489_数学分析(第3版)下册 18.5 第十八章 隐函数定理及其应用 总练习题
数学分析刘玉琏18-2
Q0 ( x0 , y0 )的某一邻域U (Q0 )内的两个隐函数u f ( x , y ), v g( x , y ) 使得
第十八章隐函数定理及其应用§2隐函数组
1 u0 f ( x0 , y0 )，v0 g( x0 , y0 )且当( x , y ) U (Q0 )时 （x , y, f ( x , y ), g( x , y )） U （P0） 且 F （x , y, f ( x , y ), g( x , y )） 0， G （x , y, f ( x , y ), g( x , y )） 0 2 f ( x , y ), g( x , y )在U (Q0 )内连续; 3 f ( x , y ), g( x , y )在U (Q0 )内有连续的一阶偏导数，且 Fu 1 u 1 ( F , G ) v 1 (F , G ) , , Fu Fv Gu x J ( x , v ) x J ( u, x ) Gu Gv u 1 ( F , G ) v 1 (F , G ) , . y J ( y , v ) y J ( u, y )
Fx Gx
第十八章 隐第十八章隐函数定理及其应用§2隐函数组
一 隐函数组概念(P152)
定义( P152) 设F ( x , y , u, v ), G ( x , y , u, v )为定义在区域V R 4上 的四元函数，若存在平面区域D，对于D中每一点( x , y ), 分别存在区 间J 和K 上惟一的一对值u J，v K，它们与x , y一起满足方程组 F ( x , y , u, v ) 0， (1) G ( x , y , u, v ) 0， 则称由方程组(1)确定了两个定义在D R 2上，值域分别落在J 和K 内的函数u f ( x , y ), v g( x , y )为由方程组(1)所确定的隐函数组.
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第十八章至第二十章(圣才出品)
（18-2）
则可使上述切平面存在，并满足与 z＝0 相交成直线的要求．
图 18-1
由此可见，条件（18-2）对于隐函数的存在性是很重要的．
3．隐函数定理
（1）隐函数存在惟一性定理
若函数 F（x，y）满足下列条件：
①F 在以
为内点的某一区域
上连续；
②
（通常称为初始条件）；
③F 在 D 内存在连续的偏导数
与之相对应，由此所产生的新映射称为映射 T 的逆映射（逆变换），记作 ，即
或 亦即存在定义在 B′上的一个函数组
把它代入（18-4）而成为恒等式：
这时又称函数组（18-5）是函数组（18-4）的反函数组．
（2）反函数组定理
设函数组（18-4）及其一阶偏导数在某区域
上连续，点
点，且
（18-5） （18-6） 是 D 的内
则在点
的某一邻域
上存在惟一的一组反函数（18-5），使得
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且当
时，有
以及恒等式（18-6）此外，反函数组（18-5）在
上存在连续的一阶偏导数，且
三、几何应用 1．平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程
（18-7）
，在
上，方程组（18-3）
惟一地确定了定义在点
的某一（二维空间）邻域
上的两个二元隐函
数
使得
且当
时，
（2） （3）
在
上连续；
在
上有一阶连续偏导数，且
3．反函数组与坐标变换 （1）设函数组
（18-4）
是定义在 xy 平面点集 平面上惟一的一点
上的两个函数．对每一点
第十八章隐函数定理及其应用共92页
§8-5 隐函数的 微分法
每与一一个元方函程数都的能情形类x2似，y2多1元函0
也有隐函数。确定一个隐函数吗？
如果在方程式 F(x,y,z)0中， (x此,y外) ， 隐 函R数2时不，一相定应都地能总显有化满。足 该方程的唯一的 z 值存在 , 则称该方 程在 内确定隐函数 zf(x, y)。
dGz dz dxz d x
G x0
当 (F,G) 0 时，方程组有唯一解：
(y, z)
dy
dx
(F ,G) (x, z)
(F ,G) ( y, z)
dz
dx
(F ,G) ( y, x)
(F ,G) ( y, z)
这样我们实际上已找到了求方程组确 定的隐函数的偏导数的公式(之一)。
F F
二、由一个方程确定
的隐函数的求导法
定理 2 (隐函数存在定理)
设 1. F (x ,y ,z) C 1 (U x 0 ,y 0 (,z0 );)
2. F(x0,y0,z0)0;
3. F z(x0,y0,z0)0,
则方程 F(x,y,z)0在 U(x(0, y0))内唯一 确定一个函数 zf(x,y) C 1(U x0,y (0)) 且 z0f(x0,y0),F(x,y,f(x,y))0。
xn
Fn x1
F n
Fn
x2
xn
当所出现的函数均有一阶连续偏导数 时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1. (u1,u2,,un)(x1,x2,,xn)1. (x1,x2,,xn)(u1,u2,,un)
2. (u1,u2,,un) (t1,t2, ,tn) (u1,u2,,un) (x1,x2,,xn). (x1,x2,,xn) (t1,t2,,tn)
第十八章 隐函数定理及其应用
∂z f ′ + yz ⋅ f2′ = 1 ∂x 1 − f1′ − xy ⋅ f 2′
x3 + y 3 + z 3 = 3 xyz
x ， 所确定的隐函数，求 u ′ ． x 解：在方程两端对 求导，其中视 z 为 x, y 的函数，
′ 3 x 2 + 3 z 2 ⋅ z′ x = 3 yz + 3 xy ⋅ z x ，
z′ x =
由此得
x 2 − yz xy − z 2 ．
⎞ ⎟ ⎠．
− a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
a − y2
2
，
d2 y = d x2 从而
− a2 − y2 ⋅
dy y2 dy + ⋅ 2 2 dx a − y dx a2 y = a2 − y2 (a 2 − y 2 )2
- 2 -
∂z ∂z (5) x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 = 0 ，求 ∂x ， ∂y ； 2 2 2 解：设 F ( x, y, z) = x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 ，则
=
y a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
−ay 2 − a 2 a 2 − y 2 − a (a 2 − y 2 ) + ay 2 + y 2 a 2 − y 2
第十八章 隐函数定理及其应用
第十八章 隐函数定值及其应用§1 隐函数教学目的 掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法． 教学要求(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法． (2)掌握隐函数定理的证明． 教学建议(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 教学程序一、 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. （一）、隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.（二）、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性； 2 隐函数的解析性质. 二、 隐函数存在条件的直观意义: 三、 隐函数定理:定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:1 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ;2 ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 )3 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ;4 ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域Y (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得1 )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x Y (0P )且()0)( , ≡x f x F .2 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 .例1 设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++证 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧===uvz uw y vw x 222 确定了函数组 ⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(w v u z z w v u y y w v u x x ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=udv vdu zdz udw wdu ydy vdw wdv xdx 222， 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=dv zu du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 222222 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0 2 2 2 0 2 2 2 0 z uz v y u yw x v x w 将函数组代入方程),,(),,(w v u F z y x f =，得关于变元w v u ,,的方程),,()),,(),,,(),,,((w v u F w v u z w v u y w v u x f =，在这方程两边分别对w v u ,,求偏导，得 u z y xF u z f u y f u x f =∂∂+∂∂+∂∂, v z y x F v z f v y f v x f =∂∂+∂∂+∂∂, w z y x F wz f w y f w x f =∂∂+∂∂+∂∂, 将上面三式分别乘以w v u ,,后再相加，得 ++z uv f y uw f z y22zuvf x vw f z x 22+y uw f x vw f y x 22++,w v u wF vF uF ++=.将vw x =2，uw y =2，uv z =2代入即得w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++.例2 若),(y x f z =有连续二阶偏导数，满足方程222222)(y x z yz x z ∂∂∂=∂∂∂∂，证明：若把),(y x f z =中y 看成z x ,的函数，则它满足同样形状的方程 222222)(z x y z y x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 证 由),(y x f z =确定y 是z x ,的函数，则有)),(,(z x y x f z =，方程两边分别对z x ,求偏导，得xyy f x f ∂∂∂∂+∂∂=0, （1） zyy f ∂∂∂∂=1 , （2） (1)式再分别对z x ,求偏导，得22222222)(20x yy f x y y f x y y x f xf ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂= , (3) z x yy f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=22220, （4） (2)式再对z 求偏导，得22222)(0z yy f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂= , （5） 由（3）（5）式22222)(z y y f x f ∂∂∂∂∂∂])(2[22222222x yy f x y y f x y y x f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂= ])(2[)(22222222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂= ])(2[)()(222222222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂= (由（5）式)]2[)(2222222222z yx y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂=, 由（4）式222222)()(zx y y f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂z x yy f z y x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=222222222)()( ]2[)(2222222z x yy f z y x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=,因为222222)(y x z yz x z ∂∂∂=∂∂∂∂，则]2[)(2222222222zyx y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂ ]2[)(2222222z x y y f zy x y y f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=, 结合（4）式得22222)(y f z y x y ∂∂∂∂∂∂][2)(22222222z x yy f z y x y y f z y y x f z y x y y f z x y y f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂= 22)(zx y y f ∂∂∂∂∂=. 即 222222)(z x y z y x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 例3 设 ⎪⎩⎪⎨⎧===0),(0),,(),,,(t z h t z y g t z y x f u ，问什么条件下u 是y x ,的函数啊？求y u x u ∂∂∂∂,。
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
数学分析刘玉琏18-4
x yz V 0, V 得唯一稳定点 x y 2 z 2 3 , 4 V 3 , 长、宽 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 4 为高的 2 倍时，所用材料最省.
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
例 某商品的生产函数为 Q 6 K L ，其中Q为产品产量，K 为资本投入量，L为劳动力投入量；又知资本投入价格为4，劳动 力投入价格为3，产品销售价格为 p = 2 . 若投入总额为60个单位时, 求此时取最大利润时的投入及最大利润. 解 由题意知：成本函数为 C(K,L) = 4K+3L，
xz 2 x 2 z z y y xz 2 1 2 xz 3 Fyy xz . xz y 3 2 y y y y
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
当 x y z 3r 时,
2 Fxx 6r Fyy , Fxy 3r , Fxx Fyy Fxy 36r 2 9r 2 27r 2 0. 由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
引入辅助函数 L f ( x , y ) ( x , y )
则稳定点满足:
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格朗日 函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值 点，并能得出是最大值点还是最小值点.
第十八章 隐函数定理及其应用
§4 条件极值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
极值问题
无条件极值:
条件极值:
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
第 十 八 章 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 - 河南教育学院
2o f ( x ) 在 ( x0 − α , x0 + α ) 上连续． 上连续．
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既是充分条件, 注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件 又 是一组十分重要的条件. 例如： 是一组十分重要的条件 例如： ① F ( x , y ) = y 3 − x 3 = 0 , F y ( 0,0 ) = 0 , 在点 ( 0 , 0 ) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y = x . ， 双纽线), ② F ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) 2 − x 2 + y 2 = 0 (双纽线 在 双纽线 点 ( 0 , 0 ) 同样不满足 如图18－ 条件 (iv); 如图 －3
x 2 + y 2 + 1 = 0 显然不能确定任何隐函数． 例如 显然不能确定任何隐函数．
注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的
x 2 + y 2 = 1 可确定如下两 取值范围． 取值范围．例如由方程
个函数： 个函数：
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y = f1 ( x ) ( =
1 − x2 ),
x ∈ [−1 , 1 ], y ∈ [ 0 , 1 ] ;
Fx ( x , y ) f ′( x ) = − , ( x, y) ∈ I × J . Fy ( x , y )
( 注: 其中
I = ( x0 − α , x0 + α ) 与 J = ( y0 − β , y0 + β )
(2)
示于定理18.1 的证明 (d) ). 示于定理
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存在二阶连续偏导数时， 注1 当 F ( x , y ) 存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数也二阶可导．应用两次复合求导法， 数也二阶可导．应用两次复合求导法，得
数学分析(下)
’# 在 )! 内连续且有连续的偏导数 " # ’# 并且 " ## # ! & # # # ## %# /" "" # # !!"! 0 " # " % / %# " #
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五! 方程组确定的隐函数
由 一组方程 # 当出现的变量个数/ 大于方程个数 1 时 # 可能由此确定一组隐函数 ! 个数 &1" 以 & 设方程组 /!*# 1!% 为例 #
( (
六! 可逆函数的隐函数
设有一个映射 ! 变换 "
$! ## 2# 3"% " !# ! # # # 4 # ! 2 3"% "
!
* % 其中 ! 若有 ("! 对于每一 点 ! 存 在 惟 一 的 一 对 值 2$ # # # " # + . 5# 6"!# ## $""! & $(# , !"
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数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十八章
第十八章 隐函数定理及其应用一、证明题一、证明题1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当则当 时,有2.设tgx yu =,x sin yv =.证明:当2x 0p<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算()()y ,x v ,u ¶¶和()()v ,u y ,x ¶¶并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()j q ,,r 的形式: 2221z u y u x u u ÷øöçè涶+÷øöçè涶+÷øöçè涶=D , 2222222zu y u x u u ¶¶+¶¶+¶¶=D . 4.证明对任意常数ρ,j ,球面2222z y x r =++与锥面2222z tg y x ×j =+是正交的. 5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数). 6.证明:在n 个正数的和为定值条件个正数的和为定值条件 x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n nha .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值. £××××nn21x x x nxxxn21+×××++二、计算题二、计算题1．方程．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 . 2.方程方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数. 3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数; (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 . 4.设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数? 1.试讨论方程组试讨论方程组ïîïíì=++=+2z y x 2zy x 22y 在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组. 5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数: (1)ïîïíì=+=++ax y x a z y x 222222, 求x y ¶¶,x z ¶¶; (2)ïîïíì=--=--0xu v y 0yv u x 2222, 求x u ¶¶,x v ¶¶,y u ¶¶,y v¶¶. (3)()()îíì-=+=y v ,x u g v y v .ux f u 2, 求x u ¶¶,xv ¶¶. 6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数: (1)ïîïíì-=+=,v cos u e y ,v sin u e x uu 求y x y x v ,v ,u ,u ; (2)ïîïíì+==+=3322v u z v u y ,v u x ,求x z . 7.设函数z=z(x,y)由方程组由方程组vu ex +=,vu e y -=,uv z =(u,v 为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz. 8.设u,v 为新的自变量变换下列方程: (1)()()0yz y x x zy x=¶¶--¶¶+,设22y x ln u +=, x y arctg v =; (2)0yz y x z x 222222=¶¶-¶¶,设x y u =,y x v =. 9.设函数u=u(x,y)由方程组由方程组u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 所确定,求xu ¶¶和yu ¶¶. 10.设2rxu =,2ryv =,2rzw =,其中222z y x r ++=, (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组; (2)计算()()z ,y ,x w ,v ,u ¶¶. 11.求平面曲线323232ayx=+()0a >上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面: (1)t sin a x 2=,t cos sin b y =,t cos c z 2=在点4t p =; (2)9z y 3x 2222=++.222y x 3z +=,在点(1,－1,2). 13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线: (1)0e y z x 2==-,在点(1,1,2); (2)1c z b y a x 222222=++,在点(3a ,3b 3c ). 14.求曲面上过点21z 3y 2x 222=++的切平面,使它平行于平面0z 6y 4x =++. 15.在曲线x=t,2t y =,3t z =上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4. 16.求函数222zy x xu ++=在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,2t 2y =,4t 2z -=在该点切线方向上的方向导数. 17.确定正数λ,使曲面l =x yz 与椭球面++2222b y a x 1cz22=在某一点相切. 18.求曲面x z y x 222=++的切平面,使其垂直于平面2z 21y x =--和2z y x =--. 19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程. 20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值: (1)f(x,y)=22y x +,若x+y-1=0 (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c 4(其中x,y,z,t>0,c>0); (3)f(x,y,z)=xyz,若222z y x ++=1,x+y+z=0. 21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体. (2)求体积一定而表面积最小的长方体. 22.(1)求空间一点()000z ,y ,x 到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离. (2)求原点到二平面1111d z c y b x a =++, ++y b x a 2222d z c =的交线的最短距离. 23.设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数,求()n21x ,,x ,xf ×××=å=n1k k kx a在限制条件在限制条件1x x x 2n 2221£+×××++ 下的最大值. 24.求函数求函数()n21x ,,x ,xf ×××=2n2221x x x +×××++在条件å==n1k kk1xa ,()n ,,2,1k ,0ak×××=> 下的最小值. 三、考研复习题三、考研复习题1.方程()222x1x y --=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=()x f ? 2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数()y j 在区间(c,d)内连续,而()0y >j ¢.问在怎样的条件下,方程()()x f y =j 能确定函数y=()()x f 1-j.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ)x sin e 2y -=-. 3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求dx dy ,dxdz. 4.已知G 1(x,y,z),G 2(x,y,z),f(x,y)都是可微的, g i (x,y)= Gi (x,y, f (x,y)),(i=1,2) 证明: ()()y ,x g,g 21¶¶=2z2y 2x 1z 1y 1x y x G G G G G G 1 f ,f --. 5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求x u ¶¶,y u ¶¶,z u¶¶. 6.试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ¶¶,yu ¶¶: (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u) (2)u=f(x+u,yu) 7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且()[]3y ,x f +xg(x,y)-y=0, ()[]3y ,x g +yf(x,y)-x=0. 8.设()0u,z ,y ,x 满足方程组满足方程组()()()()u F z f y f x f =++ ()()()()u G z g y g x g =++ ()()()()u H z h y h x h =++这里所有的函数假定有连续的导数. (1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z 作为u 的函数的充分条件; (2)在f(x)=x.,g(x)=x 2,h(x)=x 3的情形下,上述条件相当于什么? 9.求下列由方程所确定的陷函数的极值: (1)1y 2x y 2x 22=++(2)()()222222y x a y x -=+,(a>0) 10.设f=F(x)和一组函数()v ,u x j =,()v ,u y f =,那么由方程()()()v ,u F v ,u j =j 可以确定函数v=v(u).试用u,v ，dudv ，22duv d 表示dxdy ，22dx y d . 11.试证明:二次型二次型()z ,y ,x f =Fx Fxy y 2Ezx 2Dyz 2Cz By Ax 222+++++在单位球面在单位球面 1z y x 222=+上的最大值和最小值恰好是矩阵大值和最小值恰好是矩阵úúúûùêêêëé=F C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值. 12.设n 为自然数,0y ,x ³,用条件极值方法证明:2y x nn+ ()2y x n+³13.求出椭球22a x +22b y +22cz =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积. 14.设()0000z ,y ,x P 是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F 在U(p 0)可微,且为n 次齐次函数.证明:此曲面在P 0处的切平面方程为处的切平面方程为()0xP XF+()0yP yF +()0zP ZF =n. 。
数学分析第十八章隐函数定理及其应用
F (x, y0 ) 0, F (x, y0 ) 0.
A’ +++++++B’
P0
A−−−−−−−B
如图，在矩形ABBA的AB边上F 0, AB上F 0,因此,
x (x0 , x0 ), 唯一y ( y0 , y0 )使F (x, y) 0. 即方程F (x, y) 0唯一地确定了定义在区间(x0 , x0 )
2. 若F在点P0可微,且 (Fx (P0 ), Fy (P0 )) (0,0),
则z F (x, y)在点P0的切平面与z 0相交于直线l. 从而 z F (x, y) 在点P0与z 0相交成平面曲线.
若要求y f (x)可微, 则由链式法则
Fx
(P0
)
Fy
(P0
)
dy dx
定理 18.3 若满足下列条件 :
(i) F (x1,, xn, y)在以P0 (x10,, xn0, y0 )为内点的区域D Rn1上连续, (ii) F (x10,, xn0, y0 ) 0, (iii) 偏导数Fx1,, Fxn , Fy在D内存在且连续, (iv) Fy (x10,, xn0, y0 ) 0, 则在点P0的某邻域U (P0 ) D内，方程F (x1,, xn, y) 0唯一地确定了 一个定义在Q0 (x10,, xn0 )的某邻域U (Q0 ) Rn内的n元连续函数(隐函数), y f (x1,, xn ),使得 1）当 (x1,, xn ) U (Q0 )时, (x1,, xn, f (x1,, xn )) U (P0 ), 且
4z
《隐函数定理及应用》课件
对隐函数定理应用的反思与展望
在应用隐函数定理的过程中，我发现理论与实践相结合是非常重要的。通过解决实际问题，我能够更好地理解和掌握隐函数 定理的应用技巧和方法。同时，我也意识到在应用过程中需要注意一些细节问题，如初始条件的设定、参数的取值范围等， 以确保结果的准确性和可靠性。
展望未来，我认为隐函数定理还有很大的应用潜力。随着科学技术的发展，越来越多的领域需要用到隐函数定理来解决实际 问题。因此，我希望能够进一步深入研究隐函数定理的原理和应用技巧，为未来的科学研究和技术创新做出更大的贡献。同 时，我也希望能够将隐函数定理应用到更多的领域中，为解决实际问题提供更加有效的方法和工具。
隐函数定理的数学表达
如果一个方程组满足一定条件，则存在一个 唯一的隐函数，使得方程组的解满足该隐函 数的性质。
隐函数定理的重要性
数学分析的基础
隐函数定理是数学分析中的基础 定理之一，对于研究函数的性质 、极限、连续性等方面具有重要 意义。
应用广泛
隐函数定理在经济学、物理学、 工程学等领域都有广泛的应用， 例如在研究经济均衡、物理场论 、电路分析等方面都需要用到隐 函数定理。
详细描述
在计算某些复杂图形的面积时，有时候需要 将图形转化为更容易处理的形状。利用隐函 数定理，可以证明这种转化是可行的，并且 能够准确地计算出图形的面积。例如，在计 算某些曲线围成的区域的面积时，可以利用 隐函数定理将问题转化为求极坐标系下面积
的问题，从而简化计算过程。
04
隐函数定理的推广与展 望
际问题，提高工程设计的可靠性和安全性。
05
总结与思考
对隐函数定理的理解与思考
隐函数定理是微分学中的重要定理之一，它揭示了函数之间的关系和变化规律。通过学习隐函数定理 ，我深入理解了函数的可微性和连续性的关系，以及如何利用导数研究函数的性质。
高等数学第3版下册教材
高等数学第3版下册教材高等数学是大学数学的重要组成部分，是一门理论和实践相结合的学科。
它的教材分为上、下两册，下册主要涵盖了微分方程、多元函数与偏微分方程、曲线积分与曲面积分、无穷级数与傅里叶级数等内容。
本文将就这些知识点进行详细讲解。
第一章微分方程微分方程是研究函数与其导数（或微分）之间关系的数学方程。
它在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。
本章将从微分方程的基本概念开始，介绍常微分方程的解法与应用。
包括一阶线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次线性微分方程和二阶线性齐次微分方程等内容。
此外，还会讲解欧拉方程、常系数线性微分方程和高阶线性微分方程的解法。
第二章多元函数与偏微分方程多元函数是研究多个变量之间关系的函数。
它在物理学、经济学和工程领域中有着广泛的应用。
本章将从多元函数的极限和连续性开始介绍，然后讲解多元函数的偏导数、全微分、隐函数定理和逆函数定理等重要概念。
接下来，我们会学习二元函数的泰勒展开、多元函数的极值和最值，以及拉格朗日乘数法等内容。
最后，还会引入偏微分方程的概念和解法。
第三章曲线积分与曲面积分曲线积分是研究曲线上函数与其弧长之间关系的数学工具。
曲面积分是研究曲面上函数与其面积之间关系的数学工具。
本章将分别介绍曲线积分和曲面积分的定义和性质，然后讲解曲线积分和曲面积分的计算方法，包括参数化、向量场和格林公式等内容。
同时，还会引入斯托克斯公式和高斯公式，探究其在物理学和工程领域的应用。
第四章无穷级数与傅里叶级数无穷级数是由无限多个项相加的数列。
傅里叶级数是将任意周期函数表示为三角函数级数的方法。
本章将从数列极限和无穷级数的收敛性开始介绍，然后讲解无穷级数的运算法则和常见级数的性质。
接下来，我们会学习傅里叶级数的定义和展开公式，以及傅里叶级数的收敛性和一致收敛性等内容。
最后，还会讲解傅里叶级数在信号处理和物理学中的应用。
结语高等数学第3版下册教材是一本系统、全面、深入的数学教材，涵盖了微分方程、多元函数与偏微分方程、曲线积分与曲面积分、无穷级数与傅里叶级数等重要知识点。
第18章隐函数定理及其应用1-4节
暨南大学数学分析精品课程
y y0
y0
y0
+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
y0
+ + + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
S
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
别对于函数 z F ( x0 , y ), 由
y y0
y0
+
＋
＋ ＋
件 F ( x0 , y0 ) 0 可知
第十八章隐函数定理及其应用-
y
x0 y0
1 2
得
y x 0 0 .
y0
三 对数求导法
1 对数求导法 先在 y f(x) 两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出y的导数. 2 适用范围:
多个函数相乘和数幂u(指 x)v(函 x)的求.导
幂指函数求导：
yu (x)v(x) (u (x)0)
先两端取ln对 y数 vlnu
解 方程两x边 求对 导得
2x 6 1 1 2 y 5 y 4 y 0
代x 入 0,
y0得y
x0 y0
1 2
;
将上方 两程 边再 x求对 导得
1x 5 2 2 y 6 2 y 3 ( 0 y ) 2 5 y 4 y 0
代x入 0, y0,
(F ,G) 0
1
1
( y , v ) 1 2v
u 1 y 4uv1
( F , G ) 2u (u, y) 1
0 2u 1
v 2u y 4uv1
问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更 一般的情形。
定理 (隐函数存在定理)
设 1. F i(X ,Y ) C 1(U X 0,Y (0),)i1,2,,m；
2. Fi(X0,Y0)0, i1,2,,m；
3.
(F1,F2,,Fm)
0
(y1,y2,,ym) (X0,Y0)
其中，X(x1,x2, ,xn), Y(y1,y2, ,ym ),则
方程组 F 1 (X ,Y ) 0 , ,F m (X ,Y ) 0 在 U( X0)
内唯一确定一组函数 yiI(X) C 1(U X0)()
三、由方程组确定的
十八章习题解答
第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数1. 方程xy e y x =+sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数()x f y =或()y g x =?分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件.解 令()xy e y x y x F -+=sin cos ,,则有 (1) ()y x F ,在原点的某邻域内连续; (2) ()00,0=F ;(3) xy y xy x xe y F ye x F -=--=cos ,sin 均在原点的上述邻域内连续; (4) ()()00,0,010,0=≠=x y F F .故由隐函数存在定理知,方程xye y x =+sin cos 在原点的某邻域内能确定隐函数()xf y =.2. 方程1ln =++xzey z xy 在点()1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?分析: 本题的解题思路与1题一样.解 令()1ln ,,-++=xzey z xy z y x F ,则(1) ()z y x F ,,在点()1,1,0的某邻域内连续; (2) ()01,1,0=F ; (3) xz z y xzx xe y F yzx F ze y F +=+=+=ln ,,均在原点的上述邻域内连续; (4) ()()()01,1,0,011,1,0,021,1,0=≠=≠=z y x F F F . 故由隐函数存在定理知,方程1ln =++xzey z xy 在点()1,1,0的某邻域内能确定隐函数()z y f x ,=和()z x g y ,=.3. 求出下列方程所确定的隐函数的导数:(1) 043342=-+y x y x ,求dx dy ; (2) x y y x arctan ln 22=+,求dxdy ; (3),02=+--zxye z e求y x z z ,; (4) ()0,2222>-+==-+a ay a x u ye y a a u,求22,dxyd dx dy ; (5) 05422222=--+-++z y x z y x ,求y x z z ,; (6) ()xyz z y x f z ,++=,求zyy x x z ∂∂∂∂∂∂,. 分析: 求隐函数的导数(偏导数)通常有三种方法:①用隐函数求导公式;②对所给方程(组) 两边直接求导(偏导数);③用全微分.另一种方法是将隐函数显化(如果可能而且又方便的话),但一般来说这种方法是不行的,只有在特殊条件下才可能使用.解 (1) 解法1 令()43,342-+=y x y x y x F ,则33122y x xy F x +=,2429y x x F y +=,所以.91222332yx x y x y F F dx dy y x ++-=-= 解法2 方程两边对x 求导,得0912224332=+++dxdy y x y x dx dy xxy , 解得23329122yx x y x y dx dy ++-=. (2) 解法1令()x y y x y x F arctanln ,22-+=,则222222yx yx y x y y x x F x ++=+++=, 222222yx x y y x x y x y F y +-=+-+=,所以()y x y x y x F F dx dyy x ≠-+=-=.解法2 方程两边对x 求导,得222222112221x y dx dy xx y y x dx dy yx y x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++,整理得 2222y x ydx dyx y x dx dy yx +-=++,所以()y x y x y x dx dy ≠-+=.解法3 方程两边分别微分,得2222yx ydx xdy y x ydy xdx +-=++,解得()y x y x y x dx dy ≠-+=.(3) 解法1设()z xy e z e z y x F +-=-2,,,则z z xy y xy x e F xe F ye F +-=-=-=--2,,,所以2;2-=-=-=-=--z xyz y y z xy z x x e xe F F z e ye F F z . 解法2 方程两边分别对y x ,求偏导,得:02,02=+--=+----y zy xyx z x xyz e z xez e z ye,所以2;2-=-=--z xyy zxy x e xe z e ye z . 解法3 方程两边微分,得()02=+----dz e dz xdy ydx e z xy ,即()dy xe dx ye dz e xy xy z --+=-2,所以dy e xe dx e ye dz z xy z xy 22-+-=--,由全微分公式得2;2-=-=--z xyy z xy x e xe z e ye z .(4) 令()ay a x yey a a y x F 2222,-+--+=,则()2222,y a a y ye e y a y F e a y F uu y u x ------=-=,于是 ()()()222222222222ya y y a ya a y yya a a y a ay y a a F F dx dyyx --=--++-+----+-=-=,()222222222222yaya ya dx dyy a y y dx dy y a dx dy dx d dxy d -=-----=⎪⎭⎫⎝⎛=.(5) 令()5422,,22--+-+=z y x y x z y x F ,则()()()22,12,12-=+-=z F y F x F z y x ,所以21,21-+-=---=-=z y z z x F F z y z x x . (6) 把z 看成y x ,的函数,方程两边对x 求偏导数,则有()()21212111xyf f yzf f z z xy yz f z f z x x x x --+=⇒⋅+⋅++⋅=.把x 看成z y ,的函数,方程两边对y 求偏导数,则有()()().110212121yzf f xyf f x xz x yz f x f y y y ++-=⇒+⋅⋅++⋅= 把y 看成z x ,的函数,方程两边对z 求偏导数,则有()()212121)(111xzf f xyf f y y xz xy f y f z z z ++-=⇒⋅+⋅++⋅=.4. 设22y x z +=,其中()x f y =为由方程122=+-y xy x 所确定的隐函数,求22,dxz d dx dz . 解 由122=+-y xy x 得,y x y x dx dy 22--=,又由22y x z +=,得()yx y x dx dy y x dx dz 222222--=+=. 故()()()()22222226224221224y x x y x y x y x dx dy y x y x dx dy y x dx dz dx d dx z d -+--=-⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.5. 设222z y x u ++=,其中()y x f z ,=是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数,求x u 及xx u .解 令()xyz z y x z y x F 3,,333-++=,得22z xy yzx F F z z x x --=-=.于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⋅+=222222z xy yz zx x z z x u x x ,()()()()()()()223332222223222212z xy xyaz x y xz z xy zz y yz zx z xy yzz zx x z u x x x xx --++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------+⋅+=6. 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：（1） ()z y x ez y x ++-=++，求z 对于y x ,的一阶偏导数和二阶偏导数；（2）()0,,=+++z y x y x x F ,求22,,xzy z x z ∂∂∂∂∂∂和.解 (1) 令()()z y x e z y x z y x F ++--++=,,,则()0,11===-==⇒==+=++-yy xy xx y x z y z y x x z z z z z F F e F .(2) 等式两边分别对y x ,求偏导数,得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⇒=++=+++32132321101,01F F F z z F F z F F F x y x ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=321F F z y . 再将x z 对x 求偏导数,得()()[]()()[]{}x x x x z F F F F F z F F F z F F F F F z ++++-+++++++-=1111333231212322211312113232 =()()()(){}3322123133212212112323221F F F F F F F F F F F F F ++++-++-. 7. 证明:设方程()0,=y x F 所确定的隐函数()x f y =具有二阶导数,则当0≠y F 时,有3yxy yy xyx xy xxy F F F F F F F F y F =''⋅. 证 直接对原方程接连求导两次()0,0≠-='⇒='⋅+yyx y x FF F y y F F .,011122=''++--y F F F F F F F F F F F y yy x yyx x y xy x y xx于是02223yxy yy xyx xy xxyy x xx y xy y x y F F F F F F F F F F F F F F F y F =--=''⋅.8. 设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程()()()y f x f xy f +=2在点()1,1的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数?解 设()()()()xy f y f x f y x F 2,-+=,则()()()()xy f x y f F xy f y x f F y x '-'='-'=2,2,且()()()()()()()()11211,1,012111,1f f f F f f f F y '-='-'==-+=.因此,当()x f '在1=x 的某邻域内连续,且()01≠'f 时,方程()()()y f x f xy f +=2就能唯一确定y 为x 的函数.§2 隐函数组1. 试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+.2,2222z y x z y x 在点)2,1,1(-的附近能否确定形如()()z g y z f x ==,的隐函数组?分析:隐函数组是否存在只须验证题目是否满足隐函数组存在定理的条件.解 令()2,,222z y x z y x F -+=,()2,,-++=z y x z y x G ,则(1) G F ,在点)2,1,1(-的某邻域内连续; (2) ()();02,1,1,02,1,1=-=-G F (3) 1,,2,2===-===z y x z y x G G G z F y F x F 均在点)2,1,1(-的上述某邻域内连续; (4)()()()041122,,2,1,1≠=-=∂∂-y x G F .由隐函数组存在定理,在点)2,1,1(-的附近能确定形如()()z g y z f x ==,的隐函数组. 2. 求下列方程组所确定的隐函数组的导数:(1) ⎩⎨⎧=+=++,,222222ax y x a z y x 求;,dx dz dx dy (2) ⎩⎨⎧=--=-+,0,0222xu v y yv u x 求;,y vy u x v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ (3) ()()⎩⎨⎧-=+=,,,,2y v x u g v y v ux f u 求xv x u ∂∂∂∂,. (分析: 解由方程组确定的隐函数的导数问题,方程组确定了几个隐函数和隐函数的自变量的个数,其次,还要弄清楚哪些是自变量,哪些是因变量.只有将函数关系弄清楚了,才能正确地进行求导(偏导).解 (1) 设方程组确定的隐函数组为()()⎩⎨⎧==x z z x y y .对方程组两边关于x 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++,22,0222a dx dy y x dx dy z dx dy y x 解方程组，得z a dx dz y x a dx dy 2,22-=-=. (2) 对方程组两边关于x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂--∂∂-=∂∂-∂∂-,02,021x u x u x v v x v y x u u 解方程组，得uv xy x u x v xy uv uy v x u 42,422-+=∂∂-+=∂∂. 对方程组两边关于y 求偏导数,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂-=∂∂--∂∂-,021,02y u x y v v yv y v y u u 解方程组，得xy uv xv u y v uv xy y v y u -+=∂∂-+=∂∂42,422. (3) 两个方程包含u y x ,,和v 四个变量,可以确定两个二元函数,因为是求xvx u ∂∂∂∂,,自然v u ,是因变量,y x ,是自变量.对方程组两边关于x 求偏导数,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=∂∂,21,2121x v vy g x u g xv x v f x u x u f x u 解方程组，得()()()()()12211112112211212211,21121g f vyg xf g g xf g uf x vg f vyg xf g f f vyg u x u ----+=∂∂-----=∂∂. 3. 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:(1) ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x uu 求y x y x v v u u ,,,. (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,,3322v u z v u y vu x 求x z . 解 (1) 函数组两边关于x 求偏导数,得()()⎩⎨⎧=+-=++⇒⎩⎨⎧+-=++=.0sin cos ,1cos sin sin cos 0,cos sin 1v uv u v e v uv u v e v uv v u u e v uv v u u e x x u x x u x x x ux x x u 解方程组，得()()uv v ue e v x v v v e v x u uuu+--=∂∂-+=∂∂cos sin cos ,cos sin 1sin . 函数组两边关于y 求偏导数,得()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=.1sin cos ,0cos sin sin cos 1,cos sin 0v uv u v e v uv u v e v uv v u u e v uv v u u e y y u y y uy y y uy y y u 解方程组，得()()uv v ue ve y v v v e v y u uu u+-+=∂∂-+-=∂∂cos sin sin ,cos sin 1cos . (2) 因为x x x v v u u z 2233+=中的x x v u ,可通过函数组⎩⎨⎧+=+=,,22v u y v u x 两边关于x 求导,得 vu uv u v v u x x -=-=,.所以uv z x 3-=. 4. 设函数()y x z z ,=是由方程组v u uv z e y e x v u vu ,(,,===-+为参量)所定义的函数,求当0,0==v u 时的dz .解 因为y y y x x x y x uv v u z uv v u z dy z dx z dz +=+=+=,,,所以,当0,0==v u 时, dz =0. 5. 以v u ,为新的自变量变换下列方程: (1) ()()0=∂∂--∂∂+yzy x x z y x ,设x y v y x u arctan ,ln 22=+=;(2) 0222222=∂∂-∂∂yz y x z x ,设y x v xy u ==,. 分析: 要将微分方程中的未知函数z 的自变量y x ,用新的变量v u ,替代,也就是要将y x z z ,转换成v u z z ,,通常有直接法与反逆法两种转换方法.而这种引入新的变量将微分方程变形,其目的在于简化方程,从而便于对方程的研究.解 (1) 解法1 把y x ,作为自变量,z 看作y x ,的复合函数,于是有.,22222222vz y x x u z y x y y v v z y u u z y z v z y x y u z y x x x v v z x u u z x z ∂∂++∂∂+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+-∂∂+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂将以上结果代入()()0=∂∂--∂∂+yzy x x z y x ,得()()022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂++v z y x x u z y x y y x v z y x y u z y x x y x ,化简,得v z u z ∂∂=∂∂. 解法2 把v u ,作为自变量,假设变换的逆变换()()v u y y v u x x ,,,==存在,因此.,vy y z v x x z v z uyy z u x x z u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ① 其中u y v x u x ∂∂∂∂∂∂,,和v y ∂∂由反函数组求导得,再由①解出y x z z ,代入原方程,并化简得vz u z ∂∂=∂∂. (2)vzy x u z x y v v z y u u z y z v z y u z y x v v z x u u z x z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2,1, vz y x v u z y x v z y x u z x y z v z y v u z u z y x v v z x u v u z y x v v u z x u u z y x z ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂322222422222222222222222222222,121代入原方程,并化简得vzv u z u ∂∂=∂∂∂22. 6. 设函数()y x u u ,=由方程组()()()0,,0,,,,,,===t z h t z y g t z y x f u 所确定,求x u ∂∂和yu ∂∂. 分析: 由()y x u u ,=知u 是y x ,的二元函数,于是t z ,均是y x ,的函数.由()0,=t z h 得,t 是z 的函数()z t ϕ=,代入()()[]0,,0,,=⇒=z z y g t z y g ϕ,又可确定z 是y 的函数()y z ψ=,将其代入()t z y x f u ,,,=得()()()[]y y y x f u ψϕψ,,,=,因而u 是y x ,的二元函数. 解 方程组分别关于y x ,求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=,0,0,x t x z x t x z x t x z x x t h x h t g z g t f z f f u ,解得x f x u =∂∂.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=,0,0,y t y z y t y z y t y z y y t h x h t g z g t f z f f u ,解得()()()().,,,,y y g t z h g t z f h f x u ∂∂∂∂=∂∂§3 几何应用1. 求平面曲线()03/23/23/2>=+a a y x 上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 解 令()3/23/23/2,ayxy x F -+=,则()()313132,,32,--==y y x F x y x F y x .于是,曲线上任一点()00,y x 处的切线方程为:()()003100310=-+---y y y x x x ,即3/2310310a y y x x =+--.切线与两坐标轴的交点分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/23103/2310,0,0,a y a x ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3203203/423/231023/2310y x a a y a x23/23/4a a a ==.2. 求下列曲线在所示点处的切线与法平面方程:(1) t c z t t b y t a x 22cos ,cos sin ,sin ===,在点4π=t .(2) 2222223,932y x z z y x +==++,在点()2,1,1-.解 (1) c z y a x -=⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫⎝⎛'4,04,4πππ,所以,切线方程为ccz b y a a x --=-=-2022.即 2,1b y c z a x ==+.法平面方程为022=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c z c a x a ,即()2221c a cz ax -=-. (2) 令()()2222223,,,932,,z y x z y x G z y x z y x F -+=-++=,则z G y G x G z F y F x F z y x z y x 2,2,6,2,6,4-======,所以()()()()()()()()()40,,,32,,,28,,2,1,12,1,12,1,1=∂∂=∂∂=∂∂---x z G F z y G F y x G F ,所以,切线方程为7210181-=+=-z y x .法平面方程为()()()02711018=-+++-z y x ,即127108=++z y x .3． 求下列曲面在所示点处的切平面方程与法线方程: (1) 02=--zx ey 在点()2,1,1; (2) 1222222=++c z b y a x 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,3,3c b a .解 令()z x e y z y x F --=2,,,则()()()12,1,1,12,1,1,22,1,1==-=z y x F F F ,所以,切平面方程为()()()02112=-+-+--z y x ,即012=-++-z y x .法线方程为2121-=-=--z y x . (2) 令()1,,222222-++=cz b y a x z y x F ,则c c b a F b c b a F a c b a F z y x 323,3,3,323,3,3,323,3,3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 所以,切平面方程为0313131=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-c z c b y b a x a ,即 3=++c z b y a x .法线方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-333c z c b y b a x a . 4. 证明对任意常数ϕρ,,球面2222ρ=++z y x 与锥面2222tanz y x ⋅=+ϕ是正交的.提示: 所谓两曲面是正交的是指两曲面交线上任一点处,两曲面的法向量是垂直的. 证 设()z y x ,,是球面与锥面交线上的任一点,则球面在该点的法向量为()z y x n 2,2,21=,锥面在该点的法向量为()ϕ22tan 2,2,2z y x n -=.因为()0tan 4222221=-+=⋅ϕz y x n n.所以,对任意的常数ϕρ,,球面与锥面正交.5. 求曲面2132222=++z y x 的切平面,使它平行与平面064=++z y x .解 设曲面上点()000,,z y x 的切平面()()()0642000000=-+-+-z z z y y y x x x 与平面064=++z y x 平行,则66442000z y x ==,即0002z y x ==代入曲面方程得()21128120=++x ,即10±=x .所以在点()2,2,1和()2,2,1---处的切平面与所给平面平行.其切平面方程分别为2164,2164-=++=++z y x z y x .6. 在曲线32,,t z t y t x ===上求出一点,使曲线在此点的切线平行与平面42=++z y x . 解 设曲线在0t 处的切线平行与平面42=++z y x ,因为曲线在0t 处的切向量为()()()()()2000003,2,1,,t t t z t y t x =''',所以()()03411,2,13,2,1200200=++=⋅t t t t ,解之得10-=t 或310-=t .故所求的点为()1,1,1--或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,31.§4 条件极值1. 应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:(1) ()22,y x y x f +=,若01=-+y x ;(2) ()t z y x t z y x f +++=,,,,若4c xyzt =(其中0,0,,,>>c t z y x );(3) ()xyz z y x f =,,,若0,1222=++=++z y x z y x .解 (1) 设()()1,,22-+++=y x y x y x L λλ,令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=.01,02,02y x L y L x L y x λλλ解之得1,21-===λy x .由于当∞→∞→y x ,时∞→f ,故函数必存在唯一稳定点处取得极小值,极小值2121,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . (2) 设()()4,,,,cxyzt t z y x t z y x L -++++=λλ,令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=,0,01,01,01,014c xyzt L xyz L yxt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ解之得c t z y x ====.由于当n 个正数的积一定时,其和必有最小值,故()t z y x f ,,,一定在唯一稳定点()c c c c ,,,取得最小值也是极小值()c c c c c f 4,,,=.(3) 设()()()z y x z y x xyz z y x L +++-+++=μλμλ1,,,,222,令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=,0,01,02,02,02222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L z y x μλμλμλμλ ()()()()()54321 (1)-(2)得y x =或z =λ2.若y x =代入(4),(5)可求得61,621,62,61,61=±==±=±=μλz y x . 若z =λ2,(2)-(3)得z y =或x =λ2.如果z y =,代入(4),(5)可求得61,621,62,61=±==±==μλx z y ; 如果x =λ2,则x z =,代入(4),(5)可求得61,621,62,61=±==±==μλy x z . 综上讨论,得到可能的条件极值点有6个:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-61,61,62,61,62,61,62,61,61321P P P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--61,61,62,61,62,61,62,61,61654P P P . 又()xyz z y x f =,,在有界闭集(){}0,1,,222=++=++z y x z y x z y x 上连续,故可取到最值.因此,极小值为()()()631321-===P f P f P f ,极大值为()()()631654===P f P f P f .注: (1) 用拉格朗日乘数法求条件极值问题,一般都转化为求解一个多变量的方程组,方程组解法的技巧性较高,需视具体方程组的特征采取特殊的处理方法.(2) 在通过解方程组得到稳定点后,一般在实际问题中,往往可由问题本身的性质来判定所求得的稳定点是否是条件最大(小)值点.如已知某实际问题确有条件最大(小)值,而该问题的拉格朗日函数的稳定点只有一个,则这个稳定点处的值也就是所求的条件最大(小)值.2. (1) 求表面积一定而体积最大的长方体; (2) 求体积一定而表面积最小的长方体. 解 (1) 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,,表面积为()02>a a ,则体积为()xyz z y x f =,,.于是问题成为在条件()22a zx yz xy =++下,求函数()z y x f ,,的最大值.设()()[]22,,,a zx yz xy xyz z y x L -+++=λλ,令()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=,02,02,02,022a zx yz xy L x y yx L z x xz L z y yz L zyx λλλλ解得6a z y x ===. 因为所求长方体体积有最大值,且稳定点只有一个,所以表面积一定而体积最大的长方体是立方体.(2) 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,,体积为xyz V =,则表面积为()()zx yz xy z y x f ++=2,,.于是问题成为在条件xyz V =下,求函数()z y x f ,,的最大值.设()()[]V xyz zx yz xy z y x L -+++=λλ2,,,,令()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0,02,02,02V xyz L xy x y L xz z x L yz z y L z yx λλλλ解得3V z y x ===.因为所求长方体体积有最大值,且稳定点只有一个,所以体积一定而表面积最小的长方体是立方体.3. (1) 求空间一点()000,,z y x 到平面0=+++D Cz By Ax 的最短距离;(2) 求原点到二平面22221111,d z c y b x a d z c y b x a =++=++的交线的最短距离. 解 (1) 设平面上任一点是()z y x ,,.由题目条件,既是求函数()()()()202020,,z z y y x x z y x d -+-+-=在条件0=+++D Cz By Ax 下的最小值.因为d 与2d 的极值点相同,所以设()()()()()D Cz By Ax z z y y x x z y x L ++++-+-+-=λλ202020,,,,令()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=0,02,02,02000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y xλλλλ)4()3()2()1( 由(1),(2),(3)得C z z B y y A x x λλλ21,21,21000-=-=-=.代入(4)解得()2220002CB A Cz By Ax ++++=λ.所以 ()()()()()2222000222220202041CB A D Cz By AxC B A z z y y x x +++++=++=-+-+-λ. 由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在,故222000CB A DCz By Ax d +++++=为所求最短距离.(2) 设二平面交线上任意一点是()z y x ,,,由题目条件,既是求函数()222,,z y x z y x d ++= 在条件22221111,d z c y b x a d z c y b x a =++=++下的最小值.所以设()()()22221111222,,,d z c y b x a d z c y b x a z y x z y x L -+++-+++++=μλλ,令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-++==++==++==++=,0,0,02,02,0222221111212121d z c y b x a L d z c y b x a L c c z L b a y L a a x L z b y x μλμλμλμλ ()()()()5432)1( x (1)+y (2)+z (3),并利用(4),(5)得()2122221d d z y x μλ+-=++ (6) ()()()321111c b a ++,并利用(4)得()()022121212121211=++++++c c b b a a c b a d μλ (7)()()()321222c b a ++,并利用(5)得()()022222222121212=++++++c b a c c b b a a d μλ (8)由(7),(8)解出μλ,,然后代入(6)得最短距离为()()()()()212212122121221212212122121221222)(a c a c c b c b b a b a d c d c d b d b d a d a z y x d -+-+--+-+-=++=4. 证明:在n 个正数和为定值条件a x x x n =+++ 21下,这n 个正数的乘积n x x x 21的最大值为n nna .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算数中值,即nx x x x x x nnn +++≤2121.证。
江苏大数学分析-十八章隐函数定理及其应用学习题课
第十八章隐函数定理及其应用习题课一 疑难问题与注意事项1．是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程22x y c +=，当0c >时，不能确定任何函数()f x ，使得22[()]x f x c +≡，只有当0c <时，才能确定隐函数.隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程1sin 02y x y --=能确定定义在(,)-∞+∞上的函数()f x ，使得1()sin ()02f x x f x --≡.但这个函数()f x 却无法用x 的算式来表达.2．在隐函数定理中，若00(,)0y F x y =，则一定不能确定隐函数()y f x =吗？ 答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程033=-x y 在)0,0(不满足(0,0)0y F =,但仍能确定惟一的连续函数x y =.例如:0)(),(22222=+-+=y x y x y x F ,由于0)0,0(=F ,F 与y y x y F y 2)(422++=连续，故满足(i)（ii）（iii）,但因0)0,0(=y F , 致使在)0,0(的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意x 属于)0,0(的邻域，不能保证有唯一的y 来对应）.3．求隐函数的一阶导数有哪些方法？ 答：法1：用隐函数定理注意：在用隐函数定理时，对x 求导把y 看作常数，对y 求导把x 看作常数. 法2：把(),0F x y =看作复合函数，对方程两边求导，注意此时y 是x 的函数. 法3：全微分法对(),0F x y =两边微分(),0dF x y =，即0x y F dx F dy +=，则有y xF dydx F =-. 4．在隐函数组定理中，若),(),(v u G F J ∂∂=在点0P 等于零，则一定不能确定),(y x f u =,),(y x g v =吗？答 不对，隐函数组定理的条件是充分条件，只能讲只有．．,u v 难以肯定能否作为以．．．．．．．．．,x y 为．自变量的隐函数．．．．．．．. 5.空间曲线⎩⎨⎧==0),,(,0),,(z y x G z y x F L ：在0P 处的切线方程 ()()().),(,),(,),(,0000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-中若某一个分母为0，怎么理解？答 若()0(,)0,P F G y z ∂=∂，则()()00000,,(,)(,)P Px x y y z z F G F G z x x y ---==∂∂∂∂理解为 ()()00000,,(,)(,)P Py y z z F G F G z x x y x x--⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪⎪=⎩.注()()(),),(,,),(,,),(P P P y x G F x z G F z y G F ∂∂∂∂∂∂不全为零.6.若),(00y x 是函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=下的极值点，那么),(00y x 也是函数(,)zf x y =的极值点，对吗？答 不对，反例11,22⎛⎫⎪⎝⎭是22z x y =+在条件1x y +=下的极值点，但11,22⎛⎫⎪⎝⎭不是22z x y =+的极值点.二 典型例题1．方程xy e y x =+sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数)(x f y =或)(y g x =？解：令xy e y x y x F -+=sin cos ),(，则有 Ⅰ）),(y x F 在原点的某邻域内连续； Ⅱ）0)0,0(=F ；Ⅲ）xyx ye x y x F --=sin ),(，xyy xe y y x F -=cos ),(在原点的某邻域内连续； Ⅳ）01)0,0(≠=y F ，0)0,0(=x F ．故由隐函数存在唯一性定理知，方程xye y x =+sin cos 在原点的某邻域内可确定隐函数)(x f y =，但不知道能否确定)(y g x =．注 注意对哪个变量求偏导不为0，就把该变量作为应变量，其它变量是自变量. 注 定理条件是充分的，但不满足定理条件时，就不好用隐函数定理.2．方程1ln =++xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?解：令1ln )(-++=xz e y z xy x F ,则 Ⅰ）),,(z y x F 在点)1,1,0(的某邻域内连续； Ⅱ）0)1,1,0(=F ；Ⅲ）xzx ze y z y x F +=),,(，yz x z y x F y +=),,(,xzz xe y z y x F +=ln ),,(均在上述邻域内连续；Ⅳ）02)1,1,0(≠=x F ，01)1,1,0(≠=y F ,0)1,1,0(=z F故由隐函数存在唯一性定理知，在点)1,1,0(的某邻域内原方程能确定出方程函数),(z y f x =和),(z x g y =，不知道能否确定(,)z h x y =．3．函数222(,)(1)0F x y y x x =--=在哪些近点旁可唯一决定单值连续，且有连续导数的函数()y y x =．解：由于(,)F x y 及342x F x x =-，2y F y =都在全平面连续，且当0y ≠时0y F ≠，故由隐函数定理可知满足条件222(1)00y x x y ⎧--=⎨≠⎩的点(,)x y 的近旁，方程222(,)(1)0F x y y x x =--=可唯一决定单值连续，且有连续的导数的函数()y y x =．4．证明：在点(1,1)的某邻域内存在唯一的连续可微函数()y f x =，满足(1)1f =，()2ln 3ln ()10xf x x f x ++-=，并求()f x '．证：令(,)2ln 3ln 1F x y xy x y =++-，求得2(,)x F x y y x =+，3(,)y F x y x y=+，可知函数在(1,1)的邻域内有(,)x F x y 、(,)y F x y 连续，且有(1,1)0F =，(1,1)40y F =≠，故由隐函数存在定理知在点(1,1)的某邻域内存在唯一的连续可微函数()y f x =，满足(1)1f =，()2ln 3ln ()10xf x x f x ++-=，且有22(,)2()(,)3x y F x y xy yf x F x y x y x+'=-=-+． 5.设(,)zz x y =是由方程222220x y z z ++-=确定的隐函数，求z x ∂∂，zy∂∂． 解法1（公式法） 设222(,,)22F x y z x y z z =++-，则4x F x =，2y F y =，22z F z =-，则由隐函数定理得42221x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--， 2221y z F z y y y F z z∂=-=-=∂--． 解法2（直接法） 在方程222220xy z z ++-=两边分别对x ，y 求偏导数，将z 看成是x ，y 的函数，得4220z z x zx x ∂∂+-=∂∂，2220z zy z y y ∂∂+-=∂∂， 于是21z x x z ∂=∂-，1z yy z∂=∂-． 解法3（全微分法） 利用全微分形式不变性，在方程222220x y z z ++-=两边求全微分得4d 2d 2d 2d 0x x y y z z z ++-=，即 2d d d 11x yzx y z z=+--， 于是21z x x z ∂=∂-，1z y y z∂=∂-． 6.设30ze z xy -+=，求22zx∂∂．解 在方程30zez xy -+=两边分别对x 求偏导数，并注意z 是x ，y 的函数，得30z z ze y x x∂∂⋅-+=∂∂， 于是 31z z y x e∂=∂-， 再对30zz zey x x∂∂⋅-+=∂∂两边对x 求偏导数，并注意z 是x ，y 的函数，得 222220zz z z z e e x x x ∂∂∂⎛⎫⋅+⋅-= ⎪∂∂∂⎝⎭ 于是 2221zzz e z x e x ∂∂⎛⎫=⋅ ⎪∂-∂⎝⎭将zx∂∂的表达式代入上式得 2623(1)zz z y e x e ∂=∂-． 7.1）),(xyz z y x f z ++=,求zy y x x z ∂∂∂∂∂∂,,． 2）0),,(=+++z y x y x x F ,求y z x z ∂∂∂∂,和22x z∂∂． 解 1）把z 看成y x ,的函数,两边对x 求偏导数,则有(1(21xz xy yz f x z f x z ∂∂++∂∂+=∂∂．所以21211xyf f yzf f x z--+=∂∂ 把x 看成,y z 的函数,两边对y 求偏导数, 即得 120(1)()x x f f xz yz y y∂∂=+++∂∂． 所以1212f xzf x y f yzf --∂=∂+． 把y 看成x z ,的函数,两边对z 求偏导数, 即得 121(1)()y yf f xy xz z z∂∂=+++∂∂． 所以12121f xyf y z f xzf --∂=∂+． 2）把z 看成y x ,的函数,两边对x 求偏导数,得01(321=∂∂+++xzF F F ． 故1233F F F zx F ++∂=-∂ 原方程两边关于y 求偏导数,得01(32=∂∂++yzF F 故233F F zy F +∂=-∂． 333231332312221121122)1()()(F x z F F F F F F F F F xzx x z ∂∂+⋅++++++++-=∂∂∂∂=∂∂23333233321)]1()[(-∂∂++++++F xz F F F F F F ])()()(2)2([3322123133212212113333F F F F F F F F F F F F F ++++-++-=-．8.设22y x z +=,其中)(x f y =为由方程122=+-y xy x 所确定的隐函数,求dxdz 及22dxzd ． 解：由方程122=+-y xy x ,得yx yx dx dy 22--=．因yx y x dx dy y x dx dz 2)(22222--=+=,故 22222)2(21)((2)222(2)(y x dx dyy x y x dx dy yx dx dzdx d dxz d ------==3)2(6224y x xy x y x -+--=．9.试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+22222z y x z y x 在点()1,1,2-的附近能否确定形如)(),(z g y z f x ==的隐函数组?解 令.2),,(,2),,(222=++=-+=z y x z y x G z y x z y x F则(1) ,F G 在()1,1,2-点的某邻域内连续; (2) ;0)2,1,1(,0)2,1,1(=-=-G F(3) 1,,2,2===-===z y x z y x G G G z F y F x F 均在点(1,-1,2)的邻域内连续;(4)041122)2,1,1()2,1,1()2,1,1()2,1,1(),(),()2,1,1(≠=-=----=∂∂-y x y x G G F F y x G F故由隐函数组定理,在点()1,1,2-的附近所给方程组能确定形如)(),(z g y z f x ==的隐函数组．10.求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)⎩⎨⎧=+=++,,222222ax y x a z y x 求dx dzdx dy ,； (2)⎩⎨⎧-=+=),,(),,(2y v x u g v y v ux f u 求x v x u ∂∂∂∂,． 解 (1)设方程组确定的隐函数组为⎩⎨⎧==),(),(x z z x g y 对方程组两边关于x 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++adx dyy x dx dz z dx dy y x 220222或22222dy dz y z x dx dx dy y a x dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解此方程得zadx dz y x a dx dy 2,22-=-=． (2)把,u v 看成,x y 的函数,对x 求偏导数⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂+=∂∂2()1()(2121x v vy g x u g x v x v f x u x u f x u 或()()121121121u v xf f uf x xv u v g vyg g xx x ∂∂⎧-+=⎪⎪∂∂⎨∂∂∂⎪=+-=⎪∂∂∂⎩ 由克拉默法则得12211212)21)(1()21(g f vyg xf g f f vyg u x u-----=∂∂， 12211111)21)(1()1(g f vyg xf g uf g xf x v ---+--=∂∂． 11.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x uu 求,x x u v ． 解 把,u v 看成,x y 函数，方程组两边对x 求导得1sin cos ,0cos sin ,u u u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x ∂∂∂⎧=++⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=-+⎪∂∂∂⎩由克拉默法则得1cos 0sin sin sin cos 1sin cos cos sin uuu u u vu v u vx e v e v e v u v e v u v∂==∂-++-， ()sin 1cos 0cos sin cos sin cos 1cos sin u u uu u u u e v e v v v e x e v u v e v e v ue v u v+-∂-==∂+-+-． 12．设以v u ,为新的自变量变换下列方程：,0222222=∂∂-∂∂y z y x z x 设.,y x v xy u == 解 把,u v 当中间变量vz y u z y x v v z x u u z x z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1 vz y x x z x y v v z x u u z y z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2 所以)(22x zx xz ∂∂∂∂=∂∂)(1)(222222x vv z x u v u z y x v v u x x u u z y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂= ,122222222v zy v u z u z y ∂∂+∂∂∂+∂∂=()(222222222y vv z y u v u z y x y v v u x y u u z x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )2232222242222vz y x v u z y x v z y x u z x ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂= 将上述22xz ∂∂，22y z∂∂代入原方程，并化简得v z v u z xy ∂∂=∂∂∂22，即vzv u z u ∂∂=∂∂∂22． 13.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：（1）t c z t t b y t a x 22cos ,cos sin ,sin ===，在点4π=t ；（2）2222223,932y x z z y x +==++，在点)2,1,1(-． 解 （1）因为()2sin cos sin 2,x t a t t a t '==()22()cos sin cos 2,()2cos sin sin 2,y t b t t b t z t c t t c t '=-='=-=-因此(),(0,(,444x a y z c πππ'''===-于是切线方程为：c c z b y a a x --=-=-2022，即⎪⎩⎪⎨⎧==+2,1b y c z a x ． 法平面方程为：0)()2(=---z c z c a x a ，即)(2122c a cz ax -=-．（2）令2222223),,(,932),,(z y x z y x G z y x z y x F -+=-++= 则,2,2,6,6,4x g y G x G y F x F z y x y x -=====所以28),(),()2,1,1(=∂∂-y x G F ，32),(),()2,1,1(=∂∂-z y G F40),(),()2,1,1(=∂∂-x z G F故切线方程为7210181-=+=-z y x ； 法平面为0)2(7)1(10)1(8=-+++-z y x ． 14.求下列曲面在所示点处的切平面与法线： （1）02=--z x e y ，在点)2,1,1(（2）1222222=++c z b y a x ，在点3,3,3(cb a ．解 （1）令z x e y z y x F --=2),,(，则1)2,1,1(,1)2,1,1(,2)2,1,1(==-=z y x F F F ，故切平面方程为0)2()1()1(2=-+-+--z y x ， 法线方程为2121-=-=--z y x ． （2）令1),,(222222-++=cz b y a x z y x F ，则,32)3,3,3(a cb a F x =,32)3,3,3(bc b a F y =,32)3,3,3(cc baF z =故切面方程为0)3(1)3(13(1=-+-+-c z c b y b a x a ， 即3=++czb y a x ．法线方程为 )3(3()3(c z c b y b a x a -=-=-．15.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： （1）,),(22y x y x f +=若;01=-+y x（2）,),,,(t z y x t z y x f +++=若4c xyzt =（其中0,0,,,,>>c t z y x ）；（3）xyz z y x f =),,(，若0,1222=++=++z y x z y x ．解 (1)设)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ对L 求偏导数,并令它们都等于0,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=.01,02,02y x L y L x L z y x λλ（轮换性） 解之得.1,21-===λy x 由10x y +-=得1y x =-，于是 ()()222211(,1)12212,22g x f x x x x x x x ⎛⎫=-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭显然()g x 在12x =取得极小值,因此(,)f x y 在11(,)22取得极小值.2121,21(=f (2)设)(),,,,(4c xyzt t z y x t z y x L -++++=λλ且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=,0,01,01,01,014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ 解方程组得.c t z y x ====由于当n 个正数的积一定时,其和必有最小值,故f 一定存在唯一稳定点(),,,c c c c 取得最小值也是极小值,所以极小值(),,,4f c c c c c =．(3)设)()1(),,,,(222z y x u z y x xyz u z y x L +++-+++=λλ,并令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=,0,01,02,02,02222z y x L z y x L u z xy L u y xz L u x yz L uz y xλλλλ解方程组得z y x ,,的六组值为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=616261z y x ． 又xyz z y x f =),,(在有界闭集}0,1|),,{(222=++=++z y x z y x z y x上连续,故有最值．因此,极小值为,631)61,61,62()62,61,61(-=--=-f f极大值为.631)61,61,62()62,61,61(=--=--f f16．(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体．解：（1）设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，表面积为)0(2>a a ，则体积为xyz z y x f =),,(，限制条件为2)(2a xz yz xy =++．设])(2[),,,(2a xz yz xy xyz z y x L -+++=λλ，并令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=,0)(2,0)(2,0)(2,0)(22a xz yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z y x λλλλ解得6az y x ===．根据题意长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值66)6,6,6(3a a a a f =．故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体．（2）设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，体积为V ,则表面积)(2),,(xz yz xy z y x f ++=,限制条件：V xyz =．设)()(2),,,(V xyz xz yz xy z y x L -+++=λλ并令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=,0,0)(2,0)(2,0)(2V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ解得3V z y x ===故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体．17．求空间一点),,(000z y x 到平面0=+++D Cz By Ax 的最短距离． 解：),,(000z y x 到平面0=+++D Cz By Ax的距离为d =，由于d 与2020202)()()(),,(z z y y x x d z y x f -+-+-==能同时取得最大值与最小值，则问题可归结为求2020202)()()(),,(z z y y x x d z y x f -+-+-==在条件0=+++D Cz By Ax下的最小值问题．由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在．设)(),,(),,,(D Cz By Ax z y x f z y x L ++++=λλ且0002()0, (1)2()0, (2)2()0, (3)0,(4)x y z L x x A L y y B L z z C L Ax By Cz D λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=++=⎪⎪=+++=⎩由(1),(2),(3)得A x x 20λ-=,B y y 20λ-=,C z z 20λ-=．代入(4)解得222000)(2C B A D Cz By Ax +++++=λ．所以)(41)()()(2222202020C B A z z y y x x ++=-+-+-λ222000CB A D Cz By Ax +++++= 故222000CB A DCz By Ax d +++++=为所求最短距离．18．证明：在n 个正数的和为定值条件a x x x n =+++ 21下,这n 个正数的乘积n x x x 21的最大值为n nna ．并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值 nx x x x x x nnn +++≤2121．证：设n n x x x x x x f 2121),,(=,)0,,,(21>n x x x ,121212(,,,)()n n n L x x x x x x x x x a λλ=++++- ,1212112212120,0,0,0,nx n x n x n nn L x x x x L x x x x L x x x x L x x x a λλλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎪=+++-=⎩解得nax x x n ==== 21由题意知,最大值在唯一稳定点取得．所以 n nna n a n a n a f f ==),,,( 最大．故 n x x x n a na x x x nnnn n n +++==≤2121．因此 nx x x x x x nn n +++≤2121．19.写出函数(),cos xf x y e y =在()0,0点带Peano 型余项的二阶Taylor 公式．解1：()()()()()2221,0,00,00,02!f x y f x y f x y f o x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=++++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，而()0,01f =，(),cos x x f x y e y =，()0,01x f =， (),sin x y f x y e y =-，()0,00y f =， (),cos x xx f x y e y =，()0,01xx f =， (),sin x xy f x y e y =-，()0,00xy f =， (),cos x yy f x y e y =-，()0,01yy f =-．于是有()()()()()()()()()22221,0,00,00,00,020,00,02!x y xx xy yy f x y f xf yf x f xyf y f o x y =+++++++ ()2222122x y x o x y =++-++．解2 ()()()()2222222211,cos 101012222xx y f x y e y x x x y y x o x y ⎛⎫⎛⎫==+++-+==++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
数学分析之隐函数定理及其应用
第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。
教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。
教学时数：14学时§1 隐函数一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1.隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义:三.隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件:ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续;ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件)ⅲ> 在D内存在连续的偏导数;ⅳ> .则在点的某邻域()D内, 方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数, 使得⑴,时()且.⑵函数在区间内连续 .( 证)四.隐函数可微性定理:Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在D内存在且连续 . 则隐函数在区间内可导, 且. ( 证)例1 验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149例1例2 . 其中为由方程所确定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿)例3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数在点的某邻域内有连续的导函数, 且, . 用隐函数定理验证存在反函数, 并求反函数的导数. P151例4五. 元隐函数: P149 Th3例4. 验证在点存在是的隐函数, 并求偏导数 . P150 例3§２隐函数组一．隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组入手介绍隐函数组，一般形式为*二.隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出和的条件入手, 对方程组*在一定条件下拟线性化, 分析可解出和的条件, 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理) P153 Th 4.例1P154例1.三.反函数组和坐标变换:1.反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理) P155 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 P156—157例2 , 3 .§3 几何应用一.平面曲线的切线与法线: 设平面曲线方程为. 有.切线方程为,法线方程为.例1求Descartes叶形线在点处的切线和法线 . P159例1.二.空间曲线的切线与法平面:1.曲线由参数式给出: .切线的方向数与方向余弦.切线方程为.法平面方程为.2. 曲线由两面交线式给出: 设曲线的方程为点在上. 推导切线公式. [1]P209.切线方程为.法平面方程为.例2P161例2 .三.曲面的切平面与法线:设曲面的方程为, 点在上. 推导切面公式.1]P211.切平面方程为.法定义域线方程为.例3P162例3 .§4 条件极值一.条件极值问题: 先提出下例:例要设计一个容积为的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小 . 分别以、和表示水箱的长、宽和高, 该例可表述为: 在约束条件之下求函数的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件:设在约束条件之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点, 有.代入, 就有,( 以下、、、均表示相应偏导数在点的值 . )即—, 亦即(, ) ,).可见向量(, )与向量, )正交. 注意到向量, )也与向量, )正交, 即得向量(, )与向量, )线性相关, 即存在实数, 使(, ) + , ).亦即二.Lagrange乘数法:由上述讨论可见, 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.倘引进所谓Lagrange函数, ( 称其中的实数为Lagrange乘数) 则上述方程组即为方程组以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .四、用Lagrange乘数法解应用问题举例:例1求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166例1例2抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2例3求函数在条件下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数.168 例3第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。