方程为31(2)2y x −=−−，即3280x y +−=，即选项D 错误，故选：AC ．11．【解答】解：如图，设M 为1AA 的中点，则1//ME A D ，由题意，得BE BM =，EM =，所以EM 与BE 不垂直，即1A D 与BE 不垂直，所以直线1A D 与平面BEF 不垂直，所以A 错误；因为E ，F ，H 分别为AD ，1DD ，1BB 的中点，所以1//AD EF ，1//D H FB ，又1AD ⊂/平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，1D H ⊂/平面BEF ，FB ⊂平面BEF ，所以1//AD 平面BEF ，1//D H 平面BEF ，又11AD D H D =，1AD ，1D H ⊂平面1AHD ，所以平面1//AHD 平面BEF ，又AH ⊂平面1AHD ，所以直线//AH 平面BEF ，所以B 正确；因为F，H 分别为1DD ，1B B的中点，所以BHFH ⊥，又1BH=，FH =112BHF S ∆=⨯⨯=E 到平面BFH的距离为2，所以三棱锥H EFB −的体积1133H EFB V −==，所以C 正确；因为BC ⊥平面11CDD C ，FC ⊂平面11CDD C ，所以BC FC ⊥，又BH FH ⊥，故FB 为三棱锥H CFB −的外接球的直径，又||3FB =，所以三棱锥H CFB −的外接球的表面积234()92S ππ=⨯=，所以D 正确．故选：BCD ．12．【解答】解：方程(1)20(1)x x x x −−=>的根为方程21x xx =−的根，方程2(1)log 0(1)x x x x −−=>的根为方程2log 1x x x =−的根，函数1x y x =−得1y x y =−，所以1xy x =−的图象关于y x =对称，因为方程(1)20x x x −−=，2(1)log 0x x x −−=在区间(1,)+∞的根分别为a ，b ，所以a ，b 是函数2x y =和2log y x =的图象与函数1xy x =−的图象的交点的横坐标，所以2log a b =，2a b =，又1111a b a a ==+−−，(1)(1)1a b −−=，即a b ab +=，111a b+=，22log a a b b +=+，即22log a b a b −=−，故A ，B 正确；因为112411a a b a a a a +=+=−++−−，当且仅当111a a −=−，即2a =时等号成立，令()21x x f x x =−−，f （2）2222021=−=−≠−，所以2a ≠，即4a b +>，故C 错误；设()111g a b a a a =−−=−−，()()21101g a a '=−−<−，()g a 单调递减，需要证明()0ga >成立，即21,10,1a a a a >−−<−11,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故只需证明102f ⎛⎫+<⎪⎝⎭，即02−<，)22110,42⎛+−>−>⎝⎭设()22x p x x=−， 由于122+<，由图象显然知()1202p p ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以1b a −>，故D 正确，故选：ABD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【解答】解：(3,2)a =，(2,)b λλ=−，且//a b ，32(2)0λλ∴−−=，即4λ=−．故答案为：4−．14．【解答】解：渐近线的方程为2y x =−，∴2,2bb a a−=−=，又(,0)F c ，由点到直线的距离公式知：c ==，222a b c +=，22415a a +=，23a =，212b =，∴双曲线C 的方程为：221312x y −=；故答案为：221312x y −=．15．【解答】解：2()(0)f x ax a =>，()2f x ax ∴'=，()x g x e '=，(1，f （1）)是直线l 与函数()f x 相切的切点，k f ∴='（1）2a =，f （1）a =，2a a b ∴=+，b a ∴=−，即直线l 的方程为2y ax a =−，()x g x e =，()x g x e ∴'=，设2y ax a =−与()x g x e =的切点坐标为0(x ，0)y ，0x k e ∴=，00x y e =∴切线方程为00()x y e k x x −=−，即0000x x x y e x e x e =−−，02x a e ∴=，000x x a e x e −=−+，解得032x =，322a e ∴=，3212b e ∴=−．故答案为：3212e −．16．【解答】解：以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立直角坐标系，则(2,0)B −，(2,0)C ，设(,)A x y ，因为3c b =，即||3||AB AC =，所以=，整理得22540x y x +−+=，即2259()24x y −+=，由A ，B ，C 三点不共线可得0y ≠，又A 到BC 的最大距离为圆的半径32，故ABC ∆面积的最大值为134322⨯⨯=，由正弦定理得42sin R A=，故2sin R A =，因为2113(43)sin sin 222ABC b r b b S bc A A ∆++===⨯，所以23sin 4(1)b A r b =+，所以2321b Rr b=⨯+，因为3443b b b b+>⎧⎨+>⎩可得12b <<，令2()1x f x x =+，(12)x <<，则222()0(1)x xf x x +'=>+在(1,2)上恒成立，所以()f x 在(1,2)上单调递增，14()23f x <<，故答案为：3；3(4，2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得，该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为：20.0125460.03754100.054140.0754180.03754220.02544260.012513.4⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分)，4(0.01250.0250.0375)0.3⨯++=，∴有30%的居民排队时长超过160分钟．（2）由（1）可知，样本中有30%10030⨯=（人)排队时长超过16分钟，该社区有A ，B 两个居民小区，两小28.13 6.635()()()()30704555a b c d a c b d χ==≈>++++⨯⨯⨯，∴依据小概率值0.01α=的独立性检验，能认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联． 18．【解答】解：（1）证明：242n n S a n =−+①，∴当1n =时，11242S a =−+，解得12a =，当2n 时，1124(1)2n n S a n −−=−−+②，由①−②得1242[24(1)2]n n n a a n a n −=−+−−−+，即12(4)4n n a a −+=+，又146a +=，∴数列{4}n a +是首项为6，公比为2的等比数列；（2）由(1)得14=6+232=n n n a ⨯⨯－，432n n a =−⨯()()11344432232n n n n n n a a a ++−⨯⨯−=−−==+⨯所以1111411n n n n n n n n n n a a a b a a a a a a +++++−===−. 所以12112231111111111111==2324n n n n n n T b b b a a a a a a a a +++=++⋅⋅⋅+=−+−+⋅⋅⋅+−−−⋅−． 19．【解答】解：（1）因为(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B +−=+，由正弦定理可得222a b c bc −=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==−，由A 为三角形内角得120A =︒； （2）设AC x =，ABC α∠=，则EC =，60ACB α∠=︒−，60BCE α∠=︒+，所以90E α∠=︒−， ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC AC A ABC=∠，EBC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC ECE EBC =∠∠，故sin xα=，2sin(90)2α=︒−，所以x =，15α=︒，ABC ∆的面积11sin 2122S BC AC ACB =⋅⋅∠=⨯=− 20．【解答】证明：（1）2AB BC CD DA ====，∴四边形ABCD 为菱形，//AD BC ∴，设F ，H 分别是棱BC 和PD 的中点，连接PF ，DF ，HF ，EH ，如图所示：//EH AD ∴，且12EH AD =，又//BF AD ，且12BF BC =，//EH BF ∴，且EH BF =，∴四边形BFHE 为平行四边形，//BE FH ∴，又EB BC ⊥，BC FH ∴⊥，PC PB =，F 为BC 的中点，PF BC ∴⊥，又PF FH F =，BC ∴⊥平面PFD ，又PD ⊂平面PFD ，BC PD ∴⊥． （2）由（1）知BC ⊥平面PFD ，BC DF ∴⊥，又2DC =，1CF =，DF ∴=，32BE =，且BE FH =，32FH ∴=，2PB PC BC ===，F 为BC 的中点，PF ∴=，在PFD ∆中，PF DF ==32FH =，且H 为PD的中点，2PD DH ∴===，即PDF ∆为等边三角形，BC ⊥平面PFD ，BC ⊂平面ABCD ，∴平面PFD ⊥平面ABCD ，以点F 为坐标原点，分别以直线FD ，FB 为x ，y 轴，以过点F 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0F ，0，0)，D ，0，0)，(0C ，1−，0)，(2P ，0，3)2，∴(0CF =，1，0)，3(2CP =，1，3)2，(3CD =，1，0)，3(2CP =，1，3)2，设平面PBC 的一个法向量为1(m x =，1y ，1)z ，则有00m CF m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111103022y x y z =⎧++=⎩，取1x =解得1101y z =⎧⎨=−⎩，∴(3m =，0，1)−，设平面PDC 的一个法向量为2(n x =，2y ，2)z ，则有00n CD n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220322y x y z +=++=⎪⎩，取2x =2231y z =−⎧⎨=⎩，∴(3n =，3−，1)，|cos m ∴<，||13|||||13m n n m n ⋅>==，即平面PDC与平面PBC 夹角的余弦值为13． 21．【解答】解：（1）由已知得定义域为R ，()(1)x f x ax e '=−+，①当0a =时，()0x f x e '=−<，()f x 为减函数；当0a ≠时，由()0f x '=得1x a =−，②0a >时，1(,)x a∈−∞−时，()0f x '>，()f x 单调递增，1(,)x a ∈−+∞，()0f x '<，()f x 单调递减；③0a <时，1(,)x a ∈−∞−时，()0f x '<，()f x 单调递减，1(,)x a ∈−+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；综上可知：0a =时，()f x 为减函数；0a >时，1(,)x a ∈−∞−时，()f x 单调递增，1(,)x a ∈−+∞时，()f x 单调递减；0a <时，1(,)x a∈−∞−时，()f x 单调递减，1(,)x a∈−+∞，()f x 单调递增．（2）证明：由11()lnx ax f x +−得111ax lnx ax lnx ax xe e +−−+−=④，令t lnx ax =+，易知t 的取值集合一定是R 的子集；④式可化为(1)1t e t −−，令()(1)t g te t =−，()t g t e t '=⋅，则0t <时，()0g t '<，()g t 递减，0t >时，()0g t '>，()g t 递增，故()(0)1min g t g ==−，故(1)1t e t −−成立，即原式成立．22．【解答】解：（1）如图1，因为椭圆222:2)4x y C b b +=<<，焦点在x 轴上，0(P x ，0)y 在椭圆方程上，则22200(1)4x y b =−，由2b <<，得：22222220004(1)43b x y x b b r +=−+>=，故点O 在圆P外，不妨设OM 与圆P 相切于T，则有：切线长||OT == 代入得244||33OT b =−，=22b =，所以椭圆的方程为：22142x y +=； （2）（i ）当切线OM 、ON 斜率都存在时，设切线方程为：y kx =，由d r ==整理得：2220000(34)6340(*)x k kx y y −−+−=， 由1︒知：2040y −≠，即0||3x ≠，此时0||y ≠，方程(*)必有两个非零根，记为1k ，212()k k k <，则12k k 分别对应直线OM ，ON 的斜率，由韦达定理得：2012203434y k k x −=−，将220042x y =−，代入得：201220341862y k k y −==−− （ii ）1︒当切线OM 或ON 斜率不存在即圆P 与y 轴相切时，易得0||x r ==，代入椭圆方程得：0||x =，说明圆P 同时也与x 轴相切（图2)，此时M 、N 分别为长、短轴一个端点，则MON ∆． 2︒ 当切线OM 、ON 斜率都存在时， 解法一：（求交点坐标）由上知：120k k <<，设点N 位于第一、三象限，点M 位于第二、四象限，若点N 位于第一象限，点M 位于第二象限，设1:OM y k x =与椭圆方程22142x y +=联立可得：(M，设2:ON y k x =与椭圆方程22142x y +=联立可得：N11111111()()()()()2222MON MM NN OMM ONN N M N M M M N N N M M N S S SS x x y y x y x y x y x y ∆=−−=−+−−−=−， 代入坐标有：222MONS ∆===，2==同理，当点M 、N 位于其它象限时，结论也成立综上，MON ∆的面积解法二：（探寻直线MN 方程特征） （接上）设1(M x ，12)(y x ，2)y ，由于点P 不与点A 、B 重合时，直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为：y kx m =+，将MN 与椭圆方程联立可得：222(12)4240k x kmx m +++−=，△22222216(12)(24)32168k m k m k m =−+−=+−，由△0>得2242k m +>，由韦达定理可知：122412kmx x k +=−+，21222412m x x k −=+，121212y y kOM kON x x ⋅==−，则2212121212121222()()(12)2()20x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++=，代入有：22222244(12)2()201212m kmk km m k k−++−+=++，整理得：2221m k =+； 又12|||MN x x =−===，而原点O到直线MN 的距离为d ==，11||22MONS MN d ∆=⋅=⨯=所以MON ∆。
精选高三数学下学期入学考试试题文
第（5）题图第（8）题图 射洪中学2014级高三下期入学考试文 科 数 学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则C U )(B A =( )A.{}134，，B.{}34，C. {}3D. {}4 （2）在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是710的事件是（ ） A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市C.至多选一个海滨城市D.两个都选海滨城市 （4）已知向量(0,1)a =，(2,1)b =-，则|2|a b +=（ ）A．．2 D ．4（5）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240 （6）在等差数列{}n a 中，已知40,2210471=+=+a a a a ，则公差=d （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（7）直线b y x =+43与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）A.-2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或12 （8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（1.732=，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈．A ．12B ． 24C ．48D ．96（9）已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9-- C.103(13)-- D ．103(13)-+（10）表面积为3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A．3 B ．13π C. 23π D．3 （11）已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）AB C D（12）设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（）A．( B．)+∞ C．)+∞ D．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
四川省树德中学高2011级高三下学期入学考试数学文
示的平面区域的面积被 y 轴分成 1：2 两部分，则 a 的值为_____________． 15．如图，已知各顶点都在半球面上的正三棱锥 S—ABC。若 AB=a， 则该三棱锥的体积为__________． 16．己知数列 {an },{bn },{cn } 的通项满足 bn = an +1 − an , cn = bn +1 − bn (n ∈ N * ) ， 若 {bn } 是一个非零常数列，则称数列 {an } 是一阶等差数列；若
f ( x) = A sin(ω x + ϕ )( A > 0, ω > 0,| ϕ |<
π 的部分图象如下图 )
2
所示， （1） 求函数， f ( x ) 的解析式； （2） 若图象 g ( x ) 与函数 f ( x ) 的图象关于点 P（4,0）对称，求函数 g ( x ) 的单调递增区间． 18．（本小题满分 12 分） 如图 1,直角梯形 ABCD 中，AD//BC， ABC = 90° ， ∠ E, F 分别为边 AD 和 BC 上的点，且 EF//AB；， AD=2AE=2AB=4FC=4， 将四边形 EFCD 沿 EF 折起如 图 2 的位置，使 AD=AE（I）求证：BC//平面 DAE; （II）求四棱锥 D－AEFB 的体积； （III）求面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值。 19．（本小题满分 12 分） 甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时（一场比赛打满 3 局），甲每局数获胜的概率为 （I）甲、乙进行一场比赛，通过计算填写下表（不必书写计算过程）；
）
B．1
C．-1
2．若 D ( x ) = 0 x为有理数 ，则 D ( D ( x )) =
）
A．0
2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期入学第二次考试 文科数学试题(word版)
2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期入学考试文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{}2log (1)A x y x ==-∣，{}24B x x =≤∣，则A B ⋃=（ ） A ．[2,)-+∞B ．[)1,2C ．(]1,2D ．(1,)+∞2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z +=-，则复数z 在复平面上的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用系统抽样的方法从400名学生中抽取容量为16的样本，将400名学生编号为1至400，按编号顺序分组，若在第1组抽出的号码为12，则在第2组抽出的号码为（ ） A ．26B ．28C ．33D ．374．已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()e 1xf x x =-+，则当0x <时，()f x =（ ） A ．2e 1x x --+B ．2e 1x x --+-C ．2e 1x x ----D ．2e 1x x --++5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象先向左平移4π，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 12g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．给出下列命题：（1）设a ，b ，c 为实数，若22ac bc >，则a >b ；（2）设0αβπ<<<，则αβ-的取值范围是(,)ππ-；（3）当x >2时，12y x x =+-的最小值是4．其中真命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m =4，则输出的S =（ ）A ．6B ．14C ．26D ．448．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于6x π=对称，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A B C ．2D 9．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（ ）A ．49B ．481C ．427D ．82710．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+的极值点均不大于2，且在区间（1，3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4ln 22⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦B ．1(,1],24ln 22⎡⎫-∞⋃⎪⎢-⎣⎭C ．(,2)-∞D ．(,1]-∞11．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且123F PF π∠=，设12PF F θ∠=，当θ的范围为,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，双曲线C 离心率的范围为（ ）A ．⎝B ．⎛ ⎝⎭C ．D ．⎫⎪⎪⎝⎭12．在ABC △中，BAC ∠为锐角，||2||AC AB =，且对于t ∈R ，||AB t AC -的最小值为3||5BA ，则cos ABC ∠=（ ）A ．34B ．35C ．45-D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．抛物线22x y =的焦点到准线的距离是______．14．已知圆22:6280C x y x y +--+=，过原点的直线l 与圆C 有公共点，则直线l 斜率的范围为______． 15．小明和小强计划去博物馆参观，约定上午9：00~9：30之间的任何一个时间在博物馆会合．两人商量好提前到达博物馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去参观，则两人能够在博物馆门口会合的概率是______．16．将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，余下的区间段长度为1a ；再将余下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为2a ．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程，记数列{}n a 表示第n 次操作后余下的区间段长度． （1）3a =______；（2）若n *∀∈N ，都有23n n a a λ≤恒成立，则实数λ的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且212n n a S ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项积为n T ，满足2n Sn T =（*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设()()1111n n c b an an =++++，求数列{}n c 的前n 项和n C ．18．（本小题满分12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C 罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图．（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；（Ⅱ）从样本中对不喜欢足球运动的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到1男3女的概率． 附表：其中，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n =a +b +c +d ．19．（本小题满分12分）多面体ABCDEF 如图所示，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，AB =EF =F A =1．（Ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面DEF ； （Ⅱ）求该多面体的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>()2,1P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21l l ∥，且直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （ⅰ）求直线1l 的方程；（ⅱ）当PAB △的面积取最大值时，求直线2l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()1()e ln 1x f x a x x x -=--+-，0a ≥． （Ⅰ）求证：f （x ）存在唯一零点； （Ⅱ）设1()e1x g x a x -=+-，若存在1x ，2(1,)x ∈+∞，使得()()()211g x g x f x =-，求证：12111ln121x x x +-+>-． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系Ox 中，若点A 为曲线:cos 233l ππρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭上一动点，点B 在射线AO 上，且满足||||16OA OB ⋅=，记动点B 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若过极点的直线1l 交曲线C 和曲线l 分别于P ，Q 两点，且直线PQ 的中点为M ，求OM 的最大值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()124f x ax x =++-（a >0）． （Ⅰ）若a =1，解不等式()9f x ≤；f x 恒成立，求实线a的取值范围．（Ⅱ）当x>0时，()4答案1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D 9．B 10．A 11．A 12．D 13．1 14．1,17⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．5916．（1）827（2）100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（第1空2分，第2空3分） 17．解：（Ⅰ）在212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭中，令n =1，得21111112a a S a +⎛⇒⎫=== ⎪⎝⎭ 当2n ≥时，由22111122n n n n S a a S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是有()()221111112022nn n n n n n n n a a a S S a a a a ----++⎛⎫⎛⎫=-=-⇒+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为数列{}n a 的各项均为正数，所以()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=， 则数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以有1(1)221n a n n =+-⋅=-，显然11a =适合，因此()*21n a n n =-∈N ． 由222nS n n T ==，令n =1，得112b T ==；当2n ≥时，由21(1)122n S n n T ---==，得21122n a n nn n T b T --===， 所以()21*2n n b n -=∈N ． （Ⅱ）记()()1111n n n d a a +=++，数列{}n d 的前n 项和为n D ，所以()()111111112(22)41n n n d a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，则11111114223144n nD n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭． 由212n n b -=可知，数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列，则数列{}n b 的前n 项和为()()214241143n n --=-，故数列{}n c 的前n 项和()241344n n nC n -=++．18．解：（Ⅰ）完成22⨯列联表：2K 的观测值2200(60802040)33.33 6.63580120100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”．（Ⅱ）按照分层抽样的方法可得，抽取男生2人，设为a ，b ；女生4人，设为A ，B ，C ，D ，从这6人中随机抽取4人，末被抽取的2人有{a ，b }，{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{a ，D }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{b ，D }，{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{B ，C }，{B ，D }，{C ，D }，共有15种不同的基本结果， 其中抽取到1男3女的情况，即未抽取的2人是1男1女，则有{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{a ，D }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{b ，D }，共有8种不同的基本结果， 所以抽取到1男3女的概率为815． 19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，设AC 与BD 交于点O ，连接FO ，EO ．因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF =AC ，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ．因为四边形ABCD 的正方形，所以2BD AC ===．在直角梯形ACEF 中，EF AC ∥，O 为AC 的中点，则AO =EF =1，且AO EF ∥． 又因为AF =EF ，AF AC ⊥ ，所以四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以AF EO ∥，且EO =AF =1， 所以EO ⊥平面ABCD ． 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以EO BD ⊥，则DE BE ===所以222BE DE BD +=， 所以BE DE ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥，所以DF ==所以222EF DE DF +=，所以DE EF ⊥． 又因为BE EF E ⋂=，BE ，EF ⊂平面BEF ， 所以DE ⊥平面BEF ． 又因为DE ⊂平面CDE ， 所以平面BEF ⊥平面CDE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BD OE ⊥，BD AC ⊥，OE AC O ⋂=，则BD ⊥平面ACEF ． 多面体ABCDEF 可以视为四棱雉B -ACEF 和四棱雉D -ACEF 的组合体， 故其体积为11(12)121332ACEF S BD +⨯⋅=⨯⨯=梯形． 20．解：（Ⅰ）由题意，得22411,c a a b ==+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．则228,2,a b ⎧=⎨=⎩ 故椭圆22:182x y C +=． （Ⅱ）（ⅰ）由题意可得，直线1l 的切线斜率一定存在．令直线1:1(2)l y k x -=-，联立22182x y +=， 整理得()222418(12)4(12)80k x k k x k ++-+--=，所以()()222264(12)441161640k k k k k ∆=--+--=， 即22441(21)0k k k ++=+=，所以12k =-， 故直线11:1(2)2l y x -=--，即直线1:240l x y +-=．（ⅱ）由（ⅰ），设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:20AB x y m ++=，联立22182x y +=， 整理得222280x mx m ++-=，且()2224886440m m m ∆=--=->，即-4<m <4，所以212128,2m x x m x x -+=-=，则||AB ==． 又点P 到直线:20AB x y m ++=的距离d =，且-4<m <4， 所以1||2PAB S AB d =⋅△=4)m =+=令()22()16(4)f m m m =-+，则()()2222()2(4)2(4)164(4)284(4)(2)f m m m m m m m m m m '=-+++-=-++-=-+-， 所以()f m 在()4,2-上单调递增，在()2,4上单调递减，即当m =2时，PAB △面积取最大值，此时直线2l 的方程为x +2y +2=0． 21．证明：（Ⅰ）由题意，得()11()e 11x f x a x-'=--+． 记()11()()e 11x F x f x a x -='=--+，则121()e x F x a x-'=+． 因为0a ≥时，()0F x '>恒成立，所以()()F x f x ='在(0,)+∞上单调递增． 因为(1)0f '=，所以()f x '在()0,1上恒小于0，在(1,)+∞上恒大于0，所以()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点x =1．（Ⅱ）由()()()211g x g x f x =-，得21112ln e1x x ax a x -+=+-．记()e x m x a x =+，故()()21ln 1m m x x -=． 因为()e x m x a x =+在(0,)+∞上单调递增，所以211ln x x -=， 则()12111111111111ln 11ln 1ln 11ln 1ln 212112x x x x x x x x x x x +-++⎡⎤+-=+-=-+--⎢⎥---⎣⎦， 设1()(1)ln1ln 2x h x x x x +=-+-- 则111()ln 121x x h x x x+-'=++-+，22121()1(1)h x x x x ''=++++． 因为()0h x ''>在(0,)+∞上恒成立，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)0h '=，所以()0h x '<的解集为()0,1，()0h x '>的解集为(1,)+∞，所以()h x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h ≥=． 又因为11x >，所以12111ln 121x x x +-+>-． 22．解：（Ⅰ）当点B 在线段AO 上时，由||||16OA OB ⋅=，得4,3B π⎛⎫⎪⎝⎭或4,3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 当点B 不在线段AO 上时，设(,)B ρθ，则16,A θπρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以16cos()2θπρ+=，所以8cos ρθ=-． 又33ππθπ-≤+≤，所以4233ππθ-≤≤-． 综上所述，曲线C 的极坐标方程为428cos 33ππρθθ⎛⎫=--≤≤- ⎪⎝⎭或43πρθ⎛⎫==± ⎪⎝⎭． （Ⅱ）若曲线C 为43πρθ⎛⎫==± ⎪⎝⎭，此时点P ，Q 重合，不合题意．若曲线C 为428cos 33ππρθθ⎛⎫=--≤≤- ⎪⎝⎭，设直线1:33l ππθαα⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭， 由,cos 2,θαρθ=⎧⎨=⎩得2cos Q ρα=； 由,8,cos θαρθ=⎧⎨=-⎩得8cos P ρα=-．因为M 是线段PQ 的中点，所以14cos 2cos P QM ρρραα+==-+． 因为,33ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1cos ,12α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 记cos t α=，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 又14y t t =-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[]3,0y ∈-， 故当0α=时，OM 取最大值为323．解：（Ⅰ）若1a =，则()124f x x x =++-．当1x ≤-时，()339f x x =-+≤，则2x ≥-，所以21x -≤≤-；当12x -<<时，()59f x x =-+≤，则4x ≥-，所以12x -<<； 当2x ≥时，()339f x x =-≤，则4x ≤，所以24x ≤≤．综上所述，()9f x ≤的解集为{}2|4x x -≤≤．（Ⅱ）因为0a >，0x >，所以当02x <<时，()()142254f x ax x a x =++-=-+≥恒成立，即()()04,24,f f ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩得32a ≥； 当2x ≥时，()()124234f x ax x a x =++-=+-≥恒成立，即()24f ≥，得32a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
高三数学下学期开学考试试题文含解析试题
一中2021－2021学年高三寒假返校考试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
数学〔文科〕试卷第一卷(选择题一共60分)一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个选项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)1. 设集合，，假设，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知：，结合可得：那么的取值范围是 .此题选择A选项.2. 设是虚数单位，那么复数在复平面上对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】，那么复数在复平面上对应的点的坐标为：〔﹣1，2〕，位于第二象限．此题选择B选项.3. 假设a＜b＜0，那么以下不等关系中，不成立．．．的是〔〕A. ＞B. ＞C. ＜D. ＞【答案】B【解析】∵a＜b＜0，∴a＜a﹣b＜0由在上单调递减知：因此B不成立．应选：B．4. 假设某几何体的三视图如下图，那么这个几何体的直观图可以是( )．A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由中三视图的上局部有两个矩形，一个三角形，故该几何体上局部是一个三棱柱，下局部是三个矩形，故该几何体下局部是一个四棱柱．考点：三视图．视频5. 在上随机取一个数，那么的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解不等式(x＋1)(x－3)≤0得－1≤x≤3，所以所求概率P＝＝.6. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，那么的最小值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，再向右平移个单位，得到的图象，此图象关于直线对称，故，解得，又，故；应选D.点睛：此题考察三角函数的图象变换和三角函数的性质；此题的易错点是“向右平移时，平移单位错误〞，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量而言，如：将的图象将左平移个单位时得到函数的图象，而不是的图象.7. 函数在的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D.【答案】B【解析】，令得，或者，令得，，所以在，单调递增，在单调递减，，.此题选择B选项.8. 是椭圆的两个焦点，且过的直线交椭圆于两点，假设△的周长是12，假设点为椭圆上任意一点，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，，由△的周长是12得，，所以，，椭圆方程为，当点为短轴端点时，获得最大值：.此题选择C选项.9. 给出以下四个函数：①；②；③；④.这四个函数的局部图象如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①【答案】A【解析】可利用排除法：对于①，令y＝f(x)，∵f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝x·sin x＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C和D；对于③，当x>0时，y≥0，且当x>0时等号可以取到，故③中的函数对应第4个图象，排除B.此题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．10. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】将正方形放入如下图的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x，C(1,1)，所以，所以，因为0≤x≤1，所以，即的取值范围是.此题选择C选项.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵敏选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．11. 观察以下图形：…由此规律，那么第30个图形比第27个图形中的“☆〞多〔〕A. 59颗B. 60颗C. 87颗D. 89颗【答案】C，，，∴第30个图形比第27个图形中的“☆〞多的个数为：.此题选择C选项.12. 假设不等式组表示的平面区域经过四个象限，那么实数的取值范围是( )A. (－∞，4)B. [1,2]C. [2,4]D. (2，＋∞)【答案】D【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影区域所示，令可得直线在轴的截距为：，由图可知，假设平面区域经过四个象限，那么应满足，所以.即实数的取值范围是(2，＋∞).此题选择D选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：〔1〕平面区域确实定问题；〔2〕区域面积问题；〔3〕最值问题；〔4〕逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是根据目的函数的最值或者可行域的情况决定参数取值．第二卷 (非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把正确答案直接写在答题卷相应位置上)13. ?九章算术?“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积一共3升，下面3节的容积一共4升，那么第5节的容积为________升．【答案】考点：等差数列通项公式．14. 如下图是一个算法的流程图，最后输出的________.【答案】22【解析】结合流程图，程序运行如下：初始化数据：S=0,T=1,S=T2-S=1，此时不满足S≥10，循环第一次，T=T+2=3,S=T2-S=8，此时不满足S≥10，循环第二次，T=T+2=5,S=T2-S=17，此时满足S≥10，完毕循环，输出W=S+T=17+5=22.15. 假设，，，那么的大小关系是___________.【答案】【解析】因为，，函数在R上单调递增，所以,即，又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以.据此可得：.点睛：对于指数幂的大小的比拟，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或者指数不一样，不能直接利用函数的单调性进展比拟．这就必须掌握一些特殊方法．在进展指数幂的大小比拟时，假设底数不同，那么首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进展判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比拟，利用图象法求解，既快捷，又准确．16. 设：，使为假命题，那么实数的取值范围是______________. 【答案】【解析】根据题意，由为假命题，那么为真命题，即，使成立，假设，那么或者，解得；假设，那么当，总有成立；假设，那么，即.综上得，所务实数的取值范围为.三、解答题：本大题一一共6题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.17.〔1〕求函数的最小正周期及单调递减区间；〔2〕在中，角所对的边分别是，假设，，且面积为，求. 【答案】(1)，单调递减区间是；(2)或者.【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为，结合正弦函数的单调区间可得函数的单调递减区间是；〔2〕结合(1)中整理所得的函数解析式可得，结合面积公式可得，由余弦定理有或者.试题解析：〔1〕令得，故的单调递减区间是〔2〕又18. 2021年5月14日至15日，“一带一路〞国际顶峰论坛在中国首都举行,会议期间,达成了多项国际协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的场销售量相等，该国质量检验部门为理解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进展测试，结果统计如以下图所示,乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.(1)求的值;(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】试题分析：〔1〕由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30+a，故频率为，从而解得的值；〔2〕甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，能求出甲品牌产品寿命小于200小时的概率．〔3〕根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220+210=430个，其中乙品牌产品是210个，在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为，用频率估计概率，能求出已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率．试题解析：〔1〕由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为，故频率为，由意可得，解得.〔2〕甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.〔3〕根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为，用频率估计概率，所以己使用了 200小时的该产品是乙品牌的概率为.19. 如下图，四边形是直角梯形，，，其中是上的一点，四边形是菱形，满足，沿将折起，使〔1〕求证：平面平面〔2〕求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：〔1〕取的中点，取的中点，连接和,和，由题意结合等腰三角形的性质可得，，结合线面垂直的判断定理有面，,而，所以平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.〔2〕由题意结合〔1〕可知为三棱锥的底面的高，转化顶点计算可得三棱锥的体积.试题解析：〔1〕如图，取的中点，取的中点，连接和,和，由题意知：，是等腰三角形，，是等腰三角形，那么有，，分别为和的中点，可得：,而，，所以面，可得，,面，，平面，且与不平行，所以平面，而平面，所以平面平面.〔2〕三棱锥的体积，即为三棱锥的体积，由〔1〕知，平面，从而为三棱锥的底面的高，为直角三角形，，可得，而，从而，由题意知：，从而，是等腰三角形，且，为的中点，且，，，故.20. 椭圆:的离心率为,抛物线:截轴所得的线段长等于.与轴的交点为，过点作直线与相交于点直线分别与相交于.(1)求证:；(2)设,的面积分别为,假设,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可求得椭圆的方程为.直线的方程为(存在),,.联立直线方程与抛物线方程可得,，韦达定理计算可得,那么.(2)由(1)可知和均为直角三角形,设直线方程为,与抛物线方程联立可得,同理可得,那么.同理求得,那么，故的取值范围是[,+∞).试题解析：(1)由题设得,∴,又,∴,解得.因此椭圆的方程为.由抛物线的方程为,得.设直线的方程为(存在),,.于是由消去得,∴,①∴∴将①代入上式得,故.(2)由(1)知,,∴和均为直角三角形,设直线方程为,直线方程为,且,由解得或者,∴,同理可得,∴.由解得或者,∴,同理可得,∴,∴又∵＞0,∴≥.故的取值范围是[,+∞).21. 函数，.〔1〕假设函数在处获得极值，求的值，并求函数在处的切线方程；〔2〕假设在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式可得：，据此利用导函数研究函数的切线可得切线方程为；〔2〕原问题等价于：在区间上恒成立.解法一〔将绝对值看成一个函数的整体进展研究〕：构造函数，当时不合题意，当时，结合函数的单调性可得，据此可得：.解法二〔求命题的否认所对应的集合，再求该集合的补集〕：考察原命题的否认：在区间，其中函数在区间上无最小值，函数的最大值为，据此可得.试题解析：〔1〕的定义域是，=，由得.当时，=，=函数在处的切线方程为y=0.〔2〕由得在上恒成立,即在上恒成立.解法一〔将绝对值看成一个函数的整体进展研究〕：令，①当时，在上单调递减，，，所以的值域为：，因为，所以的值域为；所以不成立.②当时，易知恒成立.，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，依题意，，所以综上：.解法二〔求命题的否认所对应的集合，再求该集合的补集〕：命题“对都成立〞的否认是“在上有解〞.在上有解在上有解，在上有解，令，.，所以在上单调递增，又，所以；令，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以,所以.因为在上有解时，；所以对都成立时，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考察都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展： (1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考察数形结合思想的应用．〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，直线的参数方程是〔为参数〕．〔1〕分别求曲线、直线的普通方程；〔2〕直线与交于两点，那么求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：〔1〕利用参数方程的内在联络，写出普通方程即可；〔2〕由直线的HY参数方程，代入曲线，得，所以由韦达定定理解即可。
2024届湖南省长沙市德成学校高三下学期入学考试数学试卷
2024届湖南省长沙市德成学校高三下学期入学考试数学试卷一、单选题1. 设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2. 某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．40B．45C．50D．603. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A．20B．23C．24D．284. 同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）A．32种B．128种C．64种D．256种5. 已知，，则（）A．B．C．D．6. 已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（）A．B．C．D．7. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A．B．C．D．8. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（）A．B．C．牛奶的温度降至还需D．牛奶的温度降至还需二、多选题9. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（）A．B．C．D．10. 已知函数，则下列结论正确的有（）A．为奇函数B．是以为周期的函数D．时，的最大值为C．的图象关于直线对称11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（）A．的值为2B．C．若，则D．若，则三、填空题12. 二项式的展开式中，的系数为 ______ .13. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 ______ .14. 已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 __________ .四、解答题15. 在中，角的对边分别是，已知.(1)求角的大小；(2)已知，的面积为6，求边的大小.16. 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.(1)比赛开始，求甲先得一分的概率；(2)求甲获胜的概率.17. 已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.18. 如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD．(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD//平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为？若存在，确定出M点位置；若不存在，请说明理由．19. 已知椭圆的两焦点，且椭圆过.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围。
高三数学下学期入学考试试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校外国语2021届高三数学下学期入学考试试题文第一卷一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕 1．．集合．．．{}{}22(,)log ,(,)2A x y y x B x y y xx ====-，那么．．．A ．∩．B ．的元素有．．．．()．．A ．．．1．个．B ．．．2．个．C ．．．3．个．D ．．．4．个． 2．．复数．．．122izi+=-(．i 为虚数单位．．．．．)．，那么的虚部为．．．．．．．()．．A ．．－．．1B ．．．．0C ．．．．1D ．．．．i ．C 的渐近线方程为．．．．．．．2y x =±，且经过点．．．．．(2,2)，那么．．．C 的方程为．．．．()．．A.．．221312x y -=B.．．221123x y -=C.．．221312y x -=D.．．221123y x -= 4．．函数．．．2log 0()20x x x fx a x >⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是．．．．．．．．．．．．．．．．．()．．A ．．．0a<B ．．．102a << C.．．112a <<D ．．．01a a≤>或()sin()f x x ϕ=-，．且．2cos()cos 3πϕϕ-=，．那么．．函数．．()f x 的图象的一条对称轴是．．．．．．．．．．()．． A ．．．56xπ=B ．．．712x π=C ．．．3x π= D ．．．6x π=6.1a =，(0,2)b =，且1a b ⋅=，那么向量a 与b 夹角的大小为A.6πB.4πC.3πD.2π 7．．某几何体的正视图和侧视图如图．．．．．．．．．．．．．．．①．所示，它的俯视图的直观图是．．．．．．．．．．．．．'''A B C ∆，如图．．．②．所示，其中．．．．．23O A O B O C ''=''=''=，，那么该几何体的外表积为．．．．．．．．．．．．()．．A ．．．36123+B ．．．2483+C ．．．24123+D ．．．3683+ 8．．圆．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),00A m B m m ->,．假设圆．．．．C 上存在点．．．．P ，使得．．．90APB ∠=︒，那么．．．m 的最大值为．．．．．()．．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．9．．如下列图，点．．．．．．．G 是．ABC ∆的重心，过点．．．．．．G 作直线与．．．．,AB AC 两边分别交于．．．．．．,M N 两点，且．．．．,AM xAB AN yAC ==，那么．．．xyx y +的值是．．．()．．A ．．．3B.．．．C ．．．2D.．．．10.假设执行右边框图，，那么输出的数s与输入的N 的关系是〔〕 A.1(1)22N N +-⋅+ B.122N N +⋅+ C.1(1)22N N +-⋅- D.122N N +⋅-1．1．.．函数．．()22xxaf x =-，其在区间．．．．．[0,1]上单调递增，那么．．．．．．．．a的取值．．．范围为．．．()．． A ．．．[0,1]B ．．．[1,0]-C ．．．[1,1]-D.．．11[,]22-12．．．如图，抛物线．．．．．．．24y x =的一条弦．．．．AB 经过焦点．．．．F ，取线段．．．．OB 的．中点．．D ，延长．．．OA 至点．．C ,．使．OA AC=,．过点．．,C D 分别作．．．y 轴的垂线，垂足分别为．．．．．．．．．．,E G ,．那么．．EG的最小值为．．．．．()．．．．A ．．．23B ．．．22C ．．．42D.．．4 第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷的横线上。
高三数学下学期开学考试试题 文含解析 试题
广西实验中学2021届高三数学下学期开学考试试题 文〔含解析〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．满分是150分．考试时间是是120分钟．在在考试完毕之后以后，只需上交答题卡． 考前须知：1、答题时，所有考生必须在答题卡上用黑色签字笔将本人的姓名、准考证号填写上清楚．请认真核对准考证号、姓名和科目．2、选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上答题无效．第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕 z 满足()3425i z +=，那么z =〔 〕A. 34i -B. 34i +C. 34i --D.34i -+【答案】A 【解析】试题分析：解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i --====-++-，应选A. 解法二：设(),z a bi a b R =+∈，那么()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i +=++=-++=，由复数相等得3425{430a b a b -=+=，解得3{4a b ==-，因此34z i =-，应选A. 【考点定位】此题考察复数的四那么运算，属于容易题.2.已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，那么AB =〔 〕A. (]2,3B. [)2,3C. ()2,3D. []2,3【答案】A【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进展交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B ⋂=．应选A ．【点睛】此题主要考察了描绘法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．3.假设△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，那么此三角形的形状是〔 〕 A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】【分析】等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或者sin 0B =〔不合题意，舍去〕， 0A π<<90A ∴=︒，那么此三角形形状为直角三角形． 应选：A【点睛】此题考察了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，纯熟掌握公式是解此题的关键，属于中档题．4.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)2,1x ∈-时，()242,20,01x x f x x x --≤≤⎧=<<⎨⎩，那么52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A. 0 B. 1C.12D. 1-【答案】D 【解析】试题分析：因为()f x 是周期为3的周期函数，所以2511134212222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应选D.考点：函数周期性的概念和分段函数的概念.11ln 22y x x x=+--的零点所在的区间是〔 〕 A. 1(,1)eB. (1,2)C. (2,)eD. (,3)e【答案】C 【解析】∵函数112(0)2y lnx x x x =+-->， ∴211'102y x x=++>， ∴函数数1122y lnx x x =+--在定义域(0,+∞)上是单调增函数；又x =2时,1111222202222y ln ln =+--=-<，x =e 时,111122022y lne e e e e =+--=+-->，因此函数11ln 22y x x x=+--的零点在(2,e )内．应选C.点睛：此题主要考察了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，假如能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在[],a b 上是连续的曲线，且()()0f a f b ⋅<.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.6.抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，假设PQ =，那么直线PF 的方程为〔 〕A. 20x y --=B. 20x y +-=C. 20x y -+=D. 20x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 应选B.【点睛】此题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题. 7.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，2413S S =，那么48SS 等于( ) A.310B.18 C.19D.13【答案】A 【解析】 【分析】 由2413S S =根据等差数列的前n 项和公式得到132a d =，代入48SS 即可求出结果． 【详解】设首项为1a ，公差为d ，2413S S =， 1121463a d a d +∴=+，即132a d =， 那么418146663828122810S a d d d S a d d d ++===++，应选A ． 【点睛】此题主要考察等差数列前n 项和公式的应用，意在考察对根本公式的掌握情况，属于根底题．8.函数cos y x x =+的大致图象是〔 〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 应选B ． 【方法点晴】此题通过对多个图象的选择考察函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考察知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除9.函数log ,01()(41)2,1a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么实数a 的取值范围是 A. 106⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 106⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. ()1+∞， 【答案】B【解析】 【分析】由可得函数f 〔x 〕在R 上为减函数，那么分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】因为函数对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数在定义域内单调递减，所以()01141006log 14112aa a a a a⎧<<⎪-<∴<≤⎨⎪≥-⋅+⎩，.应选B.【点睛】函数的单调性确定参数的值或者范围要注意以下几点：(1)假设函数在区间[a,b]上单调，那么该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；〔3〕复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.10.圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的间隔 为1，那么该双曲线离心率的取值范围是〔 〕A.B. 55(,)32C. 55(,)42D.1)【答案】C 【解析】 【分析】双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3，根据题意，圆心到0bx ay -=的间隔 d 的范围为24d <<，从而得到,a b 关系式，利用222+=a b c 得到,a c 关系，从而得到离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3 因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的间隔 为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的间隔 d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 应选C 项.【点睛】此题考察圆上的点到直线的间隔 ，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.11.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当20x -≤<时，()1(0)x f x a a =->，且(2)8f =-，那么(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=〔 〕 A. 10- B. 12-C. 4D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 是奇函数，以及(2)(2)f x f x +=-即可得出(8)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为8，而根据f 〔2〕8=-及20x -<时，()1(0)x f x a a =->即可求出13a =，从而得出f 〔3〕f =〔1〕2=-，f 〔4〕f =〔8〕0=，f 〔5〕f =-〔1〕，f 〔6〕f =-〔2〕，f 〔7〕f =-〔3〕，这样即可求出f 〔1〕f +〔2〕f +〔3〕f +〔4〕f +〔5〕f +〔6〕f +〔7〕f +〔8〕0=，而201932528=+⨯，从而得出f 〔1〕f +〔2〕f +〔3〕(2019)12f +⋯+=-． 【详解】(2)(2)(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-=--⇒+=-⇒+=-+=，即函数()f x 是以8为周期的周期函数．由(2)(2)8f f -=-=，得218a -=，13a =， 故(1)(1)2?f f =--=-， (3)(1)2f f ==-，过程一：(4)(0)0f f ==，(5)(1)2f f =-=，(6)(2)8f f =-=，(7)(3)2f f =-=，(8)(4)0f f =-=．或者过程二：(5)(1)f f =-，(6)(2)f f =-，(7)(3)f f =-，(8)(4)f f =-，］ 故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++252[(1)(2)(8)](2017)(2018)(2019)f f f f f f =⨯++++++0(1)(2)(3)12f f f =+++=-.【点睛】函数根本性质综合在高考题型中经常出现，此种题型只需记牢根底知识，个别题型可借鉴草图快速求解．考生假设能掌握以下考点，可事半功倍． 函数周期性的常用结论：函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ； 假设函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数()f x 的周期是2||b a -；假设函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，那么函数()f x 的周期是4||b a -；假设函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，那么其周期为2a ； 假设函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，那么其周期为4a .12.在等腰直角ABC ∆中，,AC BC D =在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-，假设60ACD ︒∠=，那么t 的值是〔 〕1D.【答案】A【解析】【详解】根据题意，D 在线段AB 上，过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，作DF BC ⊥ ，垂足为F ，假设设AC BC a ==，由于(1)CD tCA t CB =+- ，得,(1)CE ta CF t a ==- ，根据题意60,30ACD DCF ∠=∠= ；cos60cos30CE CF = ，即1322ta = ，31t -=， 应选A.第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在答题卡中横线上〕13.向量(cos ,sin )a θθ=，(1,2)b =-,假设a ∥b ，那么代数式2sin cos sin cos θθθθ-+的值是 ． 【答案】5 【解析】【详解】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得2sin cos 5cos 5sin cos cos θθθθθθ--==+-．考点：向量平行．14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆2，a =___________. 32【解析】【分析】利用同角三角函数计算出sin A 的值，利用三角形的面积公式和条件23b c =可求出b 、c 的值，再利用余弦定理求出a 的值.【详解】1cos 3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆，1sin2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 22232a b c bc A =+-=+-=，a ∴=． 【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形，同时也考察了同角三角函数的根本关系、三角形面积公式的应用，考察运算求解才能，属于中等题.15.函数2log (1)y ax =-在(2,1)--上单调递减，那么a 的取值范围是____________. 【答案】1a ≤- 【解析】 【分析】根据对数函数的性质以及一次函数的性质，别离参数a ，求出a 的范围即可． 【详解】假设函数y=log 2〔ax ﹣1〕在〔﹣2，﹣1〕上单调递减， 那么a ＜0且ax ﹣1＞0在〔﹣2，﹣1〕恒成立， 即a ＜1x在〔﹣2，﹣1〕恒成立， 故a ≤﹣1， 故答案为：a ≤﹣1【点睛】此题考察了对数函数的性质，考察函数的单调性问题，是一道根底题．解答时不要漏掉了函数的定义域，不要无视了取等问题.16.四面体P ABC -中，4,PA AC PB BC PA ====⊥平面PBC ，那么四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比____________．【答案】16【解析】 【分析】求出四面体P ABC -中的体积和外表积，可得其内切球半径，由正弦定理求出PBC 所在的小圆的直径，那么可得四面体P ABC -外接球半径，从而可得所求比值．【详解】如图，由PA ⊥平面PBC ，,PC PB ⊂平面PBC ，那么,PA PC PA PB ⊥⊥，由及勾股定理得，AB PC PBC ==为等边三角形，ABC 为等腰三角形．所以，1114332P ABC PBCV S PA -⎡=⋅=⋅⨯⨯=⎢⎣⎦，外表积2111425222S ⎡⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦设内切球半径为r ，13V S =外表积r ⋅，所以，13,34r =⨯=；PBC 所在的小圆的直径4sin 60PD ︒==，因此大圆直径〔外接球直径〕为2R R ===316r R ==，．【点睛】此题考察四面体的内切球与外接球问题，考察球的性质与棱锥的外表积、体积．考察学生的空间想象才能和运算求解才能，属于中档题．三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〕〔一〕必考题：一共60分．17.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩〔均为整数〕分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.〔1〕根据频率分布直方图，估计众数和中位数；〔2〕用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.【答案】〔1〕众数为75，中位数为；〔2〕910. 【解析】 【分析】〔1〕由频率分布直方图能求出a ．由此能求出众数和中位数；〔2〕用分层抽样的方法从[40，60〕的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，根本领件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[50，60〕包含的根本领件个数1122339m C C C =+=，由此能求出这两人的分数至少一人落在[50，60〕的概率．【详解】〔1〕由频率分布直方图得：(0.0100.0150.0150.0250.005)101a +++++⨯=，解得0.030a =， 所以众数为：7080752+=， [)40,70的频率为(0.010.0150.015)100.4++⨯=，[)70,80的频率为0.03100.3⨯=，中位数为：0.50.4701073.330.3-+⨯≈. 〔2〕用分层抽样的方法从[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，[)40,50的频率为，[)50,60的频率为，[)40,50∴中抽到0.1520.25⨯=人，[)50,60中抽取0.15530.25⨯=人， 从这五人中任选两人参加补考， 根本领件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[)50,60包含的根本领件个数1122339m C C C =+=，所以这两人的分数至少一人落在[)50,60的概率910m P n ==. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中根本领件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个根本领件m ，然后根据公式mP n=求得概率 18.在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值．【答案】〔1〕52nn a -=〔2〕n 的值为8或者9【解析】 【分析】〔1〕根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2375a a a =，联立42a =即可解出答案〔2〕根据52nn a -=写出5n b n =-，求出292n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可．【详解】〔1〕232637225a a a a a ++=， 可得2223355352()25a a a a a a ++=+=， 由42a =，即312a q =，①，由01q <<，可得10a >，0n a >， 可得355a a +=，即24115a q a q +=，② 由①②解得1(22q =舍去〕，116a =，那么15116()22n nn a --==；〔2〕22log log 2n n b a ==55nn -=-，可得219(45)22n n n S n n -=+-=，92n S n n -=，那么127941222n S S S nn -++⋯+=++⋯+ 221917117289(4)()2244216n n n n n --=+==--+， 可得8n =或者9时，1212n S S S n++⋯+取最大值18． 那么n 的值是8或者9．【点睛】此题考察等比数列，等差数列前n 项和的最值问题，属于根底题．19.等腰ABC 的底边66AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点.点F 在BC 边上，且.EF AB ⊥现沿EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PE AE ⊥．(Ⅰ)证明EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积，求()V x 的最值．【答案】〔Ⅰ〕证明见解析〔Ⅱ〕max ()126=V x 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；〔Ⅱ〕利用题意求得体积的函数()V x ，对体积函数进展求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值.【详解】〔Ⅰ〕证明：∵EF AB ⊥，∴90BEF PEF ∠=∠=︒， 故EF PE ⊥，而AB PE E ⋂=，所以EF ⊥平面PAE ． 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得EF PE ⊥，又∵PE AE ⊥，AE EF E ⋂=， ∴PE ⊥平面ABC ，即PE 为四棱锥P ACFE -的高. 由高线CD 及EF AB ⊥得//EF CD ，∴BE EFBD CD=，3EF =，∴EF x =，∴2211322ACFE ABC BEF S S S ∆∆=-=⨯-=．而PE EB x ==，∴()313ACFE V x S PE x =⋅=〔0x <<，26)(6)()V x x x x ='=+-， 当(0,6),()0,()x V x V x ∈'>单调递增，当()0,()x V x V x ∈'<单调递减， 所以6x =时，(x)V 获得极大值，也是最大值，()max (6)V x V ==20.设A 、B 是抛物线2:4E y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB ⋅=，〔其中O 为坐标原点〕．〔1〕求证：直线AB 必与x 轴交于一定点Q ，并求出此定点Q 的坐标；〔2〕过点Q 作直线AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】〔1〕证明见解析，902,⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕88. 【解析】【分析】〔1〕设直线AB 的方程为x my t =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立24x my ty x =+⎧⎨=⎩消x 得，2440y my t --=，由韦达定理得，12124,4y y m y y t +==-，根据94OA OB ⋅=，得()212129164y y y y +=，由此解方程即可得到此题答案；〔2〕由弦长公式，得AB ==CD ==，所以四边形ACBD 的面积12S AB CD ==的单调性即可求得此题答案.【详解】〔1〕证明：易知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my t =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120y y <， 由24x my t y x=+⎧⎨=⎩消x 得，2440y my t --= ， 那么216160m t +>，且12124,4y y m y y t +==- ，由94OA OB ⋅=，得()()2212121212916360164y y y y y y y y +=⇒+-=，解得，1218y y =-或者122y y =〔舍去〕， 所以418t -=-，可得92t =，即直线AB 的方程为92x my =+， 所以直线AB 恒过定点9,02Q ；〔2〕由〔1〕得，AB ==，同理，CD ==， 因为AB CD ⊥，所以四边形ACBD 的面积12S AB CD ===，令221m mμ+=〔2μ≥，当且仅当21m =时等号成立〕，那么S =218121170y μμ=++在[2,)+∞上是增函数，所以当2μ=时，S 获得最小值88，故四边形ABCD 面积的最小值为88.【点睛】此题主要考察与抛物线相关的定点问题和面积问题，考察学生的分析问题才能和转化求解才能，联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用韦达定理，是解决此类问题的常用方法.21.设函数()2ln 2f x x x x =-+(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)假设存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦，求k 的取值范围．【答案】(I)()f x 的单调递增区间为()0,+∞ ；(II)92ln21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ . 【解析】 【分析】(Ⅰ) 求出()'f x ，对()'f x 再求导，可得函数()'f x 增区间与减区间，()'f x 的最小值为ln20>，从而可得()f x 的单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)根据()f x 的单调性求出()f x 在[],a b 的值域，问题转化为()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，令()()2ln 21222f x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭，两次求导，根据函数的单调性求出k 的范围即可．【详解】(Ⅰ)令g(x)=()()210f x x lnx x '=--> ,()1'2g x x=-， 令()'0g x >，解得：12x >，令()'0g x <，解得：102x <<， 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，那么()g x 的最小值为1ln202g ⎛⎫=>⎪⎝⎭． 所以()()1'02f x g x g ⎛⎫=≥>⎪⎝⎭， 所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞ .(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x 在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭递增，()f x 在[],a b 上的值域是()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦所以()()()()12,2,2f a k a f b k b a b =+=+≤<． 那么()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，()2f x k x =+，令()()2ln 21222f x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭ 求导，得()2232ln 41'(2)2x x x F x x x +--⎛⎫=≥ ⎪+⎝⎭，令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭那么()()()2122'230x x G x x x x-+=+-=≥． 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，()10,102G G ⎛⎫<= ⎪⎝⎭． 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，G(x)()0,0F x <'<， 当()1,x ∈+∞时，G(x)()0,0F x >'>所以()F x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在()1,+∞上递增，故()192ln211,210F k F k +⎛⎫⎛⎤<≤∴∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． 【点睛】此题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考察了函数思想，化归思想，抽象概括才能，综合分析问题和解决问题的才能，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考察力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本局部的要求一定有三个层次：第一层次主要考察求导公式，求导法那么与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考察，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．22.直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕，曲线222:13x C y +=． 〔1〕在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C 、2C 的极坐标方程； 〔2〕射线()03πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB ．【答案】〔1〕1:2cos C ρθ=，()222:12sin 3C ρθ+=；〔2〕15AB =-. 【解析】【分析】 〔1〕将曲线1C 的参数方程化为普通方程，由直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可将曲线1C 、2C 的直角坐标方程转化为极坐标方程；〔2〕设点A 、B 的极坐标分别为1,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将3πθ=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程求得1ρ和2ρ，由此可得出12AB ρρ=-.【详解】〔1〕曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕化为普通方程为222x y x +=， 所以曲线1C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为2233x y +=，化为极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=； 〔2〕设点A 、B 的极坐标分别为1,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将3πθ=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得12cos 13πρ==，22212sin 33πρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22532ρ=，解得25ρ=，所以1215AB ρρ=-=-． 【点睛】此题考察参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考察了利用极坐标方程解决线段长度的计算问题，考察计算才能，属于中等题.23.函数()3f x x =-.〔1〕假设()(2)9f t f t +<，求t 的取值范围；〔2〕假设存在[]2,4x ∈，使得(2)3f x x a ++≤成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕-1<t<5 〔2〕[-4,0]【解析】【分析】〔1〕分33322t t <≤≤，和3t >三种情况分类讨论去绝对值，可得一元一次不等式，再通过解不等式得到t 的取值范围〔2〕当[]2,4x ∈时，可化简得62x a x +≤-，再根据存在[]2,4x ∈，使得()23f x x a ++≤成立，即可求得答案【详解】〔1〕由()()29f t f t +<可得3239t t -+-<323329t t t ⎧≤⎪∴⎨⎪-+-<⎩,或者3323329t t t ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或者33329t t t ≥⎧⎨-+-<⎩ 解得15t -<<〔2〕当[]x 2,4∈时，()f 223x x a x x a ++=-++∴存在[]x 2,4∈， 使得62x a x +≤-即2x 6x a 62x -≤+≤-成立， ∴存在[]x 2,4∈，使得636x a x a ≤+⎧⎨≤-⎩成立，∴6266a a +≥⎧⎨-≥⎩， 那么[]a 4,0∈-【点睛】此题主要考察理解绝对值不等式，在解含有绝对值不等式时需要通过分类讨论去掉绝对值，然后再解不等式，需要掌握解题方法．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学下学期开学考试试题 文 试题
外国语2021届高三数学下学期开学考试试题 文本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共4页。
在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。
考前须知：1. 在答题之前，考生先将本人的姓名、准考证号填写上清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1. ,a b R ∈，复数21ia bi i+=+，a b +=( ) A ． 2 B ．1 C ．0 D ．2-2. 集合{}22M x x x =<+，{}N x x a =>，假设M N ⊆，那么a 的取值范围为〔 〕 A ．](,1-∞- B ．](,2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)1,-+∞3. 向量a (1,2)=，b (,1)m =-，假设a ∥b ，那么实数m 的值是 ( ) A ．3 B ．3- C ．12 D ． 12- 4. 假设4cos 5α=-，且α为第二象限角，那么tan α=〔 〕 A ．43- B ．34- C ．43D ．345. 在等差数列{}n a 中，假设3453a a a ++=，88a =，那么12a 的值是〔 〕 A ．64 B ．31 C ． 30 D ．156. 函数y ＝x sin x ＋1x2的局部图象大致为( )7. 平面α，β和直线a ，b ，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A.假设a ∥α，b ∥β，且α∥β，那么a ∥b B. 假设a α⊂，b β⊂，且a ∥b ，那么α∥β C. 假设a α⊥，b β⊥，且a ∥b ，那么α∥β D.假设αβ⊥，a α⊂，b β⊂，那么a b ⊥ 8. 数学猜测是推动数学理论开展的强大动力， 是数学开展中最活泼、最主动、最积极的因素 之一，是人类理性中最富有创造性的局部.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜测： 对于每一个正整数，假如它是奇数，对它乘3再加1，假如它是偶数，对它除以2，这样循 环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜 想设计的一个程序框图，那么输出的i 为 〔 〕 A. 5 B. 6 C. 7 D. 811. 双曲线:C 22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点为1F ，离心率为P 是双曲线C 的右支上的动点，假设(,2)Q c a 〔c 为焦半距〕，且1PF PQ +的最小值为8，那么双曲线C 的方程式 ( )A. 2212y x -= B. 2212x y -= C. 2214y x -= D. 2214x y -= 12. 函数ln ()x f x x=，假设方程2()()1f x tf x +=-有四个不同的实数根，那么实数t 的取值范围是〔 〕A ．(,)e -∞-B ．1(,)e e -∞--C ．(,2)-∞-D ．1(,2)e e---第二卷二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分。
高三数学下学期开学考试试题含解析 试题
A.只有 B.在直线 上C.多于三个D.在第二象限
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数 〔 R〕与 〔 R〕图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.
【详解】结合函数 〔 R〕与 〔 R〕图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数 〔 R〕在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.
的二项展开式中，所有项的系数之和为81，那么常数项为________
【答案】8
【解析】
【分析】
由题得 ，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.
【详解】由题得 ，所以n=4,二项展开式的通项为 ，
令 .
所以常数项为 .
故答案为：8
【点睛】此题主要考察二项式展开式的系数和问题，考察二项式展开式特定项的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.
8.离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的间隔等于3，那么该双曲线的焦距为________
【答案】8
【解析】
【分析】
，且 ，解方程组即得 ， ，即得双曲线的焦距.
【详解】 ，且 ，∴ ， ，所以该双曲线的焦距为8.
故答案为：8
【点睛】此题主要考察双曲线的简单几何性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.
所以 ,所以三棱锥 的体积 .
〔2〕
如下列图，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，那么B(0,0,0),A(0,0,1), ,
所以 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦 ，
湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学试题
由直线 l： 2tx - y - 2t +1 = 0(t Î R ) 为 y -1 = 2t ( x -1) ，
∴直线 l 过定点 P (1,1) ，
又12 +12 = 2 < 4 ，∴P 在圆 C 内部， 当直线 l 与线段 CP 垂直时，弦 AB 的长最小，
∵ CP = (0 -1)2 + (0 -1)2 = 2 ，
∴ z - i = a + (b -1) i = a2 + (b -1)2 ，表示圆上的点到点 (0,1) 的距离，
∴ z - i 的最小值为 2 - 02 + (0 -1)2 = 1 . 故选：A. 2．D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，找到中间值 0 和1进行辅助判断.
【详解】根据指数函数 y = 3x 在 R 上递增可得， a = 30.5 > 30 = 1；
答案第21 页，共22 页
③a ∥ c ， b ∥ c ，则a ， b 可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④a ∥g ， b ∥g ，则a ∥ b ，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤a ∥ c ， a ∥ c ，则 a Pa 或 a Ì a ，所以⑤不正确；
⑥ a ∥g ，a ∥g ，则 a Pa 或 a Ì a ，所以⑥不正确；
【详解】若方程
x2 2-k
-
y2 2+k
= 1 表示双曲线，则(2 - k )(2 + k )
>
0 ，即-2<k <2
，
答案第11 页，共22 页
由-2<k<2 能推出 -2 < k < 3 ，必要性成立， 由 -2 < k < 3 不能推出- 2<k <2 ，充分性不成立，
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成都龙泉中学2014级高三下期入学考试卷数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b ﹣a ，a ∈A ，b ∈B}，则C 中元素的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62.已知i 是复数的虚数单位，若复数(1)|2|z i i +=，则复数z =（ ）A. iB. 1i -+C. 1i +D. 1i -3.已知)12(+x f 是偶函数，则函数)2(x f 的图象的对称轴是（ ）A.1-=xB.x =1C.21-=x D.21=x 4.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（ ） A.-3 B. -1 C.１ D.35. 经过抛物线24x y =的焦点和双曲线22145y x -=的右焦点的直线方程为 （ ）A ．330x y +-=B ．330x y +-=C ．4830x y +-=D ．4830x y +-=6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1 B．23C ．1321D ．6109877. ,a b 为平面向量，已知(4,3),2(3,18),a a b =+=则,a b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16658.不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）9. 在△ABC 中，若2,23a b ==,030A = , 则B 等于（ ）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或150 10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A.13B.16C.83D.4311．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为()02,2P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）P 0PO y12.O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 的直线交C 于B A ,且BF FA 2=，则OAB ∆的面积为（ ）A ．4B ．2C ．322D ．22 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每题5分，共20分）13.已知(0,1),(3,0),(3,2)A B C --,则ABC ∆内切圆的圆心到直线31y x =-+的距离为_____. 14.若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a =15. 实数a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，则关于x 的方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率是__________. 16.某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()()sin sin sin sin a b A B c C a B --=-. (1)求角C 的大小；(2)若7,c a b =>，且ABC ∆的面积为323，求ba的值．18.（本小题满分12分） 已知函数12)(+=x xx f 与函数)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，（1）求)(x g 的表达式。
（2）若)(1)2(x x Φ=+Φ，当)0,2(-∈x 时，)()(x g x =Φ，求)2005(Φ的值。
19.（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛．统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，如下：甲单位职工的成绩（分） 87 88 91 91 93 乙单位职工的成绩（分）8589919293（1）根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；（2）用简单随机抽样的方法从乙单位的5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的成绩之差的绝对值至少是4分的概率；20.（本小题满分12分）已知21,F F 是椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点)22,1(-P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）⊙O 是以21F F 为直径的圆，一直线m kx y l +=:与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点B A ,．当OA OB λ⋅=，且满足4332≤≤λ时，求AOB ∆面积S 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2(),()x f x e g x mx ax b ==++，其中,,, 2.71828...m a b R e ∈=为自然对数的底数。
（I ）设函数h(x)＝xf (x)，当a =l ，b=0时，若函数h(x)与g(x)具有相同的单调区 间，求m 的值；（II ）当m=0时，记F(x) ＝f (x) －g(x)．①当a ＝2时，若函数F(x)在［－1,2］上存在两个不同的零点，求b 的取值范围； ②当b ＝152-时，试探究是否存在正整数a ，使得函数F(x)的图象恒在x 轴的上方？若 存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ；23.（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.成都龙泉中学2014级高三下期入学考试卷数学（文史类）参考答案1—6 BDDABC 7—12 CCBDCC 13. 1 14.2 /2 15.23.【解答】方程有实根时，△=（2a ）2﹣4b 2≥0，即a 2≥b 2．记方程x 2+2ax +b 2=0有实根的事件为A ．设点M 的坐标为（a ，b ），由于a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，所以，所有的点M 对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC ），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域O AB C ，其面积为2×3=6．由于a 在[0，3]上随机抽取，b 在[0，2]上随机抽取，所以，组成区域OABC 的所有基本事件是等可能性的．又由于满足条件0≤a ≤3，且0≤b ≤2，且a 2≥b 2，即a ≥b 的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为 12×（1+3）×2=4，所以，事件A 组成平面区域的面积为4，所以P （A ）=46=23．所以，方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率为23．故答案为：23． 16. 3717．解 (1)△ABC 中，由(a －b )(sin A －sin B )＝c sin C －a sin B ，利用正弦定理可得(a －b )(a －b )＝c 2－ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .再利用余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.(2)由(1)可得即a 2＋b 2－ab ＝7①， 又△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝323，∴ab ＝6②.①②可得b a ＝23. 18.【答案】（1）28()5x g x x -=-； （2）3(2005)5Φ= 【解析】（略）19.解：（I ）90939191888751=++++=）（甲x ，90939291898551=++++=）（乙x ....2分 524]909390919091)9088()9087[(51222222=-+-+-+-+-=）（）（）（甲s8]909390929091)9089()9085[(51222222=-+-+-+-+-=）（）（）（乙s ........4分∴<8524甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定........5分 （II ）设抽取的2名职工的成绩只差的绝对值至少是4分为事件A ，所有基本事件有：(85,89),(85,91),(85,92)(85,93),(89,85),(89,91),(89,92),(89,93),(91,85),(91,89),(91,92),(91,93),(92,85),(92,89),(92,91)(92,93),(93,85),(93,89),(93,91),(93,92),共20个..........8分 事件A 包含的基本事件有：(85,89),(85,91),(85,92),(85,93),(89,85),(89,93),(91,85),(92,85),(93,85), (93,89),共10个.......10分212010)(==∴A P .......12分 20.012=+F ）解：（ .2的中点是线段点PF M ∴.,212121PF PF F F OM F PF OM ⊥∴⊥∆∴的中位线，又是12椭圆的标准方程为∴1,1,2121112222222222=+===⎪⎩⎪⎨⎧+==+=∴y x c b a cb a b ac 解得（Ⅱ）∵圆O 与直线l 相切 1,11222+==+∴k m k m 即由0224)21(1222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kmx x k y mkx y y x 得消去∵直线l 与椭圆交于两个不同点，,002>⇒>∆∴k 设),(),,(2221y x B y x A , 则22222121221212221221212)())((,2122,214k k m m x x km x x k m kx m kx y y k m x x k km x x +-=+++=++=+-=⋅+-=+4321132433221122222121≤++≤∴≤≤=++=+=⋅k k k k y y x x OB OA λλ1212≤≤k 解得： 2222221221221224)214(1214)(121121km k km k x x x x k AB S S AOB +-⋅-+-⋅+=-+⋅+=⋅⋅==∆ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=≤≤+=+++=2,43,142,2431)(4)(2242424u u u S u k k u k k k k 则设 3246,32)2(,46)43(2,43≤≤∴==⎥⎦⎤⎢⎣⎡S S S u S 单调递增，在关于22.解：⑴222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+=曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l 的参数方程为)(22424为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 将其代入曲线1C 整理可得：04232=+-t t ，设,A B 对应参数分别为21,t t ，则4,232121==+t t t t所以2t 4t -)t -(t |t -t |||2122121===AB 2121212||||()42AB s s s s s s =-=+-= (10)分方法二，直线方程为4y +=x ，圆心到直线4y +=x 的距离为21=d 22112||=-=AB 23.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t≤[（3）2＋12][（4－t）2＋（t）2]＝24－t＋t＝4，当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，故(－3t＋12＋t)max＝4.。