1-绪论

补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 m× n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 A = 21 m×n ⋯ ⋯ am1 am2 ⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ amn
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、 a22……ann 称为对角元素。 (3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。 (4)对于 n×n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零， 称为对角矩阵。如：
二、矩阵的转置
对于任意矩阵Cmn:
c11 c 21 C = m×n ⋯ cm1 c12 ⋯ c1n c22 ⋯ c2n ⋯ ⋯ ⋯ cm2 ⋯ cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。 用：
c11 c 12 T C = n×m ⋯ c1n c21 ⋯ cn1 c22 ⋯ cn2 ⋯ ⋯ ⋯ c2n ⋯ cnm
谷神星（1 Ceres） 谷神星（ ）
2. 近代平差理论的发展
相关平差：1947年，铁斯特拉（T.M.Tienstra）提出， 相关平差：1947年 铁斯特拉（ .M.Tienstra）提出， 70年代后广泛应用 70年代后广泛应用 顾及随机参数的最小二乘滤渡、推估和配置； 1969年，克 顾及随机参数的最小二乘滤渡、推估和配置； 1969年 拉鲁普（ .Krarup）提出，70年代后广泛应用 拉鲁普（T.Krarup）提出，70年代后广泛应用 秩亏平差：1962年，迈塞尔（P.Meiss）提出，70年代 秩亏平差：1962年 迈塞尔（ .Meiss）提出，70年代 后广泛应用 方差—协方差估计理论研究、应用（80年代）； 方差—协方差估计理论研究、应用（80年代）； 年代 统计假设检验理论的研究、应用； 统计假设检验理论的研究、应用； 粗差探测法和可靠性理论：60年代后期，荷兰巴尔达 年代后期， 粗差探测法和可靠性理论：60年代后期 W.Baarda）教授提出，近年形成粗差定位、 （W.Baarda）教授提出，近年形成粗差定位、估计等理 论。
A A 11 21 A A 22 A* = 12 ⋯ ⋯ 1 2 An A n ⋯ A 1 n ⋯ A 2 n , ⋯ ⋯ ⋯ A nn A−1 = 1 * A A
3 1 1 8 −1 − 2 1 4 2 = 1 −1 8 − 5 21 1 2 3 − 2 − 5 11
−1
矩阵求逆方法
a11 a 21 A = n×n ⋯ an1 a11 a 21 ⋯ an1 1 0 ⋯ b n 0 1 b2n ⋯ bnn
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann
ɶ ɶ L = L1 n ,1
n ,1
T
ɶ L2
⋯
ɶ T Ln
T
L = L1
L2 ⋯ Ln
5、观测误差的分类和处理
分 类
误差 粗差：错误 粗差： 系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大 系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测， 符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化， 小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。 系统误差。 偶然误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大 偶然误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测， 符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律， 小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从 大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
§1-2 测量平差学科的研究对象
测量平差理论和方法是测绘学科中测量数据处 测量平差理论和方法 是测绘学科中测量数据处 理和质量控制方面重要的组成部分，并在现代 GPS( 全球定位系统) GIS（ 地理信息系统） GPS( 全球定位系统 ) 、 GIS （ 地理信息系统 ） 、 RS （遥感）及其集成的高新测量技术以及高精度数字化 遥感） 数据采集和处理中得到广泛应用。 数据采集和处理中得到广泛应用。其研究对象是含有 观测误差的观测值，依据某种最优化准则， 观测误差的观测值，依据某种最优化准则，研究由一 系列带有观测误差的测量数据， 系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估 值，及其精度的理论和方法。 及其精度的理论和方法。
只有有了多余观测才能产生测量差异，从而发现观测误差。 只有有了多余观测才能产生测量差异，从而发现观测误差。 通常： 通常：n — 观测值个数 t — 必须观测值个数 r — 多于观测值个数
r = n− t = 2 − 1 = 1
多余观测
平面三角形的形状： 平面三角形的形状： B 必要观测：α 、β 必要观测： 多余观测：γ 多余观测： 差异= 差异 180 − (α + β + γ )
§1-1 观测误差
1、测量差异与观测误差
测量差异来源于观测误差 测量差异来源于观测误差
2、产生观测误差的原因
观测受观测条件 观测受观测条件的影响 观测条件的影响
3、如何发现观测误差
采用多余观测 采用多余观测法发现观测方向 对边长、 值进行双观测： 值进行双观测：
89°08′42″ 89°08′42″ 89°08′48″ 89°
B
358.168m 358.170m
40°38′36″ 40°38′36″ 40°38′42″ 40°
290.118m 290.121m
A
各双观测之间均存在差异
C
返回
观测条件
观测值如何获取? 观测值如何获取?
观测条件 观测者采用一定的仪器在一定的外界环境中测取 观测者采用一定的仪器在一定的外界环境中测取 采用一定的仪器在一定的外界环境 技术水平 工作态度 精密度 误 差 温度、湿度 温度、 风力 等
a11 0 0 a 22 A = m×n ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 = diag(a11 ⋯ ⋯ ⋯ amn ⋯
a22
⋯ann )
(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵， 一般用E、I表示。
（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。
矩阵的基本运算：
返回
观测条件
观测条件对观测成果产 生影响， 生影响，不可避免产生 观测误差 观测条件较好则观测质 量较高， 量较高，观测条件较差 则观测质量较低， 则观测质量较低，观测 条件相同则观测质量相 同。
返回
多余观测
两点间距离： 两点间距离： B 必要观测：S1 必要观测： 差异=S 差异 1-S2 A 多余观测：S2 多余观测：
误差理论与测量平差基础
主讲： 雷斌 主讲：
第一章 绪 论
观测数据总是不可避免地带有误 差。 测量平差研究误差处理的基本理 基本知识和基本方法。 论、基本知识和基本方法。
本章主要内容
§1-1 观测误差 §1-2 测量平差学科的研究对象 §1-3 测量平差的简史和发展 §1-4 本课程的任务和内容

（2）初等变换法：
0 ⋯ 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯⋮⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann ⋮ 0 0 ⋯ 1 a12 ⋯ a1n ⋮ 1 0 ⋯ 0 ⋮b b ⋯ b n 11 12 1 1 ⋯ 0 ⋮b21 b22 ⋯ b2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋮bn1 bn2 ⋯ bnn
∆ = ∆g + ∆s + ∆n
粗差 系统误差 偶然误差
5、观测误差的分类和处理
分 类
误差
∆ = ∆g + ∆s + ∆n
粗差 系统误差 偶然误差
处 理
粗 差: 重复观测 严格检核, 严格检核,发现后舍弃或重测 计算中发现 系统误差：采用适当的观测方法 系统误差： 校正仪器 计算加改正 系统误差补偿 偶然误差: 偶然误差: 采用测量平差的方法
B= A
− −1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行 列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为 奇异矩阵
矩阵的逆的性质
(1)( AB) = B A (2)( A ) = A −1 T −1 −1 T (3)( I ) = I (4)( A ) = ( A ) (5)对 矩 的 仍 对 矩 。 称 阵 逆 为 称 阵 (6)对角矩阵的逆仍为对角 矩阵且：
作业： 作业：
习题1 习题1－1 习题1 习题1－2 习题1 习题1－3 习题1 习题1－4 习题1 习题1－5
观测值中为什么存在观测误差？ 观测值中为什么存在观测误差？ 观测误差如何计算？ 观测误差如何计算？ 观测误差如何分类？如何处理？ 观测误差如何分类？如何处理？ 测量平差的任务是什么？ 测量平差的任务是什么？ 平差计算方法的发展分为那几个阶段？ 平差计算方法的发展分为那几个阶段？ 计算方法的发展分为那几个阶段
β
α
A
n=3 t =2
γ
C
返回
r = n−t = 3− 2 = 1
多余观测
符合导线： 符合导线：
A
β1
β0 β2
S1
D
1
S0
2
S2
β3
β4
S3
3
C
B
必要观测： β 0 β 1 β 2 , S0 S1 S 2 必要观测：
' ' 差异: 差异: ∆x = xC − xC , ∆ y = yC − yC ' ∆α = α CD − α CD
矩阵转置的性质：
(1)C = DT ,则：D = CT (2)( A ) = A
T T
(3)( A + B) = A + B
T T