课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理
① ②
5．解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b.因为 b＋c 3 7 ＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理 c2 ＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos C，解得 cos C＝－ 1 2π 2，所以 C＝ 3 . 答案：A
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2．解：(1)∵cos 2C＋2 2cos C＋2＝0， ∴2cos2C＋2 2cos C＋1＝0， 2 即( 2cos C＋1) ＝0，∴cos C＝－ . 2 3π 又 C∈(0，π)，∴C＝ . 4
2
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2， ∴c＝ 5a，即 sin C＝ 5sin A，∴sin A＝ 1 10 sin C＝ . 10 5
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4．解析：由 c2＝(a－b)2＋6 可得 a2＋b2－c2＝2ab－6. π 由余弦定理及 C＝3可得 a2＋b2－c2＝ab. 所以由①②得 2ab－6＝ab，即 ab＝6. 1 π 1 3 3 3 所以 S△ABC＝2absin3＝2×6× 2 ＝ 2 . |＝24，
∴BC＝4，AB＝6， ∴AC＝ BC2＋AB2－2BC· AB· cos B ＝
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9 16＋36－2×4×6×16＝5.
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B 卷：增分提能 1．解：(1)证明：∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 a2＋c2－b2 a2＋c2－ac 2ac－ac 1 cos B＝ 2ac ＝ ≥ 2ac ＝2， 2ac 当且仅当 a＝c 时等号成立． 1 ∴cos B 的最小值为2.
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 正弦定理和余弦定理Word版含答案
课时跟踪检测正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．(2019·长春质检)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3.3．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.2π3解析：选A 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A ＝3sin B，所以sinB ＝22，又因为b <a ，所以B <π2，B ＝π4. 4．(2019·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：25．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，故C 是钝角．2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2019·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B＝32，所以B ＝30°. 4．(2019·南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214解析：选C 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3， 又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________. 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：17．(2019·南昌二中模拟)在△ABC 中，如果cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．解析：∵cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ，所以此三角形是等腰三角形．答案：等腰三角形8．(2019·丰台一模)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．解析：由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3>0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB >BC ，所以A <C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.答案：329．(2019·兰州双基测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．解：(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 10．(2019·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3π4，得 －cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .2．(2019·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－1 3 .因为∠D∈(0，π)，所以sin∠D＝1－cos2∠D＝22 3.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD·CD·sin∠D＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，所以AC＝2 3.因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，所以23sin∠B＝ABsinπ－2∠B＝ABsin 2∠B＝AB2sin∠B cos∠B＝AB233sin∠B，所以AB＝4.。
正弦定理、余弦定理》(随堂自测+课时作业,含解析)(教师版)
余弦定理1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB ．c 2＝a 2－b 2＋2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab解析：选A.注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ²AC ＝52＋32－722³5³3＝－12，且∠BAC ∈(0，π)，因此∠BAC ＝2π3，故选A.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B ＝__________.解析：∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.答案：30°4．(2012²淮北调研)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝21∶4∶5，则角A ＝__________.解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝21∶4∶5，可得a ∶b ∶c ＝21∶4∶5，设a ＝21k ，b ＝4k ，c ＝5k ，其中k >0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16k 2＋25k 2－21k 22³4k ³5k ＝12.∴A ＝60°.答案：60°[A 级 基础达标]1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722³5³8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．2．在△ABC 中，b 2＋c 2＋3bc ＝a 2，则A ＝( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.∵b 2＋c 2＋3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－3bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝－32，∴cos A ＝－32，∴A ＝150°，故选D.3．(2012²西安质检)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶4∶30，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定解析：选C.根据题意，由正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝3∶4∶30，设a ＝3t ，b ＝4t ，c ＝30t ，t >0，由余弦定理可得,cos C ＝3t 2＋16t 2－30t283t2<0，所以三角形ABC 是钝角三角形．故选C. 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于__________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34.答案：345．△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin B ＝__________.解析：c 2＝52＋32－2³5³3³cos120°＝49，∴c ＝7.∴sin B ＝b sin C c ＝3sin120°7＝37³32＝3314.答案：33146．在△ABC 中，三边分别是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，求该三角形最大的角．解：由题意知：a 2＋b 2＋ab 为最大边，不妨设其所对角为α，则α为△ABC 中最大角，根据余弦定理的推论得，cos α＝a 2＋b 2－a 2＋b 2＋ab 22ab ＝－12，∴α＝120°.即该三角形最大的角为120°.[B 级 能力提升]7．(2012²亳州调研)在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为( ) A ．150° B ．30°C ．120°D ．60°解析：选A.由正弦定理可得b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32.故角B 为150°.8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A.833 B.2393 C.2633D ．2 3 解析：选B.∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12³1³c ³32＝34c ，∴3c 4＝3，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a ＝13.又∵a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2393，故选B.9．(2012²蚌埠调研)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．解析：设底边边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为4a 2＋4a 2－a 22²2a ²2a ＝78.答案：7810．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac ， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解：(1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴cos B ＝12，∴B ＝60°.(2)由(1)知，A ＋C ＝180°－B ＝120°，∴C ＝120°－A .∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ，∴sin(120°－A )＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A .∴3cos A ＝5sin A ，∴tan A ＝35.11．(创新题)在一三角形木板中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，(1)求角A ；(2)若在该三角形木板外加套一圆形轮箍，求该轮箍的周长． 解：(1)由余弦定理可得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos15°＝4＋8－2³2³22³6＋24＝8－43，∴c ＝8－43＝6－ 2.又由正弦定理得，sin A ＝a sin C c ＝12，∵b >a ，∴B >A ，且0°<A <180°，∴A ＝30°.(2)设该圆形轮箍的半径为R ，根据正弦定理可得， a sin A ＝2R ，即2sin30°＝2R ，解得R ＝2.所以该轮箍的周长为2πR ＝4π. 正弦定理1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确． 2．(2012²西安质检)在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝120°，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A.由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝333³sin120°＝12，又B <A ，所以B ＝30°.3．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：S △ABC ＝12AB ²BC ²sin B ＝12³2³1³12＝12.答案：124．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝__________.解析：由正弦定理，可得，AC sin B ＝BC sin A ，即632＝2sin A ，∴sin A ＝22，∴A ＝45°或A ＝135°.∵BC <AC ，∴A <B ，∴A <60°，∴A ＝45°，∴C＝180°－(A ＋B )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°[A 级 基础达标]1．下列对三角形解的情况的判断中，正确的是( )A ．a ＝4，b ＝5，A ＝30°，有一解B ．a ＝5，b ＝4，A ＝60°，有两解C ．a ＝3，b ＝2，B ＝120°，有一解D ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，无解 解析：选D.对于A ，b sin A <a <b ，故有两解；对于B ，b <a ，故有一解； 对于C ，B ＝120°且a >b, 故无解；对于D ，a <b sin A ，故无解．2．(2012²亳州调研)在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形解析：选A.由正弦定理得cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，又b a ＝43，所以a ≠b ，故A ＝B 舍去，所以A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．3．在△ABC 中，b ＝8，c ＝83，S △ABC ＝163，则A ＝( ) A ．30° B．60° C ．30°或150° D．60°或120°解析：选C.据面积公式可得，S △ABC ＝12bc sin A ＝163，∴12³8³83³sin A ＝163，即sin A ＝12.∴A ＝30°或150°. 4．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.解析：∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理可得，11010＝AB 12，∴AB ＝102.答案：1025．△ABC 中，A 最大，C 最小，且A ＝3C ，A ＋C ＝2B ，则三角形三边a ∶b ∶c ＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3C A ＋C ＝2BA ＋B ＋C ＝π，解得A ＝π2，B ＝π3，C ＝π6.据正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C＝1∶32∶12＝2∶3∶1.答案：2∶3∶1 6．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，求： (1)ACcos A 的值；(2)AC 的取值范围． 解：(1)由正弦定理可得，BC sin A ＝ACsin B，∴BC sin A ＝AC sin2A ＝AC 2sin A cos A ，∴AC 2cos A ＝BC ，∴ACcos A ＝2BC ＝2. (2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴3A ＋C ＝π，C ＝π－3A ， ∴A 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π20<2A <π20<π－3A <π2，即π6<A <π4，∴22<cos A <32，又∵AC ＝2cos A ， ∴2<AC < 3.故AC 的取值范围是(2，3)．[B 级 能力提升]7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．±33B ．±63 C.222 D.63解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b sin A a ＝33，又a >b ，因此A >B ，且B 为锐角，∴cos B ＝ 1－sin 2B ＝1－39＝63. 8．△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理asin A ＝bsin B得，a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .9．(2012²宿州质检)在△ABC 中，b ＝1，a ＝2，则角B 的取值范围是__________．解析：由正弦定理得1sin B ＝2sin A ，∴sin B ＝12sin A ∈(0，12]．又∵b <a ，∴B <A ，∴B ∈(0°，30°]．答案：(0°，30°]10．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝1－cos 2A ＝35，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝35³cos π3＋45³sin π3＝35³12＋45³32＝3＋4310.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B得， a ＝sin A sin B ²b ＝3532³3＝65，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³65³3³3＋4310＝93＋3650.。
24正弦定理和余弦定理
2 R sin A sin B sin C
R为△外接圆半径
1 (a b c )r S ABC 2
r为△内切圆半径
1 aha 1 bhb 1 chc S ABC 2 2 2
S ABC p( p a )( p b)( p c)
(a b c ) p 2
∵a>b，∴A＝60° 或 A＝120° ∵a>b，∴A＝60°A＝120°. ∵a>b，∴A＝60° A＝120° ∵a>b，∴A＝60°或或 A＝120° . 或 . ∵a>b，∴A＝60°或A＝120°. .
6＋ bsin bsinC C C 6＋ 2 bsin bsin＝6＋ 6＋; 2 bsin CC＝ 6＋ 2 22 A＝60° 时,C＝180°－45° ＝75°,c＝ 当 A＝60° 当当A＝60°时,C＝180° －60°＝75°,c＝ sin B＝ ＝22 ;;; 时,C＝180°－45°－60° ＝75° －45°－60°＝75° ,c＝ 当A＝60°时,C＝180°－45° －60° ＝75° sin ＝ 2 当A＝60°时,C＝180° －45°－60° ,c＝ ,c＝B B ; sin B B 2 sin sin 2 6－ bsin bsinC C 6－ 2 bsin bsin＝6－ 2 22. bsin CC＝C 6－ 6－ 当 A＝120° 时,C＝180° －45° 当当A＝120°时,C＝180° －120°＝15°,c＝ sin B＝ ＝22 .. . 时,C＝180°－45°－120° ＝15° －45°－120°＝15° ,c＝ 当A＝120°时,C＝180°－45° －120° ＝15° sin ＝ 2 当A＝120° 时,C＝180°－45° ＝15°,c＝,c＝B B A＝120° －120° ,c＝ sin B sin sin B 2 2
第24课时正弦定理和余弦定理
第24课时 正弦定理和余弦定理编者：陈文明 审核：季明宏第一部分 预习案一、知识回顾1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝ ；(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ 等形式，以解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ ．余弦定理可以变形：cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝. 3． S △ABC ＝ ＝ ＝ ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 二、基础训练1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________.2． 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．班机_________ 学号_________ 姓名_________3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________.4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．三、我的疑惑第二部分 探究案探究一 利用正弦定理解三角形问题1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .探究二利用余弦定理求解三角形问题2、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．探究三正弦定理、余弦定理的综合应用问题3 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.探究四解三角形的综合应用在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．我的收获第三部分训练案见附页。
导学案024 正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考情分析：1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.教学过程基础知识实际问题中的有关概念及常用术语(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 _______ 叫做基线．(2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度之比即i＝h b＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．双基自测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A在点B ( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°3．(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m典例分析考点一：测量距离问题[例1] (2010·陕西高考)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？变式1．(2012·衢州质检)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B 望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．．求距离问题要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.考点二：测量高度问题[例2] (2012·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)变式2．(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.考点三：测量角度问题[例3] (2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．利用正、余弦定理解实际问题的答题模板[考题范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设小艇与轮船在B 处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示．在△AOB 中A ＝90°－30°＝60°∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300.(4分)∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23，又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)．故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． (12分)一个步骤解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．本节检测1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )A.16B.17C.18D.19 2．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( )A．14米 B．15米 C．16米 D．17米3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )A．10米 B．102米 C．103米 D．106米4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )A．102海里 B．103海里 C．202海里 D．203海里6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.自我反思。
2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业24课件文新人教A版
(2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4， 又 a>0，所以解得 a＝2，所以 S△ABC＝12absinC＝ 3，所以△ABC 的面积为 3。
能力提升组
13．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 S△
ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋c bcosA＝2cosC，则 c 等于(
12．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0。
(1)求角 C 的大小； (2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积。
解 (1)因为 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0， 所以由正弦定理可得 2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0， 所以 2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0， 即 2cosCsinB＋sinB＝0， 又 0°<B<180°，所以 sinB≠0，所以 cosC＝－12， 又 0°<C<180°，所以 C＝120°。
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析 由已知11＋＋ccooss22CB＝22ccooss22CB＝ccooss22BC＝bcccoossCB，所以ccoossCB＝bc或ccoossCB ＝0，即 C＝90°或ccoossCB＝bc。当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形。当ccoossCB＝ bc时，由正弦定理，得bc＝ssiinnBC，所以ccoossCB＝ssiinnBC，即 sinCcosC＝sinBcosB， 即 sin2C＝sin2B。因为 B，C 均为△ABC 的内角，所以 2C＝2B 或 2C＋2B ＝180°，所以 B＝C 或 B＋C＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 故选 D。
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定 理的、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了 (100＋50t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 12 d ＝(100＋50t) ＋(130t) －2×130t×(100＋50t)×13
2 2 2
＝200(37t2－70t＋50)， 1 040 因 0≤t≤ 130 ，即 0≤t≤8， 35 故当 t＝37(min)时，甲、乙两游客距离最短． BC AC (3)由正弦定理sin A＝sin B，
数学
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结束
AC 1 260 5 得 BC＝ ×sin A＝ × ＝500(m)． sin B 63 13 65 乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min， 500 710 1 250 625 由题意得－3≤ v － ≤3，解得 ≤v≤ ， 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min， 乙步行的
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6．解析：由题意得 sin2A<sin2B＋sin2C， 再由正弦定理得 a2<b2＋c2，即 b2＋c2－a2>0. b2＋c2－a2 则 cos A＝ 2bc >0， π ∵0<A<π，∴0<A<2. π 又 a 为最大边，∴A>3. 因此得角 A 答案：D
结束
11．解析：如图所示，根据题意可知 AC＝10，∠ACB ＝120° ，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇， 则 AB＝21t， BC＝9t， 在△ABC 中，根据余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos 120° ，所以 1 21 t ＝10 ＋81t ＋2×10×9t×2，即 360t2－90t－100＝0，解得
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2019·惠州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．(2019·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．(2019·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－125．(2019·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．(2019·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.9．(2019·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2019·揭阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝1，A ＋C＝2B ，△ABC 的面积S ＝334.(1)求b 的长； (2)求cos 2C 的值．11．(2019·广州统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB ·AC 的值12．(2019·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .1．(2019·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．(2019·珠海调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．(2019·深圳调研)已知函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若B ＝2A 且b ＝2af ⎝⎛⎭⎫A －π6，求角C 的大小．答 案课时跟踪检测(二十四)A 级1．选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．选B 由1＋tan A tan B ＝2cb和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab<0，所以C 是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．选D 由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ， ∵sin B ≠0，∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.7．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin Aa ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．解：(1)∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，∵S ＝12ac sin B ＝334，∴c ＝2Sa sin B ＝2×3341×32＝3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋9－6×12＝7，∴b ＝7.(2)由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴sin C ＝c sin Bb ＝3×327＝32114，∴cos 2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×⎝⎛⎭⎫321142＝－1314.11．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1. 12．解：(1)证明：在△ABC 中， 由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74. B 级1．选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．解：(1)f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin x ＋32cos x ＋12sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )的最大值为 3.(2)因为b ＝2af ⎝⎛⎭⎫A －π6，由(1)和正弦定理， 得sin B ＝23·sin 2A .又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ， 即sin A cos A ＝3sin 2A ，而A 是三角形的内角，所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ，tan A ＝33，所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π2.。
人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业24 正弦定理和余弦定理(含答案)
课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725 B ．－725 C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ． 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ． ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45， ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，② 由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463 B ．4 C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ， 所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，①由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab5＝4， ∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°. 由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12， 因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°， 此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6.解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ， ∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC→＞0知，B 为钝角， 又asin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得， sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝ 23sin A cos B ＋23cos A sin B ，即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ， 从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号， ∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3.解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ， ∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233； 当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3. 综上可知△ABC 的面积为3或233.法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3. 综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ， ∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
课时作业24正弦定理和余弦定理
课时作业(二十四) 正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2014·北京西城期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案：D解析：由正弦定理，得1sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°， 故应选D.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B ．22 C ．12D ．－12答案：C解析：因为a 2＋b 2＝2c 2，所以由余弦定理可知，c 2＝2ab cos C ，cos C ＝c 22ab ＝12×a 2＋b 22ab ≥12.故应选C.3．(2015·德州模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的面积等于( )A.32 B ．34 C ．32或34D ．32或 3 答案：C解析：由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B， 可解得sin C ＝32， 由题意知∠C 有两解． 当∠C ＝π3时， ∠A ＝π2，此时S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32；当∠C ＝2π3时，∠A ＝π6，此时S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝34.故应选C.4．(2015·合肥质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .若a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．3B ． 2C ．2D ． 3答案：A解析：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32⇒A ＝5π6，又a ＝3，故S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，于是当B ＝C 时取得最大值3，故应选A.5．(2015·潍坊模拟)在△ABC 中，内角A ，B 的对边分别是a ，b ，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案：C解析：解法一：∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 解法二：∵cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac ＝ba，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)． ∴a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4. 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.即△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 故应选C.6．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15，∴b ＝5或b ＝－135.又∵b ＞0，∴b ＝5. 故应选D. 二、填空题7．(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sinB ＝3sinC ，则cos A 的值为________．答案：－14解析：由已知及正弦定理，得2b ＝3c .因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.8．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 答案：2 3解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以4sin B ＝23sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C＝2 3.9．锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝2∠A ，则ca 的取值范围是________．答案：(2，3)解析：锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝2∠A ， ∴0<2∠A <π2，且π2<3∠A <π.∴π6<∠A <π4， ∴22<cos A <32. 由正弦定理可得c a ＝sin 2A sin A ＝2cos A ，∴2<2cos A <3，即2<ca< 3.10．(2015·德州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B ．若BA →·BC →＝2，b ＝22，则△ABC 的形状是________．答案：等腰三角形 解析：由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 又b cos C ＝3a cos B －c cos B ，∴sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， 即sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， ∴sin A ＝3sin A cos B ， 又sin A ≠0，∴cos B ＝13.由BA →·BC →＝2，得ac cos B ＝2， 又cos B ＝13，∴ac ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝22， 可得a 2＋c 2＝12， ∴(a －c )2＝0，即a ＝c ， ∴a ＝c ＝ 6.故三角形ABC 为等腰三角形． 三、解答题11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3.(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴b 2＋c 2＝2bc .∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．12．(2014·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解：(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)， 得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.13．(2015·济南一模)已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由m ⊥n 得m·n ＝0， ∴2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)∵f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋1＝3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， ∴A ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z .∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋c 2－bc ， ∴4＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.。
2021年高考数学大一轮复习 正弦定理和余弦定理课时跟踪检测(二十四)理(含解析)
2021年高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课时跟踪检测（二十四）理（含解析）一、选择题1．(xx·昆明调研)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.36D.382．(xx·贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定4．(xx·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )5．(xx·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π66．(xx ·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4二、填空题7．(xx·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝ ________.8．(xx·苏北四市联考)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．9．(xx·云南第一次检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于________．10．(xx·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A的值为________．三、解答题11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0.(1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．12．(xx·江西七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2·＝－27.(1)求cos B 的值；(2)求AC的长度．B卷：增分提能1．(xx·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．2．(xx·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C ＋22cos C＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2a，△ABC的面积为22sin A sin B，求sin A及c的值．3．(xx·湖北部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝π3，a＋b＝λc(其中λ>1)．(1)若λ＝3时，证明：△ABC为直角三角形；(2)若·＝98λ2，且c＝3，求λ的值．答案A卷：夯基保分1．选B 由正弦定理得sin B＝2sin A cos B，故tan B＝2sin A＝2sin π3＝3，又B∈(0，π)，所以B＝π3，又A＝B＝π3，则△ABC是正三角形，所以S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×1×32＝34.2．选C 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x>0)．则cos C＝5x2＋11x2－13x22·5x·11x＝－23x2110x2<0，∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．3．选C 由正弦定理得bsin B ＝csin C，∴sin B＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．4．选C 由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①由余弦定理及C＝π3可得a2＋b2－c2＝ab.②所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝12ab sinπ3＝12×6×32＝332.5．选A 因为3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－35a＝75a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cosC，得49＝25＋9－2×3×5cos C，解得cos C＝－12，所以C＝2π3.6．选C 根据正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，得c－bc－a＝sin Asin C＋sin B＝ac＋b ，即a2＋c2－b2＝ac，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，故B＝π3，故选C.7．解析：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝32，又B∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，5π6，且b>a，所以B＝π3或2π3.答案：π3或2π38．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：79．解析：依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A＝b ＋b sin B＝16 2.答案：16210．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得cos A －3cos C cos B ＝3c －ab＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C sin A ＝3.答案：311．解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C .又sin A ≠0，得cos C ＝2.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.12．解：(1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74. ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A ·sin C －cos A ·cos C ＝916.(2)∵AB sin C ＝BCsin A ，∴AB ＝32BC .∵2·＝－27，cos B ＝916，∴||||＝24， ∴BC ＝4，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos BB卷：增分提能1．解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时等号成立．∴cos B的最小值为12.2．解：(1)∵cos 2C＋22cos C＋2＝0，∴2cos2C＋22cos C＋1＝0，即(2cos C＋1)2＝0，∴cos C＝－2 2 .又C∈(0，π)，∴C＝3π4.(2)∵c2＝a2＋b2－2ab cos C＝3a2＋2a2＝5a2，∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴ab sin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得：⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2， 解得c ＝1.3．解：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32， sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32， 从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，B ＝π6或B ＝π2. 若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形；若B＝π2，△ABC亦为直角三角形．(2)若·＝98λ2，则12a·b＝98λ2，∴ab＝94λ2.又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2ab cos C，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，故9λ2－274λ2＝9，94λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.*n332740 7FE4 翤20323 4F63 佣39522 9A62 驢_K 31123 7993禓39076 98A4 颤 _。
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用(普通高中、重点高中共用)
课时跟踪检测（二十四） 正弦定理和余弦定理的应用普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD 为( )A ．24 mB ．12 5 mC ．127 mD ．36 m 解析：选C 设塔高CD ＝x m ，则AD ＝x m ，DB ＝3x m.又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°，842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°，解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．6.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A 在△ACD 中，由余弦定理得：cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230.cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7. 7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)．答案：5 68.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile 的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min 后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB， 所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106， 所以海轮航行的速度为10630＝63(n mile/min)． 答案：639.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°， ∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)． 答案：3 210．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：100 6B 级——中档题目练通抓牢1．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．5 kmB ．10 kmC ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C 作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15， 由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.2．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝⎛⎭⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β， 由tan β＝H 60，tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝h 60， 得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5 mB ．507 mC ．5011 mD ．5019 m解析：选B 设该扇形的半径为r ，连接CO .由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，由余弦定理得，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2， 解得r ＝507.4.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠DBA ＝135°，∠ADB ＝30°.在△ABD 中，根据正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD， 即50sin 30°＝BD sin 15°， 所以BD ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD 中，由正弦定理得CD∠DBC ＝BD sin ∠BCD ， 即25sin 45°＝25(6－2)sin ∠BCD，解得sin ∠BCD ＝3－1. 所以cos θ＝cos(∠BCD －90°)＝sin ∠BCD ＝3－1.答案：3－15.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v .在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝AD cos 60°＝200. 在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6， 所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.66.一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛 C .(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，求∠CAB 的大小．解：(1)由题意，在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝23－2，BC ＝4，根据余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC ＝2 6.故AC 的长为2 6 n mile.(2)根据正弦定理得，sin ∠BAC ＝4×3226＝22， 所以∠CAB ＝45°.7.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝100 3.连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100 3.在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∴BQ ＝1005，cos θ＝55. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA ＝100 5.即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 m.C 级——重难题目自主选做如图所示，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20 km 和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x . 因为cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得 sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， 所以PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421(km)．故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421 km.。
课时跟踪检测 正弦定理和余弦定理(重点高中) (1)
课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 为( ) A.3－1 B ．1 C ．2D.3＋1解析：选B 因为A ＝45°，C ＝105°， 所以B ＝180°－C －A ＝30°， 由正弦定理得AC ＝BC sin Bsin A＝2×1222＝1.2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：28．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BD CD ＝6.答案：69.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B2，即sin B ＝4(1－cos B)， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做1.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．2 3C ．4D ．3 3解析：选B 因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C＝1，所以C ＝60°.因为S △ABC ＝23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3. 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729C. 2D.928解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cos B ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sin B ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56544.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2 5，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，解得sin ∠ACD ＝255.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝55. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.由正弦定理得，AD sin ∠ACD＝CDsin A， 即sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝55. 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，即BC ＝AC ·sin A sin B ＝4.答案：45.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°.(1)若c ＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若a ＝2b ，求tan A .解：(1)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝1， ∴a 2＋b 2＋ab ＝1≥2ab ＋ab ＝3ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴ab ≤13，故S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤312，即△ABC 面积的最大值为312. (2)∵a ＝2b ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B ， 又C ＝120°，故A ＋B ＝60°，∴sin A ＝2sin(60°－A )＝3cos A －sin A ， ∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝32. 6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5， 所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理的应用
课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．102海里 B．103海里C．203海里 D．202海里3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )A．8 km/h B．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h4．(2014·四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m6．(2015·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2二、填空题7．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.8.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________ m.10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1.4，3＝1.7)三、解答题11．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．12.(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案1．选D 由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．选A 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．3．选B 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.选B.4．选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan45°＝2－3，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C.5．选A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC ＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.6．选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.7．解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：1038．解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，∴BS＝AB·sin30°sin 45°＝3 2.答案：329．解析：如图，在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝30－103sin 15°＝30－103sin45°－30°＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得MCsin 45°＝206sin 30°，解得MC＝40 3.在Rt△CMD中，CD＝403×sin60°＝60 m，故通信塔CD的高为60 m.答案：6010．解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC中，BCsin A＝ABsin∠ACB，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． ∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 65011．解析：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理，得BCsin∠CAB＝ABsin 120°，所以sin∠CAB＝6×3214＝3314，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．12．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝12 13，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时， 甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A＝AC sin B，得BC ＝AC sin B×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ， 由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控精品文档实用文档 制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2019·惠州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．(2019·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．(2019·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－125．(2019·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．(2019·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.9．(2019·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2019·揭阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝1，A ＋C＝2B ，△ABC 的面积S ＝334.(1)求b 的长； (2)求cos 2C 的值．11．(2019·广州统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值12．(2019·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .1．(2019·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．(2019·珠海调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．(2019·深圳调研)已知函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若B ＝2A 且b ＝2af ⎝⎛⎭⎫A －π6，求角C 的大小．答 案课时跟踪检测(二十四)A 级1．选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．选B 由1＋tan A tan B ＝2cb和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．选D 由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ， ∵sin B ≠0，∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.7．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．解：(1)∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，∵S ＝12ac sin B ＝334，∴c ＝2Sa sin B ＝2×3341×32＝3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋9－6×12＝7，∴b ＝7.(2)由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴sin C ＝c sin Bb＝3×327＝32114，∴cos 2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×⎝⎛⎭⎫321142＝－1314.11．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.12．解：(1)证明：在△ABC 中， 由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74. B 级1．选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．解：(1)f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin x ＋32cos x ＋12sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )的最大值为 3.(2)因为b ＝2af ⎝⎛⎭⎫A －π6，由(1)和正弦定理， 得sin B ＝23·sin 2A .又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ， 即sin A cos A ＝3sin 2A ，而A 是三角形的内角，所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ，tan A ＝33，所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π2.。