2019年上海高考数学试卷

上海教育考试院保留版权2019年高考数学第1页（共4页）

2019年普通高等学校招生全国统一考试

上海

数学试卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟．试卷共6页，满分150分，答题纸共2页．

2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．

3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = _____________．

2．已知z ∈C ，且满足

1

i 5

z =-，求z =_____________．3．已知向量(1,0,2)a = ，(2,1,0)b = ，则a 与b

的夹角为_____________．

4．已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为_____________．

5．已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

，求23z x y =-的最小值为_____________．

6．已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3

(2

f =_____________．7．若,x y +∈R ，且

123y x +=，则y

x

的最大值为_____________．8．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =_____________．

9．过抛物线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与抛物线24y x =交于A 、B ，A 在

B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-

，则λ=_____________．

10．某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是_____________．

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11．已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*

n ∈N ），若(,)n n P n a (3)n ≥均在双曲线22

162

x y -=上，

则1lim ||n n n P P +→∞

=_____________．

12．已知2

()|

|1

f x a x =--（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a =_____________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d

可以是（

）．

（A ）(2,1)

-（B ）(2,1)

（C ）(1,2)

-（D ）(1,2)

14．一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（

）．

（A ）1

（B ）2

（C ）4

（D ）8

15．已知ω∈R ，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a ∈R ，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（

）．（A ）

2π

（B ）

3

π（C ）

4

π（D ）

5

π16．已知tan tan tan()αβαβ⋅=+，有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（

）．（A ）①②均正确

（B ）①②均错误

（C ）①对②错

（D ）①错②对

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知

2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．

（1）求直线1AC 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求点A 到平面1A MC

的距离．

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18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知1

()1

f x ax x =+

+，a ∈R ．（1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集；（2）若()f x 在[1,2]x ∈上有零点，求a 的取值范围．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，A B C --为海岸线，AB 为线段， BC

为四分之一圆弧，39.2BD =km ，︒=∠22BDC ，︒=∠68CBD ，︒=∠58BDA ．（1）求 BC

的长度；（2）若40AB =km ，求D 到海岸线A B C --的最短距离．（精确到0.001km

）