二元一次不等式表示平面区域

？
学生联系平面内任意一点p(x,y)与圆的位关 系的判定，由距离公式得出： 若点在圆外 若点在圆内 学生可能会得出 对于直线上方则有x-y-6>0、下方则有x-y6<0（事实并非如此） •
试一试：设点P（x，y 1）是直线
x – y = 6上的点，选取点A（x，y
y
o
x
教 材 分 析 学 情 分 析 教 法 分 析
过 程 分 析
教材分析
1、教材的地位和作用
本节课位于人教版高中数学必修五第三章第3节线 性规划的第1课时，是在学生学习了不等式和直线方程 的基础上，对不等式、直线方程知识的深化和综合应 用。在教材中起到承上启下的作用，本节内容是融数、 形于一体，具有代数形式与几何形式的双重身份。老 教材将它安排在直线方程后学习，体现的是它与方程 的联系，而新教材将它与不等式的知识合在一起，凸 显的是通过数学的直观性进行学习，并为重要的不等 关系给出了相应的几何背景。本节内容是后续内容—— 简单的线性规划的基础，其掌握程度直接影响着线性 规划问题中可行域的确定，由此可见，作为基石的重 要地位不言而喻。
证明： A(x,y) y x–y=6 P(x0,y0) x 即x-y－6<x0-y0－6=0 ∴x-y－6<0 ∵x=x0 y＞y0 ∴x-y<x0-y0
O
4、归纳总结、揭示新知
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。 （2）在确定区域时，在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ， 从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的 区域。一般在C≠0时，取原点作为特殊点。 直线定界,特殊点定域 （3）注意所求区域是否包括边界直线
2、教学目标分析
新课标指出，在教学过程中应以知识技能为主线，渗透情感 态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。因 此，我将三维目标进行整合并确定为： （1）知识与技能目标：二元一次不等式（组）表示平面区 域。 （2）过程与方法目标：进一步巩固数形结合、分类讨论、 化归的数学思想，培养识图、画图的能力和探究问题的能 力。 （3）情感、态度与价值观：培养学生用联系的视角看待数 学，用数形结合的思想思考数学。 根据本节课在教材中的地位与作用，结合学情分析以及教学 目标，我确定本节课的教学重难点如下： （1）重点：二元一次不等式表示平面区域。 （2）难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面 区域在直线的哪一侧。
y
4 x x+4y―4=0
练习1： 画出下列不等式表示的平面区域： （1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）2ｘ＋５ｙ≥1０ Y （3）４ｘ－３ｙ≤１２ Y
Y
2
3 O （1）
X
2
O
X
O
5 （2）
3 X （3）
-4
平面区域的确定可采用 “直线定界，B的符号定域” 的方法。
例2 用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
通过本节的学习,学生会画出二元一 次不等式（组）所表示的平面区域。通 过二元一次不等式平面区域确定方法的 教学，使学生逐步领悟数形结合，化归、 集合的数学思想，培养学生识图、画图 的观察能力和联想能力，感悟探索问题 的方法。
如图，在直线x-y-6=0上取一点P(x0,y0)， 过点 p做平行于x轴的直线y=y0 ，在此直 线上点p左侧的任意一点（x，y）都有：
x–y=6
P(x0,y0) O
x
x<x0
且y=y0
故 x-y< x0-y0 即 x-y<6
有: x-y-6<x0-y0-6=0
因为点p为直线x-y-6=0上任意一点,故对于直线x-y-6=0左上方的 任意点(x,y),都有x-y-6<0 同理,对于直线右下方的任意一点(x,y),都有x-y-6>0
将(1)(2)(3)合在一起,得到分配资金应该满足的条件:
x y 25000000, 12 x 10 y 3000000, x 0, y 0.
• 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数 对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元 一次不等式(组)的解集.有序数对可以看成直角坐标平 面内点的坐标,于是,二元一次不等式(组)的解集就可以 看成直角坐标系内的点构成的集合.
、
下面研究一个具体的二元一次不等式 x – y < 6 的解集所表示的图形。 作出x – y = 6的图像—— 一条直线
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x – y = 6上的点
b)在直线x – y = 6左上方区域内的点 c)在直线x – y = 6右下方区域内
的点
y
6
O
左上方区域
-6
x
x–y=6
应画成实线。
②画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 ③熟记“直线定界、特殊点定域”或“直线定界、
B的符号定域”方法的内涵。
布 置 作 业
1. 课本习题 3.3 A组 2 2. B组 1
如图，求△PQR内任一点(x,y) 所满足的关系式。 y R(3,5) P(1,2) o x
Q(-3,4)
教学计划预评估
2、尝试探求，归纳猜想
想 一 想 ？
集合{x|x-6=0}表示什么图形？ 集合{x|x-6>0}表示什么图形？ 集合{（x，y）|x-y=6}表示什么图形？
猜一猜
点的集合{（x，y）|x-y＜6}表示什么图形？
引导学生类比圆将平面区域分成三部 分——圆内、圆上、圆外， 进行思考： 二元一次方程表示平面上的直线，类比圆 与平面的关系，直线也把平面分成了三部 分，——直线上、直线上方、直线下方。 从而学生形成了直线分平面成区域的概念。
y
0 x-2y=0
x 3x+y-12=0
不等式组所表示的平面区 域是各不等式所表示平面 区域的公共部分
练习2：
Y 1.画出下列不等式组表示的平面区域：
y x x 2 y 4 y 2
(1)
o
-2
4
x
Y
x 3 2 y x 3 x 2 y 6 3 y x 9
5、应用新知、练习巩固
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4， 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以，原点在x + 4y – 4 < 0 表示的平面区域内， 不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。 1
过程分析
教学流程图：
提出问题 创设情境
尝试探求 归纳猜想
交流合作 解决问题
小结作业 问题创新
应用新知 练习巩固
归纳总结 揭示新知
1、情境引入:
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000
元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个
人贷款中获益10%.那么,信贷部应刻如何分配资
2），使它的坐标满足不等式x
y
x–y=6 x
–y<
O
6，请完成下面的表格，
横坐标 x
–3 -9
–2
–1
0
1
2
3
点 P 的纵坐标 y1
点 A 的纵坐标 y2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
思考： (1) 当点A与点P有相同的横坐标时， y x–y=6 x
它们的纵坐标有什么关系？ y2>y1 (2) 直线x – y = 6左上方点的坐标 与不等式x – y < 6有什么关系？
学情分析 认知状态：已有直线方程和不等式概念的基础，但不 善于运用图形仍然是他们的一个弱点。本节内容作 为新的知识，对于数形结合，化归等思想的要求较 高，在接受上有一定的难度，因此，教师在讲解分 析时一定要详细，着重。 心理特征：高一学生已初步形成数形结合的数学思维， 其逻辑思维已从经验型逐步向理论型发展，观察能 力、抽象能力也随着迅速提高。 抓住这些特点，在教学设计中充分利用已学知 识，引导学生合作学习、交流讨论、自主探究、归 纳总结得出结论。
金呢？
这个问题中存在一些不等关系,我们应该用什么不等式模型来刻 画它们呢? • 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元.由于资 金总数为25 000 000元,得到 • x y 25000000 (1) • 由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收为10%,共创收30 000元 以上,所以 • (12%) x (10%) y 30000. • 即 12 x 10 y 3000000. (2) • • 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金总数额都不能是 负值,于是 • (3) x 0, y 0.
3
(2)
O 2 3 X
2.由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所 围成的平面区域如下图：
则用不等式可表示为:
Y
o
2
4
x
y x x 2 y 4 y 2
6、小结作业、问题创新
⑴由学生归纳本节学习内容 ⑵应注意的几个问题
①若不等式中不含等号，则边界应画成虚线，否则
教学方法和教学手段
根据布鲁诺的建构主义理论，教学的一切活动都必须以强调学 生的主动性和参与性为出发点。因此，我采用启发式教育， 以问题为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题， 抛砖引玉，启发学生发现二元一次不等式所表示的平面区域， 并能通过图形准确判断二元一次不等式所表示的平面区域在 直线的哪一侧。同时坚持讲练结合的教学风格，倡导学生主 动参与、积极思考，探究发现。 1 、教学方法： 创设问题情境，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与 提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体 的探究性学习活动。 2、教学手段： 以直观呈现教学素材 ，实现计算机辅助教学。采用实物投影， 对课堂练习进行反馈与校正